Phân tích ổn định và ứng xử sau mất ổn định tấm mỏng trên nền đàn hồi

Với phương pháp gần giống phương pháp nhiễu loạn Manuel Stein 1959 [11] đã vẽ ra các dạng mất ổn định dưới tác dụng của tải nằm trong mặt phẳng tấm và nhiệt độ.. Tuy nhiên, trong thực t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

HỒ BÌNH PHƯƠNG

ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN

ĐỊNH TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã số ngành : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH – tháng 12 năm 2005

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc.

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I- TÊN ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM

MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Tổng quan

• Cơ sở lý thuyết của tấm độ võng nhỏ, độ võng lớn trên nền đàn hồi:

- Cơ sở lý thuyết tấm có độ võng nhỏ trên nền đàn hồi

- Cơ sở lý thuyết tấm có độ võng lớn trên nền đàn hồi

• Ổn định tấm có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi

• Ứng xử sau mất ổn định tấm có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi hai thông số

• Khảo sát một số trường hợp với ví dụ số

• Kết luận và kiến nghị

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 07/07/2005

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 07/12/2005

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS.Nguyễn Thị Hiền Lương PGS.TS.Chu Quốc Thắng

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

Tp HCM, ngày tháng năm 2005

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ huớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng …… năm 2005

LỜI CẢM ƠN

Trải qua thời gian học tập tại trường với sự hướng dẫn tận tình của quý Thầy, Cô, các Giáo sư về kiến thức chuyên môn cũng như các phương pháp nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn cao học chuyên ngành Xây dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Đây không phải là một phát minh hay một nghiên cứu mới mà chỉ là sự tổng hợp những gì tôi học được, đọc được, phát hiện được trong thời gian “học nghiên cứu” của mình Tôi hy vọng luận văn này là bước khởi đầu cho các nghiên cứu mang tính khoa học hơn của tôi sau này

Chân thành cảm ơn các Giáo sư, quý Thầy Cô đã tận tình chỉ dẫn tôi trong thời gian học Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Xây dựng Miền Tây tỉnh Vĩnh Long đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi làm việc và học tập trong những năm qua

Chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp này

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Gia đình và những người thân, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên và chia sẽ với tôi những lúc khó khăn trong công việc cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 0

Chương 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài 1

1.2 Nhiệm vụ luận văn và ý nghĩa thực tiễn 4

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN 5

2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng 5

2.1.1 Các khái niệm cơ bản 5

2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm 5

2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff 7

2.2.1 Giả thuyết Kirchhoff 7

2.2.2 Phương trình vi phân cân bằng trong hệ tọa độ vuông góc 7

2.2.3 Quan hệ biến dạng và chuyển vị (Quan hệ động học) 9

2.2.4 Quan hệ ứng suất và biến dạng (Quan hệ ứng xử) 10

2.2.5 Tấm chịu tác dụng đồng thời lực ngang và lực trong mặt phẳng tấm 11 2.2.6 Năng lượng biến dạng trong tấm 14

2.2.7 Tấm mỏng trên nền đàn hồi 15

a Các loại mô hình nền 15

b Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi 16

2.2.7 Điều kiện biên của tấm Kirchhoff 17

2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán) 18

2.3.1 Phương trình vi phân chủ đạo 18

2.3.2 Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi 20

2.3.3 Năng lượng biến dạng trong tấm 20

2.2.7 Điều kiện biên của tấm độ võng lớn 21

2.4 Sơ lược chương trình tính toán Mathematica 21

3.1 Ổn định tấm có độ võng nhỏ 23

3.1.1 Những khái niện cơ bản về ổn định 23

3.1.2 Phương trình cân bằng ổn định tấm 24

3.1.3 Phương pháp năng lượng trong phân tích tấm 25

a Phương pháp Rayleigh_Ritz 25

b Phương pháp Galerkin 26

3.1.4 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler không xét độ cong ban đầu 27

a Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi 27

b Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 28

c Tấm có bốn cạnh ngàm 29

3.1.5 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler có xét độ cong ban đầu 31

a Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi 31

b Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 32

c Tấm có bốn cạnh ngàm 33

3.2 Ổn định tấm có độ võng lớn 34

3.2.1 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler không xét độ cong ban đầu 35

a Phương pháp Galerkin 35

b Tấm có bốn cạnh tựa đơn 36

c Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 37

d Tấm có bốn cạnh ngàm 39

3.2.2 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler có xét độ cong ban đầu 40

a Phương pháp Galerkin 42

b Tấm có bốn cạnh tựa đơn 42

c Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn 43

d Tấm có bốn cạnh ngàm 45

3.4 Nhận xét và kết luận 47

Chương 4: ỨNG XỬ SAU MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CHỮ NHẬT CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU TRÊN NỀN ĐÀN HỒI HAI THÔNG SỐ 50

4.1 Cơ sở lý thuyết 50

4.2 Phương trình vi phân chủ đạo 51

4.3 Phương pháp kết hợp gần đúng từng bước _ Galerkin 53

4.4 Phương pháp kết hợp nhiễu loạn _ Galerkin 55

4.5 Nhận xét và kết luận 60

Chương 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 66

4.1 Kết luận 66

4.2 Hướng phát triển của luận văn 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Lịch sử nghiên cứu đề tài

Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách nhau một khoảng h gọi là chiều dày tấm Chiều dày tấm có ảnh hưởng đến các

tính chất của nó khi chịu uốn hơn các kích thước khác [7]

Kết cấu tấm được sử dụng rất nhiều trong công nghiệp xây dựng Nhiều nỗ lực để triển khai các mô hình giải tích tấm chịu uốn được đánh dấu bằng những công trình nghiên cứu vào thập niên 80 của thế kỷ 18 như: Sophie Germain(1776-1831), Lagrange (1736-1813) và L D Poisson(1781-1840) Đáng kể nhất vào năm 1823, trong một bài báo của mình, L Navier đã thành công trong việc áp dụng giả thuyết Bernoulli vào bài toán dầm chịu uốn bằng cách xét tác động hai phương của ứng suất và biến dạng Ông đã định nghĩa chính xác phương trình vi phân cân bằng chủ đạo cho tấm chịu lực ngang pz

tương tự như của Navier nhưng sử dụng phương pháp biến thiên năng lượng [10]

Sự ra đời của lý thuyết tấm cổ điển tuyến tính Kirchhoff đã đặt nền tảng cho việc nghiên cứu các bài toán tấm sau này Tuy nhiên lý thuyết này phải chấp nhận nhiều giả thiết như : bỏ qua biến dạng trong mặt phẳng tấm, bỏ qua biến dạng trượt và độ võng phải nhỏ so với bề dày tấm Các điều kiện biên tương thích không được triển khai mãi đến năm 1850 Kirchhoff mới đưa ra.Ông cũng đã cho lời giải chính xác đối với ví dụ tấm tròn Ông cho rằng hai điều kiện biên sẽ thích hợp hơn ba và định nghĩa một lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do xuống còn hai Sau đó, năm 1883, W Thomson(1824-

1907) và P G Tait(1831-1901) đã bổ sung một biểu thức liên hệ năng lượng của

các lực cắt tương đương với sự giải thích rõ ràng về mặt vật lý [1,3]

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất

đã được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Do tính ứng dụng rộng rãi của nó, ta có thể tìm thấy các lời giải các bài toán tấm với các hình dạng và điều kiện biên, tải trọng khác nhau trong các giáo trình của Timoshenko và W Krieger năm 1959 Tính đơn giản của lý thuyết tấm Kirchhoff ở chỗ giả thiết rằng pháp

tuyến vuông góc với mặt phẳng tấm vẫn thẳng và vuông góc trước và sau khi biến dạng Giả thiết này cũng không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt Điều này dẫn đến kết quả sai lệch khi bề dày của tấm khá lớn

Một số nghiên cứu cố gắng cải tiến các giả thiết về tấm mỏng chịu uốn của Kirchhoff nhằm kể tới các ứng suất gây trượt trong tấm được thực hiện bởi D.H Donnell, A L Goldenweizer, E Reissner và Mindlin Trong đó, lý thuyết được công nhận rộng rãi là lý thuyết tấm tương đối dày Reissner-Mindlin Đầu tiên, Reissner xem rằng các góc xoay của các đoạn thẳng vuông góc mặt phẳng trung bình và hai mặt phẳng còn lại cùng hàm độ võng được xem như những biến độc lập trong lý thuyết tính toán Nhưng sau đó, Mindlin đã đơn giản hóa giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến trước và sau khi biến dạng là thẳng, nhưng sau khi biến dạng chúng không còn vuông góc với mặt trung

bình của tấm [7]

Khoa học kỹ thuật tiến bộ đòi hỏi sử dụng nhiều kết cấu tấm lớn về kích thước nhưng phải chịu lực tốt và nhẹ Chẳng hạn như các kết cấu trong ngành hàng không, vũ trụ, đóng tàu, …và những công trình dân dụng đòi hỏi không gian lớn Tất cả các kết cấu đó trước tiên phải mỏng để đạt được yêu cầu về nhẹ Điều này tương đương với việc độ võng của tấm phải lớn (xem như cùng bậc với bề dày tấm) và kéo theo các biến dạng trong mặt phẳng tấm cũng lớn Lúc này, các giả thiết Kirchhoff không còn được thỏa mãn mà cần có một lý thuyết khác thích hợp hơn, ít giả thiết hơn Và lý thuyết tấm phi tuyến Von Kármán ra đời năm 1910 Ông đã đưa ra hệ phương trình vi phân phi tuyến cho tấm có độ võng lớn trong đó phương trình tương thích được đưa vào

Việc giải chính xác các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến bằng phương pháp giải tích là rất phức tạp, khó tìm được nghiệm tường minh Nên các tác giả đã dùng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau như : phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp năng lượng, … Trong đó, phương pháp năng lượng được sử dụng nhiều nhất : Cox H L (1933), Timoshenko (1936), Marguerre và Trefftz (1937) Năm 1942 Levy đã sử dụng chuỗi Fourier để giải bài toán tấm vuông độ võng lớn J C Brown và J M Harvey (1969) dùng phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán tấm chữ nhật có độ võng lớn [13]

Tấm độ võng nhỏ trên nền đàn hồi đã được trình bày rất nhiều trong các

giáo trình về tấm của các tác giả: S P Timoshenko năm 1971 [3], A C Ugural năm 1999 [4], R Szilard năm 2004 [10],… Trái lại, tấm có độ võng lớn trên nền

đàn hồi ít được đề cập đến Tuy nhiên, vấn đề này đã được quan tâm từ rất sớm dưới dạng các bài nghiên cứu đăng trên các tạp chí chuyên ngành với nhiều

phương pháp khác nhau Năm 1963, S N Sinha [12] đã dùng phương pháp năng

lượng để giải bài toán tấm phi tuyến trên nền Winkler Một phương pháp khác được sử dụng rất nhiều trong thời gian gần đây là phương pháp phần tử biên Ưu điểm của phương pháp này là có thể giải được các bài toán có biên phức tạp Và

J T Katsikadelis (1991) [14] đã dùng phương pháp này để phân tích tấm phi

tuyến trên nền Winkler

Hầu hết, khi phân tích dầm chịu uốn trên nền đàn hồi đều dựa trên giả thiết tác động của nền lên tấm tỷ lệ với chuyển vị của dầm tại điểm đó Giả thiết này đầu tiên được giới thiệu bởi Winkler năm 1867 Mô hình Winkler rất đơn giản nhưng không thể hiện đúng đặc điểm của nhiều loại nền trong thực tế Một vài nghiên cứu đã cố gắng cải tiến mô hình Winkler trong đó mô hình nền hai thông số (Pasternak type) được sự quan tâm nhiều nhất, đặc biệt khi phân tích tấm trên nền đàn hồi Việc nghiên cứu tấm chữ nhật nhiều lớp không đối xứng trục trên nền đàn hồi Pasternak được thực hiện bởi Sharma (1980) Và năm

1998, Hui Shen Shen phân tích tấm dày phi tuyến trên nền hai thông số bằng

phương pháp Galerkin kết hợp nhiễu loạn [19] Mặt khác, một đặc tính của nền

ít được đề cập trong các phân tích tấm trước đây là tính không chịu kéo Khi chịu lực, có những vị trí của tấm nhô lên và tại đó tấm không còn tiếp xúc với nền Bằng sự hổ trợ của phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) A A Khathlan (1994)

[16] và A R D Silva, R A M Silverira, P B Gonçaves (2001) [20] đã phân

tích tấm độ võng lớn trên nền không chịu kéo với hai mô hình Winkler và Bán không gian đàn hồi

Khi tấm có độ võng lớn thì vấn đề ổn định được xem là quan trọng hàng đầu trong phân tích Với phương pháp gần giống phương pháp nhiễu loạn

Manuel Stein (1959) [11] đã vẽ ra các dạng mất ổn định dưới tác dụng của tải

nằm trong mặt phẳng tấm và nhiệt độ Việc nghiên cứu càng có ý nghĩa hơn khi

ta xem xét ứng xử của tấm sau mất ổn định (Postbuckling behaviour) Đây là vấn

đề được sự quan tâm nhiều nhất trong thời gian gần đây vì một ý nghĩa thực tiễn là chúng ta có thể tận dụng được khả năng làm việc của kết cấu tấm Huang

Yuying, Zhong Weifang and Qin Qinghua(1992) [15] phân tích ứng xử sau khi

mất ổn định bằng phương pháp phần tử biên (BEM) Năm 1997, Qing Hua Qin [18] dùng phương pháp lai PTHH -Trefftz để phân tích ổn định và ứng xử sau mất ổn định tấm trên nền Winkler với kết quả số khảo sát cho tấm vuông và tấm

tròn Gần đây nhất, năm 2003, A S de Holanda, P B Goncalves [23] với

phương pháp PTHH đã giải bài toán tấm trên nền không chịu kéo Winkler với việc giải quyết bài toán tiếp xúc

Những phân tích được kể trên đều cho bài toán tấm hoàn hảo Tuy nhiên, trong thực tế do tính chất của việc chế tạo, loại kết cấu tấm không tránh khỏi có những khuyết tật ban đầu về mặt hình học như : tấm có bề dày thay đổi, tấm có độ cong ban đầu… Do đó, vấn đề ổn định của tấm không hoàn hảo trên nền đàn hồi cần được xem xét, nghiên cứu Về mặt lý thuyết có rất ít thông tin về mất ổn định cũng như ứng xử của tấm sau mất ổn định trên nền đàn hồi có kể đến khuyết tật hình học ban đầu Năm 1995, với phương pháp nhiễu loạn, Hui Shen

Shen [17] đã giải bài toán tấm chữ nhật trực hướng tựa đơn trên nền đàn hồi hai

thông số có kể đến độ cong ban đầu Và năm 2003, Trần Hữu Trí [29]đã khảo

sát ảnh hưởng khuyết tật hình học ban đầu đến ổn định của tấm độ võng nhỏ trong luận văn thạc sĩ của mình Khuyết tật hình học mà tác giả đề cập đến là

tấm có bề dày thay đổi Gần đây, Đặng Thụy Minh Tường [30] đã phát triển tiếp

với bài toán tấm mỏng độ võng lớn có độ cong ban đầu và có chiều dày thay đổi

1.2 Nhiệm vụ của luận văn và ý nghĩa thực tiễn

Trước tiên qua phần tổng quan, ta nhận thấy vấn đề tấm trên nền đàn hồi cũng được nhiều tác giả quan tâm Đăc biệt những bài báo của những năm gần đây như A S de Holanda, P B Goncalves năm 2003; A R D Silva, R A M Silverira, P B Gonçaves năm 2001; Qing Hua Qin năm 1997.; …Và phương pháp nhiễu loạn đã được sử dụng rất nhiều bởi các tác giả Đây là một phương pháp giải tích khá hiệu quả trong phân tích kết cấu đặc biệt là các bài toán cơ học Ngoài ra, phương pháp này còn có ý nghĩa khi phân tích tính “nhạy” của kết cấu

vì trong nhiều trường hợp kết cấu chỉ chịu thêm một lực gia tăng rất nhỏ cũng có thể bị phá hoại Một vấn đề được quan tâm nhiều nhất là ứng xử sau khi mất ổn

định (Postbuckling behaviour) của tấm Vì yêu cầu thực tế cần những kết cấu

nhẹ và chịu lực tốt nên việc tận dụng khả năng làm việc của kết cấu là cần thiết

Về mặt ý nghĩa thực tiễn thì tấm trên nền đàn hồi được sử dụng nhiều trong xây dựng như : kết cấu móng phẳng, kết cấu vỉa hè đường, đường băng sân bay…Ýùnghĩa thực tiễn càng thấy rõ hơn khi xét đến khuyết tật hình học của tấm bởi lẽ trong thực tế ít có kết cấu nào hoàn hảo

Nhiêm vụ chính trong luận văn này là:

- Phân tích và so sánh ổn định tấm trên nền đàn hồi Winkler trong các trường hợp: Tấm mỏng chữ nhật độ võng nhỏ, Tấm mỏng chữ nhật độ võng lớn có và không có độ cong ban đầu với các điều kiện biên khác nhau

- Phân tích ứng xử sau mất ổn định của tấm mỏng chữ nhật độ võng lớn có độ cong ban đầu trên nền đàn hồi hai thông số (Pasternak-type) bằng phương pháp kết hợp gần đúng từng bước_Galerkin và phương pháp kết hợp nhiễu loạn_Galerkin với sự hổ trợ của chương trình tính toán Mathematica

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA TẤM CHỊU UỐN

2.1 Lý thuyết tấm đàn hồi đẳng hướng

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

Tấm là kết cấu, phẳng, thẳng, có một kích thước (bề dày h) nhỏ hơn rất

nhiều so với kích thước hai phương còn lại Về mặt hình học, nó được giới hạn bởi những đường cong hoặc thẳng gọi là biên của tấm Ở trạng thái tĩnh, tấm có các điều kiện biên như: tự do, tựa đơn giản, ngàm Ngoài ra, còn có các liên kết đàn hồi

Mặt trung bình là mặt phẳng cách đều hai mặt biên trên và biên dưới của

tấm, khi chịu uốn mặt trung bình bị cong đi

Chu vi tấm là giao tuyến của mặt trung bình và các mặt bên cạnh tấm

Hình 2.1: Tấm mỏng trong hệ tọa độ (Oxyz)

Để tiện nghiên cứu và khảo sát thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như

(Hình 2.1) Mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung bình của tấm, trục z hướng

xuống Vị trí gốc tọa độ O sẽ được chọn tùy ý vào hình dạng, chu vi và đặc trưng liên kết biên sao cho phù hợp với các bài toán cụ thể

2.1.2 Các mô hình lý thuyết tấm

Do tính phức tạp của kết cấu thực tế, người ta thường xem xét kết cấu dưới dạng các mô hình đơn giản với những thông số quan trọng thể hiện hầu hết các phản ứng tĩnh và động của nó với tải trọng Các vấn đề cần quan tâm khi phân tích tấm là:

1 Hình dạng hình học và liên kết của tấm

2 Ứng xử của vật liệu tấm

3 Loại tải trọng và phương thức tác dụng

Việc xem xét tấm là kết cấu liên tục ba chiều trong phân tích đàn hồi là cần thiết Tuy nhiên, một phương pháp mang đến quá nhiều khó khăn về mặt toán học sẽ trở nên không thực tế Ngay khi bài toán được giải thì kết quả cũng không có tính ứng dụng cao Để tiện cho việc phân tích, ta phân biệt thành bốn

loại tấm dựa trên tỷ số (h/L) [10]

L ) tương tự tấm mỏng nhưng thành phần biến dạng trượt

trong mặt phẳng tấm được kể đến trong trường hợp này

4 Tấm dày : ( 1

5

>

h

L ) là dạng kết cấu đàn hồi liên tục ba chiều

Bên cạnh đó, để thuận tiện cho việc thiết lập các phương trình đàn hồi giải bài toán tấm, nhiều mô hình được đưa ra với các giả thiết khác nhau kèm theo

Mô hình Kirchhoff (Kirchhoff model):

Sử dụng cho tấm mỏng với biến dạng nhỏ, các thành phần biến dạng trượt

do lực cắt được bỏ qua trong khảo sát [3] Trong tấm mỏng, các ứng suất màng

là rất nhỏ so với các ứng suất gây ra sự uốn tấm do tải trọng vuông góc tấm gây

ra Tấm được gọi là có độ võng nhỏ khi ( max 1

4

w ≤ h ) [7]

Mô hình von Kármán (von Kármán model):

Về cơ bản mô hình này phát triển từ mô hình Kirchhoff để sử dụng cho

tấm mỏng với biến dạng lớn, các thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát

([3]) và được đặc trưng bởi các ứng suất uốn được đi liền với các ứng suất màng

kéo hay nén tương đối lớn trong mặt phẳng trung bình, các ứng suất màng ảnh hưởng đáng kể đến moment uốn khi tính toán tấm Lý thuyết của mô hình này rất quan trọng cho việc phân tích và khảo sát kết cấu tấm mỏng sau khi mất ổn

định (post-buckling) trong kỹ thuật Tấm được gọi là tấm độ võng lớn khi

max

1

4

w > h [7]

Mô hình Ressner – Mindlin (Ressner – Mindlin model):

Lý thuyết tấm tương đối dày với biến dạng nhỏ Không như tấm mỏng,

Mô hình chính xác (Exact model):

Phân tích chính xác các tác động lên tấm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn

hồi ba chiều [27]

Trong luận văn này chỉ sẽ tập trung vào hai mô hình Kirchhoff và mô hình von Kármán

2.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff

2.2.1 Giả thiết Kirchhoff

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff dựa trên các giả thiết sau:

1 Vật liệu tấm đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính, nghĩa là tuân theo định luật Hooke

2 Tấm ban đầu phẳng

3 Mặt trung bình của tấm không có biến dạng trong khi chịu uốn

4 Bề dày của tấm h là hằng số và nhỏ so với các kích thước còn lại (

10

b

h≤ , với b là kích thước phương ngang nhỏ nhất) [10]

5 Chuyển vị đứng w(x,y) nhỏ so với bề dày tấm max 1

4

w ≤ h Góc xoay của mặt trung bình nhỏ

6 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu tải và độ dài của chúng là không đổi Như vậy, không có sự trượt trong mặt phẳng đó, hayγyz = 0,γxz = 0 Vì độ dài các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến dạng dài theo phương z bằng không hay εz = 0

7 Sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua Tức là ứng suất pháp σz có thể bỏ qua (vì nhỏ so với σx ,σy) Giả thiết thứ hai được thỏa khi tấm bi uốn cong thành mặt khả triển Nếu không, khi chịu uốn mặt trung gian của tấm sẽ bị biến dạng Bên cạnh đó cần lưu ý rằng, nếu ngoài tải trọng ngang còn có tải trọng nằm trong mặt phẳûng

trung bình của tấm thì giả thiết thứ hai cũng không còn đúng[28]

2.2.2 Phương trình vi phân cân bằng trong hệ tọa độ vuông góc:

Xét phần tử tấm dxdy trong hệ tọa độ Oxyz (Hình 2.2) Giả sử tấm chỉ

chịu tác dụng của lực ngang pz Từ phương trình tổng moment theo phương y bằng 0 (∑M =( )y 0) ta được:

M M

d x

d x x

d x

d x x

Mx x

Qx Mxydx

y Qy

My y

y Myxdx

Hình 2.2: Nội lực và ngoại lực trên vi phân tấm dxdy

Sau khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao 1 2

2

x

Q

dx dy x

∂

∂ (2.1) trở thành

0

yx x

y

M x

M

=

∂

∂ +

z

Q Q

dxdy dydx p dxdy

z

Q Q

p

Thay phương trình (2.3), (2.4) vào (2.6), và Mxy = Myx

2 2 2

2.2.3 Quan hệ biến dạng và chuyển vị (Quan hệ động học)

Từ giả thiết 6 ta có mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị như sau:

0

εεε

u x v y w z

Tích phân (2.9), (2.10) theo phương z ta có:

u =u = = f x y = (2.14)

v =v = = f x y = (2.15) Vậy các thành phần chuyển vị u, v, w là

2 2

Với:

2 2

x

w x

κ = −∂

∂

2 2

y

w y

2.2.4 Quan hệ ứng suất và biến dạng (quan hệ ứng xử)

Giả thiết rằng vật liệu là đàn hồi, cho phép ta sử dụng định luật Hooke Các biến dạng γyz = 0, γzx = 0 nên bài toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng với quan hệ ứng suất và biến dạng như sau :

h h x

h h y

εν

xy

w z x M

y v

M

w z

x y

νν

D : độ cứng chống uốn trong tấm

E : Modul đàn hồi của vật liệu tấm; ν : Hệ số Poison

Thay (2.23) vào (2.7) nhận được phương trình vi phân chủ đạo của tấm chịu tải ngang:

2.2.5 Tấm chịu tác dụng đồng thời lực ngang và lực trong mặt phẳng tấm:

Ở trên, ta thiết lập phương trình vi phân chủ đạo với giả thiết không có lực tác dụng trong mặt trung bình tấm Tuy nhiên, lực trong mặt phẳng tấm thường phát sinh do nhiệt độ thay đổi và tải trong mặt phẳng tác dụng trực tiếp tại biên Hơn nữa, lực này có thể xảy ra khi tấm có chuyển vị song song với mặt trung bình của nó Nghĩa là liên kết tại biên phải di chuyển được theo phương

∂

dx x

dx x

dy y

Nyx Nyx+⎜⎜⎛∂∂ ⎟⎟⎞

dy y

Ny

Ny+⎜⎜⎛∂∂ ⎟⎟⎞

NyxNy

ε =∂

v y

x

F N

2 2 2

dy Nxy

dx y x

w y

∂

Hình 2.4: Độ võng của phân tố tấm dxdy

Thay những biểu thức (2.31) vào phương trình (2.32), ta có phương trình tương thích :

Khi chiếu các lực này lên trục z và kể đến độ võng của tấm Lực pháp tuyến Nx

có hình chiếu lên trục z , khi bỏ qua các vô cùng bé bậc cao:

dxdy x

w x

N dxdy x

w y

N dxdy y

w y

w

∂

∂

∂ +

w x

N dxdy y x

Xem tác dụng theo phương z của các lực màng như một tải trọng phân bố đều pz*

tác dụng lên phân tố dxdy Vậy tổng các lực theo phương z

2 2

y x

N N

∂

∂ +

∂

∂

X y

N x

0

= +

∂

∂ +

∂

∂

Y x

N y

N y xy

Ở đây, X và Y là hai thành phần của lực thể tích tại một đơn vị diện tích trên mặt trung bình của tấm Khi đó phương trình vi phân chủ đạo của mặt võng tấm có chiều dày không đổi sẽ là:

2.2.6 Năng lượng biến dạng trong tấm :

Trong trường hợp tổng quát, năng lượng biến dạng trong tấm bao gồm năng lượng do các moment uốn (Ub) và các lực màng gây ra (Um)

Năng lượng biến dạng do moment uốn:

x

w x

κ = −∂

∂

2 2

y

w y

N N

U m ( x x y y xy xy) 2

2.2.7 Tấm mỏng trên nền đàn hồi:

Nhiều vấn đề quan trọng trong thực tế cần được xem xét liên quan đến việc giải quyết tấm trên nền đàn hồi Chẳng hạn như: vỉa hè đường cao tốc,

đường băng sân bay, móng bản công trình xây dựng,…[10]

a Các loại mô hình nền:

Có rất nhiều loại mô hình nền nhưng ở đây, giới hạn trong luận văn này chỉ trình bày hai dạng môhình nền: Mô hình nền Winkler và mô hình nền hai thông số Pasternak Và một điều lưu ý nữa là ta chỉ xét tác động của nền pn

z(x,y) lên tấm mà không xét cấu tạo của nền

Mô hình nền Winkler (Winkler-type): hay còn gọi là mô hình nền biến

dạng cục bộ, xem nền là đồng nhất đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính

Tác động của nền lên tấm:

( , )

n z

Trong đó: k là hệ số nền, w là độ võng của tấm

Mô hình nền hai thông số (Pasternak-type): biểu diễn nền đàn hồi bằng

hai thông số Thông số thứ nhất đặc trưng cho hệ số nén, thông số thứ hai đặc trưng cho hệ số trượt

Tác động của nền lên tấm:

2

1 2

( , )

n z

r h

Tấm tròn với phần tấm nhô lên khỏi mặt tiếp xúc chung

x 1

Hình 2.5 : Tấm trên nền không chịu kéo

Mô hình nền không chịu kéo (Tentionless Foundation Model): dạng khác

của mô hình Winkler: Chúng ta có thể xem nền Winkler như một chuỗi các lò xo tuyến tính độc lập có khả năng chịu kéo hoặc nén Giả thiết này đúng cho hầu hết các trường hợp, vì việc tách rời giữa tấm và nền do lực ngang ít khi xảy ra Tuy nhiên có những loại vật liệu nền chỉ chịu nén Khi đó, với tấm mềm chịu một loại tải trọng nào đó đặt trên nền thì ứng suất kéo tại mặt tiếp xúc chung nơi tấm và nền tách khỏi nhau là không tồn tại Trong vùng không tiếp xúc, tấm nhô lên khỏi nền và một khoảng trống giữa tấm và nền được tạo ra (Hình 2.5) Nhiệm vụ của chúng ta là xác định điều kiện hình thành vùng không tiếp xúc và

tính toán vị trí, bề rộng của chúng [10]

Tác động của nền lên tấm có thể viết [23]:

0 ( , )

w 0

n z

b Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi:

Khi tấm được đặt trên nền đàn hồi liên tục thì ngoại lực tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm bao gồm lực ngang pz(x,y) và phản lực của nền pn

z(x,y) Lúc này phương trình (2.24) trở thành:

Và (2.40) trở thành:

2.2.8 Điều kiện biên của tấm Kirchhoff:

Xét tại cạnh x=a

ƒ Cạnh tựa đơn:

ρφ : Độ cứng xoay của liên kết

ρ : Hệ số đàn hồi của liên kết [10]

Hình 2.6: Các dạng liên kết biên

2.3 Lý thuyết tấm mỏng độ võng lớn (Lý thuyết von Kármán)

Trong phần trước ta giả thiết rằng chuyển vị là nhỏ so với bề dày tấm Tuy nhiên, một vài kết cấu tấm ứng dụng trong thực tế - đặc biệt trong ngành công nghiệp hàng không, hải quân-có chuyển vị không nhỏ Do đó, khi phân tích phải xét thêm ảnh hưởng do chuyển vị lớn Khi biên độ của chuyển vị tăng lên vượt quá 0.3h (w≥0.3h) thì quan hệ giữa tải ngoài và chyển vị không còn tuyến tính nữa Đồng thời, khi chuyển vị lớn ứng suất trong mặt trung bình không thể

bỏ qua, phải kể thêm các ứng suất màng trong quá trình phân tích.[10]

2.3.1 Phương trình vi phân chủ đạo

Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chuyển vị nhỏ chịu tác dụng đồng thời lực ngang và lực trong mặt phẳng (2.40) cũng có thể áp dụng cho tấm có độ võng lớn Tuy nhiên, trong trường hợp này các lực màng Nx, Ny, Nxy=Nyx không phải là hằng số dọc theo mặt phẳng tấm màø là một hàm phụ thuộc x, y

Trong đó:F(x,y) là hàm ứng suất Airy

Biến dạng trong tấm có thêm số hạng phi tuyến(Nonlinear)(Hình 2.7)

2 1 2

2

NL x

dx u

B'

BO

z

x

Hình 2.7: Biến dạng do chuyển vị lớn

Thay thế những thành phần biến dạng bằng những biểu thức tương đương của định luật Hooke:

2

2 2 2

y

w x

w y

x

w y

x x y

xy y

∂

(2.66) Thay những các biểu thức (2.65) vào phương trình (2.66), ta có phương trình tương thích :

2.3.2 Phương trình vi phân tấm trên nền đàn hồi:

Tương tự như tấm chuyển vị nhỏ trên nền đàn hồi ta xét thêm lực ngang

do phản lực nền tác dụng vuông góc mặt phẳng tấm

Từ phương trình (2.40) thêm phản lực nền ta có:

Trong khi đó phương trình tương thích (2.67) không thay đổi

Phương trình vi phân cân bằng của tấm có chuyển vị lớn trên nền đàn hồi là:

2.3.3 Năng lượng biến dạng trong tấm:

Đối với tấm có độ võng lớn năng lượng biến dạng uốn (Ub) trong tấm

không có gì thay đổi so với tấm độ võng nhỏ Trong khi đó, năng lượng biến

dạng màng (Um) thay đổi do các biến dạng εx, εy, γxy có thêm thành phần phi

Trong đó:

2

1 2

y

w x

w D

M x

∂

∂ +

2.4 Sơ lược chương trình tính toán Mathematica

Đây là phần mềm toán học, version đầu tiên được viết vào năm 1988 bởi hãng Wolfram Bản thân Mathematica được coi là một hệ thống đại số máy tính

tiện lợi cho nhiều đối tượng sử dụng khác nhau [31] Tính ưu việt của nó hơn hẳn

so với các bộ chương trình máy tính khác là khả năng tính toán trên các ký hiệu, qua đó máy có thể trợ giúp cho người kỹ sư, các nhà khoa học không những các tính toán về số mà còn giúp cho họ những tính toán ký hiệu, trợ giúp suy diễn logic trong khi giải quyết các quá trình lập luận của ứng dụng cũng như tư duy toán học

Mathematica có thể giải phương trình, hệ phương trình đại số Ngoài ra, nó còn giải được phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân kết hợp với các đều kiện biên khác nhau Điểm nổi bậc của nó ở chổ giải được phương trình vi phân đạo hàm riêng mà trong vật lý, cơ học thường gặp Version sử dụng trong luận văn này là version 5.1

Chương 3 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TẤM

3.1 Ổn định tấm có độ võng nhỏ

3.1.1 Những khái niệm cơ bản về ổn định

Kết cấu tấm mỏng dùng trong ngành hàng không, vũ trụ, hải quân,… thường chịu tác dụng của lực nằm trong mặt phẳng tấm Nếu những lực này nhỏ thì trạng thái cân bằng là ổn định và kết quả của biến dạng có đặc điểm là không có chuyển vị ngang (w=0, u≠0, v≠0) Nhưng khi độ lớn của lực trong mặt phẳng tấm tăng tới một giá trị nào đó sẽ làm thay đổi kiểu biến dạng và chuyển

vị ngang w khác không Lúc này, trạng thái cân bằng ổn định chuyển sang trạng thái không ổn định và ta nói tấm bị mất ổn định Tải trọng tại thời điểm đó là tải trọng tới hạn Sự quan trọng của tải trọng tới hạn là nó thể hiện sự bắt đầu cho một hình thức biến dạng mà nếu cứ tiếp tục gia tăng tải trọng, chuyển vị ngang sẽ rất lớn dẫn đến kết cấu bị phá hủy hoàn toàn Đây là điều kiện nguy hiểm

cần tránh [10]

Khái niệm cơ sở của vấn đề mất ổn định (Buckling) tấm được minh họa

một cách đơn giản bằng việc xét các trạng thái cân bằng khác nhau của quả cầu

ở hình 3.1 Trong lý thuyết mất ổn định cổ điển quá trình chuyển từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định luôn luôn qua trạng thái cân bằng trung gian Tất cả các thiết lập toán học để phân tích ổn định đàn hồi tuyến tính tấm đều dựa vào trạng thái quan trọng này

Trường hợp III

Hình 3.1: Các trạng thái cân bằng khác nhau

Trong việc thiết lập công thức toán học của vấn đề ổn định đàn hồi tấm,

chúng ta dùng trạng thái cân bằng trung gian như là điểm rẽ nhánh (bifurcation)

của biến dạng Nghĩa là, tại giá trị tới hạn của tải trọng có hai hướng biến dạng (một thích hợp cho trạng thái cân bằng ổn định, một cho trạng thái mất ổn định) Hình 3.2

Hình 3.2: Đồ thị thể hiện sự rẽ nhánh

3.1.2 Phương trình cân bằng ổn định tấm [10]

Chúng ta khảo sát tấm chữ nhật chịu tác động của các lực trong mặt phẳng trung bình tại các cạnh biên Nx0, Ny0, Nxy0 (Hình 3.3)

a y

Hình 3.3: Tấm chữ nhật chịu tải trọng trong mặt trung bình

Các ứng suất màng trong mặt trung bình tấm có thể viết:

Phương trình (2.40) trở thành

3.1.3 Phương pháp năng lượng trong phân tích ổn định tấm

Trong việc thiết lập biểu thức toán học cho bài toán mất ổn định tấm cổ điển bằng phương pháp năng lượng, chúng ta lại sử dụng trạng thái cân bằng trung gian nơi mà điểm rẽ nhánh của chuyển vị xảy ra (Hình 3.1, 3.2) Ngoài ra, phải được giả thiết rằng chuyển vị trong mặt phẳng tấm là do sự uốn cong nhỏ

được tạo ra khi mất ổn định chứ không phải do độ co ngắn trong mặt phẳng [10],

tức là bỏ qua năng lượng biến dạng màng (Um)

Năng lượng biến dạng do moment uốn:

a Phương pháp Rayleigh_Ritz

Phương pháp này dựa trên định luật bảo toàn năng lượng và nguyên lý thế năng cực tiểu Đây là phương pháp biến phân dựa trên nguyên lý thế năng toàn

phần dừng [7] Biểu diễn độ võng tấm dưới dạng chuỗi hàm

c c A c

Giải phương trình (3.10) ta tìm được hệ số tải trọng λ

b Phương pháp Galerkin

Phương pháp này sử dụng phương trình vi phân cân bằng tấm mất ổn định để diễn tả thế năng toàn phần của hệ thống Cũng vẫn giả thiết rằng độ võng của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm

Sau khi lấy tích phân xác định các phương trình ta được một hệ phương trình đại số tuyến tính với biến là các ci Để tồn tại nghiệm ci ≠ 0 thì định thức của hệ phải bằng 0, từ đó tìm được λ ( trong đó λcr = λmin)

3.1.4 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler không xét độ cong ban đầu

Xét tấm chữ nhật cạnh a theo phương x, cạnh b theo phương y, bề dày h chịu lực nén theo phương x (Nx), đặt trên nền đàn hồi Winkler Xem tác động của nền lên tấm là tải theo phương z với

pz = -kw (k là hằng số) (3.14)

a Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi

Với tấm tựa đơn giản ta có thể giải bài toán bằng phương pháp tích phân trực tiếp

ay

Nx

Nx

Hình 3.4: Tấm chữ nhật tựa đơn chịu nén một phương

Chọn hàm độ võng lúc tấm mất ổn định sao cho thoả mãn điều kiện biên hình học, hàm độ võng có dạng:

Trong đó: m là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương x

n là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương y

Thỏa mãn điều kiện biên:

+ Tại cạnh x=0, x=a:

Ta có

2 2 1 2

2

cr cr

b Tấm có hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn

Sử dụng phương pháp Galerkin để giải bài toán Giả thiết hàm độ võng lúc mất ổn định thỏa mãn điều kiện biên như sau:

Trong đó: m là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương x

n là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương y

Thỏa mãn điều kiện biên:

+ Tại cạnh x=0, x=a:

a y

Hình 3.5: Tấm chữ nhật hai cạnh ngàm, hai cạnh tựa đơn

Dựa vào phương trình (3.13) ta có thể viết như sau :

2 4

c Tấm có bốn cạnh ngàm

Sử dụng phương pháp Galerkin và cũng giả thiết rằng hàm độ võng lúc mất ổn định thỏa mãn điều kiện biên như sau:

Trong đó: m là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương x

n là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương y

ay

Nx

Nx

Hình 3.6: Tấm chữ nhật bốn cạnh ngàm

Thỏa mãn điều kiện biên:

+ Tại cạnh x=0, x=a:

3.1.5 Phân tích ổn định tấm chữ nhật trên nền Winkler có xét độ cong ban đầu

Xét tấm chữ nhật cạnh a theo phương x, cạnh b theo phương y, bề dày h chịu lực nén theo phương x (Nx), đặt trên nền đàn hồi Winkler Tấm có độ cong ban đầu w0 Xem tác động của nền lên tấm là tải theo phương z với pz= -kw (k là hằng số)

a Tấm có bốn cạnh tựa đơn trên nền đàn hồi

Sử dụng phương pháp Galerkin và cũng giả thiết rằng hàm độ võng lúc mất ổn định và độ cong ban đầu thỏa mãn điều kiện biên (3.16) như sau:

Trong đó: m là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương x

n là số nửa bước sóng của dạng mất ổn định theo phương y

0

mn mn

A A

µ=

a y

N x

N x

Hình 3.7: Tấm chữ nhật bốn cạnh tựa đơn

Dựa vào phương trình (2.44) và (3.13) ta có thể viết như sau