Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận.. Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. Mặt phẳng S
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Năm học: 2010-2011
Môn: TOÁN- khối A,B
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm)
2 4 ( cos 2 sin 2 cos sin
2 sin
x
x x
x
−
=
−
2 Giải hệ phương trình:
+
= +
= + +
x y x
xy y x
7 3 8 2
6 4 2
2 2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: =∫ −
e
x x
dx I
1 4 ln2
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có diện tích ba mặt bên SAB, SBC, SCA bằng nhau và
SA=SB=SC=a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1,0 điểm) Với a ,,b c là các số dương và
2
3
≤ + +b c
a , chứng minh rằng:
2
17 3 1 1
1
2
2 2
2 2
a
c c
b b a
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn (C) tâm I(1;2) cắt trục hoành
tại A, B, cắt đường thẳng y=3 tại C và D sao cho AB+CD=6
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường
thẳng d có phương trình
−
=
+
−
=
+
=
t z
t y
t x
2
1
Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục Oz sao
cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Câu VII a (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biễn số phức 2z+3-i biết rằng 3z+i2 ≤z.z+9
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(4;0), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x+y-2=0 và x+2y-3=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0 Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz góc 300
Câu VII b (1,0 điểm) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn: 1
3
5 1
=
− +
− +
i z i z
Trang 2-Hết -SỞ GD VÀ ĐT HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT KIẾN AN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
NĂM 2010-2011
Môn: TOÁN-khối A-B
Phần
chung Đáp án
Điểm
Câu I 1.(1 điểm)
*Tập xác định: R\{-2}
*Sự biến thiên
-Chiều biến thiên: 0
) 2 (
4
+
=
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
0,25
-Giới hạn và tiệm cận:
⇒
=
=
+∞
→
−∞
x
x y=3 là tiệm cận ngang của đồ thị
⇒
−∞
= +∞
−
x
xlim2 ; lim2 x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị
0,25
Bảng biến thiên
0,25
*Đồ thị:
x=0⇒y=1
y=0⇒
x=-3 2
f(x)=(3x+2)/(x+2) x=-2 y=3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
0,25
2 (1 điểm)
Gọi ) ( ), 2
2
2 3
;
+
a
a a M
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
2
2 3 ) ( ) 2 (
4
+ +
− +
=
a
a a x a
0,25
Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị 0,25
x y’
y
+∞
-∞
3 3
O
Trang 3(2 điểm) ∆∩d1=A(-2; )
2
2 3 +
−
a
a
, ∆∩d2=B(2a+2;3) Tam giác IAB vuông tại I ⇒AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác IAB ⇒diện tích hình tròn S=π π 8π
) 2 (
64 )
2 ( 4 4
2
2
≥
+ + +
=
a a
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi ( +2) = ( 16+2)2 ⇔ ==−04
2
a
a a
a
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
0,25
Câu II
(2 điểm)
1.(1 điểm)
Phương trình
2
) 2 cos(
1 2 sin 2 cos sin
2 sin
x
x x
=
− +
⇔
π
x x
x x
x
sin 1 sin 2 cos sin
2 sin
⇔
0,25
=
−
−
∈
=
⇔
=
⇔
=
−
−
⇔
0 1 sin 2
cos 2 sin
, 0
sin
0 ) 1 sin 2
cos 2 (sin sin
x x x
Z k k x x
x x x
x
0 1 2
sin 2 sin 2
0 1 ) 2 sin 1 (
2 sin 2 2 sin 0 1 2 cos 2 sin 2 2 sin (*)
3
2 2
=
−
−
⇔
=
−
−
−
⇔
=
−
−
⇔
x x
x x
x x
x x
0,25
Đặt , 1 1
2 sinx =t− ≤t≤
Ta có phương trình: 2t2-t-1=0⇔t=1⇒ x =1⇔x= +k4 ,k∈Z
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=kπ,k∈Z
0,25
2.(1 điểm)
hệ pt tương đương với
+
= +
= + +
x y x
xy y
x
14 6 16 4
6 4 2
2 2
Cộng từng vế của hai phương trình ta được
5x2+y2+4xy-6y-14x+10=0 ⇔(x-1)2+(2x+y-3)2=0
0,5
=
=
⇔
= +
=
⇔
1
1 3
2
1
y
x y
x
x
0.25 Kiểm tra thấy x=y=1 thỏa mãn hệ đã cho ⇒hệ có nghiệm duy nhất x=y=1 0,25
Câu III (1 điểm)
Đặt lnx=t⇒ dt
x
dx = Đổi cận: x=1 ⇒t=0
x=e ⇒t=1
= 1
2
4 t
dt I
0,25
(*)
Trang 4(1 điểm)
Đặt t=2sinu (u∈[
2
; 2
π π
− ]) ⇒dt=2cosudu Đổi cận: t=0 ⇒u=0
t=1 ⇒u=
6 π
=6
0 2 1 sin2
cos 2
π
u
udu I
0,25
∫
0
6
0 cos cos
π π
du u
udu
6
6 0 π
π
=
=u
Câu IV
(1 điểm)
(1 điểm)
Có (SAB)⊥(ABC), (SAB)∩(ABC)=AB
hạ SH⊥AB tại H ⇒SH⊥(ABC) tại H
∆SAH=∆SBH=∆SCH ⇒HA=HB=HC ⇒tam giác ABC vuông tại C
0.25
S∆SAB=S∆SBC=S∆SAC⇒sinASˆB=sinBSˆC=sinCSˆA⇒BSˆC=CSˆA=1800−ASˆB
⇒∆SBC=∆SCA⇒CB=CA⇒ tam giác ABC cân tại C 0,25 Đặt BC=x ⇒ AB=x 2
cócosASˆB=−cosBSˆC áp dụng định lí hàm số cosin vào hai tam giác SAB và SBC ta được
3
2a
x=
0,25
Xét tam giác SAH:
3
2
AH SA
3 9
2
2
1 3
.
a BC BA SH
0,25
Câu V
(1 điểm) +) Với a,b,c,d là các số thực dương bất kỳ, ta có
a2 +c2 + b2 +d2 ≥ (a+b)2 +(c+d)2 (*)
(thật vậy: bình phương hai vế ta được
0 ) (
) (
) )(
(
) )(
( (*)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
≥
−
⇔ +
≥ + +
⇔
+
≥ + +
⇔
bc ad cd
ab d
b c a
cd ab d
b c a
Từ đó suy ra Với a1,a2,a3,b1,b2,b3 là các số thực dương bất kỳ ta có
2 3 2 1
2 3 2 1
3 3
2 3
2 2
2 2
2 1
2
0.25
A
B H
C S
Trang 5dấu bằng xảy ra
3
3 2
2 1
1
b
a b
a b
a = =
⇔
Áp dụng bất dẳng thức trên ta có
2 2
) (
9 )
( 9 ) 1 1 1 ( ) (
abc
abc c
b a c b a
đặt t=3 (abc)2 ,
4
1 3
) ( 0
2
+ +
≤
=
<t abc a b c
0,25
Xét hàm số
t t t
f( )=9 +9 trên (0;
4
1
] 2
9 9 ) ( '
t t
f’(t)=0⇒t=1;t=-1
0,25
∈
∀
≥
⇒
4
1
; 0 ),
4
1 ( ) (t f t f
2
17 3 4
153 =
≥
⇒P
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
2
Phần
riêng
Câu VI a 1 (1 điểm)
Gọi bán kính đường tròn (C) là R
1 2
, 4
AB
AB+CD=6⇔ R2 −4+ R2−1=3
0,25 2
2
2 1)( 4) 7 (R − R − = −R
⇔
−
=
−
−
≤
2
) 7 ( ) 4 )(
1 (
7
R R
R
⇔R2=5
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x-1)2+(y-2)2=5 0,25
2.(1 điểm)
A(1+t;-2+t;-t)∈d, B(0;0;b)∈Oz
)
; 2
; 1 ( t t b t
t b n
AB (P) =0⇔ =2+
AB2=6t2+6t+9
AB đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
1
−
=
t
2
3
=
t f’(t) f(t)
0
-4 1
Trang 6Vậy )
2
3
; 0
; 0 ( ), 2
1
; 2
5
; 2
1
Câu VII a
(1 điểm)
Gọi z=a+bi (với a,b∈R) có điểm biểu diễn là M(a;b)
và z’=2z+3-i=x+yi (với x,y∈R) có điểm biểu diễn là N(x;y)
Ta suy ra ( 1)
2
1 );
3 ( 2
a
0.25
Vì 3z+i2 ≤ z+9⇔(3a)2+(3b+1)2≤a2+b2+9 0,25 Thay a và b theo x, y vào ta được
16
73 ) 4
7 ( ) 3
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm )
4
7
; 3 ( −
I , bán kính
4
73
=
R
0,25
Câu VI b 1 (1 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
1 0
3 2
0 2
=
=
⇔
=
− +
=
− +
y x y
x
y x
⇒A(1;1)
d1: x+y-2=0; d2: x+2y-2=0
Gọi M là trung điểm của BC ⇒IM⊥BC và IM//d1
Phương trình đường thẳng IM: x+y-4=0
0.25
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
) 1
; 5 ( 1
5 0
4
0 3 2
−
⇒
−
=
=
⇔
=
− +
=
− +
M y
x y
x
y x
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với d1 nên có phương trình:x-y-6=0
0,25
Gọi B(5+t;-1+t)
−
=
=
⇔ +
−
=
− + +
⇔
2
2 1
) 4 1 ( ) 1 ( ) 1
t
t t
t
⇒B(7;1) hoặc B(3;-3)
0,25
Với B(7;1), C(3;-3) : phương trình đường thẳng AB là: y=1
Phương trình đường thẳng AC là: 2x+y-3=0
Với B(3;-3), C(7;1): phương trình đường thẳng AC là: y=1
Phương trình đường thẳng AB là: 2x+y-3=0
0,25
2 (1 điểm)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d(1;−2;−3)
gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (α)
d//(α) ⇒n.u d =0⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c
0.25
Sin((α),Oz)=sin300=cos(n,u d)
2
1 2 2
+ +
⇔
c b a c
⇔3c2=a2+b2⇔ 3c2=(2b+3c)2+b2
0,25
⇔5b2+12bc+6c2=0
+
−
=
−
−
=
⇔
c b
c b
5
6 6 5
6 6
0,25
Trang 7với b c a c
5
6 2 3 5
6
6− ⇒ = −
−
= chọn a=3−2 6;b=−6− 6;c=5
⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3−2 6)x−(6+ 6)y+5z+12−3 6=0
5
6 2 3 5
6
6+ ⇒ = +
−
= chọn a=3+2 6;b=−6+ 6;c=5
⇒phương trình mặt phẳng (α) là: ( 3 + 2 6 )x+ ( − 6 + 6 )y+ 5c+ 12 + 3 6 = 0
0,25
Câu VII b
(1 điểm)
Giả sử z=x+yi, (x,y∈R)
giả thiết có x+1+(y−5)i = x+3−(y+1)i 0.25
⇔(x+1)2+(y-5)2=(x+3)2+(y+1)2⇔x+3y=4 0,25
Có 16=(x+3y)2≤10(x2+y2)=10 z 2
5
8 2
≥
⇒ z
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
= +
= 4 3
3
y x
y x
=
=
⇔
5 6 5 2
y x
Vậy số phức cần tìm là z i
5
6 5
2+
=
0,5
