Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một đề tàiquan trọng trong sự nghiên cứu phương trình vi phân nói riêng và giải tích nóichung.. Nhìnchung sự ổn định của hệ phư

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các GS, TS giảng dạy chuyênngành Toán Giải tích, phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Đặc biệt, tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quantâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trườngtrung học phổ thông Hai Bà Trưng - Thạch Thất- Hà Nội, các bạn bè và nhữngngười thân trong gia đình đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Mở đầu 1

1.1 Các định nghĩa và ví dụ 4

1.2 Các hệ phương trình vi phân tuyến tính thường gặp 15

2 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 30 2.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 31

2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 35

2.2.1 Các khái niệm cơ bản 35

2.2.2 Một số định nghĩa 37

2.2.3 Các định lí tổng quát về sự ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính 38

2.3 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 42

2.4 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng 46 2.5 Tiêu chuẩn Hurwitz 49

2.6 Các điểm kì dị đơn giản 52

1

2.7 Phương pháp thứ nhất Liapunốp 55

2.8 Phương pháp thứ hai Liapunốp 60

2.8.1 Hệ quy đổi 60

2.8.2 Các hàm có dấu xác định 61

2.8.3 Định nghĩa đạo hàm trong nghĩa của hệ 62

2.8.4 Tính ổn định nghiệm 63

2.9 Một số bài tập áp dụng 71

R ®­êng th¼ng thùc

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết ổn định là bộ phận quan trọng của lí thuyết định tính phương trình

vi phân Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một đề tàiquan trọng trong sự nghiên cứu phương trình vi phân nói riêng và giải tích nóichung Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này có vai trò rất lớn trong lí thuyết

và thực tế, được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất làtrong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái học và môi trường học, trong

điều khiển tối ưu

Vấn đề nghiên cứu sự ổn định của các hệ phương trình vi phân đã được quantâm từ cuối thế kỉ XIX, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu của các tác giảtrong và ngoài nước về sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Nhìnchung sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số đã

được giải quyết khá trọn vẹn, còn sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyếntính với hệ số chứa tham số thì mới chỉ giải quyết được trong các trường hợp

cụ thể

Sau khi học và nghiên cứu các môn học trong chương trình cao học Giải tích, đặc biệt là các môn Giải tích hàm, lí thuyết tối ưu, Phương trình viphân, với mong muốn áp dụng những kiến thức đã học và hiểu sâu sắc hơn về

Toán-lí thuyết định tính hệ phương trình vi phân, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu

"Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống về các hệphương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn

định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp xấp xỉ,phương pháp hàm Liapunốp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn gồm hai chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình

vi phân tuyến tính bao gồm: các khái niệm, phân loại hệ, xét các trường hợp

đặc biệt của hệ, các tính chất cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính.Chương 2: Sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chương này trình bày lại các kết quả cơ bản về sự ổn định của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính, bao gồm tính ổn định và ổn định tiệm cận nghiệm,tính không ổn định nghiệm theo tiêu chuẩn Hurwitz, phương pháp xấp xỉ vàphương pháp hàm Liapunốp, áp dụng các kết quả đó để giải một số bài tập vềxét tính ổn định nghiệm của một số hệ phương trình vi phân tuyến tính

4 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu, hệ thống lại các khái niệm, các tính chấtcủa hệ phương trình vi phân tuyến tính, xem xét sự ổn định của các hệ phươngtrình vi phân tuyến tính có nhiễu thông qua hệ phương trình vi phân tuyến tính

không có nhiễu Trên cơ sở đó, luận văn nghiên cứu sự ổn định của các hệ viphân tuyến tính có hệ số hằng số bằng các phương pháp xấp xỉ, phương pháphàm Liapunov.

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp nghiên cứu chính: Phương pháp giảitích, phương pháp đại số tuyến tính, phương pháp xấp xỉ, phương pháp hàmLiapunốp,

dt = x + y − 3zdy

dt = x − 5y − 3z

là hệ ba phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc

Bài toán Cauchy (xem [2]) Cho điểm (t0, y10, y02, , yn0) ∈ G, G ⊂ Rn+1.Bài toán tìm nghiệm y1(t), y2(t), , yn(t) của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiệnban đầu y1(t0) = y10, y2(t0) = y20, , yn(t0) = yn0 được gọi là bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.2 (xem [2]) Tập hợp n hàm

y1 = ϕ1(t), y2 = ϕ2(t), , yn = ϕn(t)xác định và khả vi liên tục trên một khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ(1.1) nếu chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1), hay nói cáchkhác khi ta thay chúng vào hệ (1.1) ta được n đồng nhất thức theo t trên (a, b).Tập hợp điểm

Γ = n(t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)), t ∈ (a, b)o

được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t).Hiển nhiên Γ ⊂ Rn+1

Ta coi (y1, y2, , yn) như tọa độ của mỗi điểm trong không gian n chiều Rn

mà ta gọi là không gian pha Khi đó tập hợp điểm

γ =

n(ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)), t ∈ (a, b)

o

được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha Ta thấy đường cong pha nằmtrong không gian pha Không gian Rn+1 được gọi là không gian pha suy rộng

Đường cong tích phân nằm trong không gian pha suy rộng

Giả sử G = {a < t < b; −∞ < yi < +∞; i = 1, n} là miền mà tại đó bàitoán Cauchy đối với hệ phương trình (1, 1) thỏa mãn ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3 (xem [2]) Hệ n hàm khả vi liên tục theo t, phụ thuộc n hằng

yn = ϕn(t, C1, C2, , Cn)

(1.2)

được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.1) ở trong miền G ⊂ Rn+1 nếu hai

điều kiện sau được thỏa mãn

i)ứng với mỗi (t0, y10, y20, , y0n) ∈ G từ hệ (1.2) (sau khi đã thay t, y1, y2, , ynbằng t0, y10, y02, , yn0 ) ta có thể xác định được duy nhất các hằng số

Cn = Ψn(t0, y10, y20, , yn0)

(1.3)

ii) Hệ hàm (1.2) nghiệm đúng hệ phương trình (1.1) với C1, C2, , Cn xác

định từ (1.3)

dt2 = dz

dt =

dzdy

dy

dt =

dz

dyz,thay

d2y

dt2 = dz

dyzvào phương trình (*) ta có

dz

dyz + y = 0,kéo theo

zdz = −ydyhay

y = C1sin t + C2cos t, C1, C2 ∈ Rsuy ra

Φn(t, y1, y2, , yn) = Cn

(1.4)

được gọi là tích phân tổng quát của hệ (1.1) trong miền G ⊂ Rn+1 nếu nó xác

định nghiệm tổng quát của hệ (1.1) trong G

dzzsuy ra

(

ln |x| = ln |y| + ln C1

ln |x| = ln |z| + ln C2; C1, C2 > 0Vậy tích phân tổng quát của hệ đã cho là

z = C2; C1, C2 > 0

Định nghĩa 1.5 (xem [2]) Nghiệm của hệ (1.1) mà tại mỗi điểm của nó tínhduy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng.

Rõ ràng nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với các hằng số C1, C2, , Cnxác định từ (1.3) là nghiệm riêng

z = C2; C1, C2 6=0nếu lấy C1 = C2 = 1 ta được một nghiệm riêng của hệ là

dt = 2

√y

dt = F (t, Y )

Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.5) khi các vế phải không phụ thuộc t

dyn

dt = Fn(y1, y2, , yn).

(1.6)

Đối với hệ (1.6) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo thời gian

t Ta nói rằng hệ (1.6) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là hệ dừng

dt = 2dy

dt = 3

Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ phương trình vi phân cấp 1Xét phương trình vi phân cấp n

y(n) = f (t, y, y,, , y(n−1)) (1.7)hay

F (t, y, y,, , y(n)) = 0trong đó F xác định trong một miền G nào đó của không gian Rn+2

Nếu đặt

y = y1, y, = y2, , y(n−1) = yn

thì phương trình (1.7) có thể viết thành hệ phương trình vi phân cấp một sau

Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm (xem [2]) Xét hệ phương trình vi phân

trong miền D

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y(t) = (y1(t); y2(t); ; yn(t)) của hệ (1.1)thỏa mãn điều kiện ban đầu

y1(t0) = y10, y2(t0) = y02, , yn(t0) = yn0nghiệm này xác định trong khoảng đóng [t0 − h; t0 + h] với h = min a, b

M

Hệ quả 1.1 Giả sử các hàm f1, f2, , fn liên tục trong miền

D = |t − t0| ≤ a; y1 − y10 ≤ b; y2 − y20 ≤ b; ; +

+ +

y11(t) y12(t) y1n(t)

y21(t) y22(t) y2n(t)

dyn1(t)dt

dyn2(t)

dt

dynn(t)dt

... data-page="22">

thì hệ (1.11) vi? ??t lại dạng ma trận sau

Tổng hai nghiệm hệ phương trình (1.12) nghiệm

hệ phương trình (1.12)

Một tổ hợp tuyến tính nghiệm hệ phương trình (1.12) mộtnghiệm hệ. .. hệ phương trình (1.12)

Nếu hệ phương trình (1.12) với ma trận thực A(t) có nghiệm phức

Y (t) = U (t) + iV (t) phần thực U(t) phần ảo V (t) nghiệm thựccủa hệ phương trình

Định. .. b) định thức Wronski W (t) chúng

Định lý 1.2 (xem [2]) Giả sử Y1(t) , Y2(t) , , Yn(t) n nghiệm h? ?phương trình tuyến tính (1.12) Sự đồng không địnhthức