Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất1.. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị C của hàm số y = fx liên tục trên đoạn [a
Trang 1Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất
1 Diện tích hình phẳng
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
(1)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
(2)
Chú ý:
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm
số f(x) không đổi dấu thì:
• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số
dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
= (vì trên các đoạn [a; c], [c; d],
[d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
2 Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới
hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
• Thể tích của khối tròn xoay:
III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
( )
b a
S=∫ f x dx
( ) ( )
b a
S=∫ f x g x dx− ( ) ( )
f x dx= f x dx
f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx
f x dx + f x dx + f x dx
( ) ( )
d c
S=∫ g y h y dy−
( )
b a
V =∫S x dx
Trang 2Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là:
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình
phẳng
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) 2) 3) 4) và y = x – x2 5)
6) 7) y = x2-2 , y = -3x + 2 8) y = x2 – x + 3 , y = 2x + 1
9) y = x2 -12x + 36 , y = 6x – x2 10) y = lnx, x = , x = e , y = 0
11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 2 12 ) y = x2 + 2x, x –y +2 = 0
13) y = x +2 và y = x2 + x – 2 14) y = 4 –x2 và x = 3
15) y = 2 – x2 và y = -x 16) y = x3 – 1 và x = 2
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
3) 4) 5)
6)
9) 10)
11)
12) 13) y = 3x – x2 , y = 0 14) y = , y = 0, x = 0, x =
15) y = cosx, y = 0, x = 0 , x = 16) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
17) y = lnx, y = 0, x = e 18) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
19) y = -x2 + 1, y = 0 20) y = xlnx, y = 0, x = e
21) y = (e +1)x, y = ( 1 + ex)x
22) 23)
2( )
d c
V =π∫g y dy
y x=y −lnx x−,y y0,=x x1= −,x e x=
1 lnx, 0, 1,
x
+
= = y x== 3−=x 1
ln , 0, ,
e
= 3, =0, = 2, =1
y x y= = x= − x=
1
e
sin , 0, 0,
4
y=1 3 x y2=, x0,= x0,=π 3 3
y= x −x y= x= x=
sin cos , 0, 0,
2
y= x+ x y= y=x=x x,x==π4
y x= −y x y=y=2, =x= −x x=
,
y=2 4 ,y= 2
y= − +x x y x= +
sin , cos , ,
y= x y(=x−2)2x x+y=2=π9,x y==π0
y x= y−=ln ,x+x y y== − −0, x x=2 x+
sin 2
x
π 4
ππ
4π
−3 4
= , =0, =3
= ln , =0, =1, =
Trang 3Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân