on thi lop 10 phan rut gon

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn sốCách 2: Tìm tập E của x để fx không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là : D=R\E Chú ý: Thông thờng fx cho bởi biểu thức đại số thì: 1... Xác

căn bậc hai - căn bậc ba

Chủ đề 1: căn bậc hai

1.Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai.

Tính chất 1: Bình phơng hay luỹ thừa của mọi số đều không âm (a2 ≥ ∀ ∈ 0, a R)

i Mọi số dơng a>0 có hai CBH là hai số đối nhau

ii Số 0 có CBH duy nhất là 0

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.Nhắc lại giá trị tuyệt đối :

-Giá trị tuyệt đối của biểu thức A đợc xác định nh sau:

A A

x x

−

−

Nếu A ≥ 0 Nếu A< 0

Nếu A ≥ 0 Nếu A< 0

e Tìm giá trị của x để A<0.

Bài 6: Cho biểu thức:

c Tính giá trị của A tại x= - 1

d Tìm giá trị của x để A=0

Bài 7: Phân tích các biểu thức sau thành luỹ thừa bậc hai:

c Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A=B.

d Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× chØ A cã nghÜa, cßn B kh«ng cã nghÜa?

Bµi 5: Cho biÓu thøc :

1 3

x A

x B x

c Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A=B

d Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× chØ A cã nghÜa, cßn B kh«ng cã nghÜa?

Bµi 6: Cho biÓu thøc:

: 1

Bài 8: Cho biểu thức:

Để trục căn thức ở mẫu, ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Phân tích tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa số đó

Cách 2: Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức ở mẫu

−

c ab2 a; ,a b 0

b > d 1 12

a a− ; a≠ 0

Bµi 2: Trôc c¨n thøc ë mÉu:

1 1

e T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A

Bµi 7: Cho biÓu thøc:

Chủ đề 5: rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai.

Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Thực hiện các phép biến đổi đơn giản:

Bài 3: Cho biểu thức :

b Với giá trị nào của p thì D đạt GTNN và tìm GTNN đó

Bài 8: Cho biểu thức:

1

a E

b Nhỏ nhất của biểu thức B b= − 4 b+ 19;

c Lớn nhất của biểu thức C= 14 c c− ;

d Nhỏ nhất của biểu thức D d= − 4 d + 12

Bài 10: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên tơng ứng:

x N x

+

=

−Bài 11: Chứng minh rằng:

− − − b (3 − + 2 1 ) (3 4 + 3 2 1 + )

c 3 − + 64 3 27 − 3 8 d ( ) (3 )3

1 − 3 + + 1 3 Bµi 2: Rót gän c¸c biÓu thøc:

Hàm số y = ax + B Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn số

Cách 2: Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là : D=R\E

Chú ý: Thông thờng f(x) cho bởi biểu thức đại số thì:

1 Với ( ) ( ) ( )

x f

x f x f

2 1

x f

nghia co

x f x f

1

x f

nghia co

x f

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

x y

x y

x y

2

1 2 1

m m

Vậy với m < 1 hoặc m ≥3 thoả mãn điều kiện đề bài.

Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định trên ( )1 ; 3 :

m x m

−

=

2

1 1

3 Tính chất biến thiên của hàm số:

a/ Hàm số đồng biến: Hàm số y = f(x) đồng biến trong khoảng ( )a; b nếu với mọi x1; x2

thuộc khoảng ( )a; b màx1 <x2 thì f( )x1 < f( )x2

b/ Hàm số nghịch biến: Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng ( )a; b nếu với mọi x1; x2

thuộc khoảng ( )a; b màx1 <x2 thì f( )x1 > f( )x2

c/ Các phơng pháp xét sự biến thiên của hàm số:

Phơng pháp: Để xét tính chất biến thiên của hàm số y= f( )x trong ( )a; b , ta lựa chọn một trong hai phơng pháp sau:

Phơng pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Phơng pháp 2: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lấy x1; x2 ∈( )a; b với x1 ≠x2 ta thiết lập tỉ số: ( ) ( )

2 1

2 1

x x

x f x f A

−

−

=Bớc 2: Khi đó: * Nếu A > 0 với mọi x1; x2 ∈( )a; b và x1 ≠x2 thì hàm số đồng biến trong ( )a; b

* Nếu A < 0 với mọi x1; x2 ∈( )a; b và x1 ≠x2 thì hàm số nghịch biến trong ( )a; b Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số:

- Đồng biến nếu a>0

- Nghịch biến nếu a<0

2 Đồ thị hàm số y = a.x + b (a≠ 0).

a/ Đồ thị hàm số y = a.x (a≠ 0)

Đồ thị hàm số y = a.x (a≠ 0) là một đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm A(1;a)

Chú ý: 1 Đồ thị hàm số y = x chính là đờng phân giác của góc phần t thứ I và III

2 Đồ thị hàm số y = -x chính là đờng phân giác của góc phần t thứ II và IV

b/ Đồ thị hàm số y = a.x + b (a≠ 0)

Đồ thị hàm số y=a.x+ b (a≠ 0) là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

Đờng thẳng này:

- Song song với đờng thẳng y = a.x nếu b ≠ 0

- Trùng với đờng thẳng y = a.x nếu b = 0

1/ Ta nên chọn hai điểm có toạ độ chẵn

2/ Thông thờng ta chọn hai điểm A(0;b) và B( ; 0

a

b

− ) theo thứ tự là giao điểm của đồ thị với trục Oy và Ox nếu hai điểm đó không quá xa với gốc toạ độ hoặc toạ độ của nó không quá phức tạp trong tính toán

Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số :

a y = 4x c y = -x + 6

b y = -3x – 3 d y = x + 3

Bài 2: Cho hàm số y = (2a-3)x Hãy xác định a, để :

a Hàm số luôn đồng biến? Nghịch biến?

b Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;3)

c Đồ thị hàm số đi qua điểm .

2

1

; 4

d Đồ thị hàm số là đờng phân giác của góc phần t thứ II, IV

Vẽ đồ thị trong mỗi trờng hợp b) c) d)

Bài 3: Cho hàm số : y = a.x+b

a Xác định a và b biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1

b Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm đợc trong a)

c Tính diện tích tam giác đợc tao bởi đồ thị hàm số trong a) và các trục toạ độ

Bài 4: Cho hàm số : y= a− 1x Hãy xác định a, biết :

a Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3)

b Đồ thị hàm số đi qua điểm ; 8

1 Hệ số góc của đờng thẳng.

Đờng thẳng y = a.x + b có hệ số góc là a và :

• Nếu a > 0 thì α < 90 0

• Nếu a < 0 thì α > 90 0( khi đó α = 180 0 − A ˆ B O )

2 Các vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:

Cho hai đờng thẳng : ( )d1 :y=a1x+b1 ;( )d2 :y=a2x+b2 ta có các kết quả sau:

* (d1 ) ≡ (d2 ) ⇔a1 =a2 và b1 =b2

* (d1 ) //(d2 ) ⇔a1 =a2 và b1 ≠b2

* (d1 ) ∩ (d2 ) ={ }A ⇔a1 ≠a2

*(d1) ⊥ (d2) ⇔a1.a2 = − 1

* (d1) ∩ (d2) trên trục tung(tại tung độ gốc)⇔a1 ≠a2và b1 =b2

Bài 1: Cho hàm số : y=a.x+b

a Xác định hàm số biết đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y= - x

b Vẽ đồ thị hàm số tìm đợc trong a) Tính diện tích tam giác đợc tạo bởi đồ thị hàm số trong a) và các trục toạ độ

Bài 2: Cho hai đờng thẳng: ( )d1 :y= 2x+ 1 ;( )d2 :y=x+ 1

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d) và (d’) cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm I của chúng và vẽ hai đờng thẳng này trên cùng một hệ trục toạ độ

b Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và có hệ số góc bằng -4

c Lập phơng trình đờng thẳng (d’)đi qua I và song song với đờng thẳng 9

2

1 +

= x y

Lu ý: Khi tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng ta thực hiện cách sau.

Với hai đờng thẳng : ( )d1 :y=a1x+b1 ;( )d2 :y=a2x+b2(a1 ≠a2) ta giả sử toạ độ giao điểm I(x0; y0), rồi nhận xét:

1 2 0 2 0 2 1 0

b b x b x a b x a

−

−

=

⇔ +

= +

Thay x vào (1) (hoặc (2)) ta nhận đợc giá trị của 0 y , từ đó suy ra toạ độ điểm I0

Bài 3: Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng

3

4

− và:

a.Đi qua điểm M(1;-1)

b.Chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 54

c Khoảng cách từ O đến (d) bằng

5

3

.Bài 4: Cho họ đờng thẳng (d m) có PT:

( )

3 2

1 3

2

1 :

−

+ +

c (d m) song song với đờng thẳng : x - 2y + 12 = 0

2.Tìm điểm cố định mà họ (d m) đi qua

Bài 5: Cho hàm số: y = (3-m)x + 2m-1(1)

a Với m nào thì (1) là hàm số bậc nhất?

b Với m nào thì (1) là hàm số nghịch biến

c Với m nào thì đồ thị của (1) cắt y = -x + 3 tại một điểm thuộc trục Ox?

2 Tính chất và cách giải PT bậc nhất hai ẩn:

-Mỗi pt bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm Tập hợp các nghiệm của PT đợc biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là một đờng thẳng , gọi là đờng thẳng a.x + b.y = c( mỗi điểm của đ-ờng thẳng a.x + b.y = c biểu diễn một cặp nghiệm (x,y) của PT)

-Nếu a≠ 0 ;b≠ 0thì đờng thẳng đó là đồ thị hàm số bậc nhất:

b

c x b

c.3x-2y=-1 d.x+3y=0

e.6x+0y=-3 f.0x+3y=6

hàm số y = a.x2(a ≠0) Phơng trình bậc hai một ẩn.

Chủ đề 1: Hàm số y = a.x 2 (a≠ 0) Đồ thị hàm số y = a.x 2 (a≠ 0).

1 Hàm số y = a.x 2 (a≠ 0).

a/ TXĐ của hàm số : R

b/ Tính chất biến thiên của hàm số:

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến với x < 0, đồng biến với x > 0 và bằng 0 khi x=0

+ Nếu a < 0 hàm số nghịch biến với x > 0, đồng biến với x < 0 và bằng 0 khi x=0

2 Đồ thị hàm số y = a.x 2 (a≠ 0).

Đồ thị hàm số y = a.x2(a≠ 0) lsà một parabol

- Có đỉnh là gốc toạ độ O(0,0)

- Có trục đối xứng là trục tung Oy

- Nếu a>0 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành và nhận điểm O là điểm “thấp nhất”

- Nếu a<0 thì đồ thị hàm số nằm phía dới trục hoành và nhận điểm O là điểm “cao nhất”

c Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 5

d Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng -4

e Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ gấp đôi hoành độ

c

b

−

x

2 2 1

2 1

∆ +

−

a

b x

2 1

∆

−

−

=HoÆc: ∆ ' =b2 −ac

+∆ ' < 0 PTVN

+∆ ' = 0 PT cã nghiÖm kÐp

a

b x

x

' 2 1

' ' 1

∆ +

−

a

b x

' ' 1

2 1

P =

a

c x

D¹ng 2: §iÒu kiÖn cã nghiÖm cña pt bËc hai

D¹ng 3: NhÈm nghiÖm cña pt bËc hai

D¹ng 4: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

Dạng 5: Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Dạng 7: Xét dấu các nghiệm

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phơng trình thoả mãn điều kiện K

Dạng 1: Giải ph ơng trình bậc hai

Phơng pháp:

- Dùng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai

- Trong trờng hợp đặc biệt:

0 '

0 '

0 '

c Tìm giá trị của m để PT có một nghiệm.

a Tìm giá trị của m để PT có nghiệm

b Tìm giá trị của m để PT có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Cho phơng trình:

0 3 2

b C/m rằng với mọi m PT luôn có nghiệm

Dạng 3: Nhẩm nghiệm của ph ơng trình bậc hai

Phơng pháp:

Để nhẩm nghiệm phơng trình : ax2 +bx+c= 0 Ta thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Thiết lập hệ thức Vi-ét cho các nghiệm x1, x2:

c x

x

b x x

2

1

2 1

.

Bớc 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số : c=m.n

Với mỗi cặp thừa số phân tích đợc ta tính ngay: m+n Khi đó:

+ Nếu m + n = -b chuyển sang bớc 3

+ Nếu m + n ≠-b thực hiện lại bớc 2

Bớc 3: Vậy PT có hai nghiệm x1 =m,x2 =n

L u ý : Có thể sử dụng trờng hợp đặc biệt của PT bậc hai để nhẩm nghiệm

Bài tập: Trình bày cách nhẩm nghiệm các PT sau:

P v u

S v u

1

4

y x

y x

+

6

.

2

y

x

y x

4

12 2 2

y x

y x

= +

6

2 2

y

x

m y x

a Giải hệ PT với m = 26

b Xác định m để hpt vô nghiệm

c Xác định m để hpt có nghiệm duy nhất, xác định nghiệm đó

d Xác định m để hpt có hai nghiệm phân biệt

−

= +

1

5 3 2 2

m xy y

x

m xy y

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1; x2của PT ax2 +bx+c= 0 là biểu thức có giá trị không thay

đổi khi ta hoán vị x1; x2 Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1; x2theo S

2

2

1

2 1

1

P

P S x

a Chứng tỏ PT có hai nghiệm phân biệt

b Tính giá trị của biểu thức:

2 1

1 1

x x

2

2

1 x x

Bài 2: Cho PT : 2 x2 − 2 3 x + 4 = 0

a Chứng tỏ PT có hai nghiệm phân biệt

b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2

2

2 1

1 1

x x

2

2

1 x x

m g x

x

m f x

x

2

1

2 1

a C/mr víi mäi m > 1 PT lu«n lu«n cã nghiÖm

b T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

Bµi 4: Cho c¸c PT :

(m2 + 1)x2 − 2(m2 − 1)x+m= 0

0 3 2

b.T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè

D¹ng 7: XÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai

2/ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu ( )

0

0 '

S P

0 '

S P

Bài 1: Cho PT: x2 − 2x+m= 0

Tìm m để PT có hai nghiệm Khi đó tuỳ theo m hãy chỉ ra dấu các nghiệm của PT

Bài 2: Cho PT: x2 − 2(m+ 1)x−m+ 1 = 0

Xác định m để PT:

a Có hai nghiệm trái dấu

b Có hai nghiêm dơng phân biệt

c Có hai nghiêm âm phân biệt

Bài 3: Cho PT: (m− 1)x2 − 2(m+ 2)x+m− 1 = 0

Xác định m để PT:

a Có một nghiêm

b Có hai nghiêm cùng dấu

c Có hai nghiêm âm phân biệt

2 1

2 1

0 0 0

x x

x x

x x

Bài 5: Cho các PT:

0 2

2 + x+m=

mx

0 1 8

2 − x+ =

mx

0 2

2 − x+m=

x

0 1 4

a Có hai nghiêm âm phân biệt

b Có hai nghiêm dơng phân biệt

Bài 7: Cho PT: x2 − 2(m+ 7)x+m2 − 4 = 0

Xác định m để PT:

a Có hai nghiêm trái dấu

b Có hai nghiêm cùng dấu

Bài 8: Cho PT: (m− 1)x2 + 2mx+m+ 1 = 0

Xác định m để PT:

a Có hai nghiêm âm phân biệt

b Có hai nghiêm đối nhau

Dạng 8: Tìm điều kiện để các nghiệm của ph ơng trình thoả mãn điều kiện KPhơng pháp:

Bớc 1: Tìm điều kiện của m để PT có hai nghiệm x1; x2:

m g x

x

m f x

x

2

1

2 1

2 2

1 +x +x x − x +x + =

Một số bài tập tổng hợp:

Bài 1: Cho PT: x2 − 2(m− 1)x+m2 − 3m+ 4 = 0

a Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt

b Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

c Tìm m để PT có hai nghiệm bằng nhau về trị tuyệt đối

d Tìm m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x1−x2 = 1

Bài 3: Cho PT: (m+ 2)x2 − 2(m− 1)x+m− 2 = 0

a Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

b Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm của PT bằng 3

c Tìm m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x1 −x2 = 2.

Bài 4: Cho PT: x2 −mx+m− 1 = 0

a C/mr phơng trình có nghiệm với mọi m

b Gọi x1; x2là các nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 2

a Tìm m sao cho PT có hai nghiệm dơng phân biệt

b Tìm m sao cho PT có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

3

10 1

2 2

1 + = −

x

x x x

Bài 6: Cho PT: x2 + 2(m− 1)x− 2m+ 6 = 0

a Giải và biện luận PT trên theo m

b Tìm m biếtx1; x2 là hai nghiệm của PT thoả mãn 2

1

2 2

1 + =

x

x x

12 − x x − x +x đạt giá trị nhỏ nhất?

d Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài 7: Cho PT: mx2 + 2(m− 2)x+m− 3 = 0(1)

a Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

c Gọix1; x2 là hai nghiệm của PT Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

d Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

b Tìm m để PT (1) có hai nghiệm phân biệt

c Tìm m để PT (1) có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để PT (1) có hai nghiệm dơng

e Gọi hai nghiệm phân biệt của PT (1) là x1; x2 Hãy xác định m để x1 −x2 =x1 +x2.

f Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Bài 9: Cho PT: x2 − 2(m− 1)x+m− 5 = 0

a Xác định m để PT có một nghiệm x = -1 và tìm nghiệm còn lại

b C/mr PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho PT

Bớc 2: Khử mẫu đa PT về dạng thông thờng

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện cho các nghiệm tìm đợc rồi kết luận

Bài toán: Giải các PT:

1 _ 9

3

1 3

3

2

2 2

Để giải phơng trình : ax3 +bx2 +cx+d = 0 (1) ta thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Đoán nghiệm x0của (1)

=

=

⇔

= + +

−

) 2 ( 0

0

1 1 2

0 1

1

2 0

c x b ax x g

x x c

x b ax x

c Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ q p thì p, q theo thứ tự là ớc của d và a

d Nếu a.c3 = b.d3 (a,d ≠0) thì (1) có nghiệm

b

c

2/ Với các PT có chứa tham số có thể coi tham số là ẩn để thực hiện việc phân tích đa thức

3/ Với các PT chứa tham số thì:

a PT (1) có 3 nghiệm phân biệt khi:  ( ) ≠

>

∆

0

0 0

x g g

b PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi: ( )

x g g

Bài 2: Tìm m để PT sau có ba nghiệm phân biệt có tổng bình phơng bằng 28

(6 1) 3(2 1) 3(1 2 ) 0 2

−

) 2 ( 0 2 1 3 12 2

0 1 0

2 1 3 12

2

m mx

x x f

x m

mx x

0

f f

− +

= +

⇔

=

− +

− +

+

) 2 ( 0 3 2

2

0 1 0

3 2

2

m x m mx

x m

x m mx

Với PT: ax4 +bx2 +c= 0 (1) ta thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Đặt t = x2 với điều kiện t≥ 0

Bớc 2: Khi đó, PT đợc biến đổi về dạng : at2 +bt+c= 0 (2)

Bớc 3: GiảI (2) để tìm nghiệm t, từ đó suy ra nghiệm x cho PT

Chú ý:

1/ Nếu PT (2) có nghiệm t0 ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm x= ± t0

2/ Với các bài toán có chứa tham số thì:

a PT (1) có nghiệm duy nhất <=> (2) có nghiệm t1 ≤0 t= 2

b PT (1) có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) <=> (2) có nghiệm t1 < 0 <t2 ⇔a.c< 0

c PT (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 =t1 <t2

d PT (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 <t1 <t2

e Nếu PT (1) có bốn nghiệm x1 ,x2 ,x3 ,x4 thì: