Giải một bài toán hình KG

Vì đề bài đã mơi sẵn khoảng cách k/c từ đỉnh S xuống đáy nên hễ muốn tính được thể tích thì một ham muốn rất tự... Mặt đáy ở đây là môt tứ giác thoạt nhìn chả có cái bỏ mẹ gì đặc biệt nh

BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√3 Tính thể tích khối chóp S.CDN M và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

NHẬN XÉT VÀ HƯỚNG DẪN TÌM LỜI GIẢI:

Đây là một bài toán tương đối đơn giản và nặng về tính toán Khi tiếp cận bài toán này tôi có vài nhận xét sau đây

1 Nếu đi theo hướng không sử dụng hình học giải tích (HHGT)

(Hình vẽ 1)

? Vì đề bài đã mơi sẵn khoảng cách (k/c) từ đỉnh S xuống đáy nên hễ muốn tính được thể tích thì một ham muốn rất tự

nhiên là kiểm soát được diện tích mặt đáy của hình chóp cần tính thể tích Mặt đáy ở đây là môt tứ giác thoạt nhìn chả có cái

bỏ mẹ gì đặc biệt (nhòm hình 1 ở trên), tuy nhiên nó lọt tõm vào hình vuông đáy và phần bù của nó là các tam giác vuông, vậy nên thay cho việc húc đầu vào tính trực tiếp thì tốt nhất ta chơi trò tính diện tích hình vuông rồi trừ đi diện tích hai cái tam giác râu ria kia

? Chuyện tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau thì phương pháp cổ điển là đi dựng đoạn vuông góc chung Tuy nhiên ở hoàn cảnh này, khi xem hình thì ta bị khiêu khích cái cảm giác rằng DM nó vuông góc với (SHC) tại H, vậy nên

d(DM, SC) = d(H, SC) Chuyện tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có một cách rất tiện là dùng diện tích, vì khoảng cách từ H tới SC chẳng qua là độ dài đường cao hạ từ H của tam giác HCS Cái tam giác HSC ý nó lại là tam giác vuông

ở H Thế mới ngon!!

2 Nếu định lắp hệ tọa độ để phang bài này, câu hỏi đầu tiên

là đặt hệ tọa độ vào đâu?

? Theo như những gì tôi đã xúi bẩy ởhttp://www.math.vn/ showthread.php?t=9112thì ta cần soi mói xem “có quan hệ vuông góc nào” ở mặt đáy của chúng ta Với cái giả thiết có tính“mời anh xơi” của cái đề thi ĐH này, chẳng khó hiểu gì nếu mà bạn

đi gí luôn gốc tọa độ vào một trong bốn đỉnh của hình vuông đáy OK! vậy thì rồi cũng ổn thôi! Có điều là nếu thế tọa độ S

nó sẽ chơi vơi hai cái ẩn x; y là hoành, tung độ của nó Bây giờ dán mắt vào cái hình ta "cảm thấy" dường như DM đã vuông góc với CH tại H Thêm cái H là chân vuông góc hạ từ S xuống đáy Vậy thì còn gì tiện hơn nếu ta gắn mẹ nó gốc tọa độ vào H

(Hình vẽ 2)

phỏng ạ!? Tuy nhiên :D, đó là việc của bạn, chứ một kẻ bảo thủ

và đại lãn như tôi thì cứ gắn mẹ nó gốc vào D cho nó tàu nhanh

Cơ mà có một câu hỏi nhỏ thế này nhé! “Cớ sao lại không gắn vào A, B, C mà lại dí vào D” >:)

? Đã làm theo phương pháp tọa độ, bạn sẽ đối mặt với các tính toán rất dễ gây nhầm lẫn và dể dẫn đến thương đau về điểm số nếu bạn cẩu thả Trên thực tế giảng dạy của cá nhân tôi, học trò thường mau mắn thụ giáo được chiêu pháp (PPTĐ) này Biết cách làm là một việc, còn làm việc đến kết quả là chuyện khác Khi học trò của tôi thi thố về biết kết quả và nhận ra mất điểm vì bài hình, tôi thường xoa đầu nói với giọng trầm buồn của một linh mục rằng “Không sao em ơi, đời thằng chó nào chả phải vấp, em chỉ thiếu may mắn thôi, cái chính là em biết làm chỉ tiếc là nhầm lẫn tính toán thôi” Nhưng thú thiệt, trong bụng tôi chửi thầm “Đáng đời mày lắm! Con lợn!!” =)) Bạn biết đấy! Người

ta tuyển các bạn vào ĐH không phải là tuyển thiên tài, mà là tuyển những con người sau này biết làm việc và làm được nên việc Cứ õng à õng ẹo dớ da dớ dẩn thì đừng có ảo tưởng với cuộc đời khắc bỉ này!

3 Nếu sử dụng vector để tấn công, tôi có vài ý muốn trao đổi như sau:

(Hình vẽ 3)

? Khi sử dụng phương pháp vector trong các bài toán hình học không gian, về mặt nguyên tắc bạn cần xác định được điểm gốc và một hệ cơ sở gồm ba vector không đồng phẳng, sau đó hùng hục tìm cách biểu diễn các vector đấu điểm liên quan đến bài toán tới gốc kia theo hệ cơ sở đã chọn Việc chọn được một gốc và hệ cơ sở hợp lý, xinh xắn là bí quyết để có một lời giải bằng vector hiệu quả Thường thi ba vector lấy làm cơ sở là ba vector "nào đó" chung gốc (đã chọn) tóe ra từ gốc đó

?Phương pháp vector có thể nói là ngôn ngữ thô của phương pháp tọa độ Ví von chẳng hề quá đáng thì phương pháp vector giống như ngôn ngữ nhị phân còn phương pháp tọa độ tựa hồ ngôn ngữ Pascal trong lập trình Về bản chất phương pháp tọa

độ có thể gọi là “phương pháp vector với hệ cơ sở trực chuẩn”, việc sử dụng hệ tọa độ rất dễ gây sung sướng cho các bài toán định lượng Một ngôn ngữ thô hơn như phương pháp vector tất nhiên sẽ có sự mạnh mẽ hơn phương pháp tọa độ, tuy nhiên sẽ mệt mỏi vô chừng cho các tính toán định lượng nếu ta gặp bài toán mà các định lượng hình học dính dáng tới tích có hướng

Có lẽ bạn nào chưa thông thạo việc vui chơi với tích có hướng thì nên đọc thêm chút xíu bài giảng của tôi ởhttp://www.math vn/showthread.php?t=8824

? Bạn cũng có thể tránh thoát việc bị bối rối vì các phép tính với tích có hướng bằng cách kiểm soát các chân các đường vuông góc Thí dụ nếu bạn định đi tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là DM và SC, bạn có thể gọi IK là đường vuông góc chung Sau đó bạn đấu gốc đã chọn tới hai điểmI, K và sau đó, công việc mất thời gian chứ không hề khó

là đi biểu diễn các vector đấu đó theo hệ cơ sở đã chọn

BA LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN TRÊN:

Giải 1

Chúng ta thấy rằng: VS.CDN M = 1

3SH.SMNDC;

SMNDC =SABCD−S∆ AMN−S∆ MBC

=a2−1

2

a 2

 a 2



−1

2

a 2



a= 5a2

8 . Vậy nên là chúng ta có:

(Hình vẽ 1)

VS.CDN M = 1

3a

√

3.5a

2

8 =

5√3a3

24 (đơn vị thể tích).

Lại nhận thấy là:

−−→

DM.CN−→= 1

2



2−→DA−−→DC.1

2



2−→DC−−→DA=DA2−DC2=0

Ấy vậy nên là: CN⊥DMtừ đó SC⊥DMdo đó:

d(SC; DM) =d(H; SC) = 2S∆HSC

SC =

SH.CH

SC =

SH.CH

√

SH2+CH2 Bây chừ để ý rằng:

CH = 2S∆CMD

2(SABCD−S∆AMD−S∆CMB)

DM

=

2a2− a

2

2 −

a2 2 r

a2+a 2

2 = 2a√5

5

Thay lên trên ta có khoảng cách cần tính là: d(DM, SC) = 2a

r 3

19 

Giải 2

(Hình vẽ 2)

Từ D dựng Dz⊥ (ABCD)để có hệ Dxyz như hình vẽ

Chúng ta có ngay được tọa độ của vài điểm liên quan đến bài toán:

A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), Ma; a

2; 0

 , Na

2; 0; 0

 Bây chừ lại để ý rằng vì H∈ DMnên−→DH =h−−→DM

Vậy nên dẫn đến H

 ah; ha

2 ; 0



Cũng vì H ∈ CNnênCH−→=k−→CNdẫn đến H ka

2 ; (1−k)a; 0



Từ đó mà chúng ta thấy: h = k

2 và 1−k =

h

2 để có h =

2

5 nói khác đi H 2a

5 ;

a

5; 0



Vì hình chiếu của S xuống mặt đáy là H nên S 2a

5 ;

a

5; a

√

3



Mặt khác thấy rằng:

VS.CDMN =VS.CDM+VS.DMN Mà

VS.DMN =

−→

DS−−→DM∧−→DN

6

trong khi

−−→

DM∧−→DN =

 0; 0; −a

2

4



nên

VS.DMN =

a√3



−a

2

4



a3√3

24 . Lại thấy:

−→

CS= 2a

5 ; −

4a

5 ; a

√

3



nên

−→

CS∧−−→DM = −a

2√

3

2 ; a

2√

3; a2

!

Do vậy mà có được:

VS.CDM =

−→

DC−CS→∧−−→DM

a3√3 6 Điều này dẫn đến:

VS.CDN M = 5a3√3

24 . Cuối cùng ta có:

d(SC; DM) =

−→

DC−CS→∧−−→DM

−→

CS∧−−→DM

= a3√3 v

u u

t −a

2√

3 2

!2

+a2√

32+ (a2)2

Rút gọn các tính toán ta có được: d(SC; DM) =2a 3

Giải 3

(Hình vẽ 3)

Chúng ta thấy rằng:

−−→

DM.CN−→=

−→

DA−1

2

−→

AB  1

2

−→

DA−−→DC



<i>

Tuy nhiên để ý là:

−→

AB=−→

DC

Trong khi đó thì:

−→

DA =

−→

DC ;

−→

DC−→DA =0

Do vậy từ<i >sẽ có:

−−→

DM.−→CN =0

Nói khác đi có ba vector đôi một có phương vuông góc, và cũng

để ý thêm nữa là chúng được đặt theo thứ tự tam diện thuận

<ii > Đó là:

−→

η =−→

HC; −→θ =−−→

HM; −→ζ =−→

HS Bây giờ lại nhận thấy:

HC=a cosDCH[

Và bởi vì:

tanDCH[ = DN

DC =

1 2 Thế nên chúng ta có:

CH =ar 4

5; HM =DM−DH trong khi

CN = DM=

r

a2+a

2

2

; DH =√

DC2−CH2=

r

a2−4a

2

5 vậy nên

HM= 3a√5

10 .

Vì vậy mà chúng ta có:

VS.CDN M =

−→

NC∧−−→DM−→HS

(−→

η ∧−→θ )−→

ζ

 CN.DM 6CH.HM



= 25

72

(−→

η ∧−→θ )−→

ζ

<iii > Mặt khác do < ii > nên −→η ∧ −→θ cùng hướng với −→ζ kết hợp thêm<i >thì:

−→

η ∧−→θ =

−→

η 

−→

θ

−→

ζ

−→

ζ

Bởi thế nên:

(−→

η ∧−→θ )−→

ζ

=−→

η 

−→

θ

−→

ζ

= 3a3√3

5 Nếu đem thay lên<iii>sẽ dẫn đến:

VS.CDN M = 5a3√3

24 . Lại bởi vì:

d(SC; DM) =

−→

SC∧−−→HM−→HS

−→

SC∧−−→HM

Thêm nữa là:−→

SC∧−−→HM=−→

η −−→ζ ∧−→θ =−→

η ∧−→θ +−→

θ ∧−→ζ

=

−→

η 

−→

θ

−→

ζ

−→

ζ +

−→

θ

−→

ζ

−→

η 

−→

η

Vì thế mà:

−→

SC∧−−→HM−→HS

=−→

η 

−→

θ

−→

ζ

= 3a3√3

5

Và để ý thêm rằng:

−→

SC∧−−→HM

=

r

 −→

η 

−→

θ

2

+

−→

θ

−→

ζ

2

=

−→

θ

r

−→

ζ

2

+−→

η 

2

= 3a√5

10

v u u

t a

r 4 5

!2

+a√32 = 3a2√19

10

Thay lên để có kết quả cuối cùng: d(SC; DM) = 2a

r 3

Rút gọn tính tốn ta có được: d(SC; DM) =2a 3

Giải 3

(Hình vẽ 3)

Chúng ta thấy rằng:

−−→

DM.CN−→=

−→