Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn

LỜI NÓI ĐẦUNhư ta đã biết, đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc khảo sát các bài toán cực trị hình học và đạo hàm Lie là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình h

-@&? -ĐẶNG VĂN THÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2012

-@&? -ĐẶNG VĂN THÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ

Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

NGHỆ AN - 2012

LỜI NÓI ĐẦU……….……….…. 1

CHƯƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI … 3

I Đa tạp khả vi……….……….……… 3

II Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi……….……… 6

III Độ cong và độ xoắn trên đa tạp khả vi……….……… ……… 13

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN…….…. 22

I Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính……… 22

II Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn……….……… ……… 26

KẾT LUẬN……….……… 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO………. 33

LỜI NÓI ĐẦU

Như ta đã biết, đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc khảo sát các bài toán cực trị hình học và đạo hàm Lie là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên đa tạp khả vi Trong những thập niên gần đây, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu và đã có nhiều tài liệu viết về đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn như: Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn với tài liệu - Lý thuyết liên thông và hình học Riemann; Đoàn Quỳnh với tài liệu - Hình học vi phân, Nguyễn Hữu Quang với tài liệu - Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie; Sultanov.A.Ya với tài liệu - Derivations of linear algebras and lianear connections

Mục đích chính của luận văn này là trình bày chi tiết và có hệ thống một số kiến thức về đạo hàm Lie của độ cong và đạo hàm Lie của độ xoắn trên đa tạp

khả vi Do đó luận văn được mang tên: “ Đạo hàm Lie của độ cong và độ

xoắn”.

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Độ cong và độ xoắn trên đa tạp

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính và độ cong và độ xoắn trên đa tạp Đây là những kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I được chia làm ba phần

I Đa tạp khả vi

II Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

III Độ cong và độ xoắn

Chương 2 Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn

Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm và tính chất, ví dụ về đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính và đạo hàm Lie của độ cong và đạo hàm Lie của độ xoắn Chương II được chia làm 2 phần

I Đạo hàm của liên thông tuyến tính.

II Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS – TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn./

Vinh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG I

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của độ cong và

độ xoắn của đa tạp khả vi

I.Đa tạp khả vi.

1.1 Định nghĩa.

Giả sử M là một T2 - không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M, V là tập mở trong Rn và ánh xạ : Uϕ →V là đồng phôi thì (U,ϕ) được gọi là một bản đồ của M

Chú ý:

- Với p∈U, ( )ϕ p =(x x1, , ,2 x n) Khi đó ( x x1, , ,2 x được gọi là tọa độ địa n)

phương của p đối với (U,ϕ) ((U,ϕ) được gọi là hệ tọa độ địa phương của M)

- Một điểm p có thể thuộc nhiều bản đồ của M, do đó p có nhiều bộ tọa độ địa

Vậy (U,ϕ) là một bản đồ của S1.

2 1

ϕ ϕ−

° : W1 → W2 là vi phôi

• Nếu U1∩U2 = φ, ta quy ước rằng (U1,ϕ1) và (U2,ϕ2) phù hợp

Trở lại ví dụ (1.2) ở trên và xét thêm bản đồ

( )

1 2

M

1

Trong quá trình khảo sát tính khả vi của đa tạp, ta chỉ cần chỉ ra một Atlat thích hợp.

Ta tiếp tục xét M = S1, cùng thêm các bản đồ sau:

Vậy S1 là một đa tạp khả vi 1 – chiều

II Liên thông tuyến tính.

Trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực với hệ bản đồ

(U ;φα α α I) ∈ và tôpô của M có cơ sở đếm được.

Ta ký hiệu:

F(M) = { : Uf →R, f khả vi}

B(M) = {X| X là trường véc tơ tiếp xúc, khả vi trên M}

TpM = { Không gian các véc tơ tiếp xúc với M tại p∈M}

1.6 Định nghĩa.

Ánh xạ ∇: B(M) × B(M) → B(M)

Thật vậy: Để chứng minh ∇ là một liên thông tuyến tính, ta cần chứng minh ∇

thỏa mãn 4 tính chất của liên thông tuyến tính

= (X Y E +X Z E )∑

n [ ] n [ ]

i i i i i=1 i=1

(X Z E +Y Z E )

=∑

Ta đặt ∇α (X,Y) = φα*−1(D Y')X'

; trong đó X’ = φ (X) , Y’ = α* φα*(Y).

Ta nhận thấy rằng ∇α là liên thông tuyến tính trên U ; α Iα ∀ ∈

Giả sử { }gα α I∈ là phân hoạch đơn vị liên kết với {U }α α I∈ Ta đặt α α

1.9 Mệnh đề (xem [2])

Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên N, và M⊂N,

X,Y

∀ ∈ B(M), ta đặt ∇XY=(∇XY)T Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M

(Ở đây T là ký hiệu thành phần tiếp xúc trên M)

(S là ánh xạ song tuyến tính từ: B(M)×B(M) a B(M) Khi đó ∇ là liên thông

tuyến tính trên đa tạp M

Chứng minh.

Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính:

T1: ∇X(Y+Z) D (Y+Z) + S(X,Y+Z)= X

=Xφ Y φ(D Y +S(X,Y))[ ] + X

=Xφ Y φ[ ] + ∇Y; φX ∀ ∈F(M); X,Y∀ ∈ b(M)

Vậy, ∇ là liên thông tuyến tính trên M

Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau:

∇ ∇ ∇ là liên thông tuyến tính.

Thật vậy: với X, X’, Y, Y’ ∈ F(M) Ta kiểm tra 4 điều kiện của liên thông tuyến tính của ∇

với R(X,Y,Z) = ∇ ∇X YZ - ∇ ∇Y XZ - ∇[X,Y]Z,

được gọi là độ cong trên đa tạp M

1.14 Ví dụ.

Giả sử S là mặt trụ trong R3 cho bởi tham số hóa

x = cosuu,v y = sinu , (u, v)

D Z là thành phần tiếp xúc của D Y Ztrên mặt trụ)

X Y Y X X,Y

R(X,Y)Z= ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇ Z = 0Vậy R|S = 0

1.15 Mệnh đề (xem [6])

Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

Chứng minh.

a) Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

Thật vậy, ta kiểm tra R tam tuyến tính đối với X

= Y[ϕ].∇XZ + ϕ∇Y∇XZ (2) [ϕX,Y] = ∇ϕ XY - ∇YϕX

= ϕ∇XY - (Y[ϕ].X + ϕ∇YX])

R(ϕX, Y, Z) = ϕ∇X∇YZ - ϕ∇Y∇XZ – Y[ϕ].∇XZ - ϕ∇[X,Y]Z + Y[ϕ] ∇XZ = ϕ(∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z)

= ϕR(X, Y, Z)

Tương tự, ta kiểm tra được R tuyến tính đối với Y

Bây giờ ta kiểm tra R tuyến tính đối với Z

= X[Y[ϕ]].Z – Y[X[ϕ]].Z + ϕ∇[X+Y].Z (6) Lấy đẳng thức (4) trừ (5) trừ (6), ta được:

b) Áp dụng bổ đề (1.15) ta có R là tam tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh b)

đúng trong trường mục tiêu của một bản đồ địa phương (U,X); i

Khi đó, ∇ là liên thông tuyến tính trên M có độ xoắn T 0=

Thật vậy: Trước tiên ta chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

I Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

2.1 Định nghĩa.

Cho X, Y, Z ∈ B(M)

a) LX(Y) : = [X, Y]

b) Ánh xạ LX∇ : B(M) × B(M) →B(M) gọi là đạo hàm Lie của liên thông

tuyến tính ∇ nếu ( LX∇)(Y, Z) = LX(∇Y Z) - ∇Y( LXZ) - ∇[X , Y]Z.

2.2 Ví dụ

Trong R2, với X(2x; y), Y(x; xy) và Z(xy, x2y)

Tính (LX∇)(Y,Z) với ∇= D thông thường

Giải: Áp dụng các công thức ∇ = D, ∇XY = DXY, [X,Y] = DXY - DYX và

DXY = (X[Y1], X[Y2]) với

(LXD)(Y,Z) = LX(DYZ) – DY(LXZ) – D[X,Y]Z

= [X, ∇YZ] – DY[X,Z] - D[X,Y]Z

Ta có:

+ DYZ = (xy +x2y; 2x2y + x3y) nên [X, ∇yZ] = (xy +3x2y; 8x2y + 6x3y)+ [X, Y] = (0; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y; 2x3y)

+ [X, Z] = (xy; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy; 8x2y + 4x3y)

a) (LX∇)(Y,Z) tuyến tính thực đối với ∀ Y, Z ∈ B(M)

+) Ta kiểm tra LX∇ tuyến tính đối với Y

* ∀ Y, Y’, Z ∈ B(M) Ta có:

(LX∇)(Y+Y’, Z) = LX(∇Y+Y’Z) - ∇Y+Y’(LXZ) - ∇[X,Y+Y’]Z

= LX(∇YZ+∇Y’Z) - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z

= [X, ∇YZ+∇Y’Z] - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z

=[X, ∇YZ] + [X,∇Y’Z] - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z

= LX(∇YZ) + LX(∇Y’Z)- ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z = LX(∇YZ) - ∇Y(LXZ) - ∇[X,Y]Z + LX(∇Y’Z) - ∇Y’(LXZ) -∇[X,Y’]Z

* ∀Y, Z ∈ B(M), λ∈ R Ta có:

- T(X, ∇YZ) + ∇ ∇Y( ZX)

= R(X, Y, Z)+∇Y(T(X, Z)) - ∇∇YZX - T(X, ∇YZ) + ∇ ∇Y( ZX) Như ta đã biết, với ∀ Y, Z ∈ B(M) thì :

(L T)(Y,Z) = L (T(Y,Z)) - T(Y,L Z)- T(L Y,Z).X X X X

X Y Y [X, Y] X Z Z [X, Z]

= (L ∇ Z - ∇ [X, Z] - ∇ Z) - (L (∇ Y) - ∇ [X, Y] - ∇ Y) + ([[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y])

Tương tự, ta kiểm tra được °T tuyến tính đối với Y.

Vậy, °T là ánh xạ tam tuyến tính

2.9 Mệnh đề (xem [7])

Với ∀ ∈Ωθ 1(M), X, Y∀ ∈ B(M) Ta có:

(LX°T )(θ, Y, Z ) = θ (LXT(Y,Z))

= X T(θ,Y, Z)°  − θ X, T(Y,Z)( [ ] ) thay vào (1) ta được:

(LX°T )(θ, Y, Z ) = θ X, T(Y,Z) - °T (θ ,[X,Y],Z) - °T (θ ,Y,[X,Z]) (2)( [ ] )

+) θ (LXT(Y,Z)) =θ( ( [X, T(Y,Z)] ) −T( X,Y , Z) T(Y, X, Z ) [ ] − [ ] )

= θ X, T(Y,Z)( [ ] ) −θ T( X,Y ,Z) θ T(Y, X, Z )( [ ] ) − ( [ ] )

=θ X, T(Y,Z)( [ ] ) −T(θ, X,Y , Z) T θ,Y, X, Z° [ ] −° ( [ ] ) (3)

với (LX°R )(θ, Y, Z, T ) = X[ °R (θ, Y, Z, T )] - °R (Lθ ,Y, Z, T) - °R (θ ,[X,Y],Z,T)X

- °R (θ ,Y,[X,Z],T) - °R (θ ,Y,Z,[X,T]), với ∀ ∈Ωθ 1(M), X, Y, Z, T∀ ∈ B(M);

Được gọi là đạo hàm Lie của hàm độ cong trên đa tạp khả vi M

Tương tự , ta kiểm tra được °R tuyến tính đối với Y, Z, T ∈ B(M).

Vậy, °R là ánh xạ đa tuyến tính

2.12 Mệnh đề (xem [7])

Ta có: (LX°R )(θ, Y, Z, T ) = θ (LXR(Y, Z, T))

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả sau:

- Chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính, độ cong và độ xoắn của đa tạp khả vi (mệnh đề: 1.8; 1.9; 1.10; 1.12; 1.15; 1.19)

- Chỉ ra các ví dụ về liên thông tuyến tính (ví dụ: 1.7; 1.14)

- Chứng minh chi tiết tính chất về đạo hàm của liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4; 2.5; 2.6, ví dụ 2.2)

- Chứng minh công thức về đạo hàm Lie của hàm độ xoắn của đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.9)

- Chứng minh công thức về đạo hàm Lie của hàm độ cong của đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.12)

Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đạo hàm Lie của các dạng vi phân trên đa tạp khả vi M

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt :

[1] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn ( 2004), Lý thuyết liên thông và hình học Rieman, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, Luận văn

thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh

[3] Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh

[4] Nguyễn Hữu Quang (2000), Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie, Đại học

Vinh

[5] Đoàn Quỳnh ( 2003), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm.

[6] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Rieman, Luận văn

thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh

Tiếng Anh :

[7] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear onnections,

Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3,2010