Sự ổn định của hệ MJLS rởi rạc

Với các đối tượng khi mà có sự thay đổi đột ngột nào đó, mô hình của đối tượngcũng thay đổi theo thì ta cần có một tập hợp các mô hình mô tả các trạng thái tươngứng và cách thức chuyển đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

giáo hướng dẫn Th.s Nguyễn Trung Dũng Thầy đã giao đề tài "Sự ổn định của

hệ MJLS rời rạc" cho em và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành

khóa luận này Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy

cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình họctập tại khoa

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K35A Toán đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan:

Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực tự bản thân và sự hướng

dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.s Nguyễn Trung Dũng.

Nội dung khóa luận không trùng lặp với bất kì công trình nghiên cứu nào

đã công bố

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Vân

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình toán học là bài toán đầu tiên gặp phải đối với người làm điều khiển Bất

cứ đối tượng thực tế nào đều có thể mô tả các thuộc tính của nó bằng các phươngtrình toán học Ứng với mỗi đối tượng khác nhau lại có những thuộc tính khác nhau,dẫn tới phương pháp mô hình toán học và phương trình toán học mô tả nó cũngkhác nhau Các phương trình toán có thể là tuyến tính, phi tuyến, liên tục, hay rờirạc

Với các đối tượng khi mà có sự thay đổi đột ngột nào đó, mô hình của đối tượngcũng thay đổi theo thì ta cần có một tập hợp các mô hình mô tả các trạng thái tươngứng và cách thức chuyển đổi giữa các mô hình Trên thực tế, ta không biết chính xáckhi nào xảy ra chuyển mô hình cũng như chuyển sang mô hình nào Ta chỉ có thểđưa ra xác suất về quá trình đó Trong luận văn này, em đi tìm hiểu về lớp các đốitượng như vậy, ví dụ như: hệ thống kinh tế, hệ thống điều khiển máy bay, hệ thốngđiều khiển robot Các hệ thống này được mô hình bằng tập các mô hình tuyến tínhgián đoạn cùng với việc mô tả quá trình chuyển mô hình tuân theo quy luật của xíchMarkov Những hệ thống như vậy thường được gọi là hệ thống tuyến tính bước nhảy(MJLS)

Tiếp theo của việc mô hình hóa hệ thống, chúng ta phải đi khảo sát sự ổn địnhcủa hệ thống Điều này được thực hiện dựa trên những phân tích đối với các mô hìnhcủa nó Như vậy vai trò của việc mô hình hóa và kiểm tra sự ổn định của hệ thống là

vô cùng quan trọng Ở đây, em trình bày luận văn tập trung vào vấn đề chứng minh

sự ổn định của hệ thống MJLS Luận văn bao gồm các phần sau:

Chương 1: Kiến thức cơ sở Trình bày về các kiến thức toán học liên quan như quá

trình Markov, một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính, lý thuyết về hệ tuyếntính nhảy với thời gian rời rạc (MJLS)

Chương 2: Sự ổn định của MJLS Trình bày về hệ thống MJLS và phân tích sự ổn

định của hệ thống và các ví dụ minh họa

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đềtrong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có nhữngsai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Quá trình Markov 5

1.1.1 Xích Markov 5

1.1.2 Xác suất chuyển trạng thái 7

1.1.3 Ma trận xác suất chuyển 8

1.1.4 Phương trình Chapman-Kolmogorov 9

1.2 Hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc(MJLS ) 11

1.2.1 Hệ MJLS rời rạc 11

1.2.2 Một số định nghĩa 11

1.3 Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính 12

1.3.1 Bổ đề Schur 12

1.3.2 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính 13

Chương 2 CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH THEO MOMENT CẤP 2 15

2.1 Các tiêu chuẩn ổn định 15

2.2 Các ví dụ minh họa: 32

KẾT LUẬN 38

Tài liệu tham khảo 39

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Đầu thế kỷ XX, A A Markov (14 / 6 / 1856 - 20 / 7 / 1922) - nhà Toán học

và Vật lý nổi tiếng người Nga đã đưa ra một mô hình toán học để mô tả chuyểnđộng của các phân tử chất lỏng trong một bình kín Về sau mô hình này được pháttriển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học, sinh học, y học, kinh

tế, và được mang tên là: Quá trình Markov Trong những năm gần đây, quá trìnhMarkov được ứng dụng rất nhiều trong thương nghiệp, tin học, viễn thông, XíchMarkov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thể đánh số được cáctrạng thái)

1.1.1 Xích Markov

Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa xích Markov

Kí hiệu X (t) là vị trí của hệ tại thời điểm t E là tập gồm các giá trị của X (t).

E được gọi là không gian trạng thái của X (t) Ta nói rằng X (t) có tính Markov nếu:

P{X(tn+1) = j|X (t0) = i0, , X (tn−1) = in−1, X (tn) = i}

= P{X (tn+1) = j|X (tn) = i}

1.1.2 Xác suất chuyển trạng thái

Đặt p(s, i,t, j) = P{X (t) = j|X (s) = i}, (s < t) là xác suất có điều kiện để hệtại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j Do đó ta gọip(s, i,t, j) là xác suất chuyển trạng thái của hệ

Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (t − s), tức là p(s, i,t, j) = p(s + h, i,t +

h, j) thì ta nói hệ thuần nhất theo thời gian

Nhận xét

1 Các xích Markov ở ví dụ 1 và 2 ở trên không thuần nhất

2 Nếu trong ví dụ 1 cho ξ0, ξ1, , ξn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập

và cùng phân phối xác suất thì (ξn; n = 0, 1, ) là xích Markov thuần nhất

và ngược lại

3 Nếu trong ví dụ 2 cho η1, η2, , ηn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độclập và cùng phân phối xác suất thì (Xn, n = 1, 2, ) là xích Markov thuầnnhất Thật vậy, bằng lập luận như trên ta có:

không phụ thuộc vào n.

P = (pi j) được gọi là ma trận xác suất chuyển sau 1 bước

pi j là xác suất có điều kiện để hệ tại thời điểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyểnsang trạng thái j tại thời điểm n + 1 (tương lai)

p(n)i j = P(Xn+m= j|Xm = i)

= P(Xn = j|X0= i)

Nếu đặt các biến cố A = (Xn+1= j), B = (Xn= i),C = (X0= i0, , Xn−1= in−1)thì tính Markov có nghĩa là P(A|B) = P(A|BC) Từ đó suy ra

Ma trận có tính chất như thế được gọi là ma trận ngẫu nhiên.

Xác suất chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức:

(1.1.1) được gọi là phương trình ngược.

(1.1.2) được gọi là phương trình thuận

(1.1.3) được gọi là phương trình Chapman - Kolmogorov

Giải thích:

Để chứng minh(1.1.1) ta lập luận như sau:

Hệ xuất phát từ trạng thái i, sau n + 1 bước chuyển sang trạng thái j là kết quảcủa việc hệ xuất phát từ trạng thái i, sau 1 bước chuyển sang trạng thái k nào đó;thế rồi hệ xuất phát từ trạng thái k, sau n bước tiếp theo chuyển sang trạng thái j Vìvậy, từ công thức xác suất đầy đủ và tính Markov ta suy ra (1.1.1) Thật vậy, theocông thức xác suất đầy đủ ta có:

Điều này chứng minh (1.1.1)

Các công thức (1.1.2), (1.1.3) được chứng minh tương tự

Các phương trình trên có dạng ma trận như sau:

P(n+1)= P.P(n)

P(n+1)= P(n).P

Giả sử P{σ0 = i} = 1 Với σk = i thì H(i) ∈ {H1, H2, , HN}

Khi đó, hệ (1.2.4) được gọi là hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc hay MJLSrời rạc

1.2.2 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1.

Hệ (1.2.4) được gọi là ổn định σ - moment mũ (exponentially σ - moment stable)

nếu ∀x0 ∈ Rx, tồn tại các hằng số α, β > 0 độc lập với x0 sao cho:

1.3 Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính

1.3.1 Bổ đề Schur

Định nghĩa 1.3.1 Nghịch đảo suy rộng

thì α ≤ ρ(A) ≤ β Nếu αx < Ax, thì α < ρ(A) Nếu Ax < β x, thì ρ(A) < β

Bổ đề 1.3.3.

1 Nếu A và B là các ma trận xác định dương thì tồn tại ma trận không suy biến

T sao cho TTAT = I và TTBT là ma trận chéo hóa được (TT là ma trận chuyển vị của T ).

2 Nếu A, B, A − B là các ma trận xác định dương, thì tồn tại một ma trận không

trận chéo hóa được, ma trận có các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của ma trận X

3 Nếu A, B, A − B là các ma trận xác định dương, thì

0 < λmin(BA−1) ≤ λ (BA−1) ≤ λmax(BA−1) < 1,

λmin(BA−1)xTAx≤ xTBx≤ λmax(BA−1)xTAx, ∀x ∈ Rn

Chứng minh.

1 Từ A > 0, tồn tại ma trận không suy biến T1sao cho A = T1TT1 Vì T1−TBT1−1>

0, tồn tại một ma trận chéo hóa được T2thỏa mãn T2TT2= I và T2T(T1−TBT1−1)T2chéo hóa được Lấy T = T1−1T2 không suy biến, ta có TTAT = I và TTBTchéo hóa được

2 Lấy T là ma trận thỏa mãn điều kiện ở trên, thì ta có:

Từ A − B > 0 do đó 1 − σ (BA−1) > 0, , λmax(BA−1) < 1

Dễ dàng chỉ ra rằng bởi vì B > 0 nên λmin(BA−1) > 0

Với mọi x 6= 0, ta có:

xTBx

xTAx =

(T1x)T(T1−TBT1−1)(T1x)(T1x)T(T1x)

Chương 2

CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH THEO MOMENT CẤP 2

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự ổn định theo moment cấp 2 (hay

ổn định bình phương trung bình) của hệ (1.2.4) Ở đây, chúng ta sử dụng phươngpháp Lyapunov thứ hai để nghiên cứu sự ổn định

Định lý 2.1.1.

suất chuyển P Khi đó, hệ (1.2.4) là ổn định moment cấp 2 mũ nếu và chỉ nếu với

Q(1), Q(2), , Q(N) là các ma trận dương cho trước tồn tại các ma trận xác định

x

Chứng minh điều kiện cần

Với các ma trận dương cho trước Q( j), j ∈ N ta định nghĩa:

Định nghĩa:

e

Pk(i) = E{ ePk|σk = i} với k ≥ 0Khi đó:

σk−1, σk−2, và ma trận P(σk) chỉ phụ thuộc σk Do vậy nếu chúng ta sử dụng hàm Lyapunov V (xk, σk) = xTkR(σk−1)xk thì ta có kết quả sau:

Định lý 2.1.2.

suất chuyển P khi đó hệ (1.2.4) ổn định ngẫu nhiên theo moment cấp 2 nếu và chỉ

= αHT(i)H(i) + HT(i)(R(i) − S(i))H(i) − P(i)

= αHT(i)H(i) + HT(i)R(i)H(i) − P(i) − HT(i)S(i)H(i)

= αHT(i)H(i) − αI − HT(i)S(i))H(i) = −Q(i),

và P(i), Q(i)(i = 1, 2, , N) xác định dương, P(i) là nghiệm của.(2.1.1)

Từ (2.1.5) và lý thuyết của phương trình Lyapunov, chúng ta chỉ ra được ổn địnhSchur của √piiH(i)(i ∈ N) là điều kiện cần cho ổn định moment cấp 2

Chúng ta gọi (2.1.1), hoặc (2.1.5) là cặp phương trình Lyapunov Trong khi thực

hành, không dễ dàng thấy được hai điều kiện cần và đủ đó cái nào tốt hơn Trongtrường hợp chung, đối với xích Markov hữu hạn trạng thái, giải (2.1.1), hoặc (2.1.5)đòi hỏi giải N cặp ma trận Tuy nhiên, trong vài trường hợp đặc biệt, định lý cungcấp một cách kiểm tra dễ dàng tính ổn định ngẫu nhiên Ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.1.

nhất với phân phối xác suất {p1, p2, , pN}, thì hệ (1.2.4) ổn định ngẫu nhiên

moment cấp 2 nếu và chỉ nếu với ma trận xác định dương S đều tồn tại một ma trận xác định dương R sao cho thỏa mãn phương trình ma trận sau:

Theo trên chúng ta chỉ xét tính ổn định ngẫu nhiên của moment cấp 2 Đâykhông còn là vấn đề bởi vì kết quả sau đây chỉ ra điều kiện cần và đủ cho ổn địnhmoment cấp 2 và ổn định moment mũ cấp 2

Định lý 2.1.4.

ổn định moment cấp 2, ổn định ngẫu nhiên moment cấp 2 và ổn định moment mũ

ở đó y = (R(1), R(2), , R(N))T và c = (1, 1, , 1)T Do đó, từ (2.1.6) ta thu được

Ay= y − c < y Sử dụng bổ đề (1.3.2), ta có ρ(A) < 1 do đó, A ổn định Schur

Điều kiện đủ:

Giả sử A ổn định Schur, do đó ρ(A) < 1 Lấy U = (ui j)N×N, trong đó ui j = 1

Dễ dàng chỉ ra được rằng có số dương ε đủ nhỏ, ta có ρ(A + εU ) < 1, và A + εU

là một ma trận dương Theo định lý Frobenius - Peeron, tồn tại một vecto dương

y> 0 sao cho (A + εU)y = ρ(A + εU)y, do đó:

Ay− y = ρ(A + εU)y − εUy − y < y − εUy − y = εUy

Lấy R(i) = yi(i = 1, 2, , N) là một số dương thỏa mãn:

N

∑

j=1

pi ja2jR( j) − R(i) < 0, (i = 1, 2, N)Vậy, (2.1.5) là đủ để chọn được R(1), R(2), , R(N) ở đó ta chọn được các matrận dương S(1), S(2), , S(N) thích hợp

Từ định lý (2.1.2), ta kết luận (1.2.4) là ổn định moment cấp 2

Định lý 2.1.5.

và chỉ nếu các ma trận dương Qk(1), Qk(2), , Qk(N)(k = 0, 1, 2, , ) thỏa mãn:

Định lý 2.1.6.

P = Πk = (pi j(k)) thỏa mãn Πk+p= Πk, khi đó (1.2.4) ổn định moment mũ cấp 2

nếu và chỉ nếu Q1( j), Q2( j), , Qp( j), ( j ∈ N) là các ma trận xác định dương cho

trước, tồn tại các ma trận xác định dương P1( j), P2( j), , Pp( j), ( j ∈ N) sao cho:

E(∆V (xk, σk)|xk= x), σk= i)) = xTE(HT(σk)Pk+1(σk+1)H(σk) − Pk(σk)|σk = i)x.Cho bất kì k ≥ 0 và l ∈ p − 1, ta thu được:

E(∆V (xk p+l, σk p+l)|xk p+l = x, σk p+l = i)

= xT[E(HT(σk p+l)Pk p+l+1(σk p+l+1)H(σk p+l)|σk p+l) − Pk p+l(i)]

= xTHT(i)

(

= xTHT(i)

(

= xTHT(i)

(

= −xTQp(i)x

(2.1.9)Đặt

µ1 = min{λmin(QljPl( j)−1) : 1 ≤ l ≤ p, 1 ≤ j ≤ N}

µ2 = max{λmax(QljPl( j)−1) : 1 ≤ l ≤ p, 1 ≤ j ≤ N}

Từ (2.1.7), ta có: Pl( j) > Ql( j) (l ∈ p và j ∈ N) Từ bổ đề (1.3.3) ta thu được,

0 < µ1 ≤ µ2< 1 Từ (2.1.8), (2.1.9), ta có:

E(∆V (xk p+l, σk p+l)|xk p+l = x, σk p+l = i)

≤ −µ1xTPl(i)x = −µ1V(x, i), l ∈ p − 1, i∈ Nvà

Pk = HT(σk) ePk+1H(σk) + eQk(σk) (k ≥ 0)

Định nghĩa ePk(i) = E( ePk|σk = i) với k ≥ 0, thì:

P(i) = HT(i)E( eP |σ = i)H(i) + Q (i) i∈ N

Trong mục này, ta sử dụng tính chu kì của Πk Tổng kết những lí do trên, ta

có kết luận Pl( j) = ePl( j) ( j ∈ N và l ∈ p) là ma trận xác định dương nghiệm củaphương trình ma trận (2.1.7)

Để phát triển kết quả chính, chúng ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.1.

• vec(AX) = (I ⊗ A)vec(X), vec(AXB) = (BT ⊗ A)vec(X)

• Nếu A1X B1+ · · · + AkX Bk = C, thì:

[BT1 ⊗ A1+ · · · + BTk ⊗ Ak]vec(X ) = vec(C)

• vec(AX +Y B) = (I ⊗ A)vec(X) + (BT⊗ I)vec(Y ).

Định lý 2.1.7.

Πk= (pi j(k)), thì hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp 2 nếu tích ma trận ngẫu nhiên

cấp 2 nếu ma trận:

A= diag{H(1) ⊗ H(1), H(2) ⊗ H(2), , H(N) ⊗ H(N)}(PT⊗ I)

ổn định Schur.

suất chuyển Π, thì hệ (1.2.4) ổn định mũ moment cấp 2 nếu ma trận

A(Π) = diag{H(1) ⊗ H(1), H(2) ⊗ H(2), , H(N) ⊗ H(N)}(ΠT ⊗ I)

ổn định Schur.

2.2 Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 2.2.

thái được cho bởi ma trận phân phối xác suất sau:

{1, 2, 5, 7} là trạng thái chuyển Bài toán trở thành, tìm điều kiện cho ổn định

mo-ment cấp 2 Chúng ta phải kiểm tra ma trận A được cho bởi:

A ổn định Schur nếu và chỉ nếu p21a2(1)a2(2) < 1, a2(3)a2(4) < 1, p55a2(5) <

1, a2(6) < 1, và p a2(7) < 1 Đó là điều kiện cần và đủ cho hệ (1.2.4) ổn định theo

ổn định.

là 0.25, 0.25, - 0.25, - 0.25, 0.0006, - 0.0006, 100.4994, - 100.4994 Vậy A không ổn định Schur.

• Giả sử quá trình gồm 2 trạng thái độc lập, đồng nhất và có cùng phân phối

xác suất với ma trận xác suất chuyển

P =

0.5 0.50.5 0.5

!

chúng ta cần tính nghiệm của phương trình Lyapunov Sau đây là quá trình:

P(1) = 0.9970 -0.0807

−0.0807 -1.0212

, P(2) = −1.0212 -0.0807

−0.0807 0.9970

và - 49.75 là các giá trị riêng của nó, và nó không ổn định Schur Từ quá trình độc lập, đồng nhất và có cùng phân phối xác suất, chúng ta kiểm tra

nhiên, kiểm tra ma trận A có giá trị riêng 28.9686, do đó A không ổn định.

Ví dụ 2.4 Không ổn định của mỗi mẫu không kết luận được hệ không ổn định

• Giả sử {σk} là 2 trạng thái dãy Markov với ma trận xác suất chuyển

moment cấp 2 Thật vậy, ta có thể giải cặp phương trình Lyapunov trong

• Giả sử quá trình {σk} là 2 trạng thái xích Markov với thời gian không đồng

nhất với ma trận xác suất chuyển

2k(k + 2)2 0.2 + sin

2k(k + 2)2







suất chuyển với

P = lim

k→∞Πk = 0.3 0.7

0.8 0.2

!

P ổn định moment cấp 2 Từ hệ quả (2.1.2) chúng ta kết luận hệ (1.2.4)

moment mũ cấp 2.

Ví dụ 2.5 Loại hệ điều khiển đáng tin cậy

Hệ điều khiển được mô tả bởi hệ thức

hoạt động tốt Trạng thái 2 và 3 biểu thị một trong hai thiết bị đó bị hỏng và có thể

độ hỏng và tốc độ tự hồi phục, trong đó biến cố thiết bị hỏng và thiết bị có khả năng

tự hồi phục là 2 biến cố độc lập, thì ma trận xác suất chuyển P được cho bởi:

khiển có chu trình đóng là đáng tin cậy, do đó đòi hỏi ổn định bình phương được mong đợi là hữu hạn, điều này nói chung tương đương với ổn định mũ moment cấp

2 đối với hệ điều khiển có chu trình đóng.

Giả sử pr= 0.1 và pf = 0.9, và chọn một hệ điều khiển nối tiếp uk = G(σk)xk, trong đó:

G(i) = −0.8890 0.04222

−0.7752 -0.9914

!

, (i = 1, 2, 3, 4)