Cho ababab là số có sáu chữ số.. Chứng tỏ số ababab là bội của 3.. Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 3 2 số còn lại.. Tính số học sinh của lớp 6A.
Trang 1Thi thử học sinh giỏi Môn toán 6 thời gian: 120 phút
họ và tên:
Bài 1: ( 3 điểm)
a Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
b Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004 Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65.
Bài 2 : (3,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết :
a x +(x+1)+(x+2)+…+(x +2010)=2029099
b 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210
Bài 3: (6,0 điểm)
Thực hiện so sánh:
a A =
1 2009
1 2009
2009
2008 +
+ với B =
1 2009
1 2009
2010
2009 +
+
b C = 1 3 5 7 … 99 với D =
2
100
2
53 2
52 2 51
c Chứng minh rằng 102011+ 8 chia hết cho 72.
Bài 4: ( 4 điểm)
Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng
7
3
số còn lại Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng
3
2
số còn lại Tính số học sinh của lớp 6A.
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì
2
CB CA
CM = +
b Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì
2
CB CA
CM = −
.
Trang 2KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 3 điểm)
- Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội
Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5 126 + 52.126+ 53.126
⇒ 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126
0,50
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 +
53 + 54 + 55 + 56)
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126
0, 25
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5 130
⇒ 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 0,25
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130 0,25
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65 0,25
Bài 2 : (3,0 điểm)
2
2011 2010
2
2011 2010 -2029099
2
2011 2010
- 2029099
b) ⇒2(1+2+3+…+ x)=210 0,50
2
) 1 (
- Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,50
Trang 3Bài 3: (6,0 điểm)
a) Thực hiện qui đồng mẫu số:
A =
) 1 2009 )(
1 2009 (
1 2009 2009
2009 )
1 2009 )(
1 2009
(
) 1 2009 )(
1 2009
(
2010 2009
2008 2010
4018 2010
2009
2010 2008
+ +
+ +
+
= + +
+ +
0,50
B =
) 1 2009 )(
1 2009 (
1 2009 2009
2009 )
1 2009 )(
1 2009
(
) 1 2009 )(
1 2009
(
2009 2010
2009 2009
4018 2009
2010
2009 2009
+ +
+ +
+
= + +
+ +
0,50 )
1 2009 ( 2009 2009
20092010 + 2008 = 2008 2 +
) 2009 2009
( 2009 2009
Do (20092 +1) > (2009+2009)nên A > B
(Có thể chứng tỏ A - B > 0 để kết luận A > B) 0,50 Cách khác: Có thể so sánh 2009 A với 2009 B trước
C 1 3 5 7 99
2.4.6 100
…
) 2 50 ) (
2 3 ).(
2 2 ).(
2 1 (
00 2.4.6 1 99
7 5
3
2
2 2 2 50
3 2 1
100
53 52 51 50
3 2 1
2
100
2
53 2
52 2
51
c) Vì 102011+ 8có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 0,75 Lại có 102011+ 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 0,75
Vậy 102011+ 8 chia hết cho 72 0,50
Bài 4: ( 1,5 điểm)
- Số học sinh giỏi kỳ I bằng
10
3
số học sinh cả lớp 0,50
- Số học sinh giỏi cuối bằng
5
2
số học sinh cả lớp 0,25
- 4 học sinh là
5
2
- 10
3
số học sinh cả lớp 0,50
-
10
1
số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 :
10
1
Bài 5: (4,0 điểm)
0,50
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50
⇒
2
CB CA
0,25 0,50
Trang 4CA = CM + MA 0,50
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50
⇒
2
CB CA
0,25