Bài tập giới hạn có lời giải

Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau:I  lim tan x  xx0 x  sin xGiải bài 1: Thấy khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0 .0Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1lim tan x  x  lim cos2 x 11 cosx1 cosx1 cosx2 lim lim 2  x0 x  sin x x0 1  cosx x0 1  cosxcos2 x x0 cos2 x1 Bài 2: Tính giới hạn sau đây:1ex 1I  limx1xGiải bài 2:Khi x   thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0 .0Áp dụng quy tắc L’Hospital1 I  lim 1ex 1  1 exlim x e  1  x1x1xx2Bài 3: Tính giới hạn sau đây:I  lim ln xx0 1xGiải bài 3:Khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là  .Áp dụng quy tắc L’Hospital1

Bài: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3.1 Các định nghĩa

Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận điểm x 0 , không nhất thiết phải xác định tại x 0

Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {xn } trong lân cận của

Kí hiệu: hay f(x) ® L khi x ® x 0

Định nghĩa 2: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x ® x0 nếu với mọi cho trước (bé tùy ý) tồn tại số dương sao cho với mọi x thỏa:

Định nghĩa 4: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x ® nếu với mọi (bé tùy ý) tồn tại

Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các tính chất sau:

1 Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

2 Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x ® x 0 và L > a (hay L < a) thì trong một lân cận nào đó của x 0 (không kể x 0 ) ta có f(x) > a (hay f(x) < a).

3 Nếu f(x) £ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x 0 và

7 Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tùy ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x ® +

2 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H

8 Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x ® -

10 Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x®x 0 thì các hàm [f(x) ± g(x)], f(x).g(x),

cũng có giới hạn và ta có:

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).

lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).

11 Xét hàm hợp f(u) và u = u(x), khi đó ta có:

Nếu , f(u) xác định trong một lân cận của u 0 và

hay

Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định như : , , , sau đây là một vài ví dụ minh họa.

Ví du 3:

Giải:

1)

2)

3)

4 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H

4)

5) =

6) = =

7)

Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau: I = lim tan x − x x → 0 x − sin x Giải bài 1: Thấy khi x  0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0 0 Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1 lim tan x − x = lim cos2 x −1 ( 1 − cosx )( 1 + cosx ) 1 + cosx 2

= lim = lim = = 2 

x → 0 x − sin

x

x → 0 1 − cosx

x →

0 (1 − cos x)cos2

x x0→ cos2 x 1

Bài 2: Tính giới hạn sau đây:

1

ex −1

I = lim

x →+∞ 1

x

Giải bài 2:

Khi x  +∞ thì giới hạn đã cho có dạng bất định là 0

0

Áp dụng quy tắc L’Hospital

1

I =

lim

1

ex −1

=

1

ex lim x = e = 1 

5 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H

2

x (lna)2

Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x

xcosx – sinx không thay được VCB tương đương vì x – x = 0x

I = 2lim x → 0 xcos x  − sin x  = 2lim cos x − xsin x − cos x  = 2lim  −xsin x 

Bài 8: Tính giới hạn sau đây:

2

x →+∞

+ x

) =+∞ nên ta tiến hành thay

VCLtương đương được

Khi x → +∞ ta tiến hành lượt bỏ các VCL có bậc thấp hơn, chỉ chọn những VCL có bậc cao nhất của cả tử và mẫu

nên ta thay được các VCB tương đương.

Khi x  0, ta tiến hành thay các VCB tương đương:

(ex−1 −1) ~ ex−1 −1 ~ x −1

x →+∞

+ x

) =+∞ nên thay VCL tương

đươngđược

Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có bậc < 1 sẽ bị giản lược

đi bớt Như vậy, ta có:

đương được mà chỉ có thể tính bằng các giới hạn cơ bản hoặc thay bằng VCB tương đương bằng cách biến đổi biểu thức.

3





Có = x 2 Như vậy 3x + ln3x có bậc cao nhất là 1 bé hơn bậc của xlnx đã bị loại Trong

3x

khi có bậc là 1/2 < 1 nên cũng bị loại

Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x):

Nhận định đầu tiên là giữa 2x và x2 thì ta thấy 2x là VCL có bậc cao hơn vì 2x tiến ra vô cùng

nhanh hơn x2

Xét x2 + sin4x ~ x2 (do hàm sinx là hàm bị chặn)

Nên 2x là VCL có bậc cao hơn x2 + sin4x

Tương tự, ta thấy xlnx tiến ra vô cùng chậm hơn 2x, như vậy:



2

Bài 21: Tính giới hạn sau đây:

1

I = lim 1+ 2x4 sin2 x

 

x

ln 1+x 

e



 lim ln

1+e

−tan2 x −cos2 x −sin2 x 1Tính I2 = lim

sin2 2x = lim4sin2 xcos2 x= lim4sin2 xcos4 x=−4Như vậy, x → 0 x → 0 x → 0

x → 0 x

x →+∞

x

