Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a
và ·ASC=1200 ; ·BSC=900 ; ·ASB=600
Tính thể tích của hình chóp
Giải : Gọi H là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SH ⊥ AC (1)
+ ∆ BSC vuông tại S => BC =a 2
+ ∆ ASB cân tại S ; ·ASB =600 => AB=a
+ ∆ ASC cân tại S ; ·ASC =1200
AC2 = SA2 +SC2 −2SA.SC.cos1200 =3a2
=> AC= a 3 ; SH =
2
SA
2
− ÷ =a2 Tam giác ABC có AB2 +BC2 =AC2 (=3a2)
=> ∆ ABC vuông tại B => BH =AC
2 =;
Ta có SH2 +BH2 = a2
4 +3a2
4 =a2 =SB2 => ∆ SHB vuông tại H
=> SH ⊥ HB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : SH ⊥ (ABC)
Và SABC = 1
2AB.BC=1
2a.a 2 =a2 2
2 Thể tích của hình chóp : V.SABC = 1
3SH.SABC = 1
3
a 2
2
2 =a3 2
12
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ·ASC=1200 ; ·BSC
=900 ; ·ASB=900 Tính thể tích của hình chóp
Giải : Theo đề bài : SB ⊥ SC ; SB ⊥ SC => SB ⊥ (ABC)
SASC = 1
2SA.SC.sin1200 = 1
2a.a 3
2 =a2 3 4 Thể tích của hình chóp : V.SABC = 1
3SB.SASC = 1
3a.a2 3
4 =a 33
12
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ·ASC=900 ; ·BSC
=600 ;·ASB=600 Tính thể tích của hình chóp
Giải :C1 : + ∆ ASC vuông tại S => AC =a 2
+ ∆ ASB cân tại S ; ·ASB =600 => AB=a
S
B
C
Trang 2+ ∆ BSC cân tại S ; ·BSC =600 => BC=a
Gọi I là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SI ⊥ AC
∆ ABC cân tại B => BI ⊥ AC
=> (SBI) ⊥ AC
+ Gọi H là hình chiếu của S lên BI
Ta có SH ⊥ BI
Và SH ⊥ AC ( vì AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) )
Suy ra SH ⊥ (ABC)
Tam giác ABI vuông có BI2 =AB2 −AI2 =a2 −
2
a 2 2
=
2
a
2 => BI = a
2
Và SI=AC
2 = a
2 ; cos ·SBI =SB2 BI2 SI2
2.SB.BI
2
a a 2.a
2
= 2
2 => ·SBI =450
Tam giác SHB vuông tại H có sin ·SBH =SH
SB => SH=a 2
2 Và SABC = 1
2BI.AC=1
2
a
2 a 2 =a2
2 Thể tích của hình chóp : V.SABC = 1
3SH.SABC = 1
3
a 2 2
2
a
2 =a3 2 12
C 2 : + Gọi H là hình chiếu của B lên mp(SAC)
+ M,N lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh SA,SC
Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM
SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN
Suy ra ∆ SBM = ∆ SBN
Vì SB chung ; 1góc vuông; ·BSM = ·BSN =600
=> SM=SN ; HM=HN
cos ·BSM =SM
SB => SM=a
2 Theo chứng minh trên => SH là phân giác góc ·ASC
SH= SM·
cos MSH = a
2 => BH = 2 2
SB −SH = a2
A
H S
B
C I
A
H B
S
C N
M
S
M
B
Trang 3SSAC = 1
2SA.SC.sin900= a2
2 Thể tích hình chóp : VSABC =1
3BH.SSAC = 1
3
a 2
2
a
2 =a3 2 12
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ·ASC=900 ; ·BSC
=1200 ;·ASB=1200 Tính thể tích của hình chóp
Giải :C1 : + ∆ ASC vuông tại S => AC =a 2
+ ∆ ASB cân tại S ; ·ASB =1200 => AB=a 3
+ ∆ BSC cân tại S ; ·BSC =1200 => BC=a 3
Gọi I là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SI ⊥ AC
∆ ABC cân tại B => BI ⊥ AC
=> (SBI) ⊥ AC
+ Gọi H là hình chiếu của S lên BI
Ta có SH ⊥ BI
Và SH ⊥ AC ( vì AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) )
Suy ra SH ⊥ (ABC)
Tam giác ABI vuông có BI2 =AB2 −AI2 =3a2 −
2
a 2 2
=
2
5a 2
=> BI =a 5
2 ; SI=AC
2 = a
2 ; cos ·SBI =SB2 BI2 SI2
2.SB.BI
2
3a
a 5 2.a
2
= 3 10
=> sin ·SBI = 1 cos SBI− 2· = 110
Tam giác SHB vuông tại H có sin ·SBH =SHSB => SH= a
10 Và SABC = 1
2BI.AC=1
2
a 5
2 a 2 =a2 5
2 Thể tích của hình chóp : V.SABC = 1
3SH.SABC = 1
3
a 10
2
2 =a3 2
12
C 2 : + Gọi H là hình chiếu của B lên mp(SAC)
+ M,N lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh SA,SC
Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM
A
I S
B
C H
A
H
B
S
C N
M
Trang 4SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN
Suy ra ∆ SBM = ∆ SBN
Vì SB chung ; 1góc vuông; ·BSM = ·BSN =600
( Kề bù với ·BSC ;·ASB )
=> SM=SN ; HM=HN
cos ·BSM =SM
SB => SM=a
2 Theo chứng minh trên => SH là phân giác góc ·MSN SH= SM·
cos MSH = a
2 => BH = SB2 −SH2 = a
2
SSAC = 1
2SA.SC.sin900= a2
2 Thể tích hình chóp : VSABC =1
3BH.SSAC = 1
3
a 2
2
a
2 =a3 2 12
S
M
B
120 0
A
Trang 5B A
S
N
K B
A
S
N
K