Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ.. Dạng 1:Đưa về hệ phương trình bình thường.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1 PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA
A B
A B
≥
= ⇔ =
Chú ý: Khi bình phương hai vế của một phương trình thì hai vế của phương trình phải không âm.
Giải các phương trình sau:
1) x2 −4x+6 = x+4 2) x2−2x+4 = 2−x 3) (x− 3) x2 − 4 =x2 − 9 4) 3x2−9x+1=x−2 5) x2 −3x+2−3−x=0 6) 3x2−9x+1= x−2
7) 3x−3 3x−1=5 8) 4− 1−x = 2−x 9) 3 x+1+3 x−1=3 5x
10) 3 x+5+3 x+6=3 2x+11 11) 3 x+1+3 x+2+3 x+3=0 12) x−1− x−2 = x−3 13) x+3− 7−x = 2x−8 14) 5x−1− 3x−2− x−1=0 15) x+2− 3−x = 5−2x
16) y−14− 12−y =0 17) x2 + x+16 + x2 +2x =2 x2 + x+4
18) x2 +3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 19) x+1= x+9−2
20) x2+9− x2 −7 =2 21) 3x2+5x+8− 3x2+5x+1=1
2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Dạng 1: Các phương trình có dạng A.B+ A.B+C= 0
Phương pháp giải:
Đặt t = AB
pt⇔ + + =t t C
Bài 1 Giải các phương trình sau: 7) 5x2 +10x+1=7−x2 −2x
1) (x+1)(x+4)=5 x2 +5x+28) 2) (x−3)2 +3x−22= x2 −3x+7 3) x(x+5)=23 x2 +5x−2−2 4) x2 −4x+2=2 x2 −4x+5 5)−4 (4−x)(2+x) = x2 −2x−12 6) (4+x)(6−x) =x2 −2x−12
Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm?
a) ( 1 + 2x)( 3 −x) = 2x2 − 5x+ 3 +m b) −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−3
Bài 3 Cho phương trình: −x2 +2x+4 (3−x)(x+1) =m−2
a Giải phương trình khi m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
3 x
1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(
3 x
−
+
− + +
a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
Dạng 2: Các phương trình có dạng: m AB n+ ( A+ B)+ =C 0
Đặt t = A+ B t không âm.
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) (QGHN-HVNH’00) + x−x = x+ 1−x
3 2
1 2 b) 2x+3+ x+1=3x+2 2x2 +5x+3- 2
Trang 2c) (AN’01) 7x+7 + 7x−6+2 49x2 +7x−42 =181−14x d) x x 16 6
2
4 x 4
−
− +
=
− + +
2
1 2 2
5
x
x x
x (Đ36) g) (TN- K A, B ‘01) 7
2
1 2 2
3
x
x x x
h) z−1+ z+3+2 (z−1)(z+3) =4−2z i) 3x−2+ x−1=4x−9+2 3x2 −5x+2 (KTQS‘01)
Bài 2 Cho phương trình: 1+x + 8−x − (1+x)(8−x) =a (ĐHKTQD - 1998)
a Giải phương trình khi a = 3 b Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?
Bài 3 Cho phương trình: 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) =m (Đ59)
a Giải phương trình với m = 3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?
Bài 4 Cho phương trình: x+1+ 3−x − (x+1)(3−x) =m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000)
a Giải phương trình khi m = 2 b Tìm để phương trình đã cho có nghiệm
Bài 5 Tìm a để PT sau có nghiệm: 2+x+ 2−x− (2+x)(2−x) =a
Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:
a) Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ)
b) Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm?
Dạng 3: Một số dạng khác.
4 3 1 7 3 1
3
3 1
2 − x+ =− x +x +
4) 10 x3 +8 =3(x2 −x+6) 5) 4 x− x2 −1+ x+ x2−1=2 6) 6 2 122 24 122 =0
−
−
−
−
x x
x x
x
35 1
−
+
x
x
1
3 1
1 1 1
3 1
1
2 2
2 2 2
−
=
−
+
−
⇔
−
−
=
x x
x x x
x x
x x
x
4
2
2
+
= +
x
Dạng 4: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu.
1) (4x−1) x2 +1=2x2 +2x+1 2) 2(1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1 3) x2 +x+12 x+1=36 4) 1+x−2x2 = 4x2 −1− x+1 5) 4 1+x−3=x+3 1−x+ 1−x2 6) sinx+ sinx+ sin 2x+ cosx= 1
x
1 x 3 x
1 1 x
1
x
x+ − − − − − = 8) 43. 4x−x2sin2 x+2y+2cos(x+ y)=13+4cos2(x+ y)
3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
1) x2 +10x+21=3 x+3+2 x+7−6 4) 8) x2 +8x+15=3 x+3+2 x+5−6
2) n (x+1)2 +3n (x−1)2 +2n x2 −1=0 (với n ∈ N; n ≥ 2) 5) x
x
x x
4 2
4 7
2
= +
+
3) x2−x−2−2 x−2+2= x+1 6) (x+2)(2x−1)−3 x+6=4− (x+6)(2x−1)+3 x+2 7) x−2 x−1−(x−1) x+ x2 −x =0 (1) (HVKT QS - 2001)
4 PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC
1 (ĐHSPHN2’00) x(x−1)+ x(x+2) = x2 2 x2 −3x+2+ x2 −4x+3= x2 −5x+4
3 x2−2002x+2001+ x2−2003x+2002 = x2 −2004x+2003 4 2 x(x−1− x(x+2)= x2
5 x(x−1)+ x(x−2) =2 x(x+3) 8) x2 −3x+2+ x2 −4x+3≥2 x2−5x+4 (Đ8)
Trang 36. x(x−1)+ x(x−2) = x(x+3) 9 x2 +3x+2+ x2 +6x+5= 2x2 +9x+7 (BKHN- 2001)
5 PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
1 x2 − x+5− x2 −10x+50 =5 2 x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1=1
3
2
3 1
2 1
5 x+2 x−1− x−2 x−1=2 (HVCNBC’01) 6 x4 −2x2 +1=1−x (Đ24) 8 4 x+2 = x+1+4
7 x− 4x−4 + x+ 4x−4 =2 8 x+15−8 x−1+ x+8−6 x−1 =1
6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
Giải các phương trình sau:
1) x(x−1)+ x(x−2)=2 x(x+3) 2) 2 x(x−1)− x(x+2)= x2 3) 2x+2− 2x−1=x
4)
x x x
x
21 21
21
−
−
+
− +
x x
x
− +
−
−
−
5 7
5 7
3 3
3 3
6) x2− x+2+ x2 − x+3 =2 x2−5x+4 7) x2 −1+ x2 − x−2 = 2x2 +2x+3+ x2 −x+2
8) 3x2−7x+3− x2−2= 3x2 −5x−1− x2−3x+4
9) x2 − 2003x+ 2002 + x2 − 2004x+ 2003 = 2 x2 − 2005x+ 2004
7 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ
Giải các phương trình sau:
1) 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 − 2x−x2 2) 6 18
11 6
15
2
2
+
−
= +
−
+
x x
x x
3) x2 − 6x+ 11 + x2 − 6x+ 13 + 4 x2 − 4x+ 5 = 3 + 2 4) x2−3x+3,5= (x2−2x+2)(x2 −4x+5)
5) 2x2−8x+12 =3−4 3x2−12x+13 6) x2−2x+5+ x−1=2 7) 2( 1−x+ x)=41−x+4 x
8)
x
x x
x x
x
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2
1
−
+ + +
−
= + +
10) x2−2x+3= 2x2−x+ 1+3x−3x2 11) x−2+ 10−x =x2 −12x+52
8 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ
Dạng 1:Đưa về hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại một.
1) 3 2−x =1− x−1 (ĐHTCKTHN - 2001)
2) 3−x+x2 − 2+x−x2 =1
4) 4 5−x+4 x−1= 2
5) x2 − x+3+ x2 − x+6 =3
6) 3 x+34−3 x−3=1 (Đ12)
7) 4 x+4 97−x =5 8) 314+x+312−x=2
9) 3 (x+ 8 ) 2 +3 (x− 8 ) 2 + 3 x2 − 64 = 4 10) x+ 17−x2 +x 17−x2 =9
2
1
2 + =
−x x
Trang 412)31+ x +31− x =2
8
65
3 x2+ = x − +
2
1 x
2
1
3
15) 3 7+tgx+3 2−tgx =3
16)3 24 + x + 12 − x = 6
1 x x 34
x 34 1 x 1 x
x
34
3 3
3 3
= +
−
−
− +
− +
−
x 1 2 x 1 x 1 x
1
19)3 2+x+x2 +3 2−x−x2 =3 4
20) 3 (3x+1)2 +3 (3x−1)2 +3 9x2 −1=1
21)3 (2−x)2 +3 (7+x)2 −3 (2−x)(7+x) =3
22) 2x+ x+1+1+ 2x− x+1=2 x+1+1 23)3 sin2x+3 cos2x =3 4
24)sinx+ 2−sin2x+sinx 2−sin2x=3
2
1 x cos 2
26)4 10+8sin2x−4 8cos2x−1=1 27) 17+x− 17−x =2 (DL Hùng vương- 2001)
29) x2 +x−5+ x2 + x−4 =5
30)
2
1 1 x x 1 x
x2+ + − 2 − + = (Đ142)
31) x3 35−x3(x+3 35−x3)=30
32) x2 + x+8− x2 + x+1=1
33) x2 + x+2−2 x2 +5x−6 =1
34) 4 47− x+4 35+ x =4
Dạng 2:Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai
1) x3 +1=23 2x−1 2) x3 +2=33 x−2 3)(x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4 4) x2−1= x+1 5) −x2+2= 2−x 6) x2+ 5−x =5 7) 5− 5+x =x
28
9 x 4 x
+
−
=
−
11) x2 + 5+x =5 12) x3 −33 x+2 =2 13) x2 + 1+x =1 14) 3+ 3+ x =x
9 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.
1 Các bước:
Tìm tập xác định của phương trình
Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó
Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình
2 Ví dụ Giải phương trình sau: 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3 = 0 (1)
Giải:
Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 3 2x+ 1 + 3 2x+ 2 + 3 2x+ 3
3 , 1 , 2
1
; 0 ) 3 2 (
2 )
2 2 (
2 )
1 2 (
2 )
(
'
+
+ +
+ +
x x
x x
f
∪
∪
∪
2
3 2
3 , 1 1
, 2
1 2
1 ,
Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có: ) 3
2
3 (
; 3 ) 2
1 (− = f − =−
f
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
2
3
− -1
2
1
− +∞
f’(x)
Trang 5F(x) +∞
0 3 -∞ -3
Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1) 3 x+ 2 + 3 x+ 1 = 3 2x2 + 1 + 3 2x2 2) (2 1) 2 (2 1)2 3 3 (2 9 2 3) 0
= + + +
x
Từ bài 2, ta có bài tập 3
3) (2x+1) (2000+ (2x+1)2 +1999)+x(2000+ x2 +1999)=0 4) x+3+ x+19= y+3+ y+19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
m x x
x
x+ 2 +2 6− +2 6− =
4
10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ.
Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + (1 −x2)3 =x 2 − 2x2 (1)
Giải:
Tập xác định: D = [-1; 1] (2)
Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤π (A)
Khi đó phương trình (1) trở thành: cos 3t+ (1 − cos 2t)3 = cost 2 ( 1 − cos 2t) (3)
Với t ∈ (A), ta có: (3)⇔cos3t+sin3t= 2cost.sint⇔(cost+sint)(1−sint.cost) = 2cost.sint(4)
Đặt X = cost + sint (5), X ≤ 2 (B)⇒ X2 = 1 + 2sint.cost ⇒ sint.cost =
2
1
2 −
X
Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:
2
1
2 2
1 1
X
+
−
=
−
−
=
=
⇔
= + +
=
⇔
= + +
−
⇔
1 2
1 2 2 0
1 2 2
2 0
1 2 2 2
2 2
X X X X
X
X X
X X
Ta thấy chỉ có nghiệm X = 2 và X = - 2 + 1 là thoả mãn điều kiện (B)
+ Với X = 2, thay vào (5) ta được:
, 2 4
2 2 4
1 4 sin 2 4 sin 2 2 cos
+
⇔
=
+
⇔
=
Trang 6Vì t ∈ (A) nên ta có t =
4
π
Thay vào (*) ta được: x = cos
4
π
= 2
2 (thoả mãn tập xác định D)
+ Với X = - 2 + 1, thay vào (5) ta được:
2
1 2 4
sin 1 2 4
sin 2 (**) 1 2 cos
+
⇔ +
−
=
+
⇔ +
−
=
t
Khi đó, ta có:
2
1 2 2 2
2 2 3 1 2
1 2 1 4
sin 1 4
cos
2 2
−
±
=
−
−
±
=
−
±
=
+
−
±
=
2
1 2 2 4
+t π
2
1 2 2 sin
cos 2
2 2
1 2 2 4 sin sin 4 cos
.
Từ (**) và (6) suy ra cost =
2
1 2 2 1
− Thay vào (5), ta được x =
2
1 2 2 1
Nhưng chỉ có nghiệm x =
2
1 2 2 1
− thoả mãn tập xác định D.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x =
2
2 và x =
2
1 2 2 1
Bài tập tương tự. 1) 4x3 −3x= 1−x2 (HVQHQT- 2001) 2) x3 + (1 −x2)3 =x 2(1 −x2)
2
x 2 1 2
x 1 x
x 1 2 x 1 x
1 x 1
Một số bài tập tham khảo:
1 Giải các phương trình sau:
7 2
−
−
x x
x
15) 6−x− 1−x = −5−2x
2) 25−x2 =x−1 9) 3x+1− x+4 =1 16) 5x−1− 3x−2− x−1=0 3) 4+2x−x2 =x−2 10) 11−x− x−1=2 17) 1− x4 −x2 = x−1
4) x−1= x2 −1 11) 9+x−7=− 16−x 18) 2− x−5 = 13−x
6) x2 −2x+4 = 6−x 13) x+5− 2x+14 = x−7 20) 312−x +3 4+x =4
7) x2 +5x−4 = x−1 14) −x2 +9x+9− x = 9−x 21) 3 x−1+3 x−2 =3 2x−3
2 Giải các phương trình sau:
1) x2 −6= 2x2 −8x+12+4x 9) 2x2 + (x+1)(2−x) =1+2x
2) (x+5)(2−x)=3 x2 +3x 10) x2 +x+2+ x2 +x+7 = 3x2 +3x+13
3) 5x−8 7x2 −5x+1=7x2 +8 11) (4x−1) x2 +1=2(x2 +x)+1
4) (x+1)(x+4)−3 x2 +5x+2 =6 12) x2 +3x+1=(x+3) x2 +1
5) x+3+ 6−x =3+ (x+3)(6−x) 13) 2(x−1) 2x2 +1=2x2 +2x−2
6) 3+2 x−x2 =3( x+ 1−x) 14) x2 −3x+3+ x2 +3x+6 =3
7) 2x+3+ x+1+16=3x+2 2x2 +5x+3 15) x2 +7+x+ x2 +x+2 = 3x2 +3x+19
Trang 73 Giải các phương trình sau: (ẩn phụ → hệ) 1) x+3= x−3
2) 3−x2 +x+ 3+x2 +x =1 3) x2 +3+ 10−x2 =5 4) 3x2 −2x+15+ 3x2 −2x+8 =7
4 Giải các phương trình sau (Đánh giá) 1) x2 −2x+5+ x−1=2
3) x−3+ 5−x = x2 −8x+18 2) 1−x2 +231−x2 =3 4) 4 x+ x+4 2−x+ 2−x =4
5 Tìm m để phương trình có nghiệm
1) x−1+ 3−x− (x−1)(3−x) =m 2) x+1+ 1−x =a 4) 2 (x+2)(4−x)+x2 =2x−m
6 Tìm m để phương trình có nghiệm
1) 4−x+ x+2 =m 4) x+ 2−x =m 2)4 x+4 2−x =m 5) 1−x2 +231−x2 =m 3) 4 x−1+ x−1+4 3−x+ 3−x =m 6) 4 x+ x+4 2−x+ 2−x =m
7 Giải phương trình, hệ phương trình:
a) 7−x+ x−5= x2 −12x+38 b) 5−2x + 2x−3 =3x2 −12x+14 c)
2004 2004
x
d)
= + +
= +
+
1 1
1 1
y
x
y x
e)
= +
= + + 7
4 1
y x
y x
2
1 2
1 1
x