TKKN phát triển, mở rộng bài toán Hình học

Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong

I- TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÁT TRIỂN, MƠ

RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO

KHOA TOÁN 9 - PHẦN ĐƯỜNG TRÒN.

II- ĐẶT VẤN ĐỀ:

Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa để các

em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán Nhưng tiếc rằng trong các nhà trường hiện nay phần lớn các giáo viên chưa có thói quen phát triển, mở rộng một bài toán thành chuỗi các bài toán liên quan cho học sinh Việc chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Cho nên khi gặp một bài toán mới các em không biết xuất phát từ đâu? Những kiến thức cần sử dụng là gì? Nó liên quan như thế nào với các bài toán trứơc đó? Trong quá trình giảng dạy tôi thấy việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phương pháp học khoa học, có hiệu quả Phát triển từ dễ đến khó là con đường phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kĩ năng giải toán Việc tìm tòi để phát triển, mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin hơn vào khả năng giải toán của mình

Bài viết này tôi xin đưa ra một số ví dụ về cách phát triển, mở rộng một số bài toán hình học cơ bản trong chương trình sách giáo khoa toán 9 phần đường tròn, xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp

***Giới hạn nghiên cứu :

Trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè và chỉ đạo của phòng GD - ĐT Thăng Bình hè 2009, sau khi rút kinh nghiệm kết quả ban đầu, đã tập trung nghiên cứu cải tiến kỷ thuật về tiết dạy hình học trên lớp, tinh thần học tập của học sinh lớp 9 theo hướng phát triển, mở rộng các bài toán sách giáo khoa hình học 9 về đường tròn

Do chất lượng học sinh không cao, nên chủ yếu là phát triển, mở rộng các bài toán cơ bản phù hợp với mọi đối tượng học sinh

III-CƠ SƠ LÝ LUẬN

Giải bài tập toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận).Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh Do đó, học

sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập.Thực tiễn dạy học cũng cho thấy học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm; còn học sinh trung bình, yếu, kém gặp nhiều lúng túng Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập.Tuy nhiên, không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng, việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả, nếu như biết khéo léo khai thác, mở rộng từ một bài toán sách giáo khoa sang một loạt bài toán tương tự có tính tổng hợp, nhằm vận dụng một tính chất, rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó.Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng có một ý nghĩa chung nhất định Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn

đề là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để giải quyết vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý làm mẫu để phát triển, mở rộng thành các bài toán liên quan có tính tổng hợp

Hơn nữa “Phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học: Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4) Đó là một trong những định hướng quan trọng đổi mới phương pháp dạy học Nhất là dạy học Toán phải dạy cho học sinh năng lực phát hiện và giải toán Do đó, giáo viên phải rèn luyện, bồi dưỡng cho học sinh kĩ năng tự học độc lập, thực chất là thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học để có khả năng phân tích, tổng hợp cao khi giải một bài toán bằng cách xâu chuỗi, khai thác và phát triển các bài toán cơ bản ở sách giáo khoa”

IV-CƠ SƠ THỰC TIỄN:

Qua giảng dạy Toán lớp 9 THCS, dạy ôn thi tốt nghiệp THCS, tham gia

chấm thi tốt nghiệp THCS Bản thân tôi nhận thấy phần Hình học lớp 9 về đường tròn có vai trò quan trọng trong các đề thi.

Không phải ngẫu nhiên mà các đề thi tốt nghiệp môn toán THCS ở khắp cả

nước phần hình học thường có nội dung liên quan đến đường tròn cũng như các

đề thi của trường chuyên, lớp chọn cũng vậy Đó là bởi vì các bài tập hình học về

đường tròn đòi hỏi học sinh phải huy động, vận dụng hầu hết các kiến thức hình

học đã được học ở cấp THCS vào làm bài

Chính vì phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải toán nên đối với phần lớn học sinh các bài toán hình học thường là khó Qua các đợt thi tốt nghiệp các năm

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 2

tôi nhận thấy có những bài toán khá đơn giản mà học sinh không làm được hoặc làm không chính xác

Cụ thể, năm học 2008 - 2009 tại địa bàn trường THCS Nguyễn Bá Ngọc, tôi

có trực tiếp giảng dạy toán lớp 9 Kết quả đạt được phần hình học của bài kiểm tra học kỳ I như sau:

Nguyên nhân dẫn đến các hạn chế của học sinh là:

- Do tâm lý học sinh thường nghĩ các bài toán hình học tổng hợp thuộc loại khó

- Học sinh không phát hiện thấy sự liên quan giữa bài toán hình học tổng hợp và bài toán hình học cơ bản ở sách giáo khoa

- Giáo viên chưa có phương pháp dạy cũng như định hướng để học sinh vận dụng các bài toán cơ bản đã biết vào làm bài

V- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Đứng trước thực trạng như vậy, bản thân tôi trăn trở, băn khoăn rất nhiều

và thiết nghĩ phải tìm ra biện pháp khắc phục những hạn chế đáng tiếc khi giải một bài toán hình học

1 Các biện pháp đã thực hiện

- Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa

- Từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa hướng dẫn học sinh phát triển,

mở rộng thành bài toán tổng hợp

- Chú trọng nhắc nhở phương pháp “Tương tự hóa” đối với học sinh

- Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Tương tự hóa” giữa bài toán cơ bản và bài toán tổng hợp

2 Các ví dụ minh họa:

a) Bài toán 1 (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T2)

Cho đường tròn (O), đường kính AB, S là một điểm cố định nằm bên ngoài đường tròn SA và SB lần lượt cắt đường tròn (O) tại M, N Gọi H là giao điểm của BM và AN

Chứng minh rằng SH vuông góc với AB

Nhận xét 1:

Việc chứng minh bài toán này khá đơn giản

Giáo viên chỉ cần gợi ý qua hai câu hỏi:

·ANBvà ·AMBcó gì đặc biệt?

Điểm A có quan hệ như thế nào với ∆SBH

hoặc (Điểm H có quan hệ như thế nào với ∆SBA,

tuỳ vào hình vẽ)

Lời bình:

Nếu bài toán này chỉ dừng lại ở đây thì thật

là đáng tiếc, ta có thể phát triển nó thành bài

toán tổng hợp và xâu chuỗi bài toán này với các bài

toán khác

Chẳng hạn: Ta đặt thêm câu hỏi Chứng minh: SN.SB = SA.SM

Học sinh dễ dàng chứng minh được ∆SAN ∆SBM và rút ra kết luận SN.SB = SA.SM

Nhận xét 2:

Từ kết quả ∆SAN ∆SBM => SN.SB = SA.SM, nếu ta chứng minh:

∆SAB ∆SNM => SN.SB = SA.SM, ta có thể liên hệ với bài tập 18 (Trang 76 SBT Toán 9 T2)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn ở A và B

Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi

Nhận xét 3:

Việc chứng minh bài toán này không khó ta

chỉ việc xét 2 trường hợp:

TH1: Điểm M nằm ngoài đường tròn (H1)

Ta kẻ thêm cát tuyến MCD và đưa về bài

toán của nhận xét 2 Khi đó tích MA.MB không

phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB

TH2: Điểm M nằm trong đường tròn (H2)

Ta kẻ thêm cát tuyến MCD và đưa về

xét các tam giác đồng dạng Khi đó tích MA.MB

không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB

Nhận xét 4:

Từ kết quả của bài tập 18 trang 76 SBT với

TH1, nếu cát tuyến MCD trùng với tiếp

tuyến MT ta có MT2 = MA.MB (H3)

Ta quay lại từ (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T2)

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 4

?

O

A

M

C

B

D

o

A

C

o

?

N

B A

S

H

M

Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta sẽ

khai thác tiếp bài toán:

Nếu gọi giao điểm của MN với AB là P.(H1.b)

Chứng minh: PM.PN = PA.PB

Việc chứng minh đẳng thức PM.PN = PA.PB khá

dễ dàng Nhưng ta có thêm nhận xét ANBM nội

tiếp đường tròn thì PM.PN = PA.PB (Với P là giao

điểm của MN và AB)

Lưu ý: Đây cũng là một phương pháp chứng minh tứ giác

nội tiếp khá hiệu quả ngoài phương pháp chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 1800 Tổng hợp kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát:

Cho tứ giác ANBM AB cắt MN tại P, BN cắt AM tại S Chứng minh rằng các kết luận sau là tương đương

a, ANBM nội tiếp đường tròn

b, ·ABN = ·AMN

c, ·NAM + ·MBN = 1800

d, SN.SB = SM.SA

e, PN.PM = PA.PB

Chú ý: Bài toán này có thể áp dụng được rất nhiều nên giáo viên có thể

hướng dẫn học sinh giải chi tiết và ghi nhớ

Ta tiếp tục quay lại (Bài 19, trang 75 SGK Toán 9, T2)

Gọi giao điểm của đường thẳng AB với SH là I Chứng minh

a, Tứ giác SNAI nội tiếp

b, ·SNI = ·SHB

c, Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác SNAI Chứng minh QN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IBH

Nhận xét 5:

Bài toán này là bài toán mở rộng nên có những câu kiến thức đòi hỏi nhiều hơn nhưng nó phát triển trên nền cái đã biết nên học sinh sẽ ghi dễ hơn

Hướng dẫn giải (H4)

Câu a, ta có ·SNA = ¶SIA = 900 => SNAI nội tiếp,

đường tròn đường kính SA

Câu b, ·SNI = ·SHB (Cùng bù ·INB,vì INBH nội tiếp)

Câu c, ∆IBH nội tiếp đường tròn đường kính BH,

gọi K là trung điểm của BH ta có:

·NSQ = ·SNQ (∆QSN cân tại Q)

·BNK = ·NBK (∆KNB cân tại K)

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 5

?

N

B A

H

M

P

?

N

B A

S

H

M

P I

K Q

I

D

?

F

E

Mà ·NSQ + ·NBK = 900 (∆SMB vuông tại M)

=>·QNS + ·KNB = ·NSQ + ·NBK = 900

=> ·QNK = 900

Hay QN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆IBH

Lưu ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được QI là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp ∆IBH, đường tròn ngoại tiếp INBH

b) Bài toán 2 (Bài 22, trang 76 SGK Toán 9, T2)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C

Chứng minh rằng MA2 = MB.MC

Hướng dẫn giải (H5)

Bài toán này rất đơn giản, ta có thể áp dụng

hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ∆BAC với đường

cao AM, hoặc có thể chứng minh ∆MAC ∆MBA

từ đó rút ra kết luận MA2 = MB.MC

Nhận xét: Bài toán này rất đơn giản nhưng nó lại

có thể áp dụng vào giải các bài tập khác:

Sau khi tìm hiểu, thu thập và liệt kê tôi phát hiện thấy có rất nhiều bài toán Hình học có thể áp dụng kết quả của bài toán 1, bài toán 2 và các bài toán phát triển của hai bài toán trên để giải Sau đây là một trong số các bài tập đó

Bài 1: Cho điểm P nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến PA và PB PO cắt AB

tại H, qua H vẽ dây CD Chứng minh

a, CH.DH = HP.HO

b, Tứ giác POCD nội tiếp đường tròn

Định hướng giải: (H6)

Câu a, ta áp dụng bài tập 18 và bài tập 19

Câu b, ta áp dụng kết quả của bài toán tổng quát

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính

AB = 4 cm Từ trung điểm C của AO, vẽ tia Cx

vuông góc với AO cắt nửa đường (O) tại D Gọi E là điểm chính giữa cung BD;

F là giao điểm của AE và CD

a, Chứng minh tứ giác CFEB nội tiếp

b, Tính AD

c, Gọi giao điểm của AE với OD là I Chứng minh đường thẳng EO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆FCI

Định hướng giải: (H7)

Câu a, b ta dễ dàng chứng minh và tính được

Câu c, ta áp dụng bài toán phát triển của bai toán 1

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 6

o?

C

M A

B

A

B

D C

A B

M

N

E

K

O

x

Q

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB

và điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M ≠ A;B )

Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn,

vẽ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt Ax tại N; tia phân giác góc NAM cắt nửa đường tròn tại I, cắt BN tại E; Tia BI cắt AN tại F Đường thẳng AB cắt đường thẳng

EF tại K, AM cắt IB tại Q Chứng minh:

a, AN2 = MN.NB

b, Tam giác ABE cân

c, FB vuông góc với NK

d, Tứ giác AFEQ là hình thoi

Định hướng giải: (H8)

Câu a, áp dung kết quả bài toán phát triển của bài toán 1

Câu b, c, sử dụng các tính chất của góc nội tiếp và cung

bị chắn Câu d, sử dụng tính chất của góc với đường tròn

và tính chất của đường thẳng song song

Bài 4: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O)

vẽ cát tuyến MAB tới đường tròn (A nằm giữa M và B)

Hai tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại C; MO cắt

đường tròn đường kính OC tại H; CH cắt AB tại N; AB cắt OC tại I Chứng minh rằng:

a, CN.CH = CI.CO

b, MA.MB = MI.MN

Định hướng giải: (H9)

Sử dụng kết quả bài tập 18 (SBT)

Ta có: Tứ giác INHO nội tiếp => CN.CH = CI.CO

MA.MB = MH.MO

MH.MO = MI.MN

VI- KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” đã được báo cáo ở tổ chuyên môn trong học

kỳ I năm học 2009 – 2010 tại trường THCS Nguyễn Bá Ngọc và đã được chuyên môn trường góp ý, sửa chữa, bổ sung thống nhất vận dụng trong toàn trường

Học kỳ I năm học 2009 – 2010, trên cơ sở bồi dưỡng chuyên môn hè 2009

và chỉ đạo của phòng GD - ĐT Thăng Bình, sau khi rút kinh nghiệm kết quả ban đầu, đã tập trung nghiên cứu cải tiến kỷ thuật về tiết dạy hình học trên lớp, tinh thần học tập của học sinh lớp 9 theo hướng phát triển, mở rộng bài toán sách giáo khoa thành bài toán tổng hợp, hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương

N H B

C

?

O

I

pháp “Tương tự hóa” giữa bài toán cơ bản và bài toán tổng hợp Nhờ vậy, kết

quả đạt được của bài kiểm tra học kỳ I (Phần hình học) như sau:

Như vậy, qua một thời gian thực hiện các biện pháp của kinh nghiệm này, tôi

nhận thấy :

- Việc phát triển, mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh, giúp tất cả các đối tượng học sinh nâng cao được kỹ năng giải toán

- Chất lượng học sinh được nâng lên, đại đa số học sinh trong lớp có ý thức tự học hơn, việc học ở nhà được phát huy

- Trong việc soạn bài, chuẩn bị bài các bài toán mở rộng, tổng hợp và tổ chức dạy có vất vả, song các tiết học đã đem lại hiệu quả tốt hơn, phát huy được tất cả các đối tượng học sinh, đáp ứng được nhu cầu, nguyện vọng của học sinh

VII- KẾT LUẬN:

1 Bài học kinh nghiệm:

Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình, song mỗi giáo viên cần có

ý thức tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với từng loại bài tập và từng đôi tượng học sinh theo phương pháp dạy học mới là lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hoá các hoạt động của học sinh trong quá trình học tập

Học sinh THCS còn ở độ tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, khái quát còn hạn chế Do đó khi đứng trước các bài toán khó việc tìm ra lời giải đã khó chứ chưa nói gì đến việc sáng tạo Vì vậy người giáo viên cần có sự đầu tư để có phương pháp dạy thích hợp để mỗi học sinh đều có thể tự tin trong học tập và sáng tạo

Đề tài “Hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng bài toán hình học sách giáo khoa Toán 9 phần đường tròn” là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho một ý tương không nhỏ theo một nghĩa nào đó.Qua đề tài này tôi muốn gửi đến các đồng nghiệp một chút kinh nghiệm nhỏ của mình và mong muốn được chia sẻ và góp

ý

Cuối cùng xin tóm lại một điều: "Trong dạy học toán không có bài toán nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời gian nắm bắt các yếu tố và định hướng trong suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""

2 Kết luận chung:

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 8

Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học tập môn toán Điều quan trọng nhất, cần đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, nghiên cứu kỹ, khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để phát triển, mở rộng cho các bài toán khác Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản sách giáo khoa vào giải quyết các bài toán cùng loại theo phương pháp

“Tương tự hóa” Hy vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em học sinh biết cách làm chủ và mở rộng được kiến thức của mình, thêm yêu mến môn toán, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót, hy vọng được các cấp lãnh đạo và bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn

Xin cảm ơn và gởi lời chào trân trọng đến quý thầy cô, Hội đồng khoa học các cấp!

VIII- ĐỀ NGHỊ :

- Phòng GD – ĐT cần cung cấp thêm tài liệu và chỉ đạo việc tổ chức các chuyên đề biên soạn tài liệu cho từng khối lớp

- Lãnh đạo nhà trường phải đầu tư, bồi dưỡng kinh phí cho các chuyên đề

có giá trị sử dụng

IX- PHẦN PHỤ LỤC:

X- TÀI LIỆU THAM KHẢO:

- Luật giáo dục 1998.

- Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn hè 2009 của PGD-ĐT Thăng Bình.

- Sách giáo khoa Hình học 9 – Tập 1,2

- Sách giáo viên Hình học 9 – Tập 1,2

- Sách bài tập Hình học 9 – Tập 1,2

XI- MỤC LỤC:

GV: Nguyễn Văn Đời - Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc Trang 10