Lý thuyết cực trị và ứng dụng

Thay vì xét tính phân phối chuẩn của cả chuỗi lợi suất ta chỉ cần xem xét các mức lợi suất đạt cực trị để chỉ ra rằng chuỗi phân phối giá trị cực trị này gần với một phân phối Pareto.. M

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

TRẦN THỊ LOAN

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 3

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 3

1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 3

1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất 4

1.2 Một số khái niệm tài chính 5

1.2.1 Tài sản 5

1.2.2 Danh mục 6

1.2.3 Lợi suất 6

1.3 Rủi ro tài chính 8

1.3.1 Khái niệm rủi ro 8

1.3.2 Phân loại rủi ro 9

1.4 Mô hình VaR 10

1.4.1 Khái niệm 10

1.4.2 Đặc điểm của VaR 11

1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết 12

1.4.4 Mô hình VaR thực hành 14

1.4.5 Phương pháp hậu kiểm mô hình VaR 17

CHƯƠNG 2 18

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 Lý thuyết cực trị 18

2.2 Phương pháp cực đại khối 18

2.1.1 Định lý Fisher-Tippet và phân phối cực trị tổng quát 18

2.1.2 Ước lượng mô hình cực trị tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại 21

2.1.3 Mức lợi suất 22

2.2 Phương pháp POT 23

2.2.1 Giá trị vượt ngưỡng và phân phối Pareto tổng quát 23

2.2.2 Ước lượng phân phối Pareto tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại 25 2.2.3 Ước lượng đuôi của phân phối tổn thất 26

2.2.4 Sử dụng đồ thị Hill ước lượng phi tham số cho chỉ số đuôi 26

2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường VaR, ES 28

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997), và mới đây là cuộc khủng hoảng thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và sụt giảm kinh tế toàn cầu Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ quản lý rủi ro chưa được tốt Do đó, việc nhận diện,

đo lường và phòng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động

an toàn cho các tổ chức tài chính là một việc rất quan trọng

Hiện nay, một số phương pháp tham số thông thường đo lường rủi ro như mô hình VaR Các mô hình này áp dụng với chuỗi lợi suất có phân phối chuẩn hoặc phân phối t– Student, tuy nhiên trong thực tế các chuỗi lợi suất thường không tuân theo hai phân phối này Điều này khiến cho các tính toán

từ các mô hình tham số thông thường không cho kết quả chính xác và hiệu quả Lý thuyết giá trị cực trị đánh giá mức độ tổn thất bằng cách xét các giá trị tổn thất đạt cực trị trong chuỗi Thay vì xét tính phân phối chuẩn của cả chuỗi lợi suất ta chỉ cần xem xét các mức lợi suất đạt cực trị để chỉ ra rằng chuỗi phân phối giá trị cực trị này gần với một phân phối Pareto Lý thuyết giá trị cực trị giúp ta khắc phục giả thiết khắt khe về phân phối của chuỗi thời gian trong các phương pháp đo lường rủi ro thông thường Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, những biến cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả nghiêm trọng Với mong muốn tìm hiểu về

vấn đề trên, em chọn đề tài “Lý thuyết cực trị và ứng dụng” làm đề tài tốt

nghiệp cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

- Giới thiệu một vài mô hình đo lường rủi ro

- Xây dựng mô hình đo lường rủi ro với những chuỗi lợi suất có phân phối

- Sử dụng phần mềm S- Plus ước lượng mô hình với bộ số liệu tỷ giá cụ thể

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phần mềm sử dụng: Eview, S- Plus

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Là công cụ phân tích và đo lường rủi ro tỷ giá đáng tin cậy và sát với thực tế, giúp cho các nhà đầu tư có thể dễ dàng hơn trong việc quản trị rủi ro

và từ đó có thể đưa ra quyết định đầu tư của mình

5 Nội dung đề tài

Đề tài gồm 2 chương:

- Chương I: Kiến thức chuẩn bị

- Chương II: Lý thuyết cực trị và ứng dụng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

một ánh xạ đo được từ  vào thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên (hoặc một đại lượng ngẫu nhiên)

Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên  sao cho với mỗi x thì  : X   x F

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được

ký hiệu và xác định như sau: F x X( ) P :X( )  x x, 

Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên lớp các khoảng , x của đường thẳng thực Để cho gọn ta sẽ ký hiệu ( ) ( ),

1.1.2.2 Phương sai

Định nghĩa1.3: Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực

không âm, ký hiệu D(X) được xác định bởi:

DX = E(X - E(X))2Phương sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trưng cho mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó

1.1.3.3 Độ lệch chuẩn

Định nghĩa 1.4: Độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn là một đại lượng thống kê mô tả dùng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu đã được lập thành bảng tần số

Có thể tính ra độ lệch chuẩn bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai

1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất

Hàm mật độ chuẩn tổng quát

2 2

1 ( ) 2

1( )

Đường cong mật độ này đối xứng qua đường x = µ, nhận trục Ox làm tiệm

cận ngang và có giá trị cực đại tại x = µ với tung độ cực đại là 1

là hàm đối xứng qua trục tung, đồ thị có dạng hình chuông Hàm phân phối

N(0, 1) được kí hiệu

2

2

1 ( )

Số nguyên n gọi là số bậc tự do của phân phối t

Ta có kết quả sau: Nếu X1, X n độc lập, cùng phân phối N(0, 1) thì

n có phân phối Student

1.2 Một số khái niệm tài chính

1.2.1 Tài sản

Ta biết rằng khi định giá hàng hóa người ta thường thực hiện phân tích cung cầu về hàng hóa này Phân tích cung tập trung vào phân tích chi phí, doanh thu biên Phân tích cầu đề cập tới lợi ích Tuy nhiên đối với tài sản tài chính không thể phân tích và định giá theo cách thức trên mặc dù chúng cũng là hàng hóa trên thị trường Lý do cơ bản là tài sản tài chính có các đặc điểm riêng mà nhiều hàng hóa khác không có đó là:

- Tài sản có tính thanh khoản

- Tài sản có khả năng sinh lợi

- Việc nắm giữ tài sản luôn ẩn chứa rủi ro

Theo kinh tế tài sản là tất cả những gì có giá trị kinh tế mà con người tích lũy đạt được từ quá trình phát triển của mình cùng với những tài nguyên thiên nhiên hữu ích có giá trị kinh tế

1.2.2 Danh mục

Nhà đầu tư thường tiến hành đầu tư theo danh mục nhằm đa dạng hóa

và giảm thiểu rủi ro Một danh mục lại bao gồm nhiều tài sản do vậy thông tin cần thiết ban đầu làm căn cứ để thiết lập danh mục bao gồm:

- Giá (lợi suất) của tài sản

- Mối liên hệ giữa giá của các tài sản có trong danh mục

1.2.3 Lợi suất

1.2.3.1 Lợi suất của tài sản

Trong phân tích, định giá tài sản ta quan tâm tới lợi suất tài sản vì :

- Lợi suất dễ phân tích và xử lý hơn so với giá

- Bản thân lợi suất cũng thể hiện đầy đủ thông tin về đặc điểm tài sản,

cơ hội đầu tư và hơn nữa lợi suất không phụ thuộc vào quy mô đầu tư

Ta xét một tài sản trong một chu kì nắm giữ và gọi (t-1), t là thời điểm đầu và cuối chu kì Kí hiệu S t1,S tlà giá của tài sản tại thời điểm tương ứng Tùy thuộc vào tình huống ứng dụng cụ thể, chu kì tính toán có thể là ngày (phiên giao dịch), tuần, tháng, quý, năm do trong năm các thị trường sẽ nghỉ vào các ngày cuối tuần, ngày lễ nên khi tính toán người ta thường quy ước 1 năm tương ứng với 255 (hoặc 250) ngày hoạt động (phiên giao dịch) và

50 tuần

Lợi suất trong 1 chu kì [t-1, t] của tài sản kí hiệu là r t được định nghĩa

1 1

t t t

  t t k t

( thường là thời điểm trong tương lai) Cách này tương tự như cách tính lãi đối với khoản vay và lợi suất của tài sản có thể xem như lãi suất trong việc nắm giữ tài sản

Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài sản

Nếu (t-1), t thời điểm hiện tại, tương lai khi đó ta đã biết giá S t1,nhưng không biết giá S tnên S tđược xem như là biến ngẫu nhiên vì vậy lợi suất của tài sản cũng là biến ngẫu nhiên

Lợi suất kỳ vọng của tài sản trong 1 chu kỳ nắm giữ ký hiệu r t

do đó : r t E r( )t

nếu  2 là phương sai của biến ngẫu nhiên r t khi đó độ lệch chuẩn  gọi là

độ dao động trong một chu kỳ của tài sản Độ dao động càng cao thì mức độ biến động của tài sản càng lớn do đó việc nắm giữ tài sản càng rủi ro vì vậy

có thể sử dụng độ dao động  của tài sản phản ánh mức độ rủi ro của tài sản

1.2.3.2 Lợi suất của danh mục P

Cho P: (w , w , w )1 2 n là danh mục lập từ N tài sản rủi ro và P được gọi là danh mục khả thi ( danh mục có thể trao đổi trên thị trường)

Xét danh mục khả thi P: (w , w , w )1 2 n ta có

Lợi suất của danh mục P:

w (W ', )

N

p i i i



Trong đó : W’ là vectơ tỉ trọng của danh mục

Lợi suất kì vọng của danh mục P:

1

w (W ', )

N

p i i i

1.3.1 Khái niệm rủi ro

Trong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị như các vụ phá sản lớn, các cuộc khủng hoảng trong kinh tế, tài chính và những cú sốc thị trường được nhiều người quan tâm, đặc biệt là các nhà đầu tư Đây là lĩnh vực liên quan đến quản lý rủi ro

Như vậy với quy mô phát triển và xu hướng toàn cầu hóa, trong quá trình vận hành, thị trường tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định, rủi ro Để hỗ trợ công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phương pháp tiếp cận, công cụ phân tích định lượng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành

Rủi ro có thể hiểu đơn giản là gắn với khả năng xảy ra một biến cố không lường trước, biến cố mà ta hoàn toàn không biết chắc Khi nói đến rủi

ro người ta thường coi:

- Rủi ro là sự không chắc chắn hoặc các mối nguy hiểm

- Các kết quả thực tế chênh lệch so với dự báo

- Rủi ro là “mất mát, thương tổn, sự bất lơi, sự hủy diệt, sự phá hoại” Trong thực tế có hai quan niệm về rủi ro như sau:

Rủi ro chỉ liên quan đến thiệt hại - rủi ro không đối xứng: theo quan điểm này thì rủi ro là những thiệt hại, mất mát, nguy hiểm hoặc các yếu tố liên quan đến nguy hiểm, khó khăn hoặc điều không chắc chắn có thể xảy ra cho con người

Rủi ro liên quan đến cả thiệt hại và may mắn- rủi ro đối xứng: theo quan điểm này rủi ro là khả năng sai lệch xảy ra giữa giá trị thực tế và kỳ vọng kết quả; sai lệch càng lớn, rủi ro càng nhiều

Trong lĩnh vực tài chính, rủi ro được quan niệm là hậu quả của sự thay đổi, biến động không lường trước được của giá trị tài sản hoặc giá trị các khoản nợ đối với các tổ chức tài chính và nhà đầu tư trong quá trình hoạt động của thị trường tài chính

1.3.2 Phân loại rủi ro

Trong tài chính, rủi ro có thể xảy ra do nhiều nguyên nhân, tùy thuộc vào nguyên nhân xảy ra rủi ro có thể phân loại các hình thức rủi ro tài chính như sau:

- Rủi ro thị trường: Rủi ro liên quan đến những thay đổi của những nhân tố như lãi suất, giá cổ phiếu, giá hàng hóa và tỷ giá

- Rủi ro hệ thống (Systematic Risk): Rủi ro liên quan đến toàn bộ thị trường hay toàn bộ nền kinh tế

- Rủi ro kế toán: Rủi ro liên quan đến nghiệp vụ kế toán không phù hợp với một giao dịch, có thể xảy ra khi quy trình và quy định về kế toán thay đổi hay chưa được xây dựng

- Rủi ro kinh doanh: Rủi ro liên quan đến hoạt động đặc trưng của doanh nghiệp

- Rủi ro mô hình: Rủi ro liên quan đến việc sử dụng mô hình không đúng hoặc không phù hợp, hoặc trong một mô hình tồn tại các sai số hoặc các giá trị đầu vào không đúng

- Rủi ro pháp lý (Regulatory Risk): Rủi ro xảy ra do các các giao dịch không đúng pháp luật

- Rủi ro quy mô: Rủi ro của một chiến lược phòng ngừa rủi ro trong đó nhà phòng ngừa rủi ro không biết được mình sẽ sở hữu hoặc bán bao nhiêu đơn vị tài sản giao ngay

- Rủi ro thanh toán: Rủi ro thường gặp trong các giao dịch thanh toán quốc tế, trong đó một công ty có giao dịch hai chiều đối với một đối tác khác

và gặp rủi ro là khoản thanh toán của mình đã được chuyển đi trong khi chưa nhận được khoản thanh toán của bên kia, điều này có thể do nguyên nhân phá sản không thể thanh toán hay lừa đảo

- Rủi ro tín dụng: Rủi ro xảy ra do đối tác trong hoạt động tín dụng không có khả năng thanh toán

- Rủi ro hoạt động: Rủi ro phát sinh do con người hoặc do kỹ thuật gây

Ví dụ 1.1: Một nhà đầu tư quyết đinh đầu tư một khoản tiền lớn vào

danh mục cổ phiếu châu Âu và tháng vừa rồi giá trị dang mục này đã giảm xuống 50000USD Sau khi khảo sát nguyên nhân dẫn tới sụt giảm lợi nhuận, anh ta muốn biết mức độ tổn thất tối đa vào cuối tháng này Câu trả lời ngay lập tức là anh ta có thể mất hết khoản tiền đầu tư, nhưng câu trả lời này không phù hợp với thực tế vì ai cũng biết trường hợp thiệt hại lớn này hiếm khi xảy

ra Câu trả lời thích hợp là “ nếu không tồn tại trường hợp đặc biệt, thì tổn thất tối đa trong 5% các trường hợp sẽ không vượt quá 4000USD vào cuối tháng này” Đó là khái niệm của VaR

Trong quản trị rủi ro tài chính, VaR là một giá trị sử dụng rộng rãi đo

độ rủi ro mức độ tổn thất trên một danh mục tài sản tài chính nhất định Cho một danh mục, xác suất và khoảng thời gian không đổi, VaR được định nghĩa như một giá trị ngưỡng sao cho xác suất để tổn thất danh mục trong khoảng thời gian nhất định không vượt quá giá trị này là một số  cho trước

1.4.2 Đặc điểm của VaR

Đối với nhà đầu tư thì VaR của một danh mục tài sản tài chính phụ thuộc vào thông số quan trọng sau đây:

- Độ tin cậy

- Khoảng thời gian đo lường VaR

- Sự phân bố lời/lỗ trong khoảng thời gian đo lường VaR

Đường phân bố khoản lời lỗ của danh mục đầu tư thể hiện qua thông số quan trọng nhất và khó xác định nhất Vì mức tín nhiệm phụ thuộc vào khả năng chịu đựng rủi ro của nhà đầu tư, nếu mức tín nhiệm này càng quan trọng thì VaR càng cao Nói cụ thể, nếu nhà đầu tư sợ rủi ro thì họ sẽ hoạch định một chiến lược nhằm giảm xác suất xảy ra các trường hợp xấu nhất

1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết

1.4.3.1 Dẫn suất mô hình

Giả sử rằng một nhà đầu tư quyết định đầu tư một danh mục tài sản P Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tư là Vt Sau một khoảng thời gian

t, tức là tại thời điểm k = t + t thì giá trị của danh mục đầu tư là Vk

Hình 1:Biểu diễn thay đổi giá trị tài sản sau khoảng thời gian

Khi đó, giá trị V(k) = Vk – Vt cho biết sự thay đổi giá trị của danh mục P trong khoảng thời gian t V(k) gọi là hàm lỗ - lãi (Profit&Loss – P&L(k)) k chu kỳ của danh mục Ta nhận thấy:

- Nhà đầu tư ở vị trí “trường” đối với P sau chu kỳ k nếu V(k) < 0 (P&L(k) < 0) sẽ bị tổn thất

-Nhà đầu tư ở vị trí “đoản” đối với P sau chu kỳ k nếu V(k) > 0 (P&L(k) > 0) sẽ bị tổn thất

Ta thấy Vk là biến ngẫu nhiên nên P&L(k) cũng là biến ngẫu nhiên Gọi

Fk(x) là hàm phân bố xác suất của P&L(k) và cho 0 < α < 1 Khi đó ta có P(P&L(k) ≤ xα) = α và giá trị xα gọi là “Phân vị mức α” của hàm phân bố Fk Với α khá nhỏ thì xα < 0 do đó P&L(k) < 0 tức là nhà đầu tư trường vị sẽ bị tổn thất Xét Pr(P&L(k) xα), ta có

Pr(P&L(k) xα) = 1 - Pr(P&L(k) ≤ xα) = 1 - α do đó với α khá nhỏ thì P&L(k) > 0 tức là nhà đầu tư đoản vị sẽ bị tổn thất

k

Hình 2: Biểu diễn mức phân vị

Xem xét nhà đầu tư ở vị thế trường vị, khi tức là nhà đầu tư sẽ chịu tổn thất P( ≤ xα) = α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu tổn thất dưới mức xα

(xα <0) là α

Ngược lại, nhà đầu tư ở vị thế đoản vị, tức là nhà đầu tư sẽ chịu tổn thất P( xα) = 1 - P( ≤ xα) = 1 - α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu mức tổn thất trên mức xα (xα >0) là 1- α

Đứng trên cả hai vị thế cho nhà đầu tư, khi nhà đầu tư chịu tổn thất tức

là giá trị danh mục sụt giảm (giá trị âm) Trong cả hai trường hợp trên, α được cho như xác suất để mức tổn thất không vượt quá giá trị âm này Ngưỡng giá trị âm này chính là VaR Như vậy VaR của một danh mục với chu kỳ k và độ tin cậy (1-α) là mức phân vị α của hàm phân bố Fk(x) Đại lượng này được ký hiệu là VaR(k, α) và mang giá trị âm

Như vậy ta có P( ≤ VaR(k, α)) = α Điều này cho thấy rằng, một nhà đầu tư nắm giữ danh mục P thì sau một chu kỳ k, với độ tin cậy (1- α)100%, nhà đầu tư có khả năng tổn thất một khoản sẽ bằng trong điều kiện hoạt động bình thường

1.4.3.2 Mô hình Var

VaR của một danh mục ( hoặc của một lượng tài sản ) với chu kỳ k( đơn vị thời gian ) và độ tin cậy ( 1- α)100% là phân vị mức α của hàm (x)

x x





y=f(x)

y

Ta ký hiệu đại lượng này là VaR( k, α) và dấu âm của VaR biểu thị tổn thất hay thua lỗ

Ta có: Pr( P (k) VaR( k, α) = α

Ý nghĩa của VaR( k, α): Nhà đầu tư nắm giữ danh mục P sau chu kỳ k, với độ tin cậy ( 1- α)100% khả năng tổn thất 1 khoảng bằng | VaR( k, α) | trong điều kiện thị trường hoạt động bình thường

Độ chính xác của ước lượng VaR phụ thuộc vào các yếu tố:

- Giá trị hiện tại của danh mục

- Mức độ tin cậy định trước (α)

- Chu kỳ tính (k)

- Số liệu và phương pháp sử dụng để tính

Ví dụ 1.2: Ngân hàng JP Morgan trong báo cáo tài chính năm 1994 có

công bố: VaR(1 ngày, 5%) là 15 triệu USD Như vậy với xác suất 5%, trong một ngày toàn hệ thống của JP Morgan có khả năng thua lỗ là 15 triệu USD

Chú ý: Trong thực tế, theo tiêu chuẩn quốc tế:

- Nếu chu kỳ tính k = 1 ngày thì α = 1% hoặc 5%

- Nếu chu kỳ tính k = 10 ngày thì α = 1%

Ta có lợi suất danh mục trong chu kỳ k:

1.4.4.1 Mô hình VaR tham số

Mô hình VaR sử dụng phổ biến với lợi suất thường giả định lợi suất danh mục (hoặc tài sản ) có phân phối chuẩn do đó chỉ cần sử dụng hai tham

số : kỳ vọng và độ lệch chuẩn VaR tham số

a, Mô hình VaR đối với lợi suất tài sản

Giả thiết: chuỗi lợi suất (theo ngày) của tài sản: rt là chuỗi dừng và có

Ví dụ 1.3: Nhà đầu tư nắm giữ một khối liệu cổ phiếu A có giá trị hiện

tại Vt = 100 triệu đồng, lợi suất (1 ngày) có phân bố chuẩn rt ~ N(, 2

) với  = 3% Với mức ý nghĩa  = 5% Hãy tính VaR của lượng cổ phiếu A

và giải thích ý nghĩa

Giải :

Lợi suất trong một ngày thường khá nhỏ nên ta sẽ giả định  = 0

Ta có VaR của lợi suất: VaR (1 ngày, 5%) = -1,65*0,03 = -0,0495

Suy ra VaR của danh mục :

VaR (1 ngày, Vt, 5%) = VaRLợi suất (1 ngày, 5%)*Vt = (-0,0495)*100 = -4,95

(triệu đồng)

Vậy sau 1 ngày với xác suất 5% khả năng nhà đầu tư có thể lỗ là 4,95

triệu đồng

b, Mô hình VaR đối với danh mục

Cho danh mục P : (w1, w2, …, wN) với lợi suất các tài sản trong danh

1.4.4.2 Mô hình VaR phi tham số

Trong trường hợp không biết được phân bố xác suất của chuỗi lợi suất

rt , sử dụng số liệu quan sát của rt và các phương pháp như: mô phỏng, mô hình kinh tế lượng, mô hình giá trị cực trị để: