Các công thức biến đổi căn thức: a.. Các phép biến đổi mẫu thờng gặp: B... Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.. Rút gọn biểu thức A.
Trang 1S ố 9
ôn tập về các phép biến đổi
căn thức bậc hai
A Lí thuyết:
1 Các công thức biến đổi căn thức:
a HĐT đáng nhớ:
2 2
± = ± +
− = + −
± = ± + ±
± = ± m +
b Các phép biến đổi căn thức bậc hai:
A có nghĩa khi A≥ 0
2
2
2
2
2 2
; ;( ; 0)
;( 0; 0)
;( 0)
;( ; 0)
;( 0; 0) 1
;( 0; 0)
;( 0)
A B A B A B
A
B B B
A B
A B
A B
A B
=
= ≥ >
= − < ≥
= >
−
±
−
±
m
m
c Các phép biến đổi mẫu thờng gặp:
B Bài tập:
Bài 1:
1
( 1) ( 1)
− = + −
− = − +
− = − + + + = + − +
− + = −
Trang 2S ố 9
1
a
a
− − ữ + −
a/ rút gọn B
b/ tính giá trị của B khi a= 3+2 2
c/ tính giá trị của B khi a= 4
9 d/ tìm giá trị của a để B < 0
Giải:
a/ ĐKXĐ: a> 0; a≠ 1
( 1)
− − = −
− ữ ữ
b/
3 2 2 1
2
2 1
B
= + = + ⇒ = +
+ −
+
c/ khi a= 4
9
B
−
= = =
a
a
−
⇒ > ⇒ = <
⇔ − < ⇔ <
Vậy B<0 khi 0 < a< 1
Bài 2:
+ +
− ữ − − ữ
a/ tìm ĐKXĐ của C, và rút gọn C
b/ Tính giá trị của C khi x=1
4 c/ Tính giá trị của x khi C= 1
2
−
Giải:
a/ ĐKXĐ: x> 0;x≠ 1;x≠ 4
C=
2 3
x x
+ + − − + − − − +
−
=
b/ khi x= 1
4 thì C=
1 3.
4
−
− −
= = = −
2
Trang 3S ố 9
c/ Khi C= 1
2
− 4 16
⇒ = ⇒ =
Bài 3:
Cho biểu thức D=
x
− −
a/ Rút gọn D
b/ Tính giá trị của D khi x= 2
2 + 3 c/ Tìm giá trị của x thoả mãn D x =6 x− −3 x−4
Giải:
a/ ĐKXĐ: x> 0;x≠ 1
Rút gọn ta đợc: D=( x 1)2
x
+
b/ khi x=
2
4 2 3 ( 3 1)
2 3 (2 3)(2 3)
3 1 3( 3 1) 2
x D
−
⇒ = −
+
⇒ =
c/ D x = 6 x− − 3 x− 4 ĐK:
2
2
4 ( 1)
2 0
4
4 0
x x
x
x
x
≥ +
⇔ + + − + + − =
⇔ − + − =
− =
− =
Các đề thi Vào lớp 10 th ờng gặp
− + ữ +
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính giá trị của P khi x= 4/9
c/ tính giá trị của x để P= 5
4 d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của M= 12 1.
1
x
P x
+
−
Bài 2:
3
Trang 4S ố 9
Cho biểu thức A= x x x−1+1− x x−+11
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn A
b/ tính giá trị của A khi x=9
4 c/ tính giá trị của x để A<1
Bài 3:
Cho biểu thức B 2x 1x x2 1 : x x3
= + ữữ
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn B
b/ tính giá trị của B khi x=4
9 c/ cho x>1 Tính giá trị nhỏ nhất của B
Bài 4:
Cho biểu thức C x x 12 x 2x x2 1 :12x
= − ữữ
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn C
b/ tính giá trị của P khi x= 9
25 c/ tìm x thuộc Z để C có giá trị nguyên
Bài 5:
Cho biểu thức
:
x D
= − ữữ
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn D
b/ tính giá trị của D khi x= 9
25 c/ tìm x để D< 0
d/ tìm tấ cả giá trị của tham số m để phơng trình D x m= − x có nghiệm
Bài 6
Cho biểu thức
:
1
x
= − + ữ + − − ữữ
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn E
b/ tính giá trị của khi x= 9
25
4
Trang 5S ố 9
c/ tính giá trị của x để E= 1
2 d/ tìm x thuộc Z để E có giá trị nguyên
e/ tìm GTNN của E
Bài 7:
Cho biểu thức P= x1−1+ x1+1ữ1+ 1xữ
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ tính giá trị của P khi x= 1
16 c/ Tìm x để
Bài 8: Cho biểu thức P= 1 1
− − −
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ tính giá trị của P khi x= 9
25 c/ Tìm x để P=
d/ Tìm x để P< 1
Bài 9: Cho biểu thức: C= 2 2
1
x
x
−
a/ Nêu điều kiện và rút gọn C
b/ Tính giá trị của C khi x= 9
c/ Tìm GTNN của B= C(x- 1)
Bài 10: Cho biểu thức P= 2 1
1
−
−
− −
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ tính giá trị của P khi x= 9
25 c/ Tìm x để P=
5
P > p
5 3
5 3
P >P
Trang 6S ố 9
d/ Tìm x để :
Bài 11: Cho biểu thức B= x1−3− x1+3ữ: x3−3
a/ nêu điều kiện xác định và rút gọn B
b/ tính giá trị của B khi x=4
9 c/ Tìm x để B> 1/3
d/ Tính giá trị lớn nhất của B
Bài 12: Cho biểu thức P= 2 2 : 3
x
+
− + ữ +
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính giá trị của P khi x= 4/9
c/ Cho x > 1 Tìm GTNN của P
Bài 13: Cho biểu thức P= 3 3 : 1
1
x x
+
− − ữ −
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính x để p= 3
c/ Tìm GTNN của
d/ Tìm m để phơng trình: mP= có nghiệm
Bài 14: Cho biểu thức: C= 2 3 9
9
x
−
−
a/ Nêu điều kiện và rút gọn C
b/ Tính x để
c/ Tìm GTNN của C
Bài 15: Cho biểu thức P= 1 1 . 1
1
+
− ữ −
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính giá trị của P khi x= 16/ 25
6
4
P x
1
1 2
C< −
Trang 7S ố 9
c/ Tìm x để
Bài 16: Cho biểu thức P=
2
:
x
+
− − ữ −
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính x để p >0
Bài 17: Cho biểu thức P= 1 : 1
x
−
− − ữ −
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn P
b/ Tính x để p < 0
c/ Tính P khi x= 9/ 16
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 18: Cho biểu thức C= 1 1
1
x x
−
a/ Nêu điều kiện và rút gọn C
b/ Tính giá trị của C khi x= 1/ 9
c/ Tìm x để C< 0
Bài 19: Cho biểu thức : M =
−
− +
−
−
+
x x
x
x x
x
1
1 1 :
1 a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3 c) Tìm x sao cho M =1/2
Bài 20: Cho biểu thức : P =
−
−
+
−
−
−
−
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x
x x x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
5 3
8
+
−
−
−
+
−
+
1
2 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a) Rút gọn B.
7
P x m= − x
Trang 8S ố 9
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B x = 4/5
− +
−
− +
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 23: Cho biểu thức : A = 1 :
+
+ +
−
−
− +
− +
1
1 1
1 1
2 2
x x
x
x x
x
x x
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 24: Cho biểu thức : P =
−
+
−
− +
+
−
−
−
+
1
2 1
1
1 : 1
1 1
1
x x
x x
x
x x
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
3 4
7 −
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 25: Cho biểu thức : A =
3
.
1
x
x
− + + ữ + ữ
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2
3
2 −
Bài 26: Cho biểu thức : A =
+
+
−
−
− +
1 1
2
x
x x
x x x x
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 27: Cho biểu thức : B =
+
−
−
+ + +
−
2 2 : 1
2 1
1
x
x x x
x x x x
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2 5 c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 28: Cho biểu thức : A =
−
+
− +
− +
+
x x
x x
x
2
1 6
5 3
2
8
Trang 9S ố 9
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
3 2
2
+
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 29: Cho biểu thức : M =
−
+
−
−
+
− +
−
−
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1 c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
Bài 30: Cho biểu thức : A =
−
−
−
−
− +
−
−
− +
2
3 1
: 3
1 3
2
4
x
x x
x x
x
x x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
Bài 31: Cho biểu thức : P =
3 2
3 : 2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x
−
−
+
−
−
−
−
− +
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
Bài 32: Cho biểu thức : M =
+
+
−
+
−
− +
x x
x x
x x
: 1
1 3 1 a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 33: Cho biểu thức : P =
−
+ +
−
+ +
−
−
+
x
x x
x x
x x
x
1
5 2 1
3 : 1 1
1 2 3 a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
5 3
8
−
c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên d) Tìm x để P < -1
Bài 34: Cho biểu thức : B =
−
+
−
+
−
− +
−
−
x x
x x
x x
x
x
2
2 2
3 :
4
2 3 2
3 2 a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 5
c) Tìm x sao cho B.( x – 1 ) = 3 x
9
Trang 10S ố 9
+
−
+
− +
+
−
−
+ + +
1 1
1 :
1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y =
3 1
1 3
+
−
+ + +
−
−
−
− +
+
6 3 2
6 6
3 2
3 2
y x xy
xy y
x xy
y x
a) Rút gọn B.
b) Cho B= ( 10 ).
10
−
+
y y
y
Chứng minh :
10
9
=
y x
Bài 37 : Cho biểu thức :
+
−
−
+ +
−
+
− +
−
+
=
1 2
: 3
2 2
3 6
5
2
x
x x
x x
x x
x
x P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
5
1 ≤−
P
1
1 2 2
1
2
−
− +
+
− + +
−
=
x
x x
x x x
x
x x P
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q= 2 nhận giá trị là số nguyên
Bài 39 : Cho biểu thức :
2
2 2
1 1
1 1
1
−
−
+
− +
−
x x
x x
x P
a) Rút gọn P b) Tìm x để > 2
x P
+
−
− +
−
=
2
2 : 2
4 5 2
1
x
x x
x x
x
x x
P
a) Rút gọn P b)*Tìm m để có x thoả mãn : P=mx x −2mx+1
2 2
x 1 2
1 x x 1
1 x
1
1
−
−
−
+
+
−
1 Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
2 Rút gọn biểu thức A
3 Giải phơng trình theo x khi A = - 2
10
Trang 11S è 9
11