Chủ đề 1 GIẢI CHI TIẾT tính đơn điệu của hàm số

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên .. Trường hợp m≠ , phương trình 0 f x′ =0 có hai nghiệm phân biệt không thỏa yêu cầu bài toán... Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm

CHỦ ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

GIẢI CHI TIẾT

TXĐ: D= \ 1{ } Ta có ' 2 2 0, 1

−

x

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1)và (1;+∞)

TXĐ: = D Ta có y'= −3x2+6x− = −3 3(x−1)2 ≤0 , ∀ ∈ x

TXĐ: = D y'= −4x3+8x=4 (2x −x2) Giải ' 0 0

2

x y

x

=



= ⇔ 

= ±



Trên các khoảng (−∞ −; 2) và (0; 2 , ) y'>0nên hàm số đồng biến

( 4 2 )

x

= − < ∀ ∈

Ta có: f x'( )= −4x4+4x2− = −1 (2x2−1)2 ≤ ∀ ∈  0, x

TXĐ: D=\{ }−1

2

2

'

y

x

=

4

x

x

=



'

y không xác định khi x= − Bảng biến thiên: 1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− − và 4; 1) (−1; 2)

5

x

x

=



 Trên khoảng( )1;5 , 'y < 0 nên hàm số nghịch biến

' 3 12 12 3 ( 2) 0 ,

y = x − x + x = x x− ≥ ∀ ∈ x

2

2







Câu 11 Chọn B

3x −x ≥ ⇔ ≤0 x 3 suy ra D= −∞( ;3]

2

'

2 3

y

−

=

− , ∀ ∈ −∞x ( ;3)

2

x y

x

=



 'y không xác định khi  =x x=03 Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến ( ;0)−∞ và (2;3) Hàm số đồng biến (0;2)

TXĐ: D =  ' 1 sin 2

2

7 2

12

 = − +





,(k∈)

Vì x∈[ ]0;π nên có 2 giá trị 7

12

x= π

12

x= π

thỏa mãn điều kiện

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến 0;7

12

π

 

 

 và

11

;

12π π

 

 

 

TXĐ: = D ; y′ = −1 sin 2x≥ ∀ ∈ 0 x suy ra hàm số luôn đồng biến trên 

2 3 1 2 0,

′ = − + = − + > ∀ ∈ 

′

−

x

2

4

4

′

+

x

x

(I):y'= − +( x3 3x2−3x+1) '= −3x2+6x− = −3 3(x−1)2 ≤ ∀ ∈ 0, x ;

(II):y'=(sinx−2 ) 'x =cosx− < ∀ ∈ 2 0, x ;

3

3

′

+

x

x

;

Chọn A

(II)

( )2

′

′ = − −  = > ∀ >

−

2

1

x

x y

1

0,





y

1 0

2

′ = ⇔ =

2

− −

−

x

Giải y′ = ⇒0 2− = ⇒ =x 1 x 1; 'y không xác định khi x=2

Bảng biến thiên:

Xét trên khoảng ;

2 2

π π

− 

 

 

cos

x

Hàm số không đổi trên ;

2 2

π π

− 

 

 

Tập xác định: D=\{ }−1 Ta có

( )2

1 1

−

′ = +

m y x

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định ⇔ y′< ∀ ≠ − ⇔ <0, x 1 m 1

Tập xác định: D =  Ta có 2

0

′ ≤ ∀ ∈ ⇔  a y

y x ⇔− <1 0 (hn) ⇔ − ≤ ≤3 m 1



6

5

Câu 22 Chọn B

Tập xác định: D= \{ }m Ta có

2

′ =

−

y

x m

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó

′

1 0

hn

m m

≥



Tập xác định: D =  Ta có y′ = −1 msinx

Hàm số đồng biến trên  ⇔ y'≥ ∀ ∈ ⇔0, x  msinx≤ ∀ ∈1, x 

Trường hợp 1: m = ta có 0 1, x0 ≤ ∀ ∈  Vậy hàm số luôn đồng biến trên 

Trường hợp 2: m> ta có 0 sinx 1, x 1 1 m 1

Vậy m ≤ 1

Tập xác định: D =  Ta có: y'= − +m 3 (2m+1) sinx

Hàm số nghịch biến trên  ⇔ y'≤ ∀ ∈ ⇔0, x  (2m+1) sinx≤ −3 m,∀ ∈x 

2

m= − ta có Vậy hàm số luôn nghịch biến trên 

2

2

m> − ta có:

3

3

∈ −

m

1

x

x m

=



 Phương trình f x′( )=0 có nghiệm kép khi m=0, suy ra hàm số luôn đồng biến trên  Trường hợp m≠ , phương trình 0 f x′( )=0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài toán)

Tập xác định: D =  Ta có 2

2

0

>



′

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

+ ≤



m m

Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên  là m= − 1

Tập xác định: D=\{ }−m Ta có

2

2

3 2 + +

′ =

+

y

x m

′

⇔ y < ∀ ∈ ⇔x D m + m+ < ⇔ − < < −m

Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng (− − 2; 1)

Chọn C

Tập xác định D=\{ }−m Ta có

2

2

4

−

′ = +

m y

x m Để hàm số giảm trên khoảng (−∞ ;1)

1

 − <

′

≤ −



m

m ⇔ − < ≤ − 2 m 1

• Trường hợp 1:

hn

m m

>



• Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên (0;+∞ ) ⇔ y′=0 có hai nghiệm x x 1, 2 thỏa

1 2 0

x <x ≤ (*)

 Trường hợp 2.1: y′ =0 có nghiệm x= suy ra 0 m=0 Nghiệm còn lại của y′ =0 là

4

x= (không thỏa (*))

 Trường hợp 2.2: y′ =0 có hai nghiệm x x 1, 2 thỏa

1 2

0

0

′

∆ >





< < ⇔ <

 >



P

0 3

m vl m







 >



không có m.Vậy m≥12

Lập bảng biến thiên của g x( ) trên (0;+∞ )

g

0

12

–∞

Tập xác định D =  Ta có 3

y = x − m− x Hàm số đồng biến trên (1;3)⇔ y'≥ ∀ ∈0, x (1;3)⇔g x( )=x2+ ≥1 m,∀ ∈x (1;3)

Lập bảng biến thiên của g x( )trên (1;3)

g

2

10

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m≤min ( )g x ⇔ ≤m 2

Tập xác định: D =  Ta có 2

2

( )

2

1 2

3

9

x x

m

+) Điều kiện Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên là

+) Ta thấy:

Tập xác định D = , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

2

14

−

Dễ dàng có được g x( ) là hàm tăng ∀ ∈ +∞ , suy ra x [1; )

1

14

15

≥ = = − Kết luận: (1)

1

14 min ( )

15

≥

Tập xác định D =  Ta có 3

2

′

Lập bảng biến thiên của g x( )trên (1; 2) g x′( )=2x= ⇔ =0 x 0

Bảng biến thiên

g 5

2

11

2

2

m≤ g x ⇔ ≤m Vậy p+ = + =q 5 2 7

Tập xác định D= \{ }m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi g x( )≥ ∀ ∈0, x D

( )

1

2

g x

m

m

≤ −





Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Tập xác định D= \{ }m Ta có

y

Hàm số đồng biến trên (1;+∞) khi và chỉ khi g x( )≥ ∀ >0, x 1 và m≤ (1) 1

Vì ∆ =′ 2( +1) ≥ ∀0,

g m m nên (1)⇔g x( )=0 có hai nghiệm thỏa x1≤x2 ≤ 1 Điều kiện tương đương là

2

1 2

m S

m



= ≤

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Điều kiện xác định: β ≥ 2

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 1 sin 2 1

 và β ≥ 2

Tập xác định D = Ta có: y′ = +2 acosx b− sinx

2− a +b ≤ y′≤ +2 a +b

Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

′ ≥ ∀ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≤

(1)⇔ =m x −3x −9x= f x( ) Bảng biến thiên của f x( ) trên 

Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m< − hoặc 27 m> 5

2t = − + ⇔ = − + + t 1 m m t 2t 1

( )= − + +2 1, ≥0; ′( )= − +2 2

Bảng biến thiên của ( )f t :

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m ≤ 2

( ) 4 5

t= f x = x − x+ Ta có

2

2 ( )

−

x

f x

f x′( )= ⇔ =0 x 2

Xét x>0 ta có bảng biến thiên

3

5

2

1

Nếu phương trình (1) có nghiệm t t thì 1, 2 t1+ = − (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t2 1 t ≥ 1 Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1

nghiệm t∈( )1; 5 Đặt 2

g t = + − t t Ta đi tìm m để phương trình g t( )=m có đúng 1

nghiệm t∈( )1; 5 Ta có g t′ = + > ∀ ∈( ) 2t 1 0, t ( )1; 5

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra 3− < <m 5 là các giá trị cần tìm

Bất phương trình 2

3 2 0

x − x+ ≤ ⇔ ≤ ≤ 1 x 2

2

2

1

x

− −

+ +

1

x

f x

− −

= + + với 1≤ ≤ Có x 2 ( ) 22 4x 12 0, [1;2]

+ +

x

Yêu cầu bài toán

[1;2]

max ( )

7

m

⇔ ≥ −

3

t= x+ Điều kiện: t≥ 1 Phương trình thành: 2

t + −t m− = Khi x∈1;3 3⇒ ∈t [1; 2]

2

2

2

t t

Từ bảng biến thiên ta có : 0≤ ≤m 2

2

x≥ − Phương trình 2

x +mx+ = x+ 2

Vì x= không là nghiệm nên (*) 0 m 3x2 4x 1

x

⇔ = Xét

2

f x

x

2

2

2

x

x

+

Bảng biến thiên

0

2

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 9

2

m≥

Điều kiện : x ≥ 1

Pt

2 4

2 4

m

m

1

x t

x

−

=

+ với x≥1 ta có 0≤ <t 1 Thay vào phương trình ta được 2

m= −t t = f t

Ta có: f t′( )= −2 6t ta có: ( ) 0 1

3

′ = ⇔ =

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm khi 0 1

3

m

≤ <

Đặt t= (1 2 )(3+ x −x)khi 1;3 0;7 2

∈ − ⇒ ∈  

   

Thay vào bất phương trình ta được 2

( )

f t = + > t t m

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có : m< 0

0

0

0

Xét hàm số 2

( )= − + +3 4; ′( )= − +2 3

2

′ = ⇔ = <

Từ bảng biến thiên ta có m≤6 2− 4 thỏa đề bài

( )( ) ( ) ( )

2

2

3;3 2

9

 

 

′

3;3 2

 

 

Đặt t=2x > thì 0 ( ) 2

m + m− + + − >m , đúng x∀ ∈ 

( )

2

4 1 , 0

4 1

t

t t

+

⇔ = < ∀ >

+ +

Ta có ( )

2

2 2

g t

+ + nên ( )g t nghịch biến trên [0;+∞ )

0

≥

t g t g m

x

−

1

2

3

x

≥

Contact us:

Hotline: 099.75.76.756

Admin: fb.com/tritranbk

Email: tailieukys@gmail.com

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys

Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser

6