Về mở rộng trường bậc hai và ứng dụng

Vì vậy, mở rộng trường là một nội dung cơ bản của Lý thuyết trường có liên quan với Lý thuyết Galois và Lý thuyết số p-adic, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.. Đó là tr

MỞ ĐẦU

Bài toán giải phương trình đa thức gắn liền với bài toán mở rộng trường,

đặc biệt là mở rộng căn của các trường số Vì vậy, mở rộng trường là một nội

dung cơ bản của Lý thuyết trường có liên quan với Lý thuyết Galois và Lý

thuyết số p-adic, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm

Trong lịch sử phát triển của số học, khởi đầu từ việc mở rộng tập hợp ¥các số tự nhiên tới tập hợp các số nguyên ¢ , nguyên nhân chủ yếu là do nhu

cầu giải các phương trình bậc nhất dạng x a b+ = Tiếp đến bài toán mở rộng vành ¢ các số nguyên tới trường ¤ các số hữu tỉ liên quan đến giải phương trình bậc nhất ax b= Tiếp theo, yêu cầu mở rộng trường ¤ các số hữu tỉ tới trường ¡ các số thực lại gắn liền với việc giải phương trình x2 =2 Tương tự, việc mở rộng trường số thực ¡ tới trường số phức £ xuất phát từ việc giải phương trình bậc hai x2 +1=0 Nói khác đi, cùng với việc giải phương trình bậc hai khái niệm trường số phức đã xuất hiện

Các trường mở rộng bậc hai xuất hiện rất nhiều trong các cấu trúc trường

số Đó là trường £ các số phức là mở rộng bậc hai của trường ¡ các số thực Hơn nữa, giữa các trường £ các số phức và trường ¡ các số thực có vô hạn các trường con trung gian ¤ ( )d là các mở rộng bậc hai của trường ¤ các số hữu tỷ Ngoài ra, với các số nguyên tố phân biệt p q, các trường mở rộng bậc hai ¤ ( )p và ¤ ( )q của trường các số hữu tỉ là không đẳng cấu với nhau

Với những lý do như đã trình bày ở trên, luận văn này nhằm tìm hiểu các nội dung về Lý thuyết trường nói chung và các trường mở rộng bậc hai và các ứng dụng của chúng

Luận văn được chia làm 3 chương Chương 1 trình bày về trường và đa thức; Chương 2 trình bày về các trường mở rộng bậc 2 Chương 3 giải một số bài toán về trường mở rộng Nội dung chính của Luận văn nhằm hệ thống hoá lại một số kết quả cũng như tìm hiểu và giải quyết được một số bài tập về:

• Trường nghiệm của đa thức

• Trường mở rộng với bậc lũy thừa của 2 và ứng dụng trong các bài toándựng hình bằng thước kẻ và compa.

• Mở rộng đơn

• Mở rộng bậc hai của trường số hữu tỉ ¤ và trường số nguyên ¢ p

• Kết nối nghiệm

• Bậc và cơ sở mở rộng trường bậc hai

Tôi là một học viên người Lào sống xa quê hương, vinh dự được học tập sau đại học tại đất nước Việt Nam, bản thân tôi đã luôn luôn được sự quan tâm giúp đỡ trong học tập và tập dượt nghiên cứu toán học của thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang cũng như tập thể các thầy cô giáo và các bạn học viên trong Khoa Toán học - Trường Đại học Vinh

Vì vậy, tôi vô cùng biết ơn PGS.TS Nguyễn Thành Quang, người đã hướng dẫn tận tình và nghiêm túc cho tác giả, để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Tác giả rất biết ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán học đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và chỉ bảo cho tôi – một học viên cao học Toán khóa

19 trong suốt thời gian học tập vừa qua dưới mái Trường Đại học Vinh thân yêu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Phòng Đào tạo Sau Đại học, Phòng Công tác Chính trị & Quản lý học sinh và sinh viên - Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ cho chúng em trong học tập

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo và các thầy cô giáo của Trường Cao đẳng Sư phạm Xiêng Khoảng (Cộng hoà Dân chủ Nhân dân Lào) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Do kiến thức và thời gian còn có hạn, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn

Nghệ An, tháng 06 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1 TRƯỜNG VÀ ĐA THỨC

1.1.1 Định nghĩa trường Trường là tập hợp K có nhiều hơn một phần tử, đã

trang bị hai phép toán cộng và nhân, ký hiệu bởi dấu (+) và dấu (.), thoả mãn các quy tắc sau đây:

1 Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) +c = a + (b + c).

2 Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a.

3 Phép cộng có phần tử đơn vị 0: ∃ 0∈ K: a + 0 = a

4 Tồn tại phần tử đối: ∀a∈ K, ∃ - a∈ K: a + (- a) = 0.

5 Phép nhân có tính chất kết hợp: (ab)c = a(bc).

6 Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba.

7 Phép nhân có phần tử đơn vị 1: ∃ 1∈ K sao cho a1 = a.

2) Trong mỗi trường K chỉ có hai iđêan là {0} và K

Thật vậy, giả sử I là iđêan khác {0} của K, khi đó trong I có phần tử a khác 0, do đó 1 = aa-1 thuộc I Vì vậy, x = x.1 thuộc I, với ∀ ∈x K , hay I = K.

3) Nếu miền nguyên K chỉ có hai iđêan là {0} và K thì miền nguyên K là trường

Thật vậy, giả sử a là phần tử khác 0 tùy ý của K, ta xét iđêan I sinh bởi a trong K Do a thuộc I nên I là một iđêal khác {0} của K gồm các bội của a trong

K và do đó I = K hay 1 thuộc I Vì vậy, trong K có phần tử b sao cho 1 = ab, hay

ChoA là tập con ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong trường

K Ta gọi A là một trường con của trường K nếu A cùng với hai phép toán cảm

sinh trên A, lập thành một trường

Ta nhắc lại một tiêu chuẩn của trường con

1.1.3 Định lý Giả sử A là một tập hợp con có nhiều hơn một phần tử của trường K Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

a) A là một trường con của trường K.

b) ∀x y A, ∈ ⇒ − ∈x y A xy A x; ∈ ; − 1∈A x( ≠0)

Ví dụ Trường các số hữu tỉ là trường con của trường các số thực; trường các số

thực là trường con của trường các số phức

1.1.4 Định nghĩa Cho K và E là các trường Một ánh xạ f : K → E được gọi

là một đồng cấu trường nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

i) f(a + b) = f(a) + f(b),

ii) f(ab) = f(a)f(b), với ∀a b K, ∈

1.1.5 Các tính chất đơn giản của đồng cấu trường

Cho f : K → E là một đồng cấu trường, khi đó ta có:

1) f là đồng cấu từ nhóm cộng của trường K vào nhóm cộng của trường E

và do đó f có mọi tính chất của một đồng cấu của nhóm cộng Aben:

f(0) = 0; f(a - b) = f(a) - f(b), ∀a,b∈K

2) f(1) = 0 hoặc f(1) = 1.

3) f là đơn cấu ⇔ f(1) = 1.

4) f là đồng cấu không ⇔ f(1) = 0.

5) f là đồng cấu không hoặc f là đơn cấu.

6) Nếu f khác đồng cấu không thì f là đơn cấu từ nhóm nhân K * của trường

K vào nhóm nhân E * của trường E, do đó trong trường hợp này f có mọi tính chất của một đơn cấu của nhóm nhân Aben, chẳng hạn:

i) f a( − 1)= f a( )− 1, với ∀ ∈a K a, ≠0.

ii) K∗ ≅ Im( )f ⊆E∗

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X là một miền nguyên và X là một trường Ta gọi trường X là trường các thương của miền nguyên X nếu tồn tại một đơn cấu miền nguyên f: X → X sao cho mọi phần tử của X có dạng f(a)f(b) -1, trong

Ta bỏ qua chứng minh chi tiết của Định lý cơ sở này, vì nó đã được trình bày trong nhiều giáo trình Đại số đại cương cơ sở

Ví dụ 1) Trường ¤ các số hữu tỉ gồm các phân số , ,a a b ,b 0

trường các thương của miền nguyên K[x] các đa thức của biến x trên trường K

1.1.8 Đặc số của trường Cho K là một trường với đơn vị 1 Nếu 1 0, n ≠ với mọi số tự nhiên n≠0, thì ta nói trường K có đặc số 0 Trong trường hợp ngược lại, nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho n1 0= thì ta sẽ gọi số nguyên dư-

ơng p bé nhất sao cho p 1 = 0 là đặc số của trường K.

Đặc số của trường K được ký hiệu bởi char(K).

Ví dụ 1) Các trường ¤ , , ¡£ có đặc số 0.

2) Trường ¢ p có đặc số p.

Nhận xét Nếu trường K có đặc số p ≠ 0 thì p là số nguyên tố

Thật vậy, nếu p = 1 thì 1 = 0, vô lý Giả sử ngược lại p là hợp số, tức

1.1.9 Trường nguyên tố Một trường K được gọi là trường nguyên tố (prime

field) hay trường đơn nếu K không có một trường con thực sự

Trường ¤ các số hữu tỉ và trường Zp các lớp thặng dư modp là các ví dụ

về trường nguyên tố

Nhận xét Mỗi trường đều chứa một trường con nguyên tố duy nhất

Thật vậy, ta gọi P là giao của tất cả các trường con của trường K Khi đó, P

là trường con bé nhất của K và do đó P là trường con nguyên tố duy nhất của K.

1.1.10 Định lý về các kiểu trường nguyên tố Cho K là một trường và P là trường con nguyên tố của K Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường ¤

các số hữu tỉ Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường ¢ p các số nguyên modp.

Chứng minh Lập ánh xạ f : ¢ → K từ vành số nguyên ¢ tới trường K, xác định bởi f(m) = m1, với 1 là phần tử đơn vị của trường K Ta chứng minh f là đồng cấu vành Thật vậy, với mọi m,n ∈¢ , ta có:

Đẳng cấu vành này cảm sinh ra một đẳng cấu giữa trường các thương của miền nguyên ¢ với trường các thương của Im(f) Do đó, ta có đẳng cấu trường:

¤ ≅ P, bởi vì trường các thương của ¢ là ¤ , còn trường các thương của Im(f) chính là trường con nguyên tố P của K.

b) Trường hợp trường K có đặc số nguyên tố p, ta có

m∈Ker(f) ⇔ f(m) = m1 = 0 ⇔ m  p ⇔ m∈ p¢

Vì vậy, Ker(f) = p¢ Theo Định lý đồng cấu vành, ta có:

¢ /Ker(f) ≅Im(f) hay ¢ /p¢ = ¢ p ≅ Im(f).

Vì p là số nguyên tố nên ¢ p là trường hay Im(f) cũng là trường Mặt khác, Im(f) là trường con bé nhất của K nên Im(f) = P, do đó ta có ¢ p ≅ P ■

1.1.11 Mệnh đề Trong một trường K với đặc số nguyên tố p, ta có:

k k

a

0

k p

Hơn nữa, do p là số nguyên tố, nên số tất cả các tổ hợp chập k của p:

Cp k ≡ 0 (modp), 1≤ k ≤ p –1.

Vì thế, ta có Cp k 1 =(tp)1 = t(p1) = t0 = 0, 1≤ k ≤ p –1.

Do đó: Ck p x =(tp)x = t(px) = t0 = 0, 1≤ k ≤ p –1, với mọi x thuộc K.

Vì vậy, công thức nhị thức ở trên trở thành: (a + b) p = a p + b p ■

1.1.12 Định lý Nếu K là trường có đặc số nguyên tố p thì ánh xạ : f aa a p

là một tự đơn cấu của trường K.

Chứng minh Với ∀a,b∈K, theo Mệnh đề 1.1.11, ta có

* f(a + b) = (a + b) p = a p + b p = f(a) + f(b)

* f(ab) = (ab) p = a p b p = f(a)f(b).

Ngoài ra, vì f(1) = 1 p = 1≠ 0, nên f không là tự đồng cấu không của trường K

Vì vậy, ánh xạ f là một tự đơn cấu của trường K ■

1.1.13 Hệ quả Nếu K là trường có đặc số nguyên tố p thì ánh xạ : f aa a p n

là một tự đơn cấu của trường K, với mọi số nguyên n≥1.

Chứng minh Vì trường K có đặc số nguyên tố p, cho nên theo Định lý 1.1.12 ta

suy ra ánh xạ aa a p là một tự đơn cấu của trường K Vì vậy, ánh xạ tích n lần của f : f n = f o oLof f a: a a p n cũng là một tự đơn cấu của trường K ■

1.1.14 Mệnh đề Trường ¢ p các số nguyên modp chỉ có duy nhất một tự đẳng cấu, đó là phép đồng nhất.

Chứng minh Giả sử f : ¢ p → ¢ p là một tự đồng cấu bất kỳ của trường ¢ pcó:

f(1) = 0 hoặc f(1) = 1.

Nếu f(1) = 0, thì f(k ) = 0, với mọi lớp thặng dư k thuộc trường ¢ p hay

f là tự đồng cấu không Vì vậy, f(1) = 1 và do đó ta có:

f( k ) = f(1 + 1 + + 1) = kf(1) = k1 = k , (k = 0,1, , p - 1).

Như vậy, f là tự đẳng cấu đồng nhất của trường ¢ p ■

1.1.15 Hệ quả (Định lý Fermat bé) Với mọi số nguyên a và với mọi số nguyên

tố p, ta có đồng dư thức sau đây: a p ≡a(mod )p

Chứng minh Vì trường ¢ p có đặc số nguyên tố p cho nên ánh xạ : f aa a p là một tự đơn cấu của trường ¢ p Theo Mệnh đề 1.1.14, ta suy ra f là tự đẳng cấu

đồng nhất của trường ¢ p Do đó, ta có a p = ∀ ∈a, a ¢ , hay a p =a Từ đẳng thức này, ta suy ra đồng dư thức cần chứng minh: a p ≡a(mod )p ■

1.2 Trường nghiệm của đa thức

1.2.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường con của trường E Khi đó, ta gọi E là

một trường mở rộng (hay ngắn gọn hơn là mở rộng) của trường K

Một phần tử u E được gọi là một nghiệm của đa thức∈ f (x)∈K[x] nếu 0

Chú ý rằng f( )x có thể không có nghiệm trong K, nhưng lại có nghiệm trong E, vì vậy giả thiết E là trường mở rộng của trường K là cần thiết Chẳng

hạn, đa thức f x( ) = − ∈x2 2 ¤[ ]x không có nghiệm trong trường ¤ các số hữu

tỉ nhưng có nghiệm trong trường ¡ các số thực.

1.2.2 Định lí Bezout Cho đa thức ( ) f x ∈ K[x] Khi đó, phần tử u∈K là nghiệm của f( )x khi và chỉ khi f( )x chia hết cho x – u trong vành đa thức K[x]. Chứng minh Thật vậy, theo Định lý về phép chia có dư trên vành đa thức, có

f(x) = (x - u )q(x) + r(x), q(x), r(x) ∈K[x],

trong đó degr x( ) <1 nếu r(x) khác 0, hay r(x) = r∈ K Từ đó f u = r Vì ( )

vậy, f( )x chia hết cho x−u trong vành K[x] khi và chỉ khi r = f u = 0 ■ ( )

1.2.3 Định nghĩa Giả sử klà một số tự nhiên khác 0 Một phần tử α ∈K đươc gọi là một nghiệm bội k của đa thức ( ) f x ∈K[x] nếu và chỉ nếu f x chia hết ( )

Vậy α ∈K là nghiệm bội k nếu và chỉ nếu f ( ) x =( )k

x − α g ( ) x với ( ) 0

g α ≠ Suy ra: deg f x( ) = +k degg x( ) , k ≤deg f x( )

1.2.4 Định lí Giả sử K là trường, f x( ) ≠0 là một đa thức của K[x] và

Chứng minh Do K[x] là vành Gauss nên f(x) phân tích được thành tích của các

đa thức bất khả quy trong K[x] Hiển nhiên x−α1, ,K x−αr là những nhân tử

bất khả quy có mặt trong sự phân tích của f x( ) Viết rõ các nhân tử

có bốn nghiệm trong khi bậc của nó là 3 Sự phân tích của f x thành nhân tử ( )

bất khả quy cũng không duy nhất:

f x = =x x x− = −x x + x+ = −x x − x+ .

1.2.6 Hệ quả Nếu hai đa thức f ( ) x và g ( ) x ∈K[x] có bậc n và lấy những giá

trị bằng nhau tại n + 1 phần tử khác nhau của trường K, thì f(x) = g(x).

Chứng minh Thật vậy, giả sử h x( )= f x( )−g x( ) là đa thức khác 0, ta có

1.2.7 Trường nghiệm của đa thức Giả sử K là một trường, ( ) f x là một đa

thức bậc n≥1 trên K Khi đó, một trường N được gọi là trường nghiệm hay trường phân rã của đa thức ( ) f x trên K nếu N là trường mở rộng cực tiểu (nhỏ nhất) của K chứa tất cả n nghiệm của đa thức ( ) f x

Nhằm chứng minh rằng mọi đa thức trên một trường K đều có trường

nghiệm, trước hết ta chứng minh định lí sau:

1.2.8 Định lí Với mọi đa thức ( ) f x bất khả quy trên một trường K, tồn tại một trường mở rộng N của K sao cho trong N đa thức ( ) f x có ít nhất một nghiệm

Chứng minh Xét vành thương N = K[x] / I của vành K[x] trên iđêan I sinh bởi

)

(x

f Vì K[x] là một vành giao hoán có đơn vị 1 nên N cũng là một vành giao hoán có đơn vị là 1 1 I= + Rõ ràng ta có 1 0≠ Thật vậy, nếu 1 0= thì 1 + I = I hay 1 thuộc I và 1 là bội của ( )f x Điều này mâu thuẫn với giả thiết

deg ( ) 1

n= f x ≥ Do đó, N có nhiều hơn một phần tử Ta sẽ chứng minh tiếp rằng mọi phần tử khác không của N là khả nghịch Thật vậy, giả sử g x =( ) ( )

g x + I là một phần tử khác không của N Vì g x( ) ≠0 nên g x( ) ∉I tức

( ) x

g không chia hết cho ( )f x Do ( ) f x bất khả quy trên K, nên ( ) f x và

)

(x

g nguyên tố cùng nhau trên K Vì vậy, tồn tại các đa thức r x s x( ) ( ), ∈K[x]

sao cho ta có: f x r x( ) ( ) +g x s x( ) ( ) =1 Chuyển sang các lớp chúng ta được:

f x r x +g x s x =

Do f x( ) =0, nên g x s x( ) ( ) =1 Điều này chứng tỏ rằng g x khả nghịch ( )

trong vành N Vậy, N là trường

Thiết lập ánh xạ ϕ: K → N, aa a I a+ = Rõ ràng, φ là một đơn cấu trường Thật vậy, ta chứng minh ϕ là đơn ánh như sau: Với ∀a b K, ∈ có

( )a ( )b a I b I a b I a b f x( )

ϕ =ϕ ⇒ + = + ⇒ − ∈ ⇒ −  ⇒ − = ⇒ =a b 0 a b

Vậy tập hợp các phần tử a của N, với a∈K lập thành một trường con đẳng cấu với K Nếu ta đồng nhất K với φ (K), bằng cách đồng nhất a a≡ , thì

ta có thể xem K như là một trường con của trường N

Ngoài ra, nếu ( ) 0 1

n n

Ví dụ Giả sử K = ¤ và đa thức f x( ) = − ∈x2 2 ¤ [ ]x Khi đó, vành thương [ ]x /< − >x2 2

Giả sử f x có bậc ( ) n>1 và q x là một ước bất khả quy của ( ) f x ( )

Theo Định lí 1.2.8, có một mở rộng K1 của K sao cho q x và do đó ( ) f x có ( )

một nghiệm trong K1 Khi đó, nếu α là một nghiệm của f x trong K( ) 1, theo Định lý Bezout ta có f x( ) = −(x α) ( )g x với g x( ) ∈K1[x] có bậc là n−1 Theo giả thiết quy nạp, có một trường mở rộng P của K1 sao cho g x có đủ ( )

1

n− nghiệm trong P và do đó f x có đủ n nghiệm trong P ( )

Để có trường nghiệm N của đa thức f x trên K, chỉ việc lấy trường con ( )

N nhỏ nhất của P chứa K và chứa n nghiệm của f x Để ý rằng, trường N đó ( )

chính là giao của tất cả các trường con của trường P chứa K và chứa n nghiệm

của đa thức f x ■( )

1.2.10 Định nghĩa Một trường K được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa

thức f x( ) ∈ K[x], với bậc n ≥ 1, đều có ít nhất một nghiệm trong K

1.2.11 Định lý [3] Các phát biểu sau đây là tương đương:

1) K là trường đóng đại số,

2) Mọi đa thức f(x)∈ K[x] với bậc n≥1 đều phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính trên K:

( )x

f = c(x - u 1 )(x - u 2 ) (x - u n ); c∈ K * , u i ∈ K, i = 1, , n.

3) Đa thức bất khả quy của K[x] chỉ gồm các đa thức bậc nhất.

4) Mọi mở rộng đại số của K là K.

5) Mỗi đa thức của K[x] bỏ đi một giá trị thuộc K là đa thức hằng.

Chú ý: 1) Theo Định lý cơ bản của Đại số học cổ điển, trường £ các số phức là một trường đóng đại số

2) Trong Lý thuyết số p–adic, người ta đã chứng minh được rằng: Trường

p

£ các số phức p-adic là trường đóng đại số (xem [3])

3) Tổng quát hơn, người ta đã chứng minh được rằng: Mọi trường K đều

có duy nhất một trường mở rộng đóng đại số (xem [2]).

( 1 x ) 2x ( 1 x ) 2 x ( 1 x ) 2 x

εε

2 3

2 4

= − +

= − −Phương trình (2) có hai nghiệm là:

Phương trình (3) có hai nghiệm ( là liên hợp của các nghiệm x3 và x4 ) sau:

CHƯƠNG 2 TRƯỜNG MỞ RỘNG BẬC HAI 2.1 Mở rộng trường

2.1.1 Định nghĩa Nếu K là một trường con của trường E, thì ta gọi E là một

trường mở rộng của K ( hay đơn giản hơn E là một mở rộng của K ) Mở rộng

E của trường K được ký hiệu là E /K Giả sử E là một mở rộng của trường K,

ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường

K Số chiều n của không gian vectơ E trên K được gọi là bậc của mở rộng E trên K Ta ký hiệu [E : K ] là bậc của mở rộng E trên K

Như vậy, ta có [E : K ] = dimK E = n Mỗi hệ sinh hoặc cơ sở của không gian vectơ E trên K được gọi là một hệ sinh hoặc cơ sở của mở rộng E trên K.

2.1.2 Phần tử đại số Phần tử siêu việt

Cho K là một trường và E là một trường mở rộng của K Phần tử u E∈

được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức khác không f x( ) ∈ K[x] sao cho f u( ) =0 Phần tử u E∈ không đại số trên K, gọi là phần tử siêu việt trên K Nói khác đi, một phần tử u E∈ là phần tử siêu việt trên trường K nếu

và chỉ nếu với mọi hệ thức đa thức có dạng:

( )

q x như vậy được xác định duy nhất Ta gọi q x là đa thức cực tiểu của phần ( )

tử đại số u E∈ trên K Ta cũng gọi bậc của đa thức cực tiểu q x của u là bậc ( )

của u trên K, và ký hiệu bởi [u : K].

Như vậy, ta có: [u : K] = deg q x ( )

Nhận xét Cho u E∈ là phần tử đại số trên trường K Gọi q x là đa thức cực ( )

tiểu của u trên K Khi đó, ta có:

1) Với mọi đa thức f x thuộc K[x], nếu( ) f u( ) =0 thì f x chia hết cho ( ) ( )

q x trong vành K[x].

2) q x là đa thức bất khả quy trên trường K ( )

3) Nếu f x là đa thức đơn hệ, bất khả quy trong K[x] và nhận u là ( )

nghiệm, thì f x là đa thức cực tiểu của u trên K, hay ( ) f x( ) =q x( ).

Ví dụ 1) Các số hữu tỉ (nghiệm của đa thức bậc nhất a 0 + a 1 x ∈ ¤ [x]); các số

có dạng n a , a∈¤ (nghiệm của đa thức x n - a ∈ ¤ [x]) là số đại số

2) Các số e và π là số siêu việt trên trường số hữu tỉ ¤ Năm 1851, nhà toán học Pháp Liouville là người đầu tiên phát hiện ra số siêu việt Năm 1873,

nhà toán học Pháp Hermite chứng minh được rằng số e, cơ số của hệ thống

lôgarit tự nhiên, là số siêu việt Năm 1882, nhà toán học người Đức là Lindemann đã chứng minh rằng, số π, tỷ số của chu vi đường tròn trên độ dài của đường kính của nó, cũng là số siêu việt Ký hiệu π là chữ cái thứ mười sáu trong bảng chữ cái Hy Lạp (xem [4])

2.1.3 Mở rộng đại số và mở rộng siêu việt

Cho E là mở rộng của trường K Ta gọi E là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử u E∈ đều là phần tử đại số trên K Trong trường hợp ngược lại, ta gọi E là mở rộng siêu việt trên K Nói khác đi, E được gọi là một mở rộng siêu việt trên K nếu tồn tại một phần tử u E∈ là phần tử siêu việt trên K

2.1.4 Định lý Mọi mở rộng bậc hữu hạn của trường K đều là mở rộng đại số

trên K đều phụ thuộc tuyến tính, do đó có một hệ thức tuyến tính không tầm

thường sau đây:

để cho f ( )α =0, hay α là phần tử đại số trên trường K ■

2.1.5 Định lý Giả sử F là mở rộng bậc n của trường K có một cơ sở trên K

là {u i i; =1, ,n} và E là một mở rộng bậc m của trường F có một cơ sở trên F

là {v j j; =1, ,m} Thế thì, E là mở rộng bậc nm của trường K có cơ sở là

{u v i i j; =1, , ;n j =1, ,m} .

Chứng minh Giả sử K là một trường, F là một mở rộng trường của K có cơ sở

trên K là hệ {u 1 , u 2 , …, u n } và E là mở rộng của trường F có cơ sở trên F là

hệ {v 1 , v 2 , …., v m} Khi đó, với ω ∈ E, ta có:

1

m

j j j

0

n

ij i i

Vậy {u v i i j; =1, , ;m j =1, ,n} là một hệ độc lập tuyến tính và mọi phần

tử thuộc E đều biểu diễn được qua nó, hay hệ này là một cơ sở của trường mở rộng E trên K ■

Từ Định lý 2.1.5 vừa chứng minh ở trên, ta suy ra các kết quả sau về bội của bậc mở rộng

2.1.6 Hệ quả Giả sử K ⊆ ⊆F E là một dãy các trường trung gian của mở rộng trường E/K Khi đó, nếu các mở rộng E/F và F/K đều có bậc hữu hạn thì mở rộng E/ K cũng có bậc hữu hạn và ta có công thức sau:

[E : K] = [E : F] [F : K].

Công thức trên thường được gọi là công thức về bội của bậc của mở rộng trường, nó có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán về xác định bậc của mở rộng trường

2.2 Mở rộng đơn

2.2.1 Định nghĩa, Giả sử K là một trường con của trường E, u E∈ Ta ký hiệu

K(u) là trường con bé nhất của E chứa K và u Ta gọi K(u) là mở rộng đơn của trường K sinh bởi u hay ghép thêm phần tử u

2.2.2 Định lý Giả sử K là trường, E là mở rộng của trường K, u E∈ , khi đó:

i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với trường K(x) các phân thức hữu tỉ qua đẳng cấu trường:

ϕ : K(x) ≅ K(u) sao cho ϕ(x) = u; ϕ(a) = a; ∀a ∈ K.

ii) Nếu u là phần tử đại số trên trường K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với trường K[x]/(q) qua đẳng cấu trường:

ψ : K[x]/(q) ≅ K(u)

sao cho ψ (x + (q)) = u và ψ (a + (q)) = a, ∀a∈ K, trong đó q q x= ( ) là đa

thức cực tiểu của phần tử u trên K và (q) là iđêan sinh bởi đa thức q trong vành

là một iđêan của vành đa thức K[x].

i) Nếu u là phần tử siêu việt trên K, thì với mọi đa thức f(x) ∈ K[x] sao cho f(u) = 0, ta có f = 0, do đó Ker(h u ) = {0}, hay h u là một đơn cấu Vì vậy,

h u cảm sinh một đẳng cấu miền nguyên h: K[x] ≅ K[u] Đẳng cấu h này sinh ra

một đẳng cấu trường các thương tương ứng ϕ: K(x) ≅ K(u) thỏa mãn yêu cầu

của định lý

ii) Do q là đa thức bất khả quy trên K nên Ker(h u) = (q) là một iđêan tối đại của vành K[x] Do đó, vành thương K[x]/(q) là một trường Theo định lý

đồng cấu vành, ta có:

K[x]/ Ker(h u) = K[x]/(q) ≅ Im(h u)= K[u].

Vì K[x]/(q) là trường, nên vành K[u] cũng là trường chứa K và u, do đó K[u] = K(u) Vì vậy, ta có đẳng cấu ψ : K[x] /(q) ≅ K(u), sao cho:

ψ (x + (q)) = u và ψ (a + (q)) = a, ∀a ∈ K ■

2.2.3 Hệ quả i) Mở rộng đơn siêu việt K(u) của trường K có dạng:

( )( ) ; ( ), ( ) [ ], ( ) 0

Chứng minh Chứng minh i) được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.2.2.

Chứng minh ii): Theo Định lý 2.2.2, có đẳng cấu ψ : K[x]/(q) ≅ K(u) nên với mọi w ∈ K(u) có dạng w = ψ (f + ( q)), f∈ K[x] Theo định lý về phép chia đa thức, tồn tại duy nhất các đa thức g,r∈ K[x], sao cho

Tính độc lập tuyến tính của hệ {1, u, , u n -1} sẽ được chứng minh như sau:

Bây giờ, ta chứng minh các lũy thừa {1, u, , u n - 1 } độc lập tuyến tính trên K Thật vậy, giả sử có một hệ thức tuyến tính không tầm thường

a 0 + a 1 u + + a n-1 u n-1 = 0, trong đó a i ∈K Ta đặt

p(x) = a 0 + a 1 x + +a n-1 x n-1∈K[x]

thế thì p(x) ≠ 0 và p(u) = 0 Do đó, u là nghiệm của một đa thức khác 0 trên

K có bậc nhỏ hơn n Ta gặp phải một mâu thuẫn ■

Trong trường hợp u là phần tử đại số bậc n trên trường K, chúng ta có thể chứng minh mở rộng đơn đại số K(u) là mở rộng bậc n của K bằng một

phương pháp sơ cấp hơn sau đây:

2.2.4 Định lý Giả sử u là phần tử đại số bậc n trên trường K Thế thì, trường

mở rộng đơn K(u) trùng với vành K[u] các đa thức của u với hệ tử thuộc K Chứng minh Thật vậy, giả sử q(x) là đa thức cực tiểu của u và f(u) ≠ 0 là

phần tử tùy ý thuộc K[u], khi đó ta có f(x) không chia hết cho q(x) Do tính bất khả quy của q(x) nên f(x) và q(x) nguyên tố cùng nhau, hay tồn tại các đa thức g(x), h(x) thuộc vành K[x] sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) 1

g x q x +h x f x =

Từ đó suy ra ( ) ( ) 1h u f u = nghĩa là f(u) khả nghịch trong K [u] Vì vậy, K[u] là

trường và do đó K[u] = K(u) ■

2.2.5 Định lý Nếu K là một trường và q∈ K[x] là một đa thức bất khả quy trong K[x], thì tồn tại một mở rộng đơn đại số F = K(u) sinh bởi K và một nghiệm u nào đó của đa thức q.