Tìm hiểu về phương pháp lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển (KL06195)

Đề tài nghiên cứu của em là "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn: ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG

Cơ quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2

Họ và tên sinh viên: PHẠM HỒNG DIỆU HUYỀN

Khoa: Toán Ngành: Sư Phạm Toán Lớp: K36B

Xuân Hòa - 2014

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin được gửi lời cảm ơn chân thànhnhất tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn emhoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoatoán Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình họctập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thựchiện khóa luận này

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014

Sinh Viên Phạm Hồng Diệu Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán Đề tài

nghiên cứu của em là "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo

viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Em xin cam đoan nội dung khóa luận được thựchiện hoàn toàn do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân không trùng lặp bất

cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác

Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chi tiết trong nội dung khóa luận và đãđược giáo viên hướng dẫn thông qua

Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014

Sinh Viên Phạm Hồng Diệu Huyền

Mục lục

Chương 1 Một số khái niệm và công cụ toán học 3

1.1 Một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường 3

1.2 Hàm Lyapunov 5

1.3 Lớp hàm K 9

1.4 Đạo hàm Dini 11

1.5 Một số bất đẳng thức vi tích phân 15

Chương 2 Sự ổn định Lyapunov 18

2.1 Định nghĩa sự ổn định Lyapunov 18

2.2 Một số ví dụ 20

2.3 Phương pháp Lyapunov thứ 2 21

2.3.1 Minh hoạ hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 21

2.3.2 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đều 23

2.3.3 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ 29

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 31

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng và phổ biếnmột cách rộng rãi Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bố trên rất nhiềutạp chí khoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặcbiệt đối với những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ổn định

để áp dụng trong những lĩnh vực khác Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhànghiên cứu và các học viên trong lĩnh vực khác nhau Do đó, tôi đã chọn đề tài

"Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển" nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ

điều khiển Khóa luận của tôi gồm hai chương

• Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường,hàm Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân

• Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mốiquan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp Lya-punov thứ 2, điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn địnhmũ

Dù rất cố gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó

có thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và cácbạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 Mục đích, nhiệm vụ

Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov Đặcbiệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov thứ hai lànghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đíchnghiên cứu

Chương 1

Một số khái niệm và công cụ

toán học

Xét hệ phương trình dưới đây

dxi

dt = gi(t, x1, x2, , xn)i = 1, n, (1.1.1)trong đó , t ∈ I := (t1,t2), t1> −∞, t26 +∞, vector trạng thái x = (x1, x2, , xn)T ∈

Ω ⊂ Rn, gi ∈ CI × Ω, R1 , O ∈ Ω Hệ (1.1.1 ) có thể viết dưới dạng vector

∂ g i (t,x1, ,x n )

∂ x j

6Ki j = const, j = 1, n, trên I × Ω thì điều kiệnLipschitz được thỏa mãn

Định lý 1.1.1 (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) Nếu g(t, x) = (g1(t, x), , gn(t, x))

thỏa mãn điều kiện Lipschitz , khi đó ∀(t0, x0) ∈ I × Ω, ∃t∗> 0, sao cho ∃ 1 nghiệm

duy nhất x(t,t0, x0) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1.2) với điều kiện ban đầu

dx(t,t0, x0)

dt = g(t, x(t,t0, x0)), (1.1.4)trên khoảng [t0− t∗,t0+ t∗]

Định lý 1.1.2 (Định lí về sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đầu) Giả sử

rằng điều kiện của định lý (1.1.1) được thỏa mãn

x(1)(t) := x(t,t0, x(1)0 ), x(2)(t) := x(t,t0, x(2)0 ) là 2 nghiệm của (1.1.2) xác định trên

[t0,t1] × Ω Khi đó, ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho x(1)0 − x0(2) < δ thì

Định lý 1.1.3 (Định lý về sự liên tục và khả vi của nghiệm theo tham số).

Giả sử g(t, x, µ) ∈ C [I × Ω × [µ1, µ2] , Rn] , g thỏa mãn điều kiện Lipschitz với mọi

giá trị µ ∈ [µ1, µ2] Khi đó:

(1) ∀t0∈ I, x0∈ Ω, µ0∈ [µ1, µ2] thì ∃ hằng số p > 0, a > 0 sao cho khi |µ − µ0| 6 p,

nghiệm của phương trình (1.1.2) x(t) = x(t,t0, x0, µ) xác định trên [t0− a;t0+ a]

phụ thuộc liên tục vào µ.

(2), gi được giải tích đối với các biến, kéo theo x(t):= x(t,t0, x0, µ) cũng giải tích

trong đó, A và α là hằng số, khử t trong (1.1.6 ) thu được phương trình quỹ đạo

x2+ x2 = A2, mô tả 1 họ các đường tròn khi A thay đổi Khi 0 < λ  1, theo Định

lý (1.1.2), quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1.6 ) xấp xỉ nghiệm của (1.1.5 ) như mô tả hình 1.1

Hình 1.1: Minh họa sự phụ thuộc liên tục vào tham số

• W (x) được gọi là nửa xác định dương nếu W (x) > 0 với x ∈ Ω.

• W (x) được gọi là xác định âm nếu −W (x) là xác định dương.

• W (x) được gọi là nửa xác định âm nếu W (x) 6 0.

• Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xác định dấu.

• Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dấu không

đổi.

Định nghĩa 1.2.2 Hàm V (t, x) ∈ CI × Ω, R1 ( hoặc W (x) ∈ C Ω, R1 ) được gọi

là thay đổi dấu nếu ∃ t1,t2∈ I và x1, x2 ∈ Ω sao cho

V(t1, x1) > 0, VC(t1, x2) < 0.(W (x1) < 0,W (x2) < 0)

Ví dụ 1.2.1 W (x1, x2) = 3x21+ 2x22+ 2x1x2 là xác định dương.

Ví dụ 1.2.2 W (x1, x2) = x21+ x22+ 2x1x2 = (x1+ x2)2 là nửa xác định dương.

Ví dụ 1.2.3 W (x1, x2) = x21+ x22− 3x1x2 là hàm thay đổi dấu.

Ví dụ 1.2.4 V (t, x1, x2) = x21 sint+ x22 cost là hàm thay đổi dấu.

Định nghĩa 1.2.3 Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương nếu ∃ 1 hàm xác định

dương W (x) sao cho

V(t, x) > W (x) và V (t, 0) ≡ 0.

Hàm V (t, x) được gọi là xác định âm nếu −V (t, x) là xác định dương Hàm

V(t, x) ∈ CI × Ω, R1 được gọi là nửa xác định dương nếu V (t, x) > 0 V (t,x) là

nửa xác định âm nếu V (t, x)6 0

Ý nghĩa của Định nghĩa (1.2.3 )được mô tả ở hình (1.2)

Ví dụ 1.2.5 V (t, x1, x2) = (2 + e−t)(x12+ x22+ x1x2) là xác định dương vì

V(t, x1, x2) = (2 + e−t)(x12+ x22+ x1x2) > x12+ x22+ x1x2 := W (x1x2)

Ở đây, W (x1, x2) là xác định dương, và V (t, 0) = 0.

Ví dụ 1.2.6 V (t, x1, x2) = (e−t)(x12+ 35x1x2+ x22) là nửa xác định dương, vì

không ∃ 1 hàm xác định dương W (x) sao cho V (t, x1, x2) > W (x).

Định nghĩa 1.2.4. Hàm W (x) ∈ CRn, R1 được gọi là xác định dương và R.u

không bị chặn nếu W (x) xác định dương và W (x) → +∞ khi x → ∞.

Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian

Định nghĩa 1.2.5 Hàm V (t, x) ∈ CI × Rn

, R1 được gọi là xác định dương và

không bị chặn nếu ∃ 1 hàm xác định dương và không bị chặn W2(x) sao cho V (t, x) >

W2(x) Hàm V (t, x) được gọi là I.U.b nếu ∃ hàm W1(x) xác định dương sao cho

không đóng Thật vậy khi c> 1

W(x1, 0) = x21

1+x21 = c không có nghiệm hữu hạn đối với x1

W(0, x2) = x22

1+x22 = c không có nghiệm hữu hạn đối với x2

Vậy theo hướng x1(x2 = 0) hoặc x1(x2 = 0) , W (x1, x2) = c không đóng Tuy

nhiên, khi 0 < c < 1, x2 = kx1, k 6= 0 là một số thực bất kỳ thì phương trình

Vậy theo hướng x1(x2 = 0) hoặc x1(x2 = 0) , W (x1, x2) = c không đóng Tuy nhiên,

khi 0 < c < 1, x2= kx1, k 6= 0 là một số thực bất kỳ thì phương trình

kx211+k2x21 + x21

1+x21 = c

Có nghiệm hữu hạn x1, do đó đường cong W (x1, x2) = c và đường thẳng x1 = kx1

có hữu hạn giao điểm Tương tự, W (x1, x2) = c và x1= kx2(k 6= 0) có hữu hạn giao

điểm Do đó, W (x1, x2) = c(0 < c < 1) là một đường đóng( nhìn hình 1.3)

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm K và mối liên hệ giữa lớp hàm

K và hàm xác định dương

Hình 1.4: V=C là 1 dường đóng gồm nhiều họ lân cận

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm ϕ ∈ [R+, R+], R+:= [0; +∞) hoặc ϕ ∈ C[[0, h] , R+]khi

đó ϕ được gọi là W− hàm hoặc K− hàm nếu thỏa mãn:

(1) ϕ là hàm tăng

(2) Kí hiệu ϕ ∈ K, ϕ(0) = 0.

Định nghĩa 1.3.2 Cho ϕ ∈ [R+, R+] và ϕ ∈ K, khi đó nếu lim

r→∞ϕ (r) = +∞ thì ϕ (r)

được gọi là lớp hàm K , kí hiệu là ϕ ∈ KR.

Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương và hàmthuộc lớp K

Định lý 1.3.1 Cho Ω := {x, kxk 6 h}, cho W (x) ∈Ω, R1, là một hàm xác định

dương bất kỳ Khi đó ∃ 2 hàm ϕ1, ϕ2 ∈ K sao cho

Khi đó ta có Ψ(0) = 0 Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh rằng Ψ(r)

là hàm đơn điệu không giảm và liên tục Đặt ϕ2(r) := Ψ(r) + kr(k > 0),

Ta có

ϕ2(r1) = ψ(r1) + kr16 ψ(r2) + kr1 < ψ(r2) + kr2= ϕ2(r2)

Do đó, ϕ2(r) là hàm đơn điệu tăng và ϕ2(r) ∈ K.Từ các kết quả trên ta có

Hình 1.5: Mối liên hệ giữa hàm xác định dương và lớp hàm K

Bằng phương pháp tương tự ta có định lý dưới đây

Định lý 1.3.2 Cho W (x) ∈ CRn, R1 là một hàm xác định dương và R.u bất kì ,

khi đó tồn tại hai hàm ϕ1(r), ϕ2(r) ∈ KR sao cho:

Nhận xét: Nếu f (t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì 4 đạo hàm Dini là hữu hạn.

Hơn thế nữa, đạo hàm của f (t) tồn tại khi và chỉ khi 4 đạo hàm Dini bằng nhau.Cho một hàm liên tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo hàm Dini đượcxác định như sau

Định lý 1.4.1 Điều kiện cần và đủ để f (t) ∈ CI, R1, đơn điệu không giảm trên I

là D+f(t) > 0, với t ∈ I.

Chứng minh:

Điều kiện cần là rõ ràng vì t2 > t1 kéo theo f (t2) > f (t1)

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.Trước tiên giả sử D+f(t) > 0 trên I Nếu có 2điểm α, β ∈ I và α < β sao cho f (α) > f (β ), khi đó ∃µ thỏa mãn f (α) > µ > f (β )

và điểm t ∈ [α, β ] sao cho f (t) > µ Đặt ξ = Sup {t : f (t) > µ} khi đó ξ ∈ [α, β ]

và sự liên tục của f (t) ta có f (ξ ) = µ Do đó, với t ∈ [ξ , β ] ta có

f(t) là hàm đơn điệu không giảm trên I Định lý được chứng minh

Chú ý 1.4.1 Nếu ta thay thế D+f(t) > 0 bởi D+f(t) > 0, khi đó điều kiện đủ của

định lý (1.4.1) vẫn đúng Tương tự nếu ta thay D+f(t) > 0 bởi D−f(t) > 0 hoặc

D−f(t) > 0 và do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dini không âm thì f (t) là hàm không

giảm.

Dưới đây , ta xét đạo hàm Dini của 1 hàm dọc theo nghiệm của 1 phương trình vi

phân Xét hệ phương trình vi phân cho bởi

Chứng minh Giả sử nghiệm x(t) xác định trong miền I × Ω Với (t, x) ∈ I × Ω

(t + h, x + h f (t, x)) ∈ U, (t + h, x(t + h)) ∈ U Gọi L là hằng số Lipschitz của V (t, x)trong I × Ω Sử dụng khai triển Taylor và điều kiện Lipschitz, ta được

D+V(t, x(t)) |(1.4.14)≥ 0, (D+V(t, x(t)) |(1.4.14)≤ 0).

1.5 Một số bất đẳng thức vi tích phân

Trong phần này,chúng tôi đề cập đến 1 số bất đẳng thức vi tích phân, chúng rấtquan trọng và có ý nghĩa với sự ổn định

Định lý 1.5.1 Giả sử hàm ϕ(t) là liên tục |τ 6 t 6 b và đạo hàm phải dưới Dini

D+ϕ (t) tồn tại thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

Hệ quả 1.5.1 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử rằng g(t) và u(t) là các

hàm thực không âm liên tục, và c là 1 hằng số không âm Khi đó nếu

Khi đó ta có các kết quả dưới đây:

(1) ϕ(t) < Φ(t), khi t > τ và t thuộc khoảng tồn tại chung.

(2) ϕ(t) > Φ(t), khi t < τ và t thuộc khoảng tồn tại chung.

Chứng minh Đặt g(t) = Φ(t) − ϕ(t) vì

g(τ) = Φ(τ) − ϕ(τ) = ξ − ξ = 0,

g0(τ) = Φ0(τ) − ϕ0(τ) = F(τ, ξ ) − f (τ, ξ ) > 0 Do đó, khi 0 < t − τ  1, g(t) > 0đúng Nếu trong khoảng tồn tại chung, tồn tại t > τ sao cho

Đặt α = in f {t > τ : ϕ(t) > Φ(t)} vì vậy với τ < α, g(α) = 0, g(t) > 0(τ < t < ∞)

Do đó , g0(α) 6 0 Nếu trái lại,

g0(α) = Φ0(α) − ϕ0(α) = F(α, Φ(α)) − f (α, ϕ(α)) > 0.

Vì g(α) = 0, ta có Φ(α) = ϕ(α), điều này là mâu thuẫn Do đó, kết luận (1) đúng.Bằng phương pháp tương tự, ta chứng minh được kết luận (2) cũng đúng

Định lý 1.5.4 (Định lí so sánh thứ hai) Giả sử f (t, x) và F(t, x) liên tục trên G, và

thỏa mãn điều kiện

(1.5.40)

trên [a, b] Khi đó, các khẳng định sau đúng:

(1) ϕ(t) 6 Φ(t) khi τ 6< b;

(2) ϕ(t) > Φ(t) khi a < t 6 τ

Giả sử rằng ¯y= ϕ(t) là 1 nghiệm của (2.1.1 ), bằng phép biến đổi x = y − ϕ(t) hệ(2.1.1) được đưa về dạng

dx

dt = g(t, x + ϕ(t)) − g(t, ϕ(t)) := f (t, x). (2.1.2)

Do đó, nghiệm y = ϕ(t) của phương trình (2.1.1) tương ứng với nghiệm x = 0 của(2.1.2) Vì vậy, ta chỉ nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của (2.1.1 ) Giả sử

f ∈ C [I × Ω, Rn] và nghiệm của bài toán Cauchy là xác định duy nhất f (t, x) = 0nếu x = 0, x(t,t0, x0) là nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0; x(t,t0, x0) là

1 hàm của các biến t,t0, x0

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2) được gọi là ổn định nếu ∀ε >

0, ∀t0 ∈ I, ∃δ > 0 sao cho ∀(x0), kx0k < δ (ε, ε0) thì kx(t,t0, x0)k < ε với t > t0 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2) được gọi là không ổn định, nếu ∃ε0, ∃t0, ∀δ >

0, ∃x0(∀x0), kx0k < δ nhưng ∃t1> t0 sao cho kx(t1,t0, x0)k > ε0.

Hình 2.1: Hệ ổn định

Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2) được gọi là hệ ổn định đều đối

với t0 , nếu ∀ε > 0, ∃δ (ε) > 0 (δ (ε) là độc lập với t0) sao cho kx0k < δ nghĩa là

Nghiệm tổng quát của (2.2.3) là

Do đó, nghiệm không của (2.2.3) là hệ ổn định đều

Ví dụ 2.2.2 (Ổn định mũ nhưng không ổn định mũ toàn cục) Xét phương trình

Từ biểu thức trên, ta thấy nghiệm không là nghiệm ổn định mũ Nhưng nếu ta lấy

t = to, xo = 1, thì nghiệm x(t,to, xo) ≡ 1 với (t → +∞) Do đó, nghiệm không thì

trong đó f1, f2∈ C[I, R2] thoả mãn f1(0, 0) = f2(0, 0) = 0, và giả sử rằng nghiệmcủa (2.3.7) là duy nhất.

Cho V (x) = V (x1, x2) ∈ K và V (x) ∈ C1[R2, R1] Nghiệm x(t) = (x1(t), x2(t))T làchưa biết hoặc tìm nghiệm là rất khó, nhưng giả sử rằng đạo hàm x(t) nó thoả mãn

( ˙x1(t),x2(t)) = ( f˙ 1(x1, x2), f2(x1, x2)).

Nếu ta thay thế nghiệm x(t) vào hàm V (t), ta có V (t) := V (x(t)) Khi đó sự ổn định

và không ổn định được mô tả như sau:

"Dao động xung quanh vị trí ban đầu",

"Rời khỏi vị trí ban đầu",

tương đương với V (x(t)) là không giảm và tăng tức là dV(x(t))

dt 6 0, dV(x(t))

dt > 0,điều này thể hiện ở hình (2.4)

Hình 2.4: Minh họa hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2

Hình 2.5: Biểu diễn hình học của phương pháp Lyapunov

trong đó θ là góc giữa hướng của gradV và vector f (nhìn hình 2.5) Biểu thức cuốiđộc lập với nghiệm x(t), chỉ phụ thuộc vào hàm V (x) và vector f (x) đã biết Đây là

mô tả hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2

2.3.2 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đều

Định lý 2.3.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (2.3.8) ổn định, là tồn

tại một hàm xác định dương V (t, x) ∈ C[I × GH, R1] sao cho

dV

dt (|4.2.1) =

∂V

∂ t+

2.3.2 Điều kiện cần đủ cho ổn định ổn định đều

Định lý 2.3.1 Điều kiện cần đủ để nghiệm không hệ (2.3.8) ổn định, tồn... data-page="25">

Nghiệm tổng qt (2.2.3) là

Do đó, nghiệm khơng (2.2.3) hệ ổn định

Ví dụ 2.2.2 (Ổn định mũ khơng ổn định mũ tồn cục) Xét phương trình

Từ biểu thức... x0)k > ε0.

Hình 2.1: Hệ ổn định

Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không x = (2.1.2) gọi hệ ổn định đối

với t0 , ∀ε >