Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình giải tích 12

Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, tính đơn điệu của hàm số là một trong những vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.. Để

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……….1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….1

1.4 Phương pháp nghiên cứu………1

2 Nội dung……… 3

2.1 Cơ sở lí luận……….… 3

2.2 Thực trạng của đề tài……… ….4

2.3 Biện pháp thực hiện……… ……… … 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… … 12

3 Kết luận……….……… …….15

Tài liệu tham khảo………16

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải………17

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích 12, tính đơn điệu của hàm số là một trong những vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn

và mắc phải những sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu Các

em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy

Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức về bài toán tính đơn điệu của hàm số hơi ít Mặt khác có nhiều học sinh còn có tư tưởng xem nhẹ và không thích giải các loại bài toán này Qua thực tế giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm tra của học sinh, còn nhiều học sinh làm chưa tốt nội dung này Nguyên nhân cơ bản là các em không nắm được bản chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước Để khắc phục những điểm yếu trên, tôi cố gắng đưa ra một số bài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của các dạng bài toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần kinh nghiệm khi giải Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo về các dạng bài toán nằm ngoài sách giáo khoa, từ đó giúp các em xử lí tốt hơn khi tiếp cận với các đề thi tốt nghiệp THPT

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số và

giải được tốt các bài tập về tính đơn điệu, tôi chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh

khắc phục những sai lầm khi giải toán về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Giải tích 12".

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, xây dựng giáo án về các ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Giải tích 12 nhằm phát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán

về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Giải tích 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Giải tích 12

1.4.2 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

1.4.3 Phương pháp thực tập sư phạm

Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Thọ Xuân 4, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

1.4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý luận

Nội dung tính đơn điệu của hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)

Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng Giả sử hàm số ( )

yf x xác định trên K.

 Hàm số yf x( )đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc Kmà

1 2 ( ) 1 ( ) 2

x x  f x  f x

 Hàm số y f x( )nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc Kmà

1 2 ( ) 1 ( ) 2

x x f x f x

Các định lí về điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu

 Định lí 1: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trong khoảng K

a Nếu f x'( ) 0 với  x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b Nếu f x'( ) 0 với  x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

 Định lí 2 (mở rộng của định lí 1): Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trong khoảng K

a Nếu f x'( ) 0 với  x K và f x'( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b Nếu f x'( ) 0 với  x K và f x'( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K.[3]

Quy tắc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

+ Tìm tập xác định

+ Tính ( )f x Tìm các điểm x i i ( 1, 2, , ) n mà tại đó f x( ) 0 hay ( )f x

không xác định

+ Lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.[3]

2.2 Thực trạng của đề tài

Trong thực tế, khi học sinh học phần tính đơn điệu của hàm số - chương I

“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa và các khái niệm liên quan đế tính đơn điệu của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững định lí về tính đơn điệu của hàm số

- Vận dụng sai các tính chất về tính đơn điệu của hàm số

2.3 Biện pháp thực hiện

Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:

Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

Sai lầm thứ nhất: Không xác định được đúng các khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Hàm số

3 2

x y x





 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ;  B R\ 3  C  ;2(2;) D  ;2 và (2;)

Lời giải sai là:

Tập xác định: D R \ 2 

1 '

( 2)

y

x





y   x    

Nên chọn đáp án C.

Phân tích: Lời giải trên chỉ sai ở phần kết luận.

Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được định nghĩa hàm số đồng biến và

nghịch biến

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra sai lầm bằng cách chọn x1, x2 mà

1 2 ( ) 1 ( ) 2

x x f x f x

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D R \ 2 

1 '

( 2)

y

x





y   x    

Chọn đáp án D.

Cách khắc phục:

Cần nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến

Chú ý nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên hai tập thì chưa thể kết luận hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên hợp của hai tập đó.

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1; 4 B 0;1 C 1;1 D. 1;0 Trong ví dụ này học sinh học yếu dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án D Nguyên nhân sai lầm: Nhầm giữa giá trị của hàm số và giá trị của ẩn số.

Cách khắc phục: Hàm số đơn điệu trên khoảng của ẩn số x

Bài tập tương tự

Bài 1: Hàm số

3 2

x y x





 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ;  B R\ 3  C  ;2(2;) D  ;2 và (2;)

Bài 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

A.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

1

; 2

 

 

B.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3

C.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; 

D.Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

1

; 2

  

Sai lầm thứ hai: Tìm các điểm tới hạn sai.

Ví dụ 3: Hàm số yf x   x 16 x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2 2; 2 2

B  4; 2 2  

C ( 2 2;4) D  4; 2 2  

và (2 2; 4)

Trong ví dụ này học sinh khi tìm các điểm tới hạn sai sẽ chọn phương án D

Nguyên nhân sai lầm: Tính sai điểm tới hạn khi trình bày như sau:

Lời giải sai là:

Tập xác định: D = - [ 4; 4]

Ta có: 2

' 1

16

x y

x

 



2

2 2

x x

 

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f x'  luôn giữ nguyên một dấu, vì f ' 0 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

x

-Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng  2 2; 2 2

Chọn A.

Phân tích: Không nắm vững cách giải phương trình chứa căn.

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D = - [ 4; 4]

' 1

16

x y

x

 



2

2

0

16 16

x x

x





Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f x'  luôn giữ nguyên một dấu, vì f ' 0  0 nên ta có bảng biến thiên như sau:

x

y ' - 0 +

Hàm số đồng biến trên khoảng  2 2;4

Chọn C.

Cách khắc phục: Cần nắm vững cách giải phương trình chứa căn.

Bài tập tương tự

Bài 1: Hàm số yf x   x 4 50 x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

A 5;5 B  5 2;5

C 5;5 2

D.  5 2;5 2

Bài 2: Hàm số yf x  2x x2 9 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A  ;3 B 3; C  2 3; 3  

D. 2 3;

Sai lầm thứ ba: Áp dụng sai định lí khi tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một tập hợp

Ví dụ 4: Cho hàm số

3

3

x

y  x  x

Mệnh đề nào sau đây đúng

A Hàm số đã cho đồng biến trên R

B Hàm số đã cho đồng biến trên  ;1 và 1; 

C Hàm số đã cho đồng biến trên  ;1 và nghịch biến trên 1;

D Hàm số đã cho đồng biến trên 1; và nghịch biến trên  ;1

Lời giải sai là:

Ta có y x2 2x1 và y  0 x 1

Bảng xét dấu:

đồng biến trên  ;1 và 1; 

Do đó chọn đáp án B

Phân tích sai lầm: Không áp dụng định lí 2.

y ' + 0 +

1

Lời giải đúng là:

2

y x  x  x  x và y  0 x 1 (tại hữu hạn điểm)

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên R

Nên chọn đáp án A.

Cách khắc phục: Cần áp dụng định lí 2.

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x  liên tục trên R và có f x   1 x 2 x1 3 3 x Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ;1 B.1;1 C.1;3 D.3; 

Trong ví dụ này học sinh thường nhầm giữa phương án B và C

Phân tích sai lầm: Không áp dụng định lí 2.

Lời giải đúng là:

Ta có:

    2  3 

1

3

x

x









 

Bảng xét dấu:

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;3 Do đó chọn đáp án C.

Cách khắc phục:

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dấu của f x' sẽ không đổi khi x qua x0nếu x0 là nghiệm bội chẵn của

phương trình f x ' 0 0

Áp dụng định lí 2

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

1

3

f x  x mx  x

đồng biến trên R

Trong ví dụ này khi học sinh áp dụng định lí 1 sẽ chọn phương án C

Nguyên nhân sai lầm: Không áp dụng định lí 2

Lời giải sai là:

Ta có f x( ) x2 2mx 4

Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi f x( ) 0,  x R

Ta có ( ) 0,f x   x R  ' 0

2

Vì m   nên m   1; 0;1 , vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Lời giải đúng là:

Ta có f x( )x2 2mx4

Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi f x( ) 0,   x (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm)

Ta có f x( ) 0,  x   ' 0

2

    

Vì m   nên m    2; 1;0;1; 2 , vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Cách khắc phục: Cần áp dụng định lí 2.

Bài tập tương tự

Bài 1: Cho hàm số yx3 mx24m 9x 5, với m là tham số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

A.5 B.4 C.6 D.7

Bài 2: Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 100;100 để hàm số

 

y mx mx  m x nghịch biến trên R là:

Sai lầm thứ tư: Không tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 7: Hàm số

1

x x y

x

 



 nghịch biến trên tập nào sau đây ?

A   ;  B R\ 1  C 0;2 D 1; 2 Lời giải sai là:

Ta có

2 2

2 ( )

( 1)

f x

x



2

2 2

0 2

2 ( 1)

x

x x







Bảng xét dấu:

Phân tích sai lầm: Không tìm tập xác định của hàm số.

Lời giải đúng là:

Ta có : Tập xác định : D R\ 1 

2 2

2 ( )

( 1)

f x

x





2

2 2

0 2

2 ( 1)

x

x x









Bảng xét dấu:

y ' + 0 - 0 +

0

y ' + 0 - P - 0 +

0

Do đó chọn đáp án D.

Cách khắc phục: Cần tìm tập xác định

Bài tập tương tự

Bài 1: Hàm số

3

y x

 



 đồng biến trên tập nào sau đây ?

A   ;  B R \ 2 C 5; 1  D 3; 1 

Bài 2: Hàm số

4

1 x y x





đồng biến trên tập nào sau đây ?

A   ;  B

;

3 3



  C

0;

3

  D

; 3

  

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Tôi đã chọn lớp 12A4 là lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới,

hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm khi giải toán về tính đơn điệu của hàm số còn lớp 12A5 là lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống Kết quả thực

nghiệm sau khi cho hai lớp làm bài tập khảo sát như sau:

Các bài tập khảo sát:

Bài 1 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

A  ;0 B 1;5 C 0;2 D 2;  .

Bài 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 4 x 2 5 x33 Hàm số nghịch

biến trên khoảng nào sau đây ?

A   ; 3 B 3; 1  C 3; 2 D 2;  . Bài 3 Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số ym2 1x3m 1x2 x 4

nghịch biến trên khoảng   ; 

Bài 4 Hàm số

2

y x

 



 nghịch biến trên tập nào sau đây ?

A   ;  B R\ 2  C 1;3 D 2;3

Bài 5 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  và đồ thị hàm số yf x  trên  như hình vẽ Mệnh đề nào đúng?

y

A Hàm số yf x  đồng biến trên 1 khoảng và nghịch biến trên 1 khoảng;

B Hàm số yf x  đồng biến trên 1 khoảng và nghịch biến trên 2 khoảng;

C Hàm số yf x  đồng biến trên 2 khoảng và nghịch biến trên 1 khoảng;

D Hàm số yf x  đồng biến trên 2 khoảng và nghịch biến trên 2 khoảng

Kết quả khảo sát

ĐC 39 0 0 0 6 7 9 8 5 3 1

Bảng phân bố tần số bài khảo sát

TN

(%)

0.0

0 0.00

0.0

0 0.00 7.30

12.1 9

21.9 5

21.9

5 19.54 17.07

ĐC

(%)

0.0

0 0.00

0.0 0

15.3 8

17.9 4

23.0 7

20.5 1

12.8

Bảng phân bố tần suất bài khảo sát

Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua bài khảo sát cho thấy:

Lớp TN:

- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm hơn 80,00%

- HS trung bình dưới 20,00%, không có yếu kém

Lớp ĐC:

- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chỉ chiếm 43,61%

- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 41,01%

- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,38%

Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC

Kết luận chung về thực nghiệm

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm

3 Kết luận

Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm

ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang

bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn

Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định

lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học)