Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

Em xin khang định kết quả của đề tài: “ Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác... Trước thực tế đó, tôi chọ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYEN THI DUYEN

TONG HOP MOT SO BAI TAP VE LY THUYET

BIEU DIEN NHOM

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

HA NOI, 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYÊN THỊ DUYÈN

TONG HOP MOT SO BAI TAP VE LY THUYET

BIEU DIEN NHOM

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán KHOÁ LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

Th.S NGUYÊN HUY THÁO

HÀ NỘI, 2012

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý- trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Vật Lý lý thuyết , đặc biệt là

thầy hướng dẫn 7S Nguyễn Huy Thảo người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bao, tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian thực hiện luận văn này

Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 nam 2012

Sinh viên Nguyễn Thị Duyền

Lời cam đoan Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Tb.S Nguyễn Huy Thảo

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận, em có tham khảo

một số tài liệu tham khảo

Em xin khang định kết quả của đề tài: “ Tổng hợp một số bài tập

về lý thuyết biểu diễn nhóm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Nguyễn Thị Duyền

2 Mure dich nghién 1

3 Đối tượng nghiên COU wo eececcccsssssssssssessseessessssssssssssssessssssssessecsseeeseeeseees 1

4, Nhiệm vụ nghiÊn CỨU - - G s 1k9 9x vn nh re rưy 1

B00 bi) 1

6 Cau tric Kh6a LUAN vee eceesesscesseccecssssssccecsuvssvececsussavececsussueesuesucsaveaveneceeves 1 PHAN 2: NOI DUNG weesssssssssssssssssessssecsssccsssssssscsssscssssesssscssuscsseccssecessecessecssee 3

Chuong 1: Mét sé dinh nghia cơ bản về lý thuyết nhóm -. 3

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2-22 2£+E£+EE2EEe+EEeerxerrs 9 2.1 Định nghĩa phép biểu điễn nhóm . 2-2 +£++£+£xecrxecrx 9 2.2 Đặc biểu c1 111111011 111111111 111111111111 rxrry 11 2.3 Biéu dién kha quy va bat kha QUY .ccccscsssesssesssesssesssesssessseessecsseesseesseees 12

PHAN I: MO DAU

1 Lý do chọn đề tai

Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung quan trong thường được sử dụng trong vật lý học nói chung, của vật lý hạt cơ bản nói riêng và việc giải bài tập biểu diễn nhóm nhằm củng cố lý thuyết và trau đồi kĩ năng thực hành Đồng thời qua đó giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn nội dung kiến thức đã học

Trước thực tế đó, tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết

biếu diễn nhóm” nhằm đưa ra phương pháp giải của một số bài tập về biểu diễn nhóm, giúp các bạn sinh viên rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải bài tập, nắm vững các công cụ toán cũng như cách tư duy nhạy bén, không còn lúng túng khi gặp các bài toán biểu diễn và hiểu rõ hơn về lý

thuyết biểu diễn nhóm

Tôi hi vọng rằng luận văn này sẽ một tài liệu tham khảo cho các bạn

sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm

Giải một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra cơ sở lý thuyết của biểu diễn nhóm

Giới thiệu một số bài tập về biểu điễn nhóm cùng cách giải các bài

tập đó

5% Phương pháp nghiên cứu

Đọc, dịch tài liệu và tra cứu

Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương I: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm

Chương 3: Một số bài tập.

PHAN II: NOI DUNG

Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm s* Định nghĩa về nhóm

Một tập {G : a,b,€, } được gọi là một nhóm nếu có một toán tử “.”

gọi là phép nhân nhóm thỏa mãn 4 tính chất sau:

Tính kin: Néu 4,0 €G thi abeG

Tính kết hợp: a.(b.c) =(ab)c voi Va,b,c eG

Phần tử đơn vi: Trong G luôn tồn tại một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất ae=a với Va 6G,

Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử ae luôn tồn tại một phần tử

a €G goi la phan tử nghịch đảo thỏa mãn tính chat a.a’ = e

Vi du: Tap hợp các số thực với phép cộng tạo thành một nhóm hoặc tập

hợp các ma trận có det # Ú cũng tạo thành một nhóm

Nhưng như vậy không phải bắt kỳ phép nhân nào xác định trên một tập hợp cho trước đều tạo thành nhóm, vì nói chung tất cả bốn tính chất trên không đồng thời được thỏa mãn

Ví dụ: tập hợp các vector trong không gian ba chiều thông thường với phép nhân vô hướng,

Phân tử liên hợp: phần tử be G được gọi là liên hợp với phan tt a eG

nếu tồn tại một phần tử khác pe G sao cho b = pap” Chúng ta sẽ biểu thị mối

liên hệ liên hợp bằng kí hiệu ~

Lớp liên hợp: phần tử của một nhóm là liên hợp với mỗi phần tử khác thì hình thành một lớp liên hợp

Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp Phần tử đơn vị

hình thành riêng một lớp Đối với các nhóm ma trận, tất cả các phần tử trong

cùng một lớp có mối liên hệ với mỗi một phần tử khác bằng một vài biến đổi

tương tự

Các lớp kê: Cho H là một nhóm con nào đó của G va a eG Thé thì tập

hợp aH gọi là lớp kề trái của nhóm Ở theo nhóm con #1, xác định bởi phan tir

a Tương tự như vậy, tập hợp Ha gọi là lớp kề phải của nhóm Ở

Tất nhiên, vì e e H, nên a e aH

Mặt khác, nếu b € aH, tức là b = ahy, hy € H, thi

bH = ah|H = aH

do h,H = H Nhu thé, moi phan tir tiy ý của lớp kề trái đều có thể đại diện cho

cả lớp kề đó, và hai lớp kề trái hoặc hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần

tử chung

Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là bậc của nhóm con #7 Mọi phần

tử của Ở chỉ thuộc duy nhất một lớp kề

Nhóm mà số phần tử của nhóm là hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại là nhóm vô hạn

a a a.a ab |

tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bắt biến là như nhau

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bắt biến khi đã chứa phần

tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu

đã chứa một phần tử của lớp [a] thì phải chứa cả toàn thể lớp [a]

Nhóm con bắt biến tầm thường: e và bản thân G

Tất cả các nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính chất bắc cầu: nhóm con bắt biến H; của

một nhóm bất biến H của Ở không nhất thiết là một nhóm con bắt biến cua G

* Đồng cấu và đắng cấu

Sự tồn tại của một nghịch đảo cho mọi phần tử là một tính chất quan trọng của một nhóm Một hệ quả quan trọng của tính chất này là bổ đề sắp xếp, nó sẽ được sử dụng nhiều lần trong phép lấy đạo hàm của các kết quả quan trọng

Bồ đề sắp xếp: Nếu p, b, c e G và pb = pc thì b = c

Thật vậy, nếu ta nhân cả hai về của phương trình pb = pc với p” thì ta

sẽ thu được kết quả b = c

Kết quá này có nghĩa: nếu b và c là các phần tử khác nhau của G, thi pb

va pe cũng khác nhau Do đó, nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp trong

một chuỗi và được nhân vào bên trái bởi một phần tử p thì chuỗi kết quả là

một sự sắp xếp lại của chuỗi ban đầu Tất nhiên là sẽ áp dụng được phép nhân vào về phải

Một phép ánh xạ từ nhóm G đến nhóm G' trong đó phép nhân nhóm được bảo toàn gọi là phép đồng cấu từ G đến G” Hay nói cách khác, nếu

g, €G<—_>g, €G va 88, =8; thÌ 8,8; =g¿

Hai nhom G va G’ dugc gọi là dang cấu nếu tồn tại một sự tương ứng 1- 1 giữa các phần tử của chúng và bảo toàn phép nhân nhóm Hay nói cách khác, nếu ø,<Œ<—>g,eŒ và ø,#;=g; trong G thì g;øg; =ø; trong G

và ngược lại Ký hiệu là G~G'

Định lý Cayley: Mọi nhóm Ơ có bậc n là đẳng cấu với một nhóm con

8„ =dg, =d(bg,)= (ab)g, = c8; = 8,., (1.5)

Ta kết luận rằng về phải của phương trình trên chính là

Va €G hình thành một nhóm con của $„ mà đẳng cấu đến G

+* Nhóm tích trực tiếp

Cho Hy va H> 1a hai nhóm con của nhóm Ở có các tính chất sau:

* Moi phan tử của H giao hoán với bat ky phan tử nào của #; Ví dụ:

hh, =h,h, với Vh, cH,,h, cH.,

** Moi phan tr @€Œcó thể được viết nhu sau: g= hh, với h,cH,,h,cH, Trong trường hợp này ỞG được gọi là tích trực tiếp của H; và H,;, tượng trưng bởi Ơ= H, ©H,

Ví dụ: nhóm Œs có các phần tử : C, ={e=a,„a,a,,a,„a,„a,} và có hai

nhóm con H, ={e,a,} va H, ={e,a,,a,}

Các nhóm con H, và H; đều là các nhóm Abelian nên tính chất thứ nhất được thỏa mãn

Tính chất thứ hai có thể xác minh bang sự ghi nhận:

c=ee, a=d`ad', a =ead”, @ =a e, a =e4d°, a=a`a” Trong mỗi trường hợp trên, thừa số đầu tiên của tích thuộc Hj, thira sé thir hai của tích

thuộc H; Từ H,*C, và H,=C, ta thu được Œ =C ®C,

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm

2.1 Định nghĩa phép biểu diễn nhóm

Cho một không gian tuyến tính n chiều V, va một nhóm Ð các phép biến đổi nào đó trong không gian đó Lại cho một nhóm Ở nào đó Phép đồng

cấu:

GD gọi là một phép biểu diễn của nhóm G trong khéng gian V, Ta goi V, 1a

không gian biểu diễn, n là chiều biếu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính, nếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận) Trái lại, biểu diễn gọi

%* Pháp biếu diễn đơn vị

Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:

D(g) = 1, voi moi geG (2.1-4)

-Vi du:

Cho G 1A mét nhém cia phép quay tiếp theo trong một mặt phẳng xung quanh điểm O ban đầu, G ={R(Ø) 0< @<2Z} Cho V; cũng là một không gian hai chiều Euclide

10

diễn hai chiều của nhóm quay {R(ø) € R(2)} Tương ứng, {D(2)} là ma trận hiện thực của {U(Ø)} có liên quan đến tập hợp quy định cụ thể của cơ sở {é}

2.2 Dac biéu

% Biểu diễn trơng đương

Nếu thay đối cơ sở trong không gian V„ thì các ma trận D(ø) thực hiện biểu diễn D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng:

với S là ma trận thực hiện phép biến đổi (khả nghịch) của co sở Dễ thấy rằng các ma tran D’(g) cting lam thành một biểu diễn của nhóm ỞƠ, gọi là biểu diễn tương đương

Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương nên các biểu diễn tương đương làm thành một lớp và tất cả các thành viên thuộc lớp đều xem như nhau Vì vậy, về phương diện biếu diễn, tất cả các biểu diễn tương đương với nhau đều xem là như nhau

‹* Đặc biếu của biếu diễn

Các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu lên

các đặc trưng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên

quan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các biến đổi (khả nghịch) cơ sở của không gian biêu diễn

Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết:

Vết của biểu diễn gọi là đặc biêu của biêu diễn và ký hiệu là X (g)

ttc 14 cdc phan tir thuéc cing mét lép cua nhém G cho cing một giá trị của

đặc biểu Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp Vì vậy, nếu nhóm có s lớp

K,.K, K,, thì đặc biểu là một tập hợp của s lượng:

2.3 Biéu dién kha quy va bat kha quy

Cho một không gian tuyến tính V„ và một ma trận (phép biến đổi tuyến tính) A Hệ A gọi là khả quy trong không gian W„ nếu có một không gian con

V<V,, V#z0, sao cho:

AV< Vvwới mọi A€A,

tức là Ax eV với mọi xeV, AeA

Không gian con V gọi là bất biến đối với hệ A

12

Trái lại, nếu mọi không gian con bất biến của W„ hoặc bằng 0 hoặc

trùng với V„„ thì hệ A gọi là bat khả quy và không gian V„ cũng gọi là bat khả quy đối với hệ A

Nếu không gian con bắt biến V có r chiều và nếu ta chọn r vector cơ sở của W làm các vector cơ sở đầu tiên của không gian V„, thì mọi vector

x€V đều có biểu diễn:

theo giả thiết V bất biến đối với hệ A, ta có:

*

Như thế, theo các biểu diễn của x và x', tất ca cdc ma tran AG A đều

có dạng:

13

A = A, K AeA > EA,

0 A,

trong do A, là ma trận con vuông cấp r, A; là ma trận vuông cấp n-r,Kla

ma trận con chữ nhật r x (n - r)

s* Hệ phân giải được

Một trường hợp quan trọng là ngoài V, không gian V„ có một không gian con thứ hai bất biến „ sao cho V, =V +77 Thé thì chọn (n — r) vector cơ

sở của z; làm các vector cơ sở còn lại của W„, ta thấy rằng tất cả các A phải có dạng:

0 A, Trong trường hợp nay, hé A gọi là phân giải thành hai hệ con khác:

A, ={Aj},

A, = {Aj},

va ta viet A= A, ® A,

s* Hệ hoàn toàn khả quy

Một hệ A gọi là hoàn toàn khả quy nếu hoặc A là bất khả quy, hoặc A

có thế phân giải thành nhiều hệ con bất khả quy Tương ứng, không gian V„ phân thành tổng trực tiếp nhiều không gian con bất khả quy

%% Biếu diễn khả quy, bất khả quy và hoàn toàn khả quy

Nếu biểu diễn D là một hệ khả quy, bất khá quy hay hoàn toàn khả quy thì biểu diễn đó tương ứng gọi là khả quy, bất khả quy hay hoàn toàn khả quy

Theo nghĩa trên, các biêu diễn bất khả quy là những biểu diễn đơn giản nhất

%% Định lý vềtiêu chuẩn bất khá quy

Điều kiện cần và đủ để một biểu diễn có đặc biểu X là bất khả quy là

14

Cho một nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian V

nào đó Nếu với một cặp điểm x và y của không gian V, ta luôn tìm được một

phần tử g của nhóm sao cho gx = y, thì nhóm Œ gọi là nhóm bắc cầu của không gian V và không gian V được gọi là không gian đồng nhất của nhóm Ở

% Biểu diễn T,

Cho một không gian đồng nhất nào đó V của nhóm Ó, và gọi L là tập

hợp tất cả các hàm ự (x) có đối số xe V Thế thì không gian L gọi là bất biến

đối với nhóm G nếu, khi đã chứa ự (x), nó sẽ chứa mọi hàm y (gx), g €G

Bây giờ, giả sử không gian L là bất biến đối với nhóm Œ và đặt