Luận văn sư phạm Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

 Trong các hình ch nh t có cùng di n tích, hình ốuông có chu ối nh nh t.

CHUYÊN NGÀNH : HỊNH H C

Ng i h ng d n khoa h c

T.S PHAN H NG TR NG

ảà n i, Tháng 5 n m 2010

L i c m n

Do ch a có nhi u kinh nghi m trong ối c ti n hành nghiên c u khoa

h c , em không kh i b ng ốà còn nhi u lúng túng Nh ng đ c s giúp

đ nhi t tình c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ốà các th y cô giáo trong t hình h c , em đã hoàn thành t t khoá lu n c a mình , đ m b o

th i gian , ki n th c c ng nh s chính ồác c a toán h c

Do đi u ki n ố th i gian ốà tính ch t c a đ tài ch c ch n khoá lu n

t t nghi p c a em không tránh kh i nh ng thi u sót.Em r t mong nh n

đ c s ch b o c a các th y cô giáo ốà ý ki n c a các b n đ ng môn đ bài khoá lu n đ c hoàn thi n h n

Qua đây em ồin g i l i c m n chân thành t i các th y cô giáo trong

t hình h c , các th y giáo trong khoa toán ốà đ c bi t là th y giáo

PảAN ả NẢ TR NẢ đã h ng d n em hoàn thành khoá lu n này

Em ồin chân thành c m n!

Ngày 15 tháng 5 n m 2010

Sinh viên : PH M TH HI N

L i cam đoan

Khoá lu n này là k t qu c a b n thân em qua quá trình h c t p và nghiên

c u,cùng v i s t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong khoa toán, đ c bi t là s

h ng d nt n tình c a th y giáo Phan H ng Tr ng

Em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “Bài toán c c tr v hình h c trong m t

ph ng” không có s trùng h p v i k t qu c a đ tài khác

M c ệ c

Trang

L i nói đ u ……… 4

Ch ng 1 : Ph ng pháp gi i m t bài toán c c tr ố hình h c A) Bài toán c c tr ố hình h c ……… 5

B) Ph ng pháp chung đ gi i m t bài toán c c tr v hình h c 5

Bài t p đ ngh ch ng 1……… 14

Ch ng 2 : Cách ố n d ng các b t đ ng th c trong hình h c A) B t đ ng th c tam giác……… 15

B) ng ốuông góc ốà đ ng ồiên……… 16

C) dài đ ng g p khúc ……… 17

D) Các b t đ ng th c trong đ ng tròn……… 19

Bài t p đ ngh ch ng 2 ……… 21

Ch ng 3 : Cách ố n d ng các b t đ ng th c trong đ i s ốào bài toán c c tr v hình h c trong m t ph ng A) Các b t đ ng th c đ i s th ng dùng……… 22

B) Các ốí d áp d ng ……… ………… 23

Bài t p đ ngh ch ng 3……… 25

Ch ng 4 : To đ ốà ốect trong m t ph ng ố i bài toán c c tr ố hình h c A)To đ trong m t ph ng ố i bài toán c c tr v hình h c trong m t ph ng ……….… 26

B)Vecto trong m t ph ng ố i bài toán c c tr v hình h c trong m t ph ng ……… 28

K t lu n……… 31

L I NÓI U

1) Lý dỊ ch n đ ỏài

Trong nhà tr ng ph thông , hình h c là m t môn h c khó đ i ố i h c

sinh.B i hình h c là m t môn h c yêu c u ng i h c ph i có t duy logic ,

ch t ch ốà có kh n ng tr u t ng hoá cao h n các môn h c khác

ả c sinh đã đ c ti p c n ố i hình h c ngay t nh ng n m h c ti u h c ốà

đ c h c m t cách h thông t l p 6 ả c sinh đ c h c cách gi i r t nhi u

d ng bài toán nh ng bài toán tìm giá tr c c tr c a m t đ i l ng hình h c

nào đó trong m t ph ng luôn là bài toán gây nhi u khó kh n cho h c sinh

V i s g i ý h ng d n c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ,cùng ố i

m c đích tìm hi u ốà đ a ra ph ng pháp chung đ gi i m t bài toán c c tr

ố hình h c trong m t ph ng c ng nh tìm hi u cách ố n d ng m t s b t

đ ng th c trong hình h c ,b t đ ng th c trong đ i s đ gi i bài toán c c tr

hình h c trong m t ph ng , em đã l a ch n đ tài “ Bài toán c c tr ố hình

+ Khái quát hoá , tr u t ng hoá

+ Nghiên c u sách giáo khoa , tài li u tham kh o , báo toán h c ốà

tu i tr

Cả NẢ 1 :Pả NẢ PảÁP ẢẤ Ấ M T BÀẤ TOÁN C C Tậ V ảÌNả ả C

TRONG M T PH NẢ

Xét m t đ i l ng hình h c y (đ dài c a m t đo n th ng,t ng c a nhi u đo n

th ng,chu ối ,di n tích c a m t hình, đ l n c a m t góc,ố.ố…)

1, Bài toán tìm c c ỏi Ố v hình h c

N u có m t giá tr không đ i y1 sao cho luôn có y y1, đ ng th i t n t i m t ố trí hình h c c a y (ho c hình ch a y) t i đó y đ t đ c giá tr y1,thì ta nói r ng y1 là

Ng i ta th ng kí hi u min y = y1 (hay ymin = y1) ;

Max y = y2 (hay ymax = y2 ) ;

ki n c a đ i l ng đó b ng các đi u ki n t ng đu ng.Có khi ph i ch n m t đ i

l ng nào đó trong hình làm n s ,d a ốào m i quan h gi a n s đó ố i các đ i

l ng khác trong hình, nh ng đ i l ng này có th do đ u bài cho s n,nh ng c ng

có th do ta làm ồu t hi n trong quá trình đi tìm l i gi i c a bài toán.Bi u th n s

theo các đ i l ng đã bi t, các đ i l ng không đ i r i bi n đ i t ng đ ng bi u

th c ố a tìm đ c đ cu i cùng ồác đ nh đ c giá tr c a đ i l ng c n tìm, t đó suy ra ố trí c a hình đ đ t đ c c c tr

Ng i ta th ng dùng cách này khi đ u bài d c cho d i d ng : “ Tìm m t hình tho mãn các đi u ki n c c tr cho tr c ‟‟

Ví d 1: Trong các tam giác có cùng đáy ốà cùng di n tích , tìm tam giác có chu ối

nh nh t

Gi i :

Xét các tam giác có chung đáy là BC = a ốà có cùng đi n tích là S

Ả i Aả là đu ng cao t ng ng ố i c nh đáy BC ta có:

S = 1

2 AH.BC  AH = 2S

a ( không đ i )

Suy ra A di đ ng trên m t đ ng th ng ồy

Song song ố i BC ốà cách BC m t kho ng b ng 2Sa

Ta c n ồác đ nh ố trí c a A trên ồy đ tam giác ABC

Khi đó A  A0 Vì A0B = A0B‟ = A0C nên A0BC cân t i A0

V y trong các tam giác có chung m t đáy ốà có cùng di n tích tam giác cân có chu

ối nh nh t

hình ch nh t MNPQ n i ti p trong tam giác có M  AB; N  AC; P và Q  BC

Ta có th gi i bài toán trên b ng cách áp d ng h qu c a b t đ ng th c Cauchy

T (*) ta nh n th y : a, h đ u là h ng s d ng nên S l n nh t khi ốà ch khi ồ(h -x)

l n nh t Do ồ >0; x < h nên h - ồ > 0, hai s d ng ồ ốà (h - ồ) có t ng không đ i

x + (h - x) = h nên tích x(h - ồ) s l n nh t khi chúng b ng nhau :

ây là bài toán ta đã đ c p trong ốí d 1,nh ng đây đ u bài nói rõ hình ta c n

ph i ch ng minh là m t tam giác cân, nên ta đ a ra m t tam giác cân A0BC

(h.1.1).R i ồét m t tam giác không cân ABC có cùng đáy BC,

đ nh A ch y trên

ng th ng xy BC ta ch ối c ch ng minh chu ối ABC chu vi A0BC t c

là

AB + AC  A0B + A0C nh đã trình bày cách gi i ví d 1

Ả i a, b, c là đ dài ba c nh c a tam giác ABC , r là bán kính đ ng tròn n i ti p

tâm I , S là đi n tích tam giác ABC Ta có :

S = SAIB + SBIC + SCIA

2 (a + b + c )

Vì S không đ i , ta suy ra r s l n nh t khi ốà ch khi ( a + b + c ) nh nh t , t c là chu ối c a tam giác nh nh t Theo k t qu ốí d 1 ,đó là tam giác

cân

Ví d 5:

Cho hình ốuông ABCD c nh a Xét các hình thang có b n đ nh trên b n c nh c a

hình ốuông ốà hai đáy song song ố i m t đ ng chéo c a hình ốuông Tìm hình

thang có di n tích l n nh t ốà tính di n tích l n nh t y

ẢI I

Ả i EạẢả là hình thang có các đ nh n m trên các c nh c a hình ốuông ốà hai đáy

ạẢ, Eả song song ố i đ ng chéo BD c a hình ốuông

2 +

y2

2 + ( a - x )( a - y ) = 1

Cho tam giác ABC ốuông t i A , bên ngoài tam giác ố hai n a đ ng tròn có

đ ng kính AB , AC M t d ng th ng d quay quanh A c t hai n a đ ng tròn theo

th t M,N ( khác A ) Xác đ nh ố trí c a M,N sao cho chu ối c a t giác BCNM

x2 + y2 = AB2

Áp d ng b t đ ng th c (*) : ( ồ + y )2  2 AB2

 x + y  AB 2

d u „„ =‟‟ ồ y ra khi ốà ch khi ồ = y

T ng t : z + t  AC 2 d u „„ =‟‟ ồ y ra khi ốà ch khi z = t

Khi ồ = y thì M là đi m chính gi a c a cung AB , khi đó tam giác AMB

vuông cân nên 

MAB = 45o  CAN = 45 o ( ốì M,A,N th ng hàng )

(2)

+ N u ABC cho tr c có A < 90othì đ ng th ng d đi qua A ph i d ng là

đ ng th ng ốuông goác ố i đ ng trung tuy n AM c a ABC

+ N u A = 90o thì bài toán có hai l i gi i : d ng đ ng th ng d qua A ốà ốuông góc ố i AM ho c d‟ qua A ốà ốuông góc ố i BC

+ N u A > 90o thì đ ng th ng d qua A ốà ốuông góc ố i BC

Ví d 8:

Cho đ ng th ng ồy ,hai đi m A ốà B không n m trên ồy ốà thu c cùng m t n a m t

ph ng có b là đ ng th ng ồy Tìm trên ồy m t đi m M sao cho góc AMB là l n

nh t

ẢI I

Tr c h t ta hãy gi i bài toán :

Cho đ ng th ng ồy , hai đi m A ốà B không

n m trên ồy ốà thu c cùng m t n a m t ph ng

có b là đ ng th ng ồy ; AB không song song

ốà c ng không ốuông góc ố i ồy

D ng đ ng tròn qua A , B ốà ti p ồúc ố i ồy

Ải s ta đã d ng đ c đ ng tròn (O) qua A ,

B ốà ti p ồúc ố i ồy t i M , ốì A,B không song song ố i ồy nên AB c t ồy t i m t

V đ ng tròn (O‟) qua A ốà B ( tâm

O‟ n m trên trung tr c c a AB ).K ti p

tuy n IT ố i (O‟) theo ch ng minh trên

V m t đ òng tròn ph (O‟) b t kì , t I ố ti p tuy n IT ố i (O‟) , trên ồy

đ t ố hai phía c a đi m I các đo n IM1 = IM2 = IT ng ốuông góc k t

M1, M 2 c t đ ng trung tr c c a AB t i O1 ; O2 ;đó là tâm c a hai đ ng

tròn (O1; O1M1 ) và (O2 ;O2M2) đi qua A ,B ốà ti p ồúc ố i ồy t i M1 , M2

V y đi m ph i tìm ti p đi m c a đ ng th ng ồy ố i đ ng tròn có bán kính nh

h n trong hai đ ng tròn qua A,B ốà ti p ồúc ố i ồy

Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O;Q) Xác đ nh ố trí c a đi m M trên

đ ng tròn sao cho n u g i D,E theo th t là hình chi u c a M trên các đ ng

ABC

Tìm giá tr nh nh t c a t s S1+ S2+ S3

S

BÀI 1.5 :

Cho tam giác đ u ABC n i ti p trong đ ng tròn (O,R).Tìm đi m M thu c cung BC

sao cho n u g i ả ,Ả , K th t là hình chi u c a M trên AB , BC , AC thì t ng MA + MB + MC + Mả + MI + MK l n nh t ? nh nh t ?

Cho đ ng th ng ồy ốà hai đi m A , B thu c cùng m t n a m t ph ng có b là ồy

a) Tìm đi m M thu c ồy sao cho MA +MB nh nh t

b) Tì m đi m N thu c ồy sao cho | NA - NB| nh nh t

ẢẤ Ấ

a)

Ả i A‟ là đi m đ i ồ ng c a đi m A

qua ồy thì A‟ hoàn toàn ồác đ nh,

N u l y m t đi m N b t kì trên ồy thì | NA - NB|  AB Ảiá tr l n nh t c a

| NA - NB| b ng AB khi ốà ch khi B là đi m n m gi a hai đi m A ốà N

V y maồ | NA - NB| = AB  N  No

Ví d 2:

Cho đ ng tròn (O) và m t đi m M ngoài đ ng tròn ng th ng k t M qua

tâm O c t đ ng tròn A và B ( A là đi m n m gi a hai đi m M và O ) Ch ng

minh r ng MA là kho ng cách nh nh t trong các kho ng cách t M t i t t c các

đi m c a đ ng tròn và MB là kho ng cách l n nh t trong t t c các kho ng cách

Theo gi thi t , A là đi m n m gi a

hai đi m M và O nên

Cho tam giác ABC có ba goc nh n.Tìm đi m M trong tam giác sao cho

MA.BC + MB.CA + MC.AB đ t giá tr nh nh t

4 ( SABM + SACM + SCBM )  MA.BC + MB.CA + MC.AB

Do dó : min ( MA.BC + MB.CA + MC.AB ) = 4 SABC khi ốà ch khi

AM  BC ; BM  AC ; CM  AB , khi đó M là tr c tâm c a ABC

Ví d 2 :

Cho đ ng th ng d ốà đ ng tròn (O;R) có kho ng cách t tâm O đ n d là

Oả > R L y hai đi m b t kì A  d và B  (O;R) ảãy ch ra ố trí c a A , B sao cho đ dài Ab ng n nh t ốà ch ng minh đi u y

V y min AB = Kả  A  H và B  K

MN + NP + PQ + MQ = = 2 ( BJ + JI + IK + KD )  2 BD Chu vi t giác MNPQ đ t giá tr nh nh t

b ng hai l n đ dài đ ng chéo hình ốuông,

Xét m t đi m M n m trong tam giác ABC Ta ph i ồác đ nh ố trí c a M đ t ng

MA + MB + MC có giá tr nh nh t

Ta tìm cách đ a t ng c a ba đo n thành t ng c a các đo n th ng c a m t đ ng

g p khúc n i hai đi m ồác đ nh nào đó

Th c hi n phép quay tâm A ,góc quay 60o

, ng c chi u kim đ ng h :

Bi n : M thành M‟ ; C thành C‟ Nh ố y tam giác AMM‟ là tam giác đ u

suy ra MA =MM‟

Tam giác ACC‟ c ng là tam giác đ u nên C‟ hoàn toàn ồác đ nh ;

M‟C‟ = MC ( ốì phép quay b o toàn kho ng cách gi a hai đi m )

BAC‟ = BAC +  

CAC‟ < 120o

+ 60o = 180o

Suy ra BC‟ c t đo n AC t i m t đi m D n m gi a A ốà C T ng t CB‟ c t AB t i

đi m E n m gi a A ốà B, suy ra tia BD n m gi a hai tia BA ốà BC ; Tia CE n m

Cho hai đ ng tròn (O1) và (O2) c t nhau t i A ốà B M t cát tuy n qua B ,

c t (O1) t i M , c t (O2) t i N Xác đ nh ố trí cu MN đ chu ối tam giác AMN đ t giá tr l n nh t

AM+ MN+ NA

AO + O O + O A =

AM

AO

Cho đ ng tròn (O) ốà m t đi m M n m trong đ ng tròn ( M không trùng ố i O )

1) Qua M d ng dây Ab sao cho đ dài c a nó :

Ải s AB là m t dây b t kì qua M

ốà Oả là kho ng cách t tâm O t i dây đó

Dây AB s ng n nh t khi ốà ch khi

Oả dài nh t Xét tam giác OảM ta

Ải s PQ là m t dây b t kì qua M.Tam

giác cân OPQ có c nh bên OP =OQ không

nên 

POQ s nh nh t khi cung PQ nh nh t

Dây PQ nh nh t khi ốà ch khi kho ng cách t tâm O đ n dây l n nh t , suy

ra PQ ốuông góc ố i OM t i M V y đi m P ph i d ng là các đi m P1 ,P2 trên

đ ng tròn (O) sao cho P1P2qua M ốà ốuông góc ố i OM

BÀI 2.1 :

Cho hai đi m A ốà B trên cùng m t n a m t ph ng có b là đ ng th ng ồy cho

tr c Tìm trên ồy m t đi m M sao cho chu ối tam giác ABM nh nh t

xOy ốà m t đi m M n m trong góc đó sao cho M không thu c Oồ ốà

Oy.ảãy ồác đ nh đi m B trên Oồ ốà đi m C trên Oy sao cho OB = OC ốà MB + MC

Cho góc vuông xOy , đi m A thu c mi n trong c a góc , các đi m M,N theo th

t chuy n đ ng trên các tia Ox ,Oy sao cho MAN = 90 o.Xác đ nh ố trí c a M ,N đ

Cho hình ch nh t ABCD Tìm t giác có b n đ nh thu c b n c nh c a hình ch

nh t sao cho chu ối c a t giác đó nh nh t

BÀI 2.10 :

Trong các hình ch nh t có đ ng chéo b ng d không đ i, hình nào có di n tích l n

nh t ? Tính di n tích đó

BÀI 2.11 :

Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB ; M là m t đi m di đ ng trên n a đ ng

tròn.Qua M ố ti p tuy n ố i n a đ ng tròn, g i D ốà C theo th t là hình chi u

c a A ốà B trên ti p tuy n y Xác đ nh ố trí c a M sao cho t giác ABCD có di n tích l n nh t Tính di n tích đó theo bán kính R c a đ ng tròn

 ảai s không âm có tích không đ i thì t ng s nh nh t khi ốà ch khi hai s

đó b ng nhau

 Trong các hình ch nh t có cùng di n tích, hình ốuông có chu ối nh nh t

B, CÁC VÍ D ÁP D NẢ

Ví d 1:

Cho hình ch nh t ABCD có AB = 12cm; BC = 8cm Trên các c nh AB,BC,CD,

l n l t l y các đi m E,ạ,Ả,ả sao cho

AE = Cạ = CẢ = Aả Xác đ nh ố trí các đi m E,ạ,Ả,ả đ t giác EạẢả có

= 2( x2 -10x + 48)

= 2(x - 5)2 + 46  46

Min S = 46  x = 5

V y maồ SEFGH = 12.8 - 46 = 50 (cm)2  x = 5(cm)

Ví d 2: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c Ả i ồ, y, z theo th t là

kho ng cách t đi m M trong Tam giác t i c nh BC, CA, AB Xác đ nh ố trí đi m M đ t ng ax + b

BÀẤ T P NẢả CH NG 3

BÀI 3.1:

Cho tam giác ABC có di n tích S.Các đi m D, E ,F th t thu c cá c nh AB ,BC ,CA

sao cho AD = kAB ; BE = k BC ; CF = k CA

a) Tính di n tích tam giác DEF theo S và k

b) V i giá tr nào c a k thì di n tích tam giác DÈ đ t giác tr nh nh t ?

l t thu c các c nh BC , BA , AD , DC ) sao cho BE = BH = DF = DG đ di n tích

hình bình hành EFGH có giá tr l n nh t Tìm giá tr l n nh t đó

BÀI 3.4 :

Cho tam giác ABC Qua đi m O n m bên trong tam giác đó, v các đ ng th ng

song song v i các c nh c a tam giác , chia tam giác ra làm ba hình bình hành và ba

tam giác nh

a) Bi t di n tích tam giác ABC là 81cm2

; hai trong ba tam giác nh có di n tích

G i O là giao đi m c a hai đ ng chéo AC và BD c a t gác ABCD

Bi t SAOB = 4 ; SCOD = 9 Hãy tìm giá tr nh nh t c a di n tích t giác ABCD

BÀI 3.6 :

ng tròn (O, r) n i ti p trong tam giác ABC ng th ng k qua O c t hai c nh

CA và CB c a tam giác l n l t t i M và N ng th ng MN v trí nào thì

CMN có di n tích nh nh t ?

BÀI 3.7 :

Cho đi m M n m trong đ ng tròn (O,R) Qua M hãy d ng hai dây AB và CD

vuông góc v i nhau sao cho AB + CD l n nh t ?

BÀI 3.8 :

Cho tam giác ABC cân A Các đi m M ,N theo th t chuy n đ ng trên các c nh

AB , AC sao cho AM = CN Xác đ nh v trí c a M ,N đ :