Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của tam giác ABC, khoảng cách giữa AA’ và BC là 3 2 a.. Tìm tọ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THÔNG NĂM 2011
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số 1 4 1 2 11
y = − x + x + có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2011
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải bất phương trình ( 2− + ≥ )
log x 3x 2 log 6
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
x
x
3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2 x + 2sin x + 2 m − = 3 0 có nghiệm 5
6 6
π π
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, khoảng cách giữa AA’ và BC là 3
2
a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo a
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):x2+ y2+ − z2 2x 2y 2z 22 0 − − − = , (P): 3x 2y 6z 28 0 − + − =
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8 π
Câu 5a (1,0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình ( z − 2)2− 2( z + + = 2) 13 0
Tính giá trị của biểu thức P z = +12 z22
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng d có phương trình:
(S):x2+ y2+ + z2 2x 4y 6z 2 0 − − − = , d: x 2 y 1 z
1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng d
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8 π
Câu 5b (1,0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2− 2 1 i z 4 2i 0 ( + ) + + =
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2011 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hĩa (nếu cĩ) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn Hội đồng chấm thi 3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm trịn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trịn thành 0,5, lẻ 0,75 làm trịn thành 1,0 điểm) II Đáp án và thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): 1 4 1 2 11 4 2 4 y = − x + x + 2.0 1 Tập xác định: D = ¡ 2 Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: • y ' = − + = − + x3 x x ( x2 1 ) Ta cĩ: y ' 0 x ( x2 1 ) 0 x 0 x = 1 = ⇔ − + = ⇔ = ± 1
' 0 0 1 x y x < − > ⇔ < < và 1 0 ' 0 1 x y x − < < < ⇔ >
• Do đĩ: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞ − ; 1 ) và ( ) 0;1 + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( − 1;0 ) và ( 1; +∞ ) b) Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại x= ±1 và yCĐ = y ( ) ± = 1 3 + Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và yCT = ( ) 0 11 4 y = c) Giới hạn: xlim y →−∞ = −∞ và xlim y →+∞ = −∞ d) Bảng biến thiên: x −∞ − 1 0 1 +∞
y' + 0 − 0 + 0 −
y 3 3
−∞ 11
4 −∞
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
Trang 33 Đồ thị:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8 10
x
y
M(x 0 ;y 0 )
(C):y=-1/4x 4 +1/2x 2 +11/4 y=6x+51/4
11/4 3
0.5
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2011 1.0
• Gọi M x y ( 0; 0) ∈ ( ) C , do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2011 nên:
y x ' ( )0 = 6 (1)
• Khi đó: ( ) 3 3
1 ⇔ − + = ⇔ x x 6 x − + = ⇔ x 6 0 x = − 2
• Với x0 = − 2 thì 0 3
4
y = Suy ra: 3
2;
4
• Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 3 6 ( 2 ) 6 51
0.25 0.25 0.25 0.25
Giải bất phương trình ( 2− + ≥ )
log x 3x 2 log 6 (1) 1.0
• Điều kiện: 2 1
2
x
x
<
− + > ⇔ >
• Khi đó: ⇔ ( 2− + ≥ − )
1 2
⇔ − + ≤
⇔ ≤ ≤
2 2
• Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là: S = [ 0;1 ) ( U 2;3 ]
0.25
0.25 0.25 0.25
2 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
x
x
1.0
1
x y
x
= − + liên tục và không dương trên đoạn [ ] 0;1 nên diện tích hình phẳng cần
Trang 4Đổi cận: 1 2
⇒
• Suy ra:
( )
2
1 1 2 1
x
t x
+
2 2 1
(đvdt).
Chú ý: Học sinh có thể lập công thức tính S dưới dạng
0.25 0.25
0.25
3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2x+2sinx+2m− =4 0 (1) có nghiệm
5
6 6
π π
1.0
• Ta có: cos 2 x + 2sin x + 2 m − = ⇔ − 4 0 2sin2x + 2sin x = − 3 2 m Đặt t=sinx, ta có 5 1
x ∈ − π π ⇔ ∈ − t
Phương trình (1) trở thành: f t ( ) = − 2 t2+ = − 2 t 3 2 m (2)
• Pt (1) có nghiệm 5
6 6
π π
⇔ Pt (2) có nghiệm
1
;1 2
t ∈ −
1;1 1;1
⇔
• Xét hàm số f t ( ) = − 2 t2+ 2 t trên 1
;1 2
−
ta có
f t = − + = ⇔ = ∈ − t t
Do 1 3 ; 1 1 , 1 ( ) 0
• Vậy phương trình (1) có nghiệm 5
6 6
π π
3 2
0.25
0.25 0.25
0.25
Câu 3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, khoảng cách giữa AA’ và BC là
3 2
a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
1.0
Trang 5• Gọi I là trung điểm của BC và J là hình chiếu vuông góc của I lên AA’
( J ∈ AA IJ ', ⊥ AA ' ), từ giả thiết ta suy ra được:
( ' )
'
⊥
Do đó IJ là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC Suy ra: 3
2
a
IJ =
• Do ABC là tam giác đều cạnh 2a nên:
3 3 2 3 ( )2 3 2
a
• Xét tam giác vuông AIJ ta có:
3
Từ hai tam giác đồng dạng OAA’ và JAI ta được:
' 2 3 2 3
3
a
• Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2 2 3
3
3.
3
ABC
a
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4a 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
(S):x2 + y2+ − z2 2x 2y 2z 22 0 − − − = , (P): 3x 2y 6z 28 0 − + − = 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với (P) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của I trên (P)
1.0
• Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;1;1 ) và bán kính R = 5và mặt phẳng (P) có VTPT n r = ( 3; 2;6 − )
• Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P), phương trình d là:
1 3 1 2 ( )
1 6
= +
= +
¡
• Gọi H là hình chiếu của I lên (P), xét phương trình:
7
• Suy ra : 16 1 25
; ;
7 7 7
0.25
0.25
0.25
0.25
2 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x 2y 6z 28 0 − + − = và cắt mặt cầu (S):
x + y + − z 2y 2y 2z 22 0 − − − = theo một đường tròn có chu vi bằng 8 π
1.0
• Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng:
3x 2y 6z D 0 D − + + = ( ≠ − 28 )
• Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên có bán kính r = 4 Suy ra: d I Q ( ,( )) = R2− r2 = 25 16 − = 9 3 =
0.25 0.25
Trang 6Tính giá trị của biểu thức P z = +12 z22
• Ta có: ( z − 2)2− 2( z + + = ⇔ 2) 13 0 z2− 6 z + = 13 0 (1)
• Phương trình (1) có: ( )2
• Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phức là:
z1= − 3 2i và z2 = + 3 2i
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 4b 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng d có phương trình:
(S):x2 + y2+ + z2 2x 4y 6z 2 0 − − − = , d: x 2 y 1 z
1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với d Tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của I trên d
1.0
• Mặt cầu (S) có tâm I ( − 1; 2;3 ) và bán kính R = 4 Đường thẳng d có VTCP a r = ( 1; 2;1 ) và đi qua điểm M ( 2;1;0 )
• Gọi (α ) là mặt phẳng qua I và vuông góc d , phương trình (α ) là:
1 ( x + + 1 ) ( 2 y − + 2 ) ( 1 z − = ⇔ + 3 ) 0 x 2 y z + − = 6 0
Gọi H là hình chiếu của I lên (α ), tọa độ H là nghiệm của hệ:
7 x 3
x 2y z 6 0
z 3
=
=
Suy ra 7 5 1
; ;
3 3 3
0.25
0.25
0.5
2 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
chu vi bằng 8 π
1.0
• Do đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính r =4 Do đó:
d I P ( ,( )) = R2− r2 = 16 16 0 − = Suy ra mặt phẳng (P) cần tìm chính là mặt phẳng chứa d và qua I
• Mặt phẳng (P) có VTPT là n = a IM ;
r r uuur
3; 1; 3
a
IM
r
r r uuur
• Phương trình (P) là : − 5 ( x + + 1 ) ( 6 y − − 2 ) ( 7 z − = ⇔ 3 ) 0 5 x − 6 y + 7 z − = 4 0
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 5b Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2− 2 1 i z 4 2i 0 ( + ) + + = (1)
Tính giá trị của biểu thức P = z12+ z2 2
1.0
• Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phức là:
z1= + − = − 1 i 2i 1 i và z2 = + + = + 1 i 2i 1 3i
0.5 0.25 0.25
Trang 7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP
KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT
NĂM HỌC 2010-2011
-MA TRẬN MỤC TIÊU GIÁO DỤC VÀ MỨC ĐỘ NHẬN THỨC
Chủ đề hoặc mạch kiến thức, kĩ năng
Tầm quan trọng
Trọng số
Tổng điểm Theo
ma trận Thang 10
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số 5 2 10 0,8
Phương trình, hệ phương trình, Bất phương trình mũ và logarit 11 2 22 1,1
Phương pháp tọa độ trong không gian 12 3 36 2,0
MA TRẬN ĐỀ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT Chủ đề hoặc
mạch kiến thức, kĩ năng
điểm
Bài toán liên quan: Tiếp tuyến của
đường cong
Phương trình Hệ phương trình
Bất phương trình mũ và logarit
Câu 2.1 (1đ)
1
Phương pháp tọa độ trong không gian Câu 4a.1(1đ) Câu 4a.2 (1đ) 2
BẢNG MÔ TẢ Câu 1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị một hàm số trùng phương
Câu 1.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết tiếp tuyến có hệ số góc k (che dấu bởi quan hệ song song).
Câu 2.1 Giải bất phương trình lôgarit dạng biến đổi về cùng cơ số.
Câu 2.2 Tính tích phân bẳng phương pháp đổi biến số (phát biểu dưới dạng tính diện tích hình phẳng).
Câu 2.3 Ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số tìm điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm trên một
miền cho trước
Câu 3 Tìm thể tích của khối lăng trụ.
Câu 4.a.1 Viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng.
Câu 4.a.2 Viết phương trình mặt phẳng với điều kiện cho trước
Câu 5.a Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với các hệ số thực, tính toán cơ bản.
Câu 4.b.1 Viết phương trình mặt phẳng, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng.
