Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô
Trang 1Một số ph ơng pháp giải bài toán chia hết lớp 6
A Đặt vấn đề
I – Lời mở đầu
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng
đổi mới không ngừng Các nhà trờng càng chú trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các
em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác
Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
II -Thực trạng nghiên cứu
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể
đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển t duy Toán học
Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chơng trình lớp 6 cũ
và mới tôi nhận thấy phép chi hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6
B Giải quyết vấn đề
I - Các giảipháp thực hiện
- Trớc tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết,
Trang 2các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết
- Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra một vài phơng pháp thơng dùng để giải các bài toán chia hết:
- Khi học sinh đã nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết
II - Các biện pháp thực hiện
nắm vững định nghĩa phép chia hết,
các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết.
1 Định nghĩa:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a :
b = x
2 Các dấu hiệu chia hết:
a Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số
đó là số chẵn
b Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9):
Một số chia hết cho 3(hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9)
Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3(hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
Trang 3c Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5
d Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25):
Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4(hoặc 25)
e Dấu hiệu chia hết cho 8(hoặc 125):
Một số chia hết cho 8(hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8(hoặc 125)
f Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ
số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11
3 Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số
tự nhiên
+Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m
Trang 4+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n)
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì chia hết cho với n là số tự nhiên
II Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đa ra một vài phơng pháp thơngf dùng để giải các bài toán chia hết:
Ph
ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b( b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n
Giải: Ta có (3n)100 = 31000 n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000 Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81
(3n)1000 chia hết cho 81
Ph
ơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
Trang 5- Để chứng minh a chia hết cho b(b 0) ta biểu diễn số a dới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng
đó đeèu chia hết cho b
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b
Ví dụ 2 : Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170 Hỏi số
đó có chia hết cho 85 không? Vì sao?
Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số
tự nhiên)
Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85
170 chia hết cho 85
(255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng)
Do vậy a chia hết cho 85
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn
chia hết cho 3
Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
= (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng)
Từ bài tập, này giáo viên có thể đa học sinh vào tình huống :
Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Trang 6Qua đó gợi trí tò mò, đa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau:
Ví dụ 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4
hay không ?
Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6)
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên
(4a + 6) không chia hết cho 4
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n
* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1 Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2
Ví dụ 5: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b
là số tự nhiên
Giải:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b
Trang 7Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9.
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (9, 5) = 1
(495a + 1035b) chia hết cho 45
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn
chia hết cho 8
Giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
4n.(n + 1) chia hết cho 8
2n.(2n + 2) chia hết cho 8
Ph
ơng pháp 3: Dùng định lý về chia có d.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia
n cho p
Ví dụ: Chứng minh rằng:
a Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3
b Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4
Giải:
a Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2)
Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số
d 0; 1; 2
Trang 8- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3
- Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên)
n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3
n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3
- Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên)
n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3
n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3
Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n
III Khi học sinh đã nắm vững các phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, đợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết.
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số chia hết cho 36
Giải: Vì (4, 9) = 1 nên chia hết cho 36 chia hết cho
9 và chia hết cho 4
Ta có: chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9 (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y 9 Nên x + y thuộc
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại )
Trang 9Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có ba
chữ số tạo bởi ba số trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211
Giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là:
T ổng của các số đó là:
+ 100b + a
= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n +
2)
Giải:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4
Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2)
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ớc của 4
(n +2)
n
Vậy với n 0; 2 thì (5n + 14) chia hết cho (n +2)
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên
Giải: Để là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3)
[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)
Trang 1012 chia hết cho (n +3)
(n + 3) là Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12
n 0; 1; 3; 9
Vậy với n 0; 1; 3; 9thì là số tự nhiên
Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào
để đợc số chia hết cho 5; 7; 9
Giải:
Giả sử ba số viết thêm là
Mặt khác: = 579000 + = (315.1838 + 30 + ) chia hết cho 315
Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + ) chia hết cho 315 30 +
(315)
Do 100 999 130 30 + 1029
30 + 315; 630; 945
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915
C Kết luận
I / Kết quả:
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, bản thân thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số
tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ
động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng
đợc các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết giải đợc các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban
Trang 11đầu là không có quy tắc giải tổng quát Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy đợc dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này
II / Bài học kinh nghiệm:
Phần " Phép chia hết trong " ở lớp 6 là một nội dung quan
trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều Do vậy, trớc hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết đặc biệt
là tính chất của quan hệ chia hết bởi vì tính chất này rất hay sử dụng
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh vì
đây là học sinh đầu cấp
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hớng giải quyết nào đó
để khi gặp bài tơng tự, học sinh có thể tự liên hệ đợc
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút
ra khi dạy phần phép chia hết trong N Trong quá trình giảng dạy chắc chắn cha thể hoàn hảo đợc Rất mong nhận đợc sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới đợc tốt hơn,
đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nớc nhà
Ngày 15 tháng 3 năm2011
Ngời
viết
Trần Thị Chản
Kớnh chào quý thầy cụ và cỏc bạn
Trang 12Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp nhất Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên hướng làm kinh doanh
Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh Tuy nhiên,
có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp Nếu không phải môn học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu của thầy cô Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?
Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn Ngữ Văn vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền lương mỗi tháng thu về sẽ được bao nhiêu Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương
Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng tương đối nhiều Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy
cô và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm rất nhiều lĩnh vực khác Vậy tại sao chúng
ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng
Điều này là có thể? Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó Tất nhiên mọi thứ đều
có giá của nó Để quý thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi
ở thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút Vậy thực chất của việc này là việc gì và làm như thế nào? Quý thầy cô và các bạn hãy đọc bài viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc ngay thôi
Thầy cô chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn là có Tuy nhiên trên internet hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín
( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao ) Nếu là web nước ngoài thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những web trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng ta hãy nhận những gì tương xứng với công lao của chúng ta, đó là sự thật
Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là : http://satavina.com Lúc đầu bản thân tôi cũng thấy không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này Nhưng giờ tôi đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn
cứ tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng cách nạp thẻ điện thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là
vớ vẩn, chẳng ai tự nhiên mang tiền cho mình Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu, chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ
Khi chúng ta đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm việc cho họ
Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây Thầy cô và các bạn làm như này nhé:
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:
Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh