Bài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhất

Bài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhấtBài tập xác xuất thống kê có lời giải mới nhất

lei.;];)Hop Ihu nh4t eo 2 bi trang vii lObi den; h¢p thu hai eo 8 bi

tr~rig va4 bi den.tir m6i hQP Illy ng~u nhien ra Ibi Tinh xac suat ca

2 bi I~y ra Iii: a) d~u trAng; b) d~u den; c) I trAng I den?

Giiii

a)GOi A Iii bi~n e6 I~y dU'Q'e2bi trAng:

P(A) =_2x_8=-x-=-=_

b) GOi B la bi~n e6 lAydl1qe2 bi den:

P(B)=-x-=-x-=_=_

c) Goi C Iii bi~n e6 lAyduoc I bi tring I bi den:

P(C)=

- x-+-!::x-=-x- +-x- =_+-'-=_ =_

~!)p thunh~t co 2 bi trAng va lObi den; hQp thu hai co 8 bi

trAn-gvii 4 bi den.tu m6i hQp liy ngdu nhien ra I bi Tinh xac suAt ca

2bi liy ra Iii:a) I tring I den; b) nhi~u nhAt m9t bi trang?

Giai a) GOiAIIIbi~n e6 liy duoc I bi Iring I bi den:

P(A)=

C~'2 Cl11 C;'2 C;'2 12 12 12 12 144 144 144 18

b} Goi B la bi~n c6 I~y dU"),cnhi~u nhit I bi Iring:

Cach I: PIB} = I -P(B) =1- - =

Cach 2: -fu~'41~, Coo!.

Goi BIiibi~n co I§ydl1qc nhifu nh~t I bi tring

Goi C Iiibi~nc6liy du9'CIbi trAng

Goi 0 IIIbi~n c6 liy kh6ng .duQ'cbi tring

Ta co: B=C + O.DoC, 0 hibi~n e6 xung khic

Do do: P(C) = PtA}

"'-144

cio c~ 10 4 40

-x-=-CI') Ci2 12 12 144

V~y: P(B) = P(C)+P(O) = - + - = - = - /'

144 144 144 9

-&) Ba x~thu bin VelOmQI m\le tieu Xac suit trung m\le lieu eua

~~ thu nh~t Iii 0,75; eua X~thu thu hai hi 0,8; euaX~thu thu ba Iii

0,9. Tinh xac suit dS:a)ea3x~ thu d€u bin trung m\lC tieu; b) c6 il

nhAt mQt x~ thu bin trung m\le tieu; e) e6 it nhit mQt x~ thu bin

kh6ng trung m\le tieu?

Giai a)Goi AI Iii bi~n e6 x~ thu thu I bAntrung m\lClieu

Goi A2 la bi~n c6 x~ thu thu2 bin trung m\1clieu

Goi AJ Iii bi~nc6x~ thu thuba bin trung m\lCtieu

A,ia be x~ thuthui bin trung m\lC tieu (i= I, 2, 3).

Ta co: A=AIA1A, Do A"A2,AJ Iii bi~n e6 dQCI~p

00 do: PtA)=P(AIA2 A J) =P(AI).P(A2).P(AJ)

=0,75x 0,8xO,9 = 0,54

b) Cach I:

Goi Bla bi~n c6 c6 it nhc1t Ix~thu ban trung m\1etieu

Goi C la bi~n c6 co 1x~thu bin trung ml,lCtieu

GQi 0 Iii bi~n c6 co 2x~thu bAntrung m\lC lieu

G9i E hi bi~ncdco3x~ thli bAntrung m\lC tieu

Taco:B=C + 0 + E.Do C.0, EIii bi~n c6XKTD PCB) = p(e + 0 + E)=P(C) + prO) + prE)

+ P(C)=?

Ta co: C =A,.A2 A3+ A, A2.Ad A, A2 A)

-P(C)=P(AI·A2 Ad AI A2·AJ + AI .Ai AJ)

=P(A,.A2 A3) + p(AI A2.AJ) + p(AI A2 A3)

=P(AI ).P(A2)·P(A3) + peAl )P(A 2 )P(~) + peAl )P(A2 )P(A)

=Q7~Q2xQl+Q,27x0,8xQl +Q2~Q2xQ9=QO 151-0.02+0.045=0.0

-t- prO)=?

-P(O) =peAl A2 A3+ AI.A, A3 + AI.A 2' A.,)

=p(AI )P(A 2 )P(A1) +P(AI )P(A2)P(A» +P(AI )P(A) )P(A,)

=Q2S<Q8xQ9+Q7S<Q2xQ9+Q7S<Q8xQI=QI8t-UI35t-U06=:U375 + prE) '" ?

Ta co:prE) =PtA) ".0,54 V;iy: P(B)= P(C)+ P(O)+P(E)=O.08-0.375"'O.5~ = 0.995

@_]_:

Goi B Iiibi~n c6 co it nh~t I Xl;!thu bAntrung ml,lClieu

_ I"

=>BIi; bi~nc6ca3 xathu d~u b~n khang trung mllCtie~ =-) 0 " l'J : (Jr,

=>P(B)=I-P(B)=I-P(AIA:A,I <;: -::)(:H0 ~S2

'" 1._p(AI ).p(A2 ).p(k) ~I - 0,25x 0.2xG»."')jV\\J'~ ):r~

=1- 0005 = 0,995 / \"'')\)\f)\I~l!)~

C)each I: \.(:0)P!I).'" -

GQiF 1<\bc co it I IXIIthu bAn kh6ng trung ITI\lCliell

G9i GIiibi~n c6 c61x~ thti bAn kh6ng trung m\lC tieu

Goi H Iii bi~n e6 e6 2Xl;!thu ban kh6ng trllng m\le lieu, GQi1111bi~n e6 e63 Xl;!thu bAn kh6ng trllOg m\le lieu

Taeo:F'" G+ H + l 00 G,H,I Iii bi~nc6XKTD.

=> P(F) =peG+ H -+-I)=P(G)+ (PH) + P(I)

• P(G) '" ? Taco: peG}=P(D)=0,375

• P(H)=? Tac6:P(H) ~ P(C) :0,08

• P(I}=? P(I)=p(AI A2 A3)=p(AI).p(Ac).p(A)

= 0,25x0,2x0,1 = 0,005 V~y: P(F) = P(G) + P(H) +P(I) =0,375+0.08 ~ 0,005=0.46 Caeh 2:

G9i FIii bc eo it I IXIIthu b~n kh6ng trung l11\1etieu

=> j: Iii bi~n c6 co ccl3X~thli b~n trung m\le tieu

Ta co: P (F) =PtA)

V~y: P(F) =1-peA)

=I-0,54 =0,46

, , IJ

Cau 4: Trong I hOp e6 I00 t~m the du'Q'cdanh s6 tir I den 100.RUI

ngdu nhien 2 the r6i d~t theo thu' t\f Tinh xac suAt de: a) 2 the I~p thllnh S6 c6 2 chu- 56: b) 2 the I~p thllnh s6chia h~l eho 5:2 the I~p

thimh s6ehia h~t eho2?

2.

a) GQi A Iii bi~n cd 2 ther'l?p thanh 56 co 2 che 56:

( )-;- A~oo - 99xl00 - 9.900 - ,l:K

b) G9i BIii bi~n cd 2 the I~pthanh s6 chi~ h~tcho5:

P(B) = A~o~A~o=80x20 =~

c) G9i C Iii bi~n c6 2 the I~p thanh s6 chia h~t cho 2:

=-A100 99x 100 99

Cau 5: Trong I h¢p co chira 7 bi trAng va 3 bi den LAy ngAu nhien

cung luc 4bi Tim xacsuit d~ trong4bi liy ra: a) co 2 bi den; b)it

nhit 2 bi den; c) it nhit 2 bi tring?

Giili a) GQiA Iii bi~c c6 4bi liy ra co 2 bi den:

P(A)= cJ2x ci = 3x21 = 63 =3/10

b) GQi B hi bi~n c6 4 bi liy ra co it nhit 2 bi den

G9i C hi bi~n c6 liy dugc 2 bi den(2D,2T)

Gc;>iD Iii bi~n c6 liy dugc 3bi den(3D, IT)

Ta co: B =C + D Do C,D la bi~n c6 xung khAc

M~t khae: C = A => peA) = P(C) = 63/210

<=> PCB) peA + D)

63 cixc~ 63 7 70

C) Gc;>iEIii bi~n cd 4 bi 16yra c6 it nh~t2bi trAng

G9i FIii bi~n cd liy dU'C;>,c2 bi tring (2T, 2D)

Gc;>iG Iii bi~n c6 liy dU'qc 3 bi trAng (3T, I D)

Gc;>iHIii bi~n c6 liy dU'qc 4 bi trAng (4T)

Ta co: E= F + G + H Do F, G, HIii bi~n e6 XKTD

M~tkhk do F = A => P(F) = peA) = 63/210

<=> peE) = P(F +G+H) = P(F)+peG)+P(H)

peA)

Ciiu 6: M9t h<)pthu6c chua 5 6ng thu6e t6t va 3 6ng thu6e kem chit

IU'<;mg.Ch(,ln ngdu nhien I~n lUq! (khong hoiln I~i) tiI hQp ra 2 6ng

thu6e Tim xac suit d~: a) eli 2 6ng thu6c ehc;>ndU'gc d~u t6t; b) it I co

I 6ng thu6e t6t?

Giai a) Gc;>iA Iii b 2 6ng thu6c ehc;>ndU'qe d~u t6t:

P(A)=_5X_4

=-x-=-Cl8 CI7 8 7 14

b) Gc;>iBla bc chQn duQ'c it nhit 1 6ng thu6e t6t:

Gc;>iC Iii bc ehQn duQ'c I6ng thu6c t6t

Gc;>iD Iii be eh9n duQ'c26ng thu6c t6t

Ta co:8 = C + D Do C, D xung khAe

Dodo PCB)= P(C + D) = P(C) = P(D)

Cl CI Cl Cl Cl Cl

PCB)=_5X_4 +_5 x-2.+_J x_5

Cl8 Cl7 Cl8 Cl7 C8l Cl7

P(D)

Cach 2:G9i B la be chon ducc it nh~t I 6ng thu6c t6t

BIii bechon duoc kh6ng 6ng Ihu6c 161

Ta co: PCB) = I· P(B)= I • _.1X J_

Cl8 Cl7

= I 6/56 = 50/56

Cau 7:,M¢I 16 hang C? 100 SP chua 5% ph~ pham. Ki~mtra ngi nh_ienIan lu~ 6san ~ham trong 16 hang (truonghop khonghoiln I~i' Neu co it nhat I phe pharn thi kh6ng mua 16 hang, tinh xac suit ~ hang decc mua?

Giai Goi A Iii bi~n e6 16hang dircc mU3 GQi A,Ia be SP ki~m tra I~n thir ilitt6t (i=1,2,3,4,5,6)

Ta co: A=A, A2A) A4A5A6

=>P(A)=P(A, AJ AJ A A5A6)=P(A1).P(A21 A,).P(A 1 1A, A2).P(A.iAI•

A 2 A).P(Asi AI A2.AJ.A4).P(AJ A,.A2.A1.A45)

Cau 8: M<)I t6 12 sinh vien g6m 3niI va 9 nam Chia 10 nily ra.3 nhom b~ng nhau m9t each nh~u nhien, dnh xac su~t de trong m~ nhom a~u co nfr

Giili G9i A Iii bi~n c6 trong m6i nhom d~u c6 nii

P(A) =C~~cg = 3x84 = 252 = 84 = 28

Cau 9: MQI lOp hQc c.o 4 bong den, moi bong co xac Sll~t bi, cha}£; 0,25 Lap hQc du as nell co it I 3 bong den sang Tinh xac suat deIflr

hQc khong au anh sang

Giai

Ap dJ,mgeong thuc Bernoulli Pn(K)=C,~.pK 4"-K GQi A lalaph9c kh6ng auanh sang

G9i K Iii 56 bong den sang

Ta co: peA)=p (K ~ 2)

= P.(K= 2) -+ P.(K = I) ~ P.(K = 0)=

c; x(0,75)2X(0,25)2 +c~ X(0.75)1 x(0,25)'+C;x(0.75)0X(0.25)4

=0,5625 +0,047 +0,004 ~ 0,631

Cau I: M¢t ki~n hilng co 5 SP t6t vii3SP x6u Chc;>nngau nhient.l

Ki~n hilng do ra 2 san ph§m (ch9n I I~n)

a) L~p bang phdn ph6i xac 5U~teua 56SPt61 eh9n dllgc:

b)Tinh kyvQng, phuong sai ctia 56 san ph~m 16t;

c) Tim ham phan ph6iX3C Sll§1etia 56 san ph~m t6l

Giai GQi X Iii s6 san pham t61 ch9n aLIqc.

X co th~ nh?n cae gia tri tiI : 0, I, 2.

P(X =0)= _.

=-C28 28

CIXCI 5x3 15

C2 10

Ci 28

V~y bang phin phdi X8e su§t ella X la:

X

n

b) Theo cong thuc ta co: E(X)=IX, P, =X1PI +X 2 P2 +XJPJ

1=1

=0x2.+ IxJ2.+2xJ!= ~ + ~ = ~ :::2 ::: 1,25

V~y: E(X) =1,25

Phuong sai Var(X) =?

Theocongthuctaco: Var(X) =E(X2)- [E(X)Y

3 VOi E(X2)=IX,2P, =XI2PI + xiP2 + xiPJ

/=1

=02x_2_+12x.!2.+22x.! Q =.!2.+ 40=55=1,96

V~y Var(X) =E(X")- [E(X)Y =1,96 - (1,25)2

=1,96 - 1,56 = 0,3975 = 0,4

c) Hamphan ph6i X8CSU~Icodang:

F(x) =p(X(x)

3

=-28

F(x) ::: p(X :::0)+p(X =I)

F(x)::: I

N~ux < 0:5 I

N~uI < x:5 2

N~u2 <x

3

-'O<x:51

28'

V~y ham phan phdi X3Csu~t la:F(x) :::

18

-'I<x:52

28'

1;2<x

Cau 2: H<)p I co 3 bi Tva 2 bi D, h<)pII co 2 bi Tva 4 biE>ChQn

ng&unhien tirh<)pIra 2bi (chQn I IAn)vatirh<)pIIra Ibi

a) L~p bang PP x8e sUl1t ella s6 bi trAng eh9n duqe;

b) TinhkyvQng, phlIcmg sai ella 56 bi lrAng chc;mdugc;

c) Tim ham PP x8e sudt ella 56 bi trang eh9n dLIqC

Giai a) G9i X hi 56 bi trAng ehQn duqc

X co th~ nh~n giatrj tl1: 0, I, 2 , 3

C22 Cl4 I X 4 4

5

C~.c~ c~ e22 C~ 24 2 26

CJ C~ C~xc~ C~ 12 12 24

C2J Cl2 3 X 2 6

P (X=3)= - x - = - - = _

phan h6i xac su~t cua X IIi:

b) Timkyvong:E(X)= ?

"

Theo cong thirc ta co: E (X) = LX, p,

/=1

=0 x 4/60+ Ix 26/60+ 2x 24/60+ 3x60=23/15 =1,53 Tim phuong sai: Var(X) = ?

Theo cong thirc, ta co:

Var(X) = E(X2) - [E(X)r

4

Vai:E(X") = Ix,"P,

1=1

=0 X - +I· X - +2 X - +3 X - = - = -'

V~y Var(X) = E(X1)-[E(X)Y

= 2,93 - (1,53i = 0,5891 c) Hamphan ph6ixacsu~t ella X codang:

F(x)=p(X <x)

4

rex) =p(X =0)

=-60

f(x) =p(X =0)+p(X = I)

f(x) = p(X =0) +p(X = I).,.P(X =2)

N~ux < 0:5 I N~u1<x S2

N~u2<x ~ 3

V~y ham phan ph6i xac su~t ellaXla:

4

-'0<x:51

60'

30

F(x) = -'1 <xS 2

60 '

54 '2 < x S3

60 '

1;3 < x

Cau 3: M<)!co quan co 3 xe616:1 xe 4 ch6; I xe 50 ch6 va Ixe tal,

Xac su~t d~ trong m<)t ngay lam vi~c, cae xe duqc SD la 0.8; 0.4\t.I.

0.9 Hay I~p lu~t phiin ph6i xac su~t cho s6 xe dlIQ'Csudung trong

m¢tngay cuaco quan

a) L~pbang phan ph5i xac su~t cho s6 xe dlIQ'CSlrdungtrong m¢t

ngay cua coquan;

b) Tinh ky vong, phirong sai cho xe dllQ'c SD trong 1 ngay cua co

quan;

c) Tim ham phan ph6i xac su§t cho s6 xe dlIQ'Csudung trong m¢t

ngay cua co quan

Giai a) GQi X la 55 xe Slldungtrong J ngaycuaco quan

X eo th~ nh*" cac gia tri:0, I,2, 3

P(X = 0) =0, 2 x 0,6 x 0, 1= 0, 012

=0, 048+0,008 +0, 108=0,164

=0,032+0,432+0,072 = 0,536

P(X= 3)~0,8xO,4xO, 9 = 0,288

V~y bang phiin ph6i xac sdt cua X la:

b)Tim ky vong:E(X)=?

n

Theo cong thuc ta eo: E(X) = Lx, P,

1:1

= X1P1+X2P2 + XlP) + X4P4 = 0 x 0,012 + 1 x 0,164 + 2 x 0,536

Tim phU'ong sai: Var(X) =?

Theo cong thUc, ta eo:

Var(X)= E(X2)-[E(x)t

4 V6i: E(X') =Lx,2 P, = X,2 p., + X; P2 +xiP 1 +xlP 4

I:'

=0,164+2,144+2,592 =4,9

V~y Var(X) = E(X2) - [E(X) r= 4,9 - (2, 1)2= 0,49

c) Ham phiin ph6i xac su§t cua X eo d~ng:

F(x) =p(X < x)

N~u I<x $ 2 F(x) =p(X = 0) + p(X =I)=0,176

N~u2<x $3F(x) = p(X =0) +p(X = I)+pex = 2)

= 0,712

V~y ham phiin ph6i xac su~t ella X la:

O;x$O

0,012;0 < x $ I

F(x) = 0,176;1 <x :5 2

0,712;2 <x $ 3

1;3 < x

Ciiu.4: M<)!ngu'oi va.o clla hang th~y co5chi~c tivi gi6ng nhau Anh

ta de nghi dlIQ'Cthuhin 11lQ'ltimg chi~c d~n khi chQn dllQ'ctivi t5t thi

m~a va n~ucci5 Idn thu d~u x~u thi khang mua GQi X leis6 I~n thu

Biet eae tivi dQeI~pv6i nhau va xac suAt I tivi xAu la 0,3

a) qp bang ph an ph5i xae 5U~tclla X;

b) TinhkyvQng, phll'ong 5ai ella X;

c) Tim ham phdn phdi XBCsudt cua X

Gicii

a) GQi X la 56 IAnthu C.X co the nhan cac gia trj: 1,2,3,4,5.

P(X = I) = I - 0,3 = 0,7 P(X=2)= 0, 3 x 0, 7 = 0,21

P(X= 3)=(0,3)2 xO, 7=0,063 P(X= 4)=(0,3)3 xO, 7=0,0189

P(X =5)=(0, 3)4X0, 7+(0, 3)5= 0,0081 V~y bang phiin ph6i xac sdt cua X la:

P 0,7 0,21 0,063 0,0189 0,0081

b)Tim kyvong E(X) =?

n

Theo cong thuc ta co: E(X) = I x,PI = X,P, + X,P, + X,1Pd

1:1

X4P4 =Ix 0,7+ 2 x 0,21+3 x 0,063+4 x 0,0189+5 x 0,0081 = 1.425; Tim phuong sai: Var(X) =?

0,288 Theo cong thuc, ta co:Var(X) = E(X2) - [E(X)]2

5 Vai: E(X)2 = LX,P, = X'IP,+ X',P,+ X',p, X~'Pj+ X',P,:

I:'

/x 0,7+ix0,21T fx 0,063+ 42x 0,0189+ 5"x 0,0081 = 2,6119 V~yVar(X)= E(X2)-[E(X)r=2,6119-(I,4251)~= 0.58 e) Ham phiin ph6i xac 5U~teua X co d~ng:F(:.:) -= P(X< x)

N~u x::; I f(x) = °

N~u I<x $2 F(x) = p(X =I)=0.7 N~u2<x:53 F(x)=p(X=I)+p(X=2)=0.91

N~u3<x:5 4 F(x) =p(X =I)+p(X =2)+P(X ~J)

= 0,973

F(x) =p(X =I)+p(X =2)+P(X-= 3)-N~u4<x $5

P(X=4) = 0,9919

V~y ham phan ph6i xac 5u~t cua XIii:

o;x $1

0,7;1 <x :52

0,91;2<x$3

0,973;3 <x:5 4

0,9919;4 <x::; 5

1:5 < x

Cliu 5: M9t x~ thu co 4 vien d~n, anh ta bdn IAn11IQ1tung vien chI d~n khi trUng m\le m\lC tieu ho~c h~t ca 4 vien d~n thi thai Xac sua ban trung m\le lieu cua m6i vien d~n la 0,7

a) L~p bang phdn ph6i XBCSU~1CLlas6 vien d~n <iiib~n:

b) Tinh ky vQng, phu'O'Ogsai cua 56 vien d~n dii b~n;

c) Tim ham phdn ph6i xac su~t CLlas6 vien d?n da b~n:

Giili a)GQi X la 55 vien d~n dii bAn X co th~ nh~n cae gia tri: I.2 3,, P(X=I)=0,7

P(X = 2) =0,3x 0, 7=0,21 P(X = 3)=(0,3)2 xO, 7=0,063

P(X=4)=(0,WxO,7+(0,3)4= 0,0189 + 0,0081 = 0,027

V~y bang phan phdi xac suit ella X la:

b) Tim ky vong: E(X) =? Thea cong thuc ta eo:

II

E(X) =LX'P' = Ix0,7+2x0,21+3x0,063+4x0,027

= 1,417

Tim phuong sai: Var(X) =?

Thea cong thirc, ta eo:

Var(X)= E(X2)-[E(X)Y

Voi: E(X)2 = 12x0,7+z2x0,21+32 x0,063+ 4 2 X0,027 = 2,539

V~y Var(X) =E(X2)-[E(X)Y

=2,539-(1,417)2 = 2,539-2,007 = 0,532

c) Ham phan ph6ixacsuit ella X eo d\lng:F (x) = p(X <x)

N~u 2<xs3 :F(x)=p(X=I)+p(X=2)=0,7+0,21=0,91

N~u3<xS 4 ;F(x)=p(X =J) +p(X =2) +p(X =3)

=0,7 + 0, 21+ 0,063 = 0,973

N~u 4 <x F(x) =1

v~y ham phan ph6i xac suit ella X la:

O:xSI

0,7: 1< x ~2

0,973:3 <x~4

):4 <x

Cau 6:M¢I h¢p dl,fng5ehai Ihu6e trang do eo mQI ehai Ihu6e gia

NglICrilaIftnIUQ1ki~m tra tUng ehai eha d~n khi phat hi~n ehai thude

gia Ihi ngimg ki~m tra (giilsucae ehai thu6e phili qua ki~m Ira mai

X3c dinh dll<;yeehai thu6e gia hay ehai thu6e t6t)

a) L~p bang phan ph6i xae SU§Iella s6 ehai thu6e duge ki~m Ira;

b) Tinh ky vQng, phtrcmg sai ella s6 ehai thu6e dUQeki~m Ira;

c) Tim ham phan ph6i X8Csu~t ella s6 ehai thu6e dUQcki~m Ira

Giai a) GQi X la 56 h~n ehai thu6c dUQ'eki~m tra

X co th~ nh~n cae gia trj: 1,2,3,4,5

Cl 1

P(X = I) = _I = - =° 2

e5l 5 '

el Cl 4 1 4

P(X :02):0 _4 X _I = - X - = - =°8XO25 = °2

P(X:03)=_4 X_3 X_I =08X075X-=02

g

o 8xO 75x~x_!_=0 2

c: Cl C' C'

P(X5)=_4 X _3 X _2 X _I X

c:5 e4I c:3 Cl2

0,8xO, 75x-x-x) =0,2

3 2

C'

_2 X

Cl J

c/_

-l-ei

V~y bang phan ph6i xac SU§lcua X ia:

b) Tim kyvong: E(X)=?

n

Thea congthirc ta co: E(X)=LX, p,= IX0.2 2 X 0.2 + 3J

0,2+4 X 0,2+5 X 0,2 =0,2'" 0,4 0,6 0,8 I = 3 Tim phU'011gsai: Var(X)=?

Thea cong thirc, ta co:

Var(X)=E(X1)-[E(X)f Vai:

4

E(X-) =~x, p, =1 xO.2"'2- xO,2+3' xO,2+4' xO.2+

,=1

= 0,2+0,8+ 1,8+3,2 +5 = II

V~yVar(X)= E(X2)-[E(X)t ~ II -): '" 2 c) Hamphanph6i xac SU~IcuaXco d~ng;

F (x) =p(X <x)

N~u 2 <x ~3: F (x) =p(X =I) +p(X =2) =0,2+0.2=0,4 N~u3 <x ~4 ::F (x) =p( X =I) +p(X = 2)+p( X =3)

= 0.2 +0.2 +0.2 =0,6

N~u4 < x ~ 5

:F (x) = p( X = I)+p( X = 2) +p( X =3) +p( X =4)

= 0,2+0,2+0,2+0.2 = 0.8

N~u 5<x :F(x)=1

O:X~ I 0.2: I< x ~2 0,4: 2< x ~ 3

V~y hilm phiin ph6i xac 5U~1ella XIii:F(x) =

0,6:3 <x~ 4

0.8: 4 < x ~ 5

1:5< x

Cau 7:MQI ro m~n co 20 Irai trang do co6 trai bi hu ChQn ngi~ nhien Iii r6 do ra 4 Irai GQi XIii56 Irai m~n hu ehl;mpilai

a) L~p bang phan ph6i xae suftt ella X;

b) TinhkyvQng, phuong sai ella X;

c) Tim ham phan ph6i xae SU§ICllaX

Giai a) GQi X iiis6trai m~n hu phai chQn

X co th~ nh~n cac gia Iri:0, 1,2, 3,4

10

P(X = 0)=CJ~= 100 I

C;o 4845

P(x= 1)= C~XCI34= 6x364 = 2184

C2 xC2 15x91 1365

P(X =2) = 6 14= =

CJxC' 20x14 280

C4 15

P(X=4) =_6 =

C;o 4845

V'IIYb' ang pi h'anpI h~" OJxae suat cua XJ'a:

b)Timky vong: E(X) = ?

n

Theo CTta co: E(X) = L x, P, =

1='

ox 1001+ IX 218\2X 1365+3X 280 +4X _!2_= 5814= 1,2

Tim phlrang sai: Var(X) =?

Theo congtht'rc,taeo:Var(X) = E(X2) -[E(X) r

V&i:

f(X)= ifp =dx leoI+f/l84 +lx 1155+Jx 2m+4x~=2,15

,,; , , 4845 4845 4845 4845 4845

V~y Var(X)= E(X2)-[E(X)f

= 2,15 - (I, 2)2 = 0, 71

c) Ham phan ph6i xae su~t clla X co dllng:

F(X) =p(X < X)

1001

: F(x) =p(X =0)

=-4845

1001 2184 3185

= + = 4845 4845 4845

N~u3<x$ 4

F (x) =p(X = 0)+p(X =I)+p(X =2)+p(X =3)

1001 2184 1365 280 4830

= + + + = 4845 4845 4845 4845 4845

N~u 4<x :F(x)=I

V~y ham phan ph6i xac 5uc1tcua XIii:

N~lI0 <x $1

N~u I< x$ 2

•

1001

:O<X$]

4845

4550 :2< x s3

4845

4830 " < 4 .J<X_

4845

l : 4 < x

Cau 8: M¢t nguoi co 5 chia khoa b~ ngoai r§t giong nhau,trong d chi co 2 chia mo duoc cira Nguai do tim each rno cua bang each In tung chia m¢t cho d~n khi mo duoc cua thi thoi (I§I nhien, chia nit khong me duQ'cthi lo~i ra), Goi X Iii s6 chia khoa nguoi do sir dung a)L~p bangphanph6ixac su§t ella X;

b) Tinh ky vong, phuong saicuaX;

c) Tim ham phan ph6ixacsu§t cua X

Giili a) GOi X lit 56 chia khoa nguoi do sir dung

X coth~ nhlincac gia tr]: 1,2,3,4

P(X= I) =c; = 5" =0,4

<

P(X= 2) = _J X -l.= ::x ::.=0,3

C'5 C~l 5 4

['; ("4 ['1 5 4 3

P(X=4)=-' x-x-x-=-x-x-x-=_=O.I

Cl5 [I4 ClJ CI2 5 4 3 2 10

Vliy bang phan ph6i xacSU~[ cua X lit:

b) Tim kyv9ng:E(X) =?

n

Theo eong thlrc la c6: E(X) = Lx, P, =

,_I

1 X 0,4+2 X 0,3+3 X 0,2 4 X 0,I '"'2 TimphuO'ng sai: Var(X) ~?

Theocongthu-c,lac6: Var(X)= E(X~)-[E(X)y

Vai:

4

V~y Var(X) = E(X2) -[E(X) Y =5 _(2)2=I e) Hitm phan ph6i xac su~t eua X c6 d!lng:

F(x) =p(X <x)

N~uX $I :F (x) = °

= 0.4 + 0.3 + 0 2 = 0;9

N~u 4 <x :F(x) =I Vliy ham phiin ph6i xlic suc11 cllaX Iii:

J <7

-

-0: x:51

0,4: 1<:x:5 2

F(x) = 0,7: 2 <x:5 3

0,9:3 <x S4

1:4 <x

l'au 9: Me;)tngllai thg sAnco 5 vien dan Ngllai do di san voi n~uyen

til ~: neu bAntrung muclieu thi v~ ngay, khongdi san niia Biet xac

SUi'I trung dich cua mdi vien d\ln bAn ra hi 0,8 Goi X Iii d\li IllQ11g

ng~Inhien chi 55vie." d~n ng~ai §y sfrdungtrong cuocsin

a) Lipbang phan phai xac suat cua X;

b) Til h kyvcng, phuong sai ella X;

c)Tin ham phin ph6i X8CsuAt ella X

Giai a)Goi , Iii d\li 11IQ11gngdu nhien chi s6vien dan nguoi ~y SO trong

cuoc san X co th~ nh~n cac gia tr]: 1,2,3,4,5

P(X"' )=0,8

P(X == 2 ==0, 2x0,8 = 0,16

P(X=3) ·(0,2)2xO,8=0,032

P(X = 4): rO,2)3 X0, 8 = 0,0064

P(X~ 5) ==(0,2)4 X0,8 + (0, 2)5= 0, 0032 + 0, 00 128=0,0016

V~y bang pI in ph6i xac su§t clla X hi:

32['

~

b)Tim k5'v<;>ng:I:.(X)== ?

,1,16 0,032 _/ 0,0064 0,0016

-

1/

Thee CT ta co: E(X)" I x,P, = 1X0,8 + 2X 0,16 +3X0,032

/=1 +4 X 0,0064 + 5 X O,lIO 16 =0,8 +0,32+0,0256 +0,008=I, 25

Tim phuong sai: Var(~:) =?

Thee cong thuc, ta co:Var(X) == E(X2)-[E(X)( Vai:

4

E(X2)= IiP,=12xO,8+i>{0,16+32xO,032+42xO,(D)4+S2 xO,OOI6

: 0,8 + 0,64 + 0,288+0, 1024 + 0,04 =1,87

V~y Var(X)= E(X2) - [E(X)f = 1,87 - (I,25i =0,3075

c) Heim phin ph6ixacsudl ellaXeo d\lng:F (x) =p(X <x)

N~u2<x.s 3 :F(x) =p(X =1)+ p(X = 2)= 0,8+0,J6 ==0,96

N~u3<x .s4 :F(X)== P(X: I) + P(X= 2)+ P(X: 3)

==0,8+0, 16+0,032 : 0,992

N~lI4< x.s 5 :F(X) =P(X= I) +P(X= 2)+ P(X= 3) +P (X= 4)

=0,8 +0,J6 +0.032+0,0064 ==0,9984

V?y hilm phan ph6ixac sudlctiaXla:

J3

O:X :51

0,8: 1<x:5 2 0,96: 2 <x:5 3

0, 992 :3 <X :54

0,9984 :4 <X :55 I: 5<x

PHAN sAl TAp TH6NG KE

I U'OC LU'QNG KHOANG: '.

Cau I: Thee doi 100 SVcua tnrcng A de XD 56 gia II!hocanha J~

IhAyeo 95 SV COIl! hoc voi 56 gia TB 4,01 gia vai 5= I,54 gia a) Ucc 111Q11gs6 gia II! h<;>cClla SV Imang AvCride;)tin c~y 97% b)lfac 111Q11gIiI~ SV Irllang A khang tl! h<;>cvai de;)tin c~y 90%

Giai

a)G9i m Iii s6 gia II! hge trung binh ella sinh vien IruOngA.

Ta dn l1ae111qngm vai d9tin c~y 1 - a= 97%

Thee d~beiilaco:

{

n= 100>30

x = 4,01

Chua bi~t.

S== I 54 ~>S'~_17_ XS'= 99 x(1.54)- ~2,39

=>S= ~2,39 = 1,55

Mat khac. la eo: 1- a =0,97 => a = 0,03 =>a 2 = 0.0I 5

<=>I - a = I - 0.015 =0.985 2

<=> Ur=U a =U 0985 =2,17

1 2

=->&=Ur X ~ = 2.17x ~ = OJ36

Vh kheang lin e~y ctiauacluqng la:

(m p m 2) =(x-c;x+c)

= (4,0 I - 0.336; 4.0 I + OJ36)

= (3,674 ;4,346) b)G<;>iPleiIy I~ sinh vien Irl10ngAkhang t\[ h9C:

Ta dn l10e Jl1Q11gPE (~ ;/2) vai dk I - a = 90%.

Thee d~ bai la co:

a

Ta eo: I-a =0.9==>a =0,1<=> - =0.05

••

<=> 1- a = 1_ 0,05 = a 975

<=>Ur = UI_~ =U 0,95 = 1 645,

1

V~y khoang tin eb ella uoc hrong Iii:

U;'/2) =(j-&;/ +c)

= (0,05 - 0,0359; 0,05 + 0,0359)

= (0,0141 ;0,0859)

C' 2 Dau : 0 d'uoog kl hm d 'cua 100 h"~c Itiel mayiv d I XN SX ~ I"0 co so I~U:

d 19,8 19,8 19,9 19,9 20,0 20,0 20,1 20,1

S-(m

19,8 19,9 19,9 20,0 20,0 20,1 20,1 20,2

m)

S6

tiet

, ,

Quy d!nh nhiing chi Ilet may c6 dLIang kinh Iii 19,9mm den 20, Imm

la d\ll chu~n,

a)U'oe hrqng tiI~chi ti~t may d\ll ehu~n voi dQtin c~y 99%,

b) lJ&c 111qngdWJng kinh trung binh clla chi tiet may dillehu~n vai

dQlin c~y 95%

a) G?i P ili I)' I~ chi tiet may d\lt tieu chuan: \~~~~.J-~

Ta can l1uelugng PEU;;/2) vai dk I - a ~

Thea de bili ta co:n= I00' f = - = - = 0 81

a

Ta co: I-a =0,99==>a =0,01 <=>- = 0,005

2

a

<"">1- 2 = 1-0,005 =0,995<=> Ur = UI_C!.= UO.995 = 2,576

2

=>&=UrxJ/(I-f) =2576x O,8Ix(I-O,81 =0101

V~y khaang tin c~y ella uoc lugng ili:

= (0,709;0,911)

b) GQi m hi duang kinh trung binh ella chi tiet may dill ehu~n,

Tacdnuoelugng mE (m l ;m 2) yaidk I-a = 95%.

Thead~blii la co:

{

n= 81> 30

x = 19,996

Chua bi~t.

s' =0,05

a

M~t khac ta co: I - a =0,95 => a=0,05 => 2"=0,025

<=>1- a2 = 1- 0,025 = 0,975<"Ur =C ,_~= U; 97< = 1.96

2

=>e= Urx r =1,96x rn; = 0,0II

V~y khoang tin C?y cua uoc hrong la:

=(19,996-0,011 ;19,996+0,011)

= (19,985; 20,007)

Cau 3: Nang 5U~1Ilia trong I vung la bi~n ng~u nhien G~t ngcil

, , h d b ~I"

nhien 115 ha ella vung nay, nguci ta t u uoc ang so ieu:

Nang sual 40 - 42

-44-.! 46 - 48 - ! 50

DT (ha) 7 I] 25 J. .35, ]0. j 5

a) Uoc hrong nang suat TB cua vung tren vm dQnn cay95%, b) Nhiing thira ruong trong vung tren co nang su~t khong qua44

ta/ha hi nhiing thua co nang suat th~p (gia sir co phan phci ehual~ U'~e hrong nang 5u~t lua trung binh ella nhung thLIa rU9ngco na~ suat thap vai dQ tin c~y99%.

Giai a) G9imla nang 5u~t Ilia trung binh etia yung

Ta dn LIoelugng mE (m1 :m2) vai dQlin c~y 1- a =0,95.

Thea d~ blii ta co:

{

n=1l5>30

Chua bi~t ~ = 46.443

S'= 2.521

a

M~t khae ta co: 1- a=0,95 => a=0,05 =>- = 0.025

2

<=>1- a = 1- 0,025 = 0,975 2

<=>Ur =U a =U 097 < = 1,96

1 "

2

=>&=Urx r = 1,96x (;-;-; =0,461

V~y khoang tin c~y ella LIaC lugng la:

-(m"m 1) = (x - e;X+&)= (46,443 - 0,461; 46,443 +0,461)

= (45,982; 46,904) b), GQi,m la nang 5U~1Ilia trung binh ella nhiing thlra rUQngco nart suat thap

Ta dn u&c lugng mE(m, :m 2) v&i dQtin e~y 1-a = 0.99.

Thea d~ biti ta co:

{

n=20<30 Xco phein ph6i ehu~n

-X = 42,3

S'= 0,979

a

M~t khac ta co: I - a=0,99~>a=0,00 I => 2" = 0,005

<=> J - -2 = 1- 0 005' =0 995,

<=> Ur=U a =Uo995 = 2,861

1 '

2

=>C= UvX ~ = 2,861X 0,;;: = 0,6263

V~ykhoangtin c~ycuaucrc lugng la:

(m l ,m 2) =(x-e;x +e)= (42,3 -0,6263; 42,3 + 0,6263)

= (41,6737; 42,9263)

Cliu 4: NglIai ta x~p 100 trai 6ivao I thung, co nit nhi~u thung

nhu th~ Kiem tra ng~u nhien 50 thung thAyco 100 tnii 6i khang d~t

tieu chu~n,

a) U'crclugng ti I~trai 6i khang d~t tieu chu~n vcrid¢ tin c~y 97%

b) MU6n llcrClugng ti I~trai 6i khang d~t tieu chu~n vcri dQ chinh

xac nh6 hO'l10,1% va dQ tin c~y 99% thi dn phili ki~m tra t6i thi~u

baa nhieu thung?

Giai

a)GQi P Iii la ty I~ trai 6i khang d~t tieu chu~n:

Ta dn ucrc hrc;mg PEU;; J;)vcrid(l tin c~y1-a= 0,97

Thea d~ bili ta co:

n=5000, (= - = - =0 02

a

Mat khac ta co: 1- a= 0,97 =>a=0,03 <=> - =0,°15

a

<=> 1 - -2 =J - 0,°J5=0.985.

<=>Uy = U {1 =U O.98l =2,17

1 2

=>e=uyx~ =2,I7x

V~y khaang tin c~y cua uoc lugng la:

(J;;fJ=(f -e;/ +e)

=(0,02 - 0,0043 ; 0,02+0,0043)

= (0,0157; 0,0243)

b)Ta co:

I-a=0,99; e <0,0 I

0,02x(I-O,02) =00043

Tacci: 1-a =0,99 => a =0,°1<=> a =0,005

2

<=> 1-a2 =J - 0 005. =0 995,

<=>Uy =U a = Vo995=2,576

2

Thea cang thuc, ta co:

=> e=uyxJfX(I-f) =>Fn = UyxJfx(l- f) =

V~y nguoi ta dn ki~m tra 130061+1=130062 trai6i.

Cau 5:Nguai ta ki~m tra ng~u nhien 100 h(lp thit trong I kho thi

th~y co II h(lp khang d~t tieu chudn,

a) Uoc hrong ti I~ h(lp thit d~t tieu chuan trong kho voi d(l tin c$l 94%,

b)Wi sai s6cho phepkhi ucrclvong ti I~h(lpthjt khongd~1 li~ chuantrongkhola 1% va dQ tin c~y la 99% thi dn kiem Ira 16i Ihie bao nhieu h(lpthjt?

Gi<ii a) GQiPIiity I~ h¢pthit di!t tieu chudn trongkho:

Ta dn llOChrong PE(~;.I;) voi dQtin c~yJ - a = 0.94.

Thea d~ bai ta co: :{),l(

m 89,r I~

n= 100· ( = - = - = 0.89

a

Mat khac ta co:. 1- a= 0,94 =>a=0.06 <=> -. 2 =0.03

a

<=> I - - = I - 0 03 = 0 972 ' ,

<=>Uy=U a =UO.97 =1.881=>

1 2

V~y khoang tin c~y cua llOClugng hi:

(J;;!;)=(j -e;f +e)

=(0,89 - 0,0589 ; 0,89 ; 0,0589)

= (0,83' I ; 0,9489) b) Thea d~ blii la co:I - a =0,99; G =1% ,Timn ::; '1

/=-;=100=0,11

a

Ta cci: 1- a =0,99 =>a =O.°f <=> - =0.005

a

<=> 1 = 1-0.005 = 0.995 2

<=>Uy =U a =[/0,995 = 2.576

1 2

Theo cang thuc, ta CO:=> \:,\

£=urx~ "" I~\= 2,576 O,IIX~-0,11)

0,01

=> n= (80,6)2 = 6496

V~ynguai ta dn ki~m Ira 6496+ I=6497 hQpthit

Cliu 7: Giam d6c ngan hang A mUdn LIOC11Igngs6 ti~n gLIic~ m(it khach hang b4ng cach chQn ngdu nhien 30 khach thi th~y: 56

ti~n gui trung binh la 4750$ va d(l I~ch tieu chu~n la 200$, a) Voi d(l tin c~y 95% uoc lugng s6 ti~n gui cua mQt khach hilr~

b) Neu mU6n co d¢ chfnh xac cua uoc lugng trung binh lei 100$ tf,z dam bao d¢ tin c~y Iii bao nhieu?

Giai a) GQi: m la s6 ti~n gU'itrung binh cua khach hang t~i ngan hang A

Ta dn llOCIllgng mE (ml;m2) voi d(li tin c~y 1-a =95%

Thea d~ bai, ta co:

{

Tac6: l-a=O,95 <=>I-~=O 975

=>U, =Va:: V097S = 1,96

2

=> C= U, X-r = 1,96x r:;;;= 71,569

V~y: khoang tin c~y cua l1ac 111QT1gIii:

(lnl;m 2) =(x-&;x+&)

=(4750-71,569;4750+ 71,569)

= (4678,431;4821,569)

b)C6 e =100,Tim 1-a = ?

Theo cong thuc, ta c6:

=>e=V x r => V = - = = 2,7386

=> r = 0 997 , <=> I- a = 0.997 2

<=> a = 0,003 <=> a = 0,006<=> 1- a = 0,994

2

V~y I-a = 99,4%

Ciiu 8: D~ khao sat trQng lugng X cua m9t IO\li v~t nuoi trong

, , ' " z , • k~ ,

nof!£.tr~lf,~UO'I ta_guan satmgtmau va co et qua sau:

72

con

"

" "' "

a) UO'cIlf(;mgtrQng IUQTIgtrung bmh cua 10\11V\l1nUOJIren VaJ d9

tin c~y 96%,

b) Nhfrng con v~t e6 tn;>nglugng tiI 60kg tra len dtrge g9i hi nhCing

con "d\ll tieu ehu~n'" Hay uac lugng ti I~ con din lieu chu~n vai d9

tin e~y 95%

Giai

alGgiOJIii trgng IUQ'Ilgtrung binh clia 10(liv~t nuoi

Ta dn uae Itrgng m E(mJ;m2) v6i d9 tin c~y 1- a = 0,96.

Thee d~ bili ta c6:

{

n= 100> 30

Chua bi~t. x= 51.96

S'= 11,061

Tac6: I-a = 0.96=>a=0,04<::>- =0,02<::>1 =0,98

Vr =U a = Vo98 = 2,054

1 '

2

V~y khoang tin e~y cua uoe Itrgng Iii:

(mJ ;m 2) =(x - &;X +c) = (51,96·2,272; 51,96+2,272)

= (49,688; 54,232)

bl Ggi P Iiity I~ v~t nuoi d(lt chu~n

Ta dn uac lugng P E(J;; 12)vai <19tin c~y I - a = 0,95.

Thee d~ bili ta c6:

{

l=~=~=03

J/}

Tac6: I-a =0,9S=:>a=0,05<::>- = 0,025<::>1 = 0.975

Ur = U a = UO.975 = 1,96

1 2

e=UrX,jfOn-f) = 1,96x 0,3(1- 0,3) = 0.0898

100

V~ykhoangtin c~ycuauae luong Iii:

(J;; /2)= (I - &; / +s) = (0,3 - 0,0898; 0,3+0,0898)

= (0,2102; 0,3898) PH \N 8 \1 TAp TU6NG 1(£

Ciu I: Theo doi 100 sinh vien ella tnrong A de xac dinh 56 gia" hocanhil thi th~y c6 95 sinh vien c6 tv hoc voi s6 gib Irung bin 4,0 I gia voi s= 1,54 gib,

a) U'6c hrong s6 gib nr hoc cua sinh vien tnrong A voi dO tin c~ 97%,

b) U6c luong ti I~ sinh vien tnrong A khong tv hoc voi dO tin c$ 90%.

Giai a) G9i m Iiis6 gia t\1"hoc trung binh ella sinh vien truong A

Ta dn trae ILIgngOJv6i d¢ tin c~y I - a=97%

Thea d~ bili ta co:

n=100> 30

x = 4,01

S= 1,54~>S'=_11_xS'- 99x(1.54)'

11-1

'" 2.39

=>S= J2.39 = 1,55

M~t khac la co: j - a = 0,97=> a = 0.03

a

=>- = 0,015 2

<=>I - a 2 = I - 0.015 = 0.985 .

<=>Ur =V a =U O.985 = 2,17

1 ·

2

=>& =Vr X.In = 2,17X JWO = 0,336

V~y khoang tin c~y elJal1aClugng Iii:

-(ml,m 2 ) =(x - c; X +c)

= (4,0 I - 0,336; 4.0 I + 0,336)

= (3,674; 4,346)

b) Ggi P Iiity I~ sinh vien truimg A kh6ng tv hge:

Ta cdn u6c 111gng PE(J;;f2) vai dQ tin c;J

Theo d~ bciita c6:

n= 100; f = - = - = 0.05

a

Ta co: I - a = 0,9=>a = 0.1<=> - = 0,05

2