Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011... ĐẠI HỌC QUỐC G

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO

LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO

LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Trần Trọng Nguyên

Hà Nội - 2011

Mục lục

1.1 Phân phối cực trị 6

1.2 Miền hấp dẫn cực đại 15

1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng 22

1.4 Phân phối Pareto tổng quát 22

1.5 Hàm phân vị 25

1.6 Biểu đồ Q-Q và P-P 26

1.7 Ước lượng các mô hình cực trị 26

1.8 Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình 29

Chương 2 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài chính 32 2.1 Rủi ro tài chính 32

2.2 Mô hình đo lường rủi ro 35

2.2.1 Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ 35

2.2.2 Mô hình VaR 37

2.2.3 Mô hình ES 39

2.2.4 Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES 39

2.2.5 Một số độ đo rủi ro 44

2.2.6 Một số công thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phối thường gặp 45

2.3 Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro 46

2.3.1 Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ 46

2.3.2 Sự thua lỗ với tài sản đơn 46

2.3.3 Sự thua lỗ với danh mục đầu tư 47

2.4 Một số phương pháp tính các độ rủi ro 47

2.4.1 Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ 47

2.5 Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn 49

2.5.1 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn 49

2.5.2 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các danh mục đầu tư 50

2.6 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứng khoán 50

2.7 Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB 54

2.7.1 Số liệu 54

2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡng 56

2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro Varq và mức tổn thất kỳ vọng ES q 60

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều

sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thịtrường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997), và mới đây là cuộc khủng hoảngthị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suygiảm kinh tế toàn cầu Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gầnđây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tàichính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụquản lý rủi ro chưa được tốt Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủi

ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chứctài chính là một việc rất quan trọng

Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,rủi ro lãi suất, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động, trong đó rủi ro thị trườngđóng một vai trò quan trọng Trong đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vàocác phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành vàphát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính

Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô

tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, những biến

cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:

Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị Chương này trình bày định lýcủa Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, kháiniệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối

F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q − Q và P − P, vv.

• Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tàichính Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính của

các độ rủi ro như VaR q , ES q là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi

ro Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứngkhoán RACB Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaò

cổ phiếu này

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên nộidung không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoànchỉnh hơn Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011

Học viên

Lê Đức Thọ

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thểhoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn tốt nghiệp cao học

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011

Học viên

Lê Đức Thọ

Chương 1

Tổng quan về lý thuyết cực trị

1.1 Phân phối cực trị

Cho X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm

phân phối là F và x∗ là điểm phải của F, tức là

x∗ = sup{x : F(x) < 1},x∗ có thể là vô hạn

Khi đó, max(X1, X2, , X n) → x P ∗, khi n →∞, trong đó ký hiệu P

→ là hội tụtheo xác suất, vì

P (max(X1, X2, , X n ) ≤ x) = P(X1 ≤ x,X2≤ x, ,X n ≤ x) = F n (x)

hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x∗ và 1 nếu x ≥ x∗

Giả sử tồn tại dãy hằng số a n > 0 và b n thực n = 1,2,··· sao cho:

Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các hàm phân phối G có thể xảy

ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực

Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và

đủ cho hàm phân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn Lớp các hàm phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là miền hấp dẫn của G.

Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có

Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự Chọn 0 < ε1 <ε

sao cho g←(x) −ε1 là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm

liên tục của g là trù mật Do g← là liên tục tại x, g←(x) là một điểm của hàm tăng g, do đó g(g←(x) −ε1) < x Chọn σ < x − g(g←(x) −ε1) Do g←(x) −ε1

là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n0 sao cho:

với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G←(e−1x ).

Chứng minh. Tính tương đương của 2 và 3 được suy ra từ bổ đề 1.1.1 Ta đãkiểm tra là 1 tương đương (1.6) Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3

Cho x là điểm liên tục của D Với mọi t ≥ 1,

Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x0), với mọi điểm liên tục x0> x

Định lý 1.1.3 (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phân

phối cực trị là Gγ(ax + b) với a > 0, b ∈ R, ở đây:

Chứng minh Xét lớp các phân phối giới hạn D trong (1.8) Đầu tiên, giả sử rằng

1là điểm liên tục của D Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,

Giả sử không đúng, thì tồn tại A1, A2, B1, B2 với A1 khác A2 hoặc B1 khác

B2, ở đây B i là các điểm giới hạn của U (ty) −U(t)

a (t) và A i là các điểm giới hạncủa a (ty)

a (t) , i = 1,2 khi t →∞ Ta tìm từ (1.11) để

E (xy) = E(x)A i + B i, i= 1, 2, (1.12)

với tất cả các điểm liên tục x của E(·) và E(·y) Cho x tùy ý, lấy một dãy các điểm x n sao cho x n → x khi n →∞, thì E(x n y ) → E(xy) và E(x n ) → E(x), vì E

là liên tục trái Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0.

Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1,2, ta có được

E (x)(A1− A2) = B2− B1, với mọi x > 0.

Vì E không thể là hằng số (hàm G là không suy biến) nên A1= A2 và do đó

E (xy) = E(x)A(y) + E(y).

Từ đó với s = logx, t := logy ( x,y khác 1 ), và H(x) := E(e x), ta có

Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H

khả vi tại mọi điểm và

H0(t) := H0(0)A(e t) (1.15)

Đặt Q(t) := H (t)

H0(0) Chú ý rằng H0(0) khác 0: H không là hằng số do G không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q0(0) = 1

Từ (1.13):

Q (t + s) − Q(t) = Q(s)A(e t),

và từ (1.15):

Q (t + s) − Q(t) = Q(s)Q0(t). (1.16)Trừ các biểu thức trên cho nhau ta có:

Q (t) · Q0(s) − 1

s = Q (s)

s [Q0(t) − 1].

Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx0),

với x0 là điểm liên tục của D.

Định nghĩa 1.1.4 Cho X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối, với hàm phân phối F Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọn được dãy a n > 0 và b n sao cho:

P max(X1, X2, , X n ) − b n

a n ≤ x= P(X1 ≤ x) với mọi x và n = 1,2

Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị Gγ

Định nghĩa 1.1.5 Tham sốγ trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị

Chú ý 1.1.6 Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:

Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV2 :

G2,α(x).

Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = Gγ, vớiγ ∈ R, ta nói rằng phân

phối F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ Kí hiệu là: F ∈ D(Gγ)

Định lý 1.1.7 Choγ ∈ R Các mệnh đề sau là tương đương:

1 Tồn tại các hằng số thực a n > 0 và b n thực sao cho

ở đây vớiγ = 0 thì vế phải được coi là log x.

3 Có một hàm dương a sao cho

Với g là một hàm không giảm và h← là hàm ngược liên tục phải của nó Từ đósuy ra

nghĩa là 4 thỏa mãn Ngược lại 4 ⇒ 2 được chứng minh tương tự

Ví dụ 1.1.8 Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:

với mọi x > 0,

lim

n→ ∞n [1 − F(a n x + b n )] = e −x (1.23)với

b n:= (2 log n − loglogn − log(4π))1/2 (1.24)và

a n := 1

Đầu tiên, chú ý rằng b n /(2 log n)1/2 → 1 khi n →∞; vì vậy

log b n− 2−1log log n− 2−1log 2→ 0

bởi định lý Lebesgue về hội tụ trội Vì vậy (1.23) đúng

Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay a n bởi a0

Trong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phối

F nằm trong miền hấp dẫn của G.

Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với

Định lý 1.2.1 Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực

2 Vớiγ < 0: tồn tại x∗ <∞sao cho

Hệ quả 1.2.4 Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ thì

với mọi x > 0 và a n := U(n);

với mọi x < 0 và a n := x∗−U(n);

3 Vớiγ = 0:

lim

n→ ∞F

n (a n x + b n ) = exp(−e −x),

với mọi x và a n = f (U(n)), b n = U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3.

Định lý 1.2.5 Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực

trị Gγ nếu và chỉ nếu với một hàm dương f ,

Định lý 1.2.6 Hàm phân phối F nằm trong D(Gγ) nếu và chỉ nếu tồn tại các

hàm dương c và f , f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t0, x∗), t0 < x∗,

với mọi x > 0 và lim

Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43) Vế trái và vế phải hội tụ lần lượttới x

= x−

1

γ.

1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng

Cho F là một hàm phân phối và x∗ := sup{x : F(x) < 1} Xét u là một ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x∗ của hàm F Ta gọi F [u] là phân phối điều kiện

vượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì:

Với: F(x) = 1 − F(x) được gọi là đuôi của phân phối F.

Điểm trái của F tại u là α(F [u] ) = inf{x : F [u] (x) > 0} Ta cóα(F [u] ) = u.

1.4 Phân phối Pareto tổng quát

Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị

EV:

W (x) = 1 + logG(x) nếu log G(x) > −1.

Các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối cực trị EV ở chú ý 1.1.6 là:

Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F, nếu ta chọn được các hằng số b u và a u thỏa mãn:

F [u] (b u + a u x ) = F(x).

Ở đây F [u] (x) = F (x)−F(u)1−F(u) là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u

• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W0 có điểm trái bằng 0,

W0,0,[u]σ = W0, µ , σ

• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W1, α , µ , σ vớiµ +σ <µ:

W1,[u]α , µ , σ = W1, α , µ,u−µ

• Hàm phân phối vượt ngưỡng Wγ, µ , σ với µ < u và σ+γ(u −µ) > 0,

Wγ[u], µ , σ = Wγ,u,σ + γ(u−µ )

0,5 1

0,5 1

Hình 1.2: Hình vẽ bên trái: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ Pareto vớiγ = 0, 5;

γ = 1 Hình vẽ bên phải: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ beta với γ = −0,3;

γ = −0,5.

0,5 1

Hình 1.3: Hàm phân phối beta W−0,3 (nét liền) và phân phối vượt ngưỡng

W−0,3[1] = W−0,3,1,0,7 (nét đứt)

1.5 Hàm phân vị

Nếu hàm phân phối F là liên tục và tăng ngặt trên (α(F); x∗) thì hàm F←

sẽ là hàm ngược của F và để đơn giản ta kí hiệu là F−1:

F−1(q) := inf{x : F(x) ≥ q} (0 < q < 1).

Chú ý: F−1(q) là q-phân vị của F Khi đó, nếu Fµ,σ là phân phối có trungbình là µ và độ lệch chuẩn σ thì:

Fµ−1, σ =µ+σF−1

ở đây F = F0,1 là phân phối chuẩn

Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham sốα:

• Gumbel (EV0): G−10 (q) = −log(−log(q)).

• Fr ´echet (EV1),α > 0: Φ−1

α (q) = (−log(q))−α1

• Weibull (EV2),α < 0:Ψ−1

α (q) = −(−log(q))−α1.Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham sốγ:

G−1γ (q) =

h

(−log(q))−γ− 1i

trường hợpγ = 0 ta có hàm phân vị Gumbel là G−10

Hàm phân vị của phân phối GPD với biểu diễn tham sốα:

• dạng mũ (GP0): W0−1(q) = −log(1 − q),

• Pareto (GP1), α > 0: W1,−1α(q) = (1 − q)−α1,

• Beta (GP2),α < 0: W2,−1α(q) = −(1 − q)−α1

Giá trị của hàm phân vị ˆF−1

n (q) sẽ được vẽ tương ứng với F−1(q) Biểu đồ

Q − Q được vẽ bởi các điểm:

Do đó, biểu đồ Q-Q là tập các điểm: (F−1(q i ); x i:n ), i = 1, n Nó sẽ xấp xỉ

đồ thị (x;µ +σx) Hiển nhiên hệ số chặn và hệ số góc của biểu đồ Q-Q là ướclượng củaµ vàσ, thông thường chọn q i= i− 0,5

1.7 Ước lượng các mô hình cực trị

• Mô hình Gumbel (EV0): Đây là một mô hình truyền thống trong phân tíchgiá trị cực trị Nó được coi là mô hình chuẩn trong việc áp dụng vào các

lĩnh vực khác.

Phân phối chuẩn Gumbel là G0(x) = exp(−e −x) Bằng cách thêm vào cáctham số µ, σ có mô hình Gumbel (EV0):

EV0: {G0, µ , σ, µ thực , σ > 0}

Các giá trị ước lượng cho µ và σ:

MLE (EV0): ước lượng MLE s cho µn và σn Đầu tiên σn là nghiệm củaphương trình:

là ước lượng của µ, σ trong mô hình Gumbel Ở đây, x là trung bình mẫu,

s2n là phương sai mẫu

• Mô hình Fr ´echet (EV1): Phân phối chuẩn Fr ´echet với tham số α > 0 đượccho bởi Φα = exp(−x− α) với x > 0 Với việc thêm tham số σ có mô hình

• Mô hình Weibull (EV2): Phân phối chuẩn Weibull với tham sốα < 0 đượccho bởiΨα(x) = exp(−(−x)− α) với x ≤ 0 Mô hình:

Một số mục liên quan đến quá trình ước lượng:

• MLE (EV ): Ước lượng MLE trong mô hình EV là ước lượng bằng số và

là nghiệm của phương trình hợp lý MLE xác định cực đại địa phương củaphương trình hợp lý vớiγ > −1.

• MDE (EV ): cho d là một khoảng cách trên tập các hàm phân phối thì

(γn,µn,σn) là một MDE nếu

d( ˆF n , Gγn, µn, σn) = inf

γ , µ , σd( ˆF n , Gγ,µ,σ)Hơn nữa, MDE được thiết lập dựa trên khoảng cách giữa các hàm mật độ

• LRSE (EV ): đây là ước lượng tổ hợp tuyến tính của tỉ số khoảng cách:

Nếu q0, q1 và q2 thỏa mãn: (−logq1)2= (−log q2)(−log q0), từ đây ta có:

γn= 2 log(ˆr)

loglogq0

log q1



là ước lượng của γ Nếu q0= q, q1 = q a , q2= q a2 (0 < q, a < 1) thì:

f1,r,α(x) = αr

Γ(r) · (logx) r−1· x−(1+α), (x > 1)

với α = 1

σ Ta thấy rằng phân phối Log-Gamma có các tham số r,α > 0.

Nếu r = 1 thì ta có mật độ chuẩn Pareto với tham sốα

Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Log - Gamma thì −1

Gamma exponential (GPO)

log-Gamma Pareto (GP1)

GP-Gamma 2 Beta (GP2) -1/X log (X)

Hình 1.4: Mối liên hệ giữa các mô hình

• Phân phối Gamma đủ và Log-Gamma đối với max: Nếu r < 1 và γ < −1

thì mật độ GP-Gamma có cực điểm tại 0 và đơn điệu giảm Nếu r > 1 thì

có một điều tương tự mật độ EV

– Mật độ gamma có đuôi trên loại mũ và gần 0 bởi trung bình của thừa số

Mô hình gamma tổng quát gồm có mô hình Weibull ngược (r = 1); β = 2

x a−1(1 − x) b−1dxgọi là hàm beta Hàm mật độ beta trong

mô hình GP2 tạo nên một trường hợp đặc biệt: W1,α,1,1 = f1 ,− α