tối ưu hóa hệ thống quang học

Cho một hệ xuất phát, phần mềm sẽ tự động thay đổi các thông số của hệ để làm cho hệ trở nên tốt nhất đến mức có thể theo nghĩa mà sẽ được nói rõ hơn trong phần sau của bài này.. Khuôn k

TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG QUANG HỌC *

Florian Bociort

Đại học công nghệ Delft, Hà Lan

MỞ ĐẦU

Tính năng tối ưu hóa có lẽ là đặc điểm quan trọng nhất của các phần mềm thiết kế quang học hiện đại Cho một hệ xuất phát, phần mềm sẽ tự động thay đổi các thông số của hệ để làm cho hệ trở nên tốt nhất đến mức có thể theo nghĩa mà sẽ được nói rõ hơn trong phần sau của bài này

Mục đích của thiết kế HTQH là tìm ra một hệ thống có các thông số kết cấu nhất định

mà thỏa mãn một tập hợp các chỉ tiêu (tức là các dung sai cho phép đối với các sai lệch của ảnh) được đòi hỏi bởi một ứng dụng cho trước Khuôn khổ của thiết kế quang học hiện đại là một mô hình toán học – được xây dựng chủ yếu trên cơ sở các định luật của quang hình học –

mà cho phép xác định được những thuộc tính của chất lượng ảnh như một hàm của các thông

số hệ thống (các độ cong bề mặt, khoảng cách giữa các mặt, …) Trong khi đánh giá chất lượng ảnh của một hệ thống có các thông số kết cấu đã biết là một công việc khá đơn giản, thì bản chất của thiết kế quang học là giải một bài toán ngược: Cho trước yêu cầu về chất lượng ảnh (tức là cho trước dung sai chất lượng ảnh so với một ảnh không có sai lệch), người thiết

kế cần phải tìm ra tập hợp các thông số của hệ thống mà tạo nên chất lượng ảnh cần thiết Do thực tế là một hệ thống quang học có hàng tá các thông số và mối quan hệ giữa các thông số

hệ thống với các sai lệch ảnh có tính phi tuyến cao nên việc giải bài toán ngược này là rất phức tạp

TỔNG QUAN

Nhờ những tiến bộ trong lĩnh vực tối ưu hóa, việc thiết kế HTQH hiện nay được thực hiện một cách khá tự động Để tiến hành tối ưu hóa một cách tự động, người thiết kế cần phải xác định trước 4 vấn đề sau:

i) Một cấu hình HTQH xuất phát

ii) Một hàm của các thông số hệ thống mà biểu thị định lượng chất lượng của hệ –

gọi là hàm mục tiêu hay hàm sai lệch (vì các đại lượng được quan tâm chủ yếu là các sai lệch ảnh)

iii) Một tập hợp các thông số của hệ thống mà được thay đổi một cách tự động trong

quá trình thiết kế (các biến của quá trình thiết kế)

*

Encyclopedia of Optical Engineering

DOI: 10.1081/E-EOE 120009685

Copyright D 2003 by Marcel Dekker, Inc All rights reserved

iv) Một tập hợp các ràng buộc mà giới hạn phạm vi thay đổi của các biến tối ưu,

chẳng hạn như các tính năng nhất định và các yêu cầu về công nghệ

Trên quan điểm toán học, mỗi HTQH khả dĩ với N biến tối ưu có thể được coi như một điểm trong không gian N chiều Quá trình tối ưu hóa là thực hiện (lặp đi lặp lại) một thuật toán số để cố gắng tìm ra cực tiểu (có ràng buộc) của hàm sai số phi tuyến N biến, bắt đầu từ một cấu hình xuất phát

Gần đây, những tiến bộ về phần mềm và các thuật toán là những hỗ trợ vô giá cho cố gắng của người thiết kế để lựa chọn đúng 4 đòi hỏi nói trên cho việc tối ưu hóa Tuy nhiên, việc đưa ra một bản thiết kế tốt vẫn đòi hỏi những can thiệp của người có kỹ năng Trong quá trình thiết kế hiện đại, việc tối ưu hóa tự động được kèm theo bởi việc đánh giá kết quả do người thiết kế Vì vậy trách nhiệm của người thiết kế là giám sát quá trình tối ưu hóa để bảo đảm rằng quá trình thiết kế tiến đến gần đích mong muốn, và để thực hiện những thay đổi cần thiết những yêu cầu tối ưu hóa nói trên

CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG

Cần phải phân biệt giữa tối ưu hóa toàn cục và tối ưu hóa cục bộ Để đơn giản, ta hãy xét trường hợp không có ràng buộc nào Một điểm trong không gian nghiệm được mô tả bởi

vectơ x = (x 1 , x 2 , … , x N) có các thành phần là N biến tối ưu Việc xác định cực tiểu của hàm mục tiêu mà có thể đạt tới từ một cấu hình hệ thống xuất phát được gọi là tối ưu hóa cục bộ Bắt đầu từ một cấu hình xuất phát, thuật toán tối ưu hóa thu nhỏ giá trị của hàm sai số f bằng

cách thay đổi vectơ x cho đến khi nghiệm được tìm ra tại (hoặc tới đủ gần) cực tiểu của hàm f

Khi đó gradient của hàm f triệt tiêu:

0 , ,

, )

(

2 1































N

x

f x

f x

f x f

và những thay đổi nhỏ của các biến tối ưu chỉ có thể dẫn tới sự tăng của hàm f Khi hàm có nhiều cực tiểu địa phương, việc tìm ra cực tiểu thấp nhất trong các cực tiểu địa phương được gọi là sự tối ưu hóa toàn cục Trong phần này việc tối ưu hóa cục bộ sẽ được bàn luận, còn việc tối ưu hóa toàn cục sẽ được bàn luận ngắn gọn trong mục “Tối ưu hóa toàn cục”

Hình 1

Để hiểu một cách trực giác về cách thức tối ưu hóa cục bộ (không ràng buộc), ta xét một hàm mục tiêu phụ thuộc vào 2 biến Trong trường hợp này hàm mục tiêu có thể được coi như cao độ của một bề mặt, còn điểm xuất phát có thể được xem như một quả bóng được đặt tại một vị trí cho trước Thuật toán tối ưu hóa làm cho quả bóng lăn xuống vùng thấp hơn cho tới khi nó đến điểm mà tại đó độ dốc bằng 0 theo mọi hướng

Hình 1 biểu diễn 3 cực tiểu địa phương A, B và C được bao quanh bởi các đường “bình độ” (tức là các đường mà trên đó hàm mục tiêu có độ lớn không đổi) tương tự như bản đồ một khu vực trong không gian 3 chiều Trong các cực tiểu này, C là cực tiểu thấp nhất – tức là cực tiểu toàn cục

Ở đây, điều quan trọng hơn là phải hiểu bản chất của việc tối ưu hóa chứ không phải là các chi tiết cụ thể của quá trình này Do đó quá trình tối ưu hóa sẽ được minh họa qua việc sử dụng một thuật toán đơn giản – phương pháp độ dốc lớn nhất (steepest descent method) (Một phương pháp mạnh hơn – phương pháp bình phương tối thiểu tắt dần (DLS) sẽ được thảo luận sau) Ở mỗi điểm trên “bản đồ”, hướng có độ dốc lớn nhất là hướng mà f không đổi dấu Hướng này (các mũi tên ở các điểm M và N trên hình 1) luôn luôn vuông góc với các đường bình độ Phương pháp độ dốc lớn nhất có thể được tổng hợp như sau:

i) Tại điểm xuất phát, hãy xác định bằng số hướng có độ dốc lớn nhất

ii) Dọc theo hướng này, xác định cực tiểu của f

iii) Lấy điểm cực tiểu mới tìm được này như một điểm xuất phát mới

iv) Lặp lại thủ tục này cho tới khi độ dốc theo hướng có độ dốc lớn nhất xấp xỉ bằng 0 Trong đa số trường hợp, việc tối ưu hóa cục bộ sẽ đưa cấu hình xuất phát tới cực tiểu địa phương gần nhất Chẳng hạn, quá trình độ dốc lớn nhất lặp đi lặp lại bắt đầu tại điểm M trên hình 1 sẽ hội tụ về cực tiểu A Trên hình 1, các vùng điểm xuất phát mà hội tụ về các cực tiểu

B, A và C được thể hiện tương ứng bởi vùng trắng, xám nhạt, xám đậm Tuy nhiên, vị trí của cấu hình xuất phát trên “bề mặt” hàm mục tiêu chỉ là một trong các yếu tố mà xác định cực tiểu nào sẽ được hội tụ tới Đôi khi cực tiểu địa phương tìm được cũng phụ thuộc vào các đặc tính, hay thậm chí vào việc sử dụng một thuật toán tối ưu hóa cụ thể nào đó Chẳng hạn, điểm xuất phát N là gần cực tiểu toàn cục C hơn cực tiểu địa phương A Tuy nhiên, do vòng lặp thứ nhất chạy theo hướng tới A bằng phương pháp độ dốc lớn nhất, nên điểm N sẽ hội tụ về phía cực tiểu A Đôi khi sự thay đổi các tham số thuật toán (như hệ số tắt dần trong phương pháp DLS) có thể hữu ích để thoát khỏi các cực tiểu địa phương tồi

CẤU HÌNH XUẤT PHÁT

Do trong thiết kế quang học hàm mục tiêu thường có độ phi tuyến cao nên thường tồn tại nhiều cực tiểu địa phương Như đã chỉ ra ở trên, kết quả tối ưu hóa cục bộ vì thế phụ thuộc rất nhiều vào việc lựa chọn cấu hình ban đầu Sự lựa chọn không tốt cấu hình xuất phát thường dẫn tới lời giải có chất lượng thấp Việc lựa chọn cấu hình xuất phát cho bài toán tối ưu hóa là một trong những vấn đề khó khăn nhất trong thiết kế HTQH Một cách truyền thống, việc lựa chọn được thực hiện trên cơ sở kinh nghiệm, các bằng sáng chế hoặc các cơ sở dữ liệu thấu

kính, tính toán giải tích dựa trên cơ sở khử các loại quang sai sơ cấp, sự cảm nhận trực giác,

và thường qua một số phép tính toán thử và đánh giá sai số Những tiến bộ gần đây trong tối

ưu hóa toàn cục đã làm giảm bớt khó khăn này trong một số trường hợp nhưng những phát triển tiếp theo của kỹ thuật tối ưu hóa toàn cục vẫn đang được mong đợi

Đối với các loại HTQH đã được biết rõ, các cấu hình xuất phát hữu dụng đôi khi có thể thu được bằng cách điều chỉnh một bản thiết kế có sẵn theo các yêu cầu mới Tuy nhiên, điều thường xảy ra là sau khi thay đổi các đặc tính, một số tia sáng không thể đi qua hệ thống Các tình trạng khi một số tia sáng chịu sự phản xạ trong toàn phần hoặc không đi vào một bề mặt thường hay xảy ra khi khẩu độ hoặc thị giới được tăng lên Trong đa số trường hợp, vì hàm mục tiêu dựa trên việc tính đường truyền tia nên ta không thể tính được nó khi mà tia sáng không đi qua được toàn bộ hệ thống Một “chiến lược” mà thường trợ giúp ta để biến đổi một điểm xuất phát không tốt như vậy sang một điểm mà có thể tính đường truyền tia là như sau: 1) hạ thấp khẩu độ và / hoặc thị giới; 2) tối ưu hóa; và 3) khôi phục các đặc tính trở lại giá trị mong muốn Việc thu nhỏ khẩu độ và / hoặc thị giới sẽ mang các tia sáng tới gần vùng cận trục hơn và khi đó chúng đi qua được toàn hệ Các tia mà trước đó không đi qua toàn hệ bây giờ có thể tính được qua toàn hệ nhưng có lẽ sẽ có các góc tới lớn trên các bề mặt mà trước đó chúng không truyền qua được Tuy nhiên, các góc lớn có xu hướng gây nên quang sai lớn Qua việc tối ưu hóa các góc này sẽ được giảm đi và khả năng mà các tia sáng nói trên không

đi qua được sẽ giảm đi khi các đặc tính mong muốn được khôi phục lại

HÀM MỤC TIÊU

Việc lựa chọn đúng hàm mục tiêu là điều quan trọng để thiết kế thành công Hàm mục tiêu xác định cái đích mà cần đạt được sau quá trình tối ưu hóa Vì việc tối ưu hóa sẽ đưa hệ thống về phía đích này, người thiết kế cần phải bảo đảm rằng hàm mục tiêu phản ánh chính xác các yêu cầu thiết kế thực tế

Với mỗi nhiệm vụ thiết kế ta cần phải xác định một số các đặc tính của hệ thống (được gọi là các toán hạng) và các giá trị đích tương ứng Các toán hạng như vậy có thể là quang sai tia hay quang sai mặt sóng của các tia riêng biệt, các hệ số quang sai, các thông số thấu kính cần được giữ trong một giới hạn nhất định,… Một cách điển hình, thường có nhiều toán hạng hơn các biến tối ưu, chẳng hạn, vì một lượng lớn các tia sáng cần được tính đường truyền Sự cần thiết phải cực tiểu hóa một hàm mục tiêu xuất hiện từ thực tế là ta không thể mong chờ rằng tất cả các toán hạng đồng thời đạt tới chính xác giá trị đích của nó mà chỉ đạt tới trong phạm vi bình phương tối thiểu

Hàm mục tiêu được định nghĩa như một tổng các bình phương có trọng số:





i

i i

i w

a x a w x

f

2

~ ) ( )

( Trong đó ai là toán hạng, wi là trọng số tương ứng và đại lượng có dấu ~ ở trên biểu thị giá trị đích cho toán hạng tương ứng (đôi khi không phải bản thân hàm f mà là căn bậc 2 của

nó được gọi là hàm mục tiêu) Các bình phương trong định nghĩa trên phản ánh thực tế là các

sai lệch dương và âm của các toán hạng khỏi các giá trị đích của chúng được xem là có hại như nhau Rõ ràng, trong tình trạng lý tưởng, khi tất cả các toán hạng bằng giá trị đích của chúng, giá trị của f sẽ bằng 0

Phần mềm thiết kế quang học hiện đại thường đưa ra cho người thiết kế một hàm mục tiêu ngầm định như quang sai mặt sóng bình phương trung bình (RMS) (hữu ích khi hệ thống

ở gần giới hạn nhiễu xạ) hoặc kích thước vết bình phương trung bình (hữu ích trong trường hợp hệ ở xa giới hạn nhiễu xạ) Người sử dụng có thể tinh chỉnh hàm sai số ngầm định sao cho phù hợp với các yêu cầu thiết kế cụ thể [2] Thông thường một phạm vi rộng các toán hạng được cung cấp sẵn và người sử dụng có thể định nghĩa các toán hạng mới theo ý muốn Khi tốc độ của máy tính là điều cần cân nhắc, người sử dụng có thể cần điều chỉnh hàm mục tiêu trong khi tối ưu hóa Ở các giai đoạn đầu, việc dụng một số ít các toán hạng (chẳng hạn một lượng nhỏ các tia sáng được chọn một cách kỹ lưỡng) sẽ cải thiện tốc độ [3] Các hệ

số quang sai cho người thiết kế khả năng sử dụng sự hiểu biết sâu sắc và tránh trường hợp tia sáng không đi qua được toàn hệ Khi bản thiết kế đã gần tới kết quả cuối cùng, hàm mục tiêu cần được đánh giá chính xác hơn ngay cả khi việc đó đòi hỏi quá trình tính toán phức tạp và mất thời gian hơn Điều này có thể được làm, chẳng hạn, bằng cách tăng số toán hạng (ví dụ như bằng cách tính nhiều tia hơn) Phụ thuộc vào tiêu chí tính năng cuối cùng, các hàm mục tiêu trên cơ sở hàm MTF hoặc phân bố năng lượng tính theo vòng tròn có thể hữu ích để đi tới bản thiết kế cuối cùng

Nếu việc tối ưu hóa không tiến triển theo như mong đợi, người sử dụng nên điều tra cách hoạt động của từng toán hạng để thấy chúng có thực hiện điều mà ta dự định hay không Việc thay đổi các toán hạng hoặc trọng số của chúng thường có thể giải quyết vấn đề này

Điều chỉnh hàm mục tiêu có thể hữu ích ngay cả trong việc thiết kế toàn cục Nếu người

thiết kế muốn đưa nghiệm ra khỏi một cực tiểu địa phương tồi x0, một chiến lược hữu ích đầy

tiềm năng là cộng thêm vào hàm sai số f một toán hạng “thoát”:

0

exp )

Trong đó tham số t và trọng số tương ứng wE được chọn một cách kinh nghiệm [4] Không như các toán hạng thông thường mà có giá trị gần nhất với giá trị đích của chúng tại

lân cận x0, aE có giá trị cực đại tại đó Bằng cách này, cực tiểu địa phương của f có thể được biến thành cực đại địa phương Mặt khác, toán hạng này thực tế là bằng giá trị đích (bằng 0)

của nó đối với các điểm trong không gian thông số mà cách xa x 0 Do đó một toán hạng

“thoát” như thế sẽ đẩy lời giải ra khỏi cực tiểu địa phương đã biết và làm cho việc tối ưu hóa tìm ra cực tiểu địa phương tốt hơn

CÁC BIẾN TỐI ƯU

Các thông số được sử dụng để mô tả hệ thống có thể được dùng để làm các biến tối ưu

Ví dụ như các độ cong bề mặt (hay các bán kính bề mặt), khoảng cách giữa các mặt, các hệ số phi cầu

Thậm chí, các tính chất của vật liệu như chiết suất và độ tán sắc hay các hệ số thay đổi chiết suất đôi khi có thể được dùng làm biến (trong phạm vi giới hạn cho trước) Tuy nhiên, bởi vì các tính chất của thủy tinh không phải là các biến liên tục nên sau khi tối ưu hóa ta cần thay bằng giá trị thực tế gần nhất và hệ phải được tối ưu hóa lại với các biến còn lại Các lựa chọn (option) bổ sung để tối ưu hóa việc chọn thủy tinh trở nên sẵn có do sự tối ưu hóa toàn cục

Người thiết kế cần phải chọn những tham số hệ thống nào nên được dùng làm biến tối ưu

và những tham số nào nên được giữ không đổi Nói chung, số biến tối ưu càng nhiều, càng có

cơ hội để tìm ra một lời giải tốt Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, người thiết kế không nên đặt tất cả các thông số hệ thống làm biến Chẳng hạn, thỉnh thoảng ta thấy rằng quá trình tối

ưu có xu hướng tăng độ dày thủy tinh trong khi chỉ tạo nên một sự cải thiện nhỏ chất lượng ảnh Vì độ dày thủy tinh lớn dẫn tới tăng khối lượng và giá thành sản phẩm, ta nên cố định các biến tương ứng khi nó đạt tới giá trị mà cho chất lượng ảnh có thể chấp nhận được

Các trường hợp trong đó một vài biến có tác dụng như nhau hoặc tương tự nhau lên hàm mục tiêu có thể gây tác dụng không mong muốn lên quá trình tối ưu hóa và nên được tránh Chẳng hạn, nếu các bề mặt phi cầu được sử dụng, việc tối ưu hóa tất cả các số hạng biến dạng

đa thức làm cho hệ số conic, trong đa số trường hợp, trở nên thừa khi dùng làm biến tối ưu Điều này có thể thấy từ các công thức quang sai Seidel, trong đó hệ số đa thức bậc 4 và hệ số conic có cùng tác dụng: một sự thay đổi nào đó trong các số hạng Seidel gây ra bởi sự thay đổi hệ số conic có thể được bù một cách chính xác bởi một thay đổi trong số hạng biến dạng bậc 4 [3] (Sử dụng hệ số conic như một biến, cùng với các hệ số đa thức, chỉ có ý nghĩa khi

số các hệ số đa thức là quá thấp và hệ số conic đóng vai trò của một hệ số bậc cao hơn) Trong thiết kế quang học, một số ràng buộc mà thường xuyên xuất hiện được liên hệ với các thông số hệ thống nhất định bằng các biểu thức toán học khá đơn giản Chẳng hạn, mặt phẳng ảnh có thể được giữ tại vị trí ảnh cận trục bằng cách điều chỉnh độ dày của khoảng không khí phía sau bề mặt cuối cùng và tiêu cự có thể được giữ ở một giá trị cho trước bằng cách điều chỉnh độ cong của mặt cuối cùng Các thông số như độ cong cuối cùng và khoảng không khí cuối cùng trong các ví dụ trên trở thành “lời giải” của các phương trình và có thể được xem như các biến được loại trừ Trong quá trình tối ưu hóa, giá trị của các thông số này được điều chỉnh liên tục như một hàm của các biến tối ưu Các thông số hệ thống được điều khiển bởi các “solves” như vậy cần phải được phân biệt với các biến tối ưu Bất kỳ lúc nào có thể, ta nên đặt các ràng buộc bằng việc sử dụng các “solve” thay cho các biến tối ưu bởi vì lưu

đồ tính toán nội bộ của chương trình được đơn giản hóa, và vì vậy cả thời gian tính toán và nguy cơ đình trệ giảm đi

VÍ DỤ TỐI ƯU HÓA

Thứ tự mà các thông số hệ thống được dùng làm biến tối ưu cũng có thể xác định hướng cực tiểu địa phương mà lời giải sẽ hội tụ Đôi lúc, khi người thiết kế có kinh nghiệm có lý do

để mong đợi một dạng lời giải nhất định, họ có thể chọn để sử dụng một lượng giới hạn các

biến trong giai đoạn đầu của tối ưu hóa, với hy vọng rằng sự lựa chọn của họ sẽ hướng lời giải

về phía cực tiểu mong muốn Các biến còn lại được sử dụng chỉ trong giai đoạn sau Việc sử dụng tất cả các biến một cách đồng thời có thể dẫn tới một kết quả khác Tình trạng này sẽ được minh họa bằng một ví dụ đơn giản Một hệ thống bao gồm 3 thấu kính với vật ở vô cùng

xa sẽ được tối ưu hóa theo 2 cách khác nhau và sẽ thu được hai kết quả khác nhau

Hình 2

Đối với hệ xuất phát, lựa chọn khả dĩ đơn giản nhất được lấy là: một hệ có 5 bề mặt phẳng, song song và bề mặt thứ 6 có độ cong được điều khiển bởi một “solve” để giữ tiêu cự

ở một giá trị không đổi nhất định (có thể có những lựa chọn tốt hơn, nhưng lựa chọn này minh họa điểm chủ yếu được bàn luận ở đây) Hình 2 biểu diễn đường truyền của 3 tia đi từ điểm vật trên trục (các tia song song với quang trục trong không gian vật) và các đường truyền của

3 tia đi từ đỉnh của vật (tạo nên góc nghiêng 200 so với quang trục trong không gian vật) Chất lượng ảnh của cấu hình xuất phát này là rất thấp Điều này có thể nhận thấy nếu ta nhìn vào các tia đi từ đỉnh của vật: giao điểm của tia thấp nhất với tia ở giữa và giao điểm của tia cao nhất với tia ở giữa là không nằm gần nhau cả theo phương dọc trục lẫn theo phương ngang trục

Hình 3 Hàm mục tiêu được dùng là loại kích thước vết RMS, được tính toán cho 3 vị trí thị giới

và 3 bước sóng Để đơn giản, các biến chỉ là các độ cong của 5 bề mặt đầu tiên, trong khi các khoảng cách giữa các mặt được giữ không đổi

Trong chiến lược tối ưu hóa đầu tiên, mặt phẳng ảnh được giữ bởi một solve thứ hai tại

vị trí cận trục của nó Sau khi tối ưu hóa, ta thu được hệ thống như trên hình 3 (gọi là triplet Cooke) Chất lượng ảnh rõ ràng là tốt hơn nhiều, bởi vì cả với các vật trên trục và ngoài trục,

3 tia có giao điểm chung Cả hai điểm ảnh nằm tại cùng một mặt phẳng (mặt phẳng ảnh) Cách mà các độ cong bề mặt thay đổi sau một số chu kỳ tối ưu hóa khác nhau được thể hiện trên hàng đầu (a) của bảng 1

Bảng 1

Trong ví dụ này, ta có thể tự hỏi tại sao việc giữ mặt phẳng ảnh tại ví trí cận trục lại hữu ích Ta biết rõ rằng trong hệ đã tối ưu, vị trí tốt nhất của mặt phẳng ảnh hầu như không bao giờ chính xác là vị trí cận trục, điều đó gợi ý ta nên sử dụng vị trí mặt phẳng ảnh như một biến phụ trợ Khi việc tối ưu hóa được thực hiên lại với chiến lược thứ hai này, ta thu được các hình dạng bề mặt nối tiếp nhau như thể hiện trên hàng thứ hai (b) của bảng 1 Ta thấy rằng dạng cuối cùng của bản thiết kế là không giống như cái đã thu được với chiến lược thứ nhất Điều ngạc nhiên là bất kể sự thật là một biến phụ trợ đã được sử dụng, hàm mục tiêu cuối cùng sau lần chạy thứ hai lớn hơn sau lần chạy thứ nhất 3,5 lần

Điều này được giải thích như sau, trong lần chạy thứ hai lời giải đã đi tới một cực tiểu địa phương kém hơn Sự phân tích quang sai cho thấy rằng, trong trường hợp thứ hai, hệ thống có cầu sai bậc ba và cong trường lớn Vì cả hai loại quang sai này có thể được cân bằng tới một mức độ nhất định bằng sự defocus (dịch chuyển mặt phẳng ảnh), việc tối ưu hóa đã

“sử dụng sai” bậc tự do defocus, nó làm theo cách đơn giản và thực hiện cân bằng quang sai quá sớm mà không thực hiện trước việc thu nhỏ hai quang sai Seidel quá lớn nói trên Vì thế

nó bị “bẫy” vào một cực tiểu địa phương tồi mà không thể thoát ra được Loại cực tiểu địa phương tồi này thường xuyên xảy ra trong thiết kế HTQH [1] Với chiến lược thứ nhất, việc defocus là không được phép cho tới khi lời giải đã được định xứ trong một cực tiểu địa phương Bằng cách này, việc tối ưu hóa có cơ hội để giảm nhỏ cầu sai bậc ba và cong trường ngay từ ban đầu Khi dạng hệ thống đã được biểu diễn trên hình 3, việc dịch chuyển vị trí mặt phẳng ảnh thực sự sẽ cải thiện lời giải Nhờ thế, dạng của hệ được giữ cơ bản không thay đổi Thật không may, sự thành công của các chiến lược như vậy để tránh các cực tiểu địa phương tồi phụ thuộc (tới mức độ lớn) vào sự may rủi Thậm chí những khác biệt nhỏ trong việc tiến hành thuật toán tối ưu hóa cục bộ có thể ảnh hưởng tới kết quả

CÁC RÀNG BUỘC

Việc tối ưu hóa HTQH chịu tác động của các dạng ràng buộc khác nhau (hay là các điều kiện biên) Về mặt toán học, bài toán tối ưu hóa có ràng buộc có thể được phát biểu như sau: Hãy cực tiểu hóa hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:

ci(x) = pi với i = 1, 2, …, m < N

(các ràng buộc dạng đẳng thức) và

dj(x)  qj với j = 1, 2, … n

(các ràng buộc dạng bất đẳng thức) Các ví dụ về ràng buộc là: giữ tiêu cự không đổi trong quá trình tối ưu hóa (ràng buộc dạng đẳng thức), hoặc ngăn chặn trường hợp độ dày mép của một thấu kính hai mặt lồi trở nên âm khi các độ cong bề mặt có xu hướng tăng quá nhiều (ràng buộc dạng bất đẳng thức)

Ở dạng đơn giản nhất, các ràng buộc dạng bất đẳng thức xuất hiện khi các biến tối ưu hóa được phép thay đổi chỉ trong một khoảng nhất định Trong ví dụ một chiều được thể hiện trên hình 4, biến (ví dụ như độ dày thấu kính hoặc khoảng cách không khí giữa các mặt) được phép thay đổi nhưng chỉ được nhận những giá trị dương Ta có thể thấy rằng khi các biến bị hạn chế trong một khoảng cho trước, có thể có 2 loại cực tiểu: 1) các cực tiểu mà tại đó tiếp tuyến với đường cong là nằm ngang (A); và 2) cực tiểu tại các điểm kết thúc của khoảng (B) Một cách tổng quát hơn, khi một cực tiểu nằm trên biên của khoảng thay đổi được phép (như trường hợp B nói trên), một hoặc nhiều ràng buộc dạng bất đẳng thức trở thành ràng buộc dạng đẳng thức dj(x) = qj Các ràng buộc như vậy gọi là ràng buộc chủ động (active) Nếu tập hợp các ràng buộc chủ động được biết thì những ràng buộc còn lại (là các ràng buộc không chủ động) có thể được bỏ qua đối với cực tiểu địa phương đã biết bởi vì chúng không

có ảnh hưởng gì tới sự tối ưu hóa Một cách cục bộ, tình trạng này sẽ trở thành một tình trạng ràng buộc dạng đẳng thức [5] Ta có thể dễ dàng thấy từ hình 4 rằng, đối với cực tiểu địa phương A, yêu cầu đối với biến x là một ràng buộc không chủ động mà không có ảnh hưởng

gì tới kết quả tối ưu hóa

Hình 4

Để giải quyết các ràng buộc dạng đẳng thức, nếu việc dùng các solve là khả dĩ, như đã đề cập ở trên, thì chúng là lựa chọn được ưu tiên Đối với cả ràng buộc dạng đẳng thức và bất đẳng thức, nói chung có hai cách khác để giải quyết, chúng có cả những ưu điểm và nhược điểm

Cách đầu tiên và dễ thấy hơn là bổ sung các số hạng “phạt” (penalty term) vào hàm mục tiêu Các ràng buộc khi đó trở thành các toán hạng mà được điều khiển bởi sự tối ưu hóa về phía các giá trị đích tương ứng Với cách này các ràng buộc không được cưỡng bức một cách chặt chẽ, nhưng chúng có thể nhân nhượng tới một mức độ nào đó bởi vì sự lệch của chúng khỏi các giá trị đích được cực tiểu hóa cùng với các toán hạng khác (ví dụ như quang sai) Sự tăng trọng số liên quan sẽ cưỡng bức ràng buộc đó một cách chặt chẽ hơn Đối với các ràng buộc dạng bất đẳng thức, các toán hạng tương ứng được thực hiện một cách khác với các toán

hạng thông thường: Chúng đóng góp một giá trị khác 0 vào hàm sai số chỉ khi biên bị vi phạm; trái lại chúng đơn giản được bỏ qua

Hình 5

Cách thứ hai – được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier) – cho phép điều khiển tốt hơn các ràng buộc Để hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét một trường hợp 2 chiều đơn giản Trong hình 5 đường cong C ứng với ràng buộc dạng đẳng thức:

c(x1, x2) = p Tại mỗi điểm dọc theo C, gradient của c(x1, x2) (mũi tên OA) là vuông góc với tiếp tuyến của đường cong Như đã chú thích trước, trong tối ưu hóa không ràng buộc, f triệt tiêu tại một cực tiểu (ở đó không có hướng độ dốc) Trong trường hợp có ràng buộc, nếu điểm O là

một cực tiểu, phải không có hướng độ dốc dọc theo đường cong C Điều này có nghĩa là tại O,

thành phần của f dọc theo tiếp tuyến cần phải biến mất hoặc, một cách tương đương, f cũng được định hướng dọc theo OA

f = c Đối với định hướng bất kỳ khác (chẳng hạn OB), f có một thành phần (OB’) dọc theo

C, tức là O không thể là một cực tiểu có ràng buộc Trong trường hợp tổng quát, nếu các vectơ gradient của m hàm ràng buộc ci là độc lập, thì đối với một cực tiểu địa phương, f có

thể được viết là:

m

m c c

c

 1 1 2 2 

Cực tiểu có ràng buộc này có thể tìm được bằng cách tìm cực tiểu không ràng buộc của một hàm Lagrange liên kết

) (

) ( )

( )

( ) ,

Tuy nhiên ngoài N thành phần của x, các hệ số 1, 2,…, m (được gọi là các nhân tử

Lagrange) cần phải được xác định Cùng với m phương trình ràng buộc ci(x) = pi, việc thủ

tiêu các thành phần của fL cung cấp N + m phương trình cần thiết [6] Các nhân tử Lagrange thu được bằng cách này cho biết “áp lực” được áp bởi ràng buộc tương ứng lên hàm mục tiêu

và vì vậy có thể cung cấp thông tin hữu ích về tác dụng của các ràng buộc Phương pháp này cũng có thể được mở rộng để xử lý các ràng buộc dạng bất đẳng thức