Volumes et aires 7 Construis un patron ou développement et une représentation en perspective cavalière d’une pyramide à base rectangulaire ABCD de côtés 1 et 2, de sommet S et de hauteur
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN THI LỚP 10 TOÁN PHÁP
NIÊN HỌC 2007-2008
I) RACINES CARÉES
1) Soit A = x 3
a Calcule A pour x = - 2 puis pour x = 6.
b Montre que, si x = 147, alors A = 5 6
c Pour quelles valeurs de x peut-on calculer A?
2) On donne l’expression E = (x – 6)2 – (3 2)2
a Développe, réduis et ordonne E
b Factorise E
c Résous l’équation E = 0
d Calcule E pour x = 0 puis pour x =
4 3
3) Écris sous la forme a + b 3
a 108 8 12 14 2 48;
b (2 - 3) ( 4 3 + 7)
4) ABC est un triangle rectangle en A
[AH] est la hauteur issue de A
On démontre que: BH BC = AB2
a Construis le triangle ABC tel que
BH = 1 cm et BC = 8 cm Calcule AB
b Construis le triangle ABC tel que
BH = 1 cm et BC = 11 cm Calcule AB
c Peux-tu en déduire la construction d’un segment de longueur n , n étant un entier naturel?
Calculs sur les fonctions affines
1) Soit f la fonction définie par f(x) = - 32 x.
a Calcule les images par f des nombres suivants: 3; -
2
3
; 3; 0; - 1
Présente les résultats dans un tableau
b Calcule le nombre qui a pour image ( - 6) par f.
2) Soit la fonction f : x 3 x125
Montre que f est une fonction affine.
Quel est son coefficient directeur m? Son ordonnée à l’origine p?
Calcule: f (-
4
3
); f (0,8); f( 3)
3) Détermine si les trois points donnés sont alignés: A( 7; 4); B ( 5; 5 7 - 3); C ( 7 + 2; 4 + 2 7)
4) Calculer les coordonnées du point d’intersection des représentations graphiques des fonctions f et g.
f (x) = (2x + 3) (2x – 3) – (2x + 4)2 et g (x) = (6x – 2)2 – (3x – 4) (12x + 3).
Représentation graphique d’une fonction affine
5) Dans un repère orthonormal dessine la représentation graphique de la fonction affine g définie par: g(x) =
2 3 x - 3 2 Tu construiras, à la règle et au compas, les longueurs 2 et 3
Retrouver des fonctions affines
6) Définis la fonction affine f : x mx + p, en calculant m puis en déduisant p.
f ( 3) = 2 et f ( 2) = - ( 3)
7) Définis la fonction affine f : x mx + p, en établissant un système d’équations à deux inconnues m et p.
f (2 3) = - 2 et f ( 3) = 4
8) Définis la fonction affine f : x mx + p qui vérifie: f (- 8) = 2 et f (12) = 2.
9) Existe-t-il une fonction affine f telle que: f (2) = 4 et f (2) = 12?
A
B H C
Trang 2Existe-t-il une fonction affine g telle que: g (1) = g (-1) = 1 et g (2) = 4?
Soit h (x) = x2, calcule h(1); h(-1), h(2); h est-elle affine?
Dans la vie pratique
10) Pour une réparation à domicile le plombier demande 60 F de déplacement puis 92,50 F par heure
de travail Exprime le montant y de la facture en fonction du nombre x d’heures de travail y est-il l’image
de x par une fonction affine?
11) A la bibliothèque municipale, tu dois payer un abonnement annuel de 50 F puis une location de 7 F
par livre emprunté Montre que la dépense annuelle y pour une location de x livres est fonction affine de
x.
III) SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES
Pour préparer le brevet
1) Un nombre de trois chiffres augmente de 270 si on permute les deux premiers chiffres et diminue de 54 si
on permute les deux derniers chiffres La somme de ces chiffres est égale à 15
a. On appellera x le chiffre des centaines, y celui des dizaines et z celui des unités Montre que le nombre peut s’exprimer sous la forme 100x + 10y + z.
b. Montre que l’énoncé peut se traduire par le système de trois équations à trois inconnues suivant:
- 90x + 90 y = 270 - x + y = 3
9y – 9z = 54 ou y – z = 6
x + y + z = 15 x + y + z = 15
c. En ajoutant membre à membre les trois équations calcule y, puis x et z.
2) Un cycliste parcourt aller et retour une route AB La distance AB est 36 km Sa vitesse est 12 km/h en montée, 20 km/h en plat, 30 km/h en descente Il met 1 h 50 min à l’aller (de A vers B) et 2 h 2 min au retour Calcule la longueur des montées, des plats et des descentes en allant de A vers B
3) Deux objets cỏtent à eux deux 110 F L’un cỏte 100 F de plus que l’autre Quel est le prix de chacun des deux objets?
(Besançon, juin 1992.)
4) Le périmètre d’un rectangle est égal à 140 mm On double la largeur initiale et on retranche 7 mm à la longueur initiale Le périmètre est alors égal à 176 mm Quelles sont les dimensions initiales du
rectangle?
(Montpellier, juin 1992.)
5) J;ai 45 “pin’s” et j’ai décidé d’arrêter ma collection J’échange chaque “pin’s” publicitaire contre quatre autocollants et chaque “pin’s” non publicitaire contre trois autocollants J’ai maintenant 156 autocollants Combien de “pin’s” de chaque catégorie avais-je dans ma collection?
(Nancy-Metz, juin 1992.)
6) Le 19 aỏt 1991, 550 personnes ont visité un musée Le prix de l’entrée est de 16 F pour les adultes Les enfants paient demi-tarif La recette de la journée a été de 6 960 F Combien d’adultes et combien
d’enfants ont visité le musée ce jour-là?
(Poitiers, juin 1992.)
7) Deux entiers m et p sont tels que m2 – p2 = 304 et m + p = 38 Calcule (m – p) puis m et p.
(Limoges, juin 1988.)
8) Alain et Pierre désirent acheter en commun un lecteur de disques compacts qui cỏte 2 000 F Les
économies de Pierre représentent les 4/5 de celles d’Alain, et s’ils réunissent leur économies, il leur manque 272 F pour pouvoir effectuer leur achat Calcule le montant des économies de chacun des deux garçons
(Limoges, juin 1990.)
Démonstrations
1) Soit ABC un triangle, A’ le milieu de [BC] Soit M un point de la médiane issue de A Les parallèles à (AB) et (AC) passant par M coupent (BC) respectivement en N et P
Trang 3a En utilisant le théorème de Thalès dans deux triangles différents trouve deux quotients égaux à
'
'
AA
M A
b Démontre que A’ est le milieu de [NP]
2) ABCD est un parallélogramme E est le symétrique de D par rapport à A (EC) coupe (AB) en I et (BD)
en J
a Que peux-tu dire du point I pour [AB]?
b Trouve plusieurs quotients égaux à
JD
JB
Déduis-en l’égalité: JC2 = JI JE
Triangle à côtés proportionnels
3) On voudrait déterminer la hauteur d’une pyramide
régulière dont la base est un carré de 228 m de côté
Pour cela on utilise un bâton [MN] de longueur 2 m
Du point I on vise le sommet de la pyramide S:
les points S, N, et I sont alignés On a: IM = 4 m et
IH = 162 m
a Calcule IO
b En considérant le triangle SOI, calcule la hauteur
OS de la pyramide
Réciproque du théorème de Thalès
4) ABC est un triangle; AB = 9, AC = 6, BC = 5 cm
Place un point D sur la droite (AB) tel que AD = 3
et un point E sur (AC) tel que AE = 2 (unité 1 cm)
Que peux-tu dire des droites (BC) et (DE)?
Pour réfléchir et approfondir
5) MNP est un triangle Q est le milieu de [MN] La bissectrice de l’angle MQP coupe (MP) en I La bissectrice de l’angle NQP coupe (NP) en J Démontre que (IJ) et (MN) sont parallèles
6) Soit un parallélogramme ABCD, E le milieu de [AD], F le milieu de [BC] Les droites (EB) et (DF) coupent la diagonale [AC] en G et H respectivement
a Montre que AG = GH = HC
b Que peux-tu dire du quadrilatère EGFH? Du quadrilatère GBHD?
Pour préparer le Brevet
7) a Construire un triangle ABC, dont les côtés sont donnés en centimètre par: AB = 9; AC = 6; BC = 7,5 Place le point R du sgment [AB] tel que BR = 6 et le point S du segment [AC] tel que AS = 2
b Démontre que les droites (RS) et (BC) sont parallèles Calcule la distance RS
c Construis le point T pour que RSCT soit un parallélogramme Précise la position du point T Justifie
(Aix-Marseille, 1991.)
8) ABC est un triangle rectangle en A, tel que AB = 2 cm et AC = 4 cm
a Construis le triangle ABC
b Calcule la longueur du côté BC et donne la valeur arrondie au dixième de cm
c Construis le point D symétrique de B par rapport à A et le point E symétrique de C par rapport
à A Quelle est la nature du quadrilatère BCDE? Justifie la réponse
d Place le point F sur la droite (AB) tel que AF = 6 cm avec le point B entre A et F Trace la droite parallèle à la droite (FC) passant par B; elle coupe (AC) en G Calcule AG: donne la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de cm
(Limoges, 1991.)
Avec la calculatrice
1) Vérifie les égalités suivantes à l’aide de la calculatrice:
a) cos2 750 + sin2 750 = 1;
S
A B N
O
H M I
D C
Trang 4b) (cos 600 + sin 600)2 = 1 + 2 cos 600 sin 600
c) tan 300 = sin 300/cos 300;
d) tan2 10 = (1/cos 10 – 1) (1/cos 10 + 1)
2) Complète, si possible, le tableau ci-dessous:
Angle Cosinus Sinus Tangente
10-2
2 5
103
6 5
3 10-4
7 3
45 10-3
89,999 990
9 999,99 10-4
Quelques problèmes
3) Sous quel angle un joueur de football situé au point de penalty voit-il les buts du goal?
On donne: largeur des buts: 7, 32 m; distance du point de penalty à la ligne de but: 11 m
4) Comment mesurer la hauteur de l’arbre situé
sur l’île, sans aller sur l’île? Voici une façon
de procéder: on a mesuré = 100, =
150 et CD = 10 m
a. Montre que AC tan = AD tan
b. En remplaçant dans l’égalité ci-dessus AC
par (AD + DC), calcule AD
c. Donne enfin un encadrement de AB
d’amplitude 10 cm A B
Pour réfléchir et approfondir
5) On donne: AB = 10 cm, AD = 6 cm
I est milieu de [AD] K
J est milieu de [DC]
Calcule une mesure approchée à 10-2 près de l’angle JKB J
6) ABCD est un carré et DEC un triangle équilatéral D C
a Quelle est la mesure de l’angle EAF? A F B
b Calcule AF, FE puis AE en fonction de la longueur
x des côtés du carré. E
c Donne la valeur exacte de cos 150, sin 150 et tan 150
Pour préparer le brevet
7) Soit un cercle (C) de centre O et de rayon 3 cm, [AB] un
diamètre de ce cercle, (d) la tangente en B à ce cercle Sur (d),
place D tel que BD = 4,5 cm, et E tel que BE = 8 cm, B devant
être entre D et E
a Fais une figure
b * La droite (d) est perpendiculaire à (AB); pourquoi?
* Calcule la tangente des angles BAD et BAE Déduis-en D C les valeurs approchées de BAD et BAE, arrondies au degré le plus proche
B
Trang 5* Déduis-en une valeur approchée de l’angle DAE Que laisse prévoir ce résultat sur la nature du triangle DAE?
c Calcule AD et AE; deduis-en que le triangle DAE est rectangle (Besançon, juin 1992.)
8) ABC est un triangle rectangle en A E est un point du segment [AB], F est un point du segment [AC] On donne: AB = 8 cm; AF = 6,5 cm; AE = 5 cm; FC = 3,9 cm
a Fais une figure
b Les droites (AE) et (BC) sont-elles parallèles? Justifie la réponse
c Calcule la mesure, à 1 degré près par défaut, de l’angle ABC
(Rouen, juin 1992.)
9) a Construis un triangle isocèle ABC de sommet principal A, sachant que BC = 6 cm et que la hauteur [AH] mesure 5 cm
b Calcule à un degré près par défaut, la mesure de l’angle B
c Soit D le symétrique de A par rapport à H Calcule la valeur exacte du périmètre du quadrilatère ABDC
Donne une valeur approchée à 1 mm près de ce périmètre
(Poitiers, juin 1992.)
10)Soit un triangle équilatéral ABC, D le symétrique de B par rapport à (AC), E le projeté orthogonal de D sur (AB), F le point du segment [DC] tel que DE = DF (EF) coupe (AD) en O
a Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Montre que (BD) est bissectrice des angles ABC et ADC
b Montre que (AD) est bissectrice de l’angle EDB
c Montre que le triangle EDF est rectangle et t isocèle Déduis-en que (EF) est bissectrice de l’angle BED et que (BO) est bissectrice de l’angle DBE
d Calcule BD et DE sachant que AB = 10 cm
Moyenne, médiane
1) Fabien reçoit son bulletin mensuel, et ses notes en mathématiques sont 12; 13; 5; 14; 10,5; 7 et 15 Calcule
sa moyenne Quelle est la note médiane?
2) Pendant une semaine Gérard a relevé les températures extérieures à 13 h au même endroit Ces résultats, exprimés en degré Celcius, sont les suinants: 12; 13; 12; 11; 10; 13 et 12 Calcule la moyenne des
températures de la semaine Quelle est la température médiane?
3) Dans la semaine du 8 au 15 juin, on a relevé la fréquentation du musée Voici les résultats: 75; 0; 254; 55; 81; 140 et 250 personnes Calcule le nombre moyen des visiteurs Comment expliques-tu le nombre nul
de visiteurs en une journée? Quel est le nombre médian de visiteurs?
4) La moyenne d’une classe à un devoir est 11 Pascal prétend qu’il y a autant d’élèves qui ont plus de 11 que d’élèves qui ont moins de 11 Et toi, que penses-tu?
5) Dans une classe la moyenne des notes obtenues à un devoir est 12 Que devient cette moyenne si toutes les notes sont augmentées de 2 points? Et la note médiane?
6) La moyenne obtenue à un devoir noté sue 40 est 24 Quelle est la moyenne obtenue lorsque toutes les notes ont été ramenées sur 20?
7) Paul a obtenu lors des quatre premiers devoirs de mathématiques les notes suivantes:12; 14; 15; 10 Quelle est sa moyenne actuelle? Quelle note doit-il obtenir au prochain devoir pour que sa nouvelle moyenne soit 14 Même question pour avoir 15 de moyenne?
Moyenne pondérée Médiane
8) Deux nombre ont pour moyenne 12, trois autres nombres ont pour moyenne 14 Quelle est la moyenne de tous ces nombres?
9) M Beaurivage part faire une randonnée en canoé sur la Creuse, À l’aller il parcourt les 7 km en 35 min,
au retour il met 55 min Calcule la vitesse moyenne à l’aller et au retour ainsi que la moyenne générale
10)Dans une commune on a demandé aux familles le nombre d’années de scolarisation à la maternelle de leur enfant entrant au CP Voici les résultats: 2 élèves ne sont jamais allés en maternelle, 12 ont fait une année,
Trang 617 y sont allés pendant deux années et 15 pendant trois années Calcule le nombre moyen d’années de scolarisation maternelle de ces enfants
11)Une entreprise teste la durée de vie, exprimée en heures, des ampoules électriques qu’elle fabrique, sur un échantillon de 4 000 ampoules
Nombre d’heures Nombre d’ampoules
Calcule la durée de vie moyenne d’une ampoule Quelle est la classe médiane de cette série?
Médiane, moyenne, diagramme
12)Construis une série de cinq notes dont la moyenne est 12? Dont la médiane est 9? Dont la moyenne est 12
et la médiane 9?
13)Dans l’après midi du 24 décembre, au distributeur de billets de banque de la rue Descartes, ont été faits les retraits suivants: 35 retraits de 200 F, 40 retraits de 400 F, 33 retraits de 600 F, 75 retraits de 800 F, 25 retraits de 1 000 F, 25 retraits de 1 200 F et 20 retraits de 1 400 F (Les retraits sont des multiples de 200 F.)
a Présente ces résultats dans un tableau
b Quelle est la médiane de cette série statistique?
c Quel est le caractère statistique étudié? Est-il qualitatif ou quantitatif? Discret ou continu?
d Calcule la fréquence de chaque montant retiré
e Calcule le retrait moyen par personne
f Construis un diagramme en bâton
Pour réfléchir et approfondir
14)Pour parcourir les 85 km séparant Argenton de Bellac, un automobiliste a roulé à 50 km/h de moyenne durant les 30 premiers kilomètres à cause de travaux Ensuite il a pu terminer son parcours à la moyenne
de 90 km/h Quelle est la moyenne obtenue sur la totalité du trajet?
15)Lors du départ en vacances de juillet, M Pressé roule à 100 km/h de moyenne durant les 220 premiers kilomètres de son trajet, puis fatigué, il se repose pendant 10 min et repart pour terminer les 150
kilomètres à 130 km/h Quelle est la durée totale de son trajet? Quelle est la vitesse moyenne? À quelle vitesse aurait-il dû rouler durant les 150 derniers kilomètres pour arriver 10 min plus tôt?
16)Un peintre met 7 heures pour faire une pièce seul Son collègue met 5 heures pour faire le même travail Combien de temps leur faut-il pour faire le même travail s’ils sont ensemble?
Á partir des tableaux
17)Le tableau ci-dessous donne pour l’année 1989 la répartition des employés d’une entreprise suivant leur salaire mensuel exprimé en francs
Salaire mensuel en F Effectif
VII) GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE ET SPHÈRES
Pour s’entraîner
1) Quel est le volume d’un fil cylindrique de diamètre 10-2 mm et de longueur 50 m?
2) Un verre conique a une capacité de 30 Cl Quelle est sa profondeur sachant que son diamètre est égal à 9 cm?
3) Un récipient en forme de demi-sphère a un rayon de 155 mm Exprime sa capacité en litres
4) Un prisme droit a un volume de 1,2 10-2 m3 et une hauteur de 60 cm Exprime l’aire de sa base
Trang 75) La Terre a un rayon de 6 400 km environ Combien de chiffres sont nécessaires pour écrire son volume en
m3?
6) On verse 2 litres d’eau dans une casserole cylindrique dont le fond a un diamètre de 24 cm Quelle est la hauteur d’eau dans la casserole?
Volumes et aires
7) Construis un patron (ou développement) et une représentation en perspective cavalière d’une pyramide à base rectangulaire ABCD de côtés 1 et 2, de sommet S et de hauteur SA = 3 Calcule son volume (unité 1 cm)
8) Construis un patron et une représentation en perspective cavalière d’une pyramide régulière à base hexagonale de côté 1, et d’arête latérale égale à 2 Calcule son volume (unité 1 cm)
9) Construis un patron et une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit de hauteur 5 et de bases triangulaires de côtés 3, 3, 2 Calcule son volume (unité 1 cm)
10) Construis un patron et une représentation en perspective cavalière d’un tétraèdre ABCD tel que (AB) est perpendiculaire au plan (BCD) tel que BCD est un triangle rectangle en C, tel que AB = BC = 5
et CD = 4 Calcule son volume (unité 1 cm)
11) Construis un patron et une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit de hauteur 6, dont la base est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 3 Calcule son volume (unité 1 cm)
12) Construis un patron et une représentation en perspective cavalière d’un cylindre de hauteur 70 et
de rayon de base 40 Calcule son volume (unité 1 cm)
Cas des cônes de révolution
13) La figure ci-contre représente le développement S
de la surface latérale d’un cône Notons r le rayon
de la base du cône et g la longueur d’une génératrice
de ce cône
a Quelle est la longueur du segment [SA]? Exprime
en fonction de r la longueur de l’arc de cercle AB A
B
b Complète le tableau ci-dessous:
Aire de la portion
de disque (SAB): … Longueur de l’arcAB : …
Aire du disque de
rayon SA: …
Périmètre du cercle
de rayon SA: …
3600
Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, montre que l’aire latérale du cône est égale à
gr
et que = 3600
g
r
14) Construis un patron de ce cône
Sachant que AB = AC = 1 dm
Tétraèdres
15) Calcule la longueur des arêtes et le volume
du tétraèdre ci-contre (unité 1 cm): AB = 5; BC = BD = 4; CD = 6
Section plane
16) On considère un cône de révolution de sommet S, de hauteur SH = 15 cm et d’aire de base 100
cm2 Soit K le point de [SH] tel que SK = 3/10 SH Le plan passant par K et orthogonal à (SH) coupe le cône selon une figure F
a Quelle est la nature de la figure F? Fais une représentation graphique en perspective cavalière
b Calcule l’aire de F
c Calcule le volume du solide de sommet S et de base F
17) Un plan (P) coupe une sphère (S) de centre I et de rayon r selon une figure (C) La droite passant par I et perpendiculaire au plan (P) coupe celui-ci en H On pose IH = h.
a Quelle est la nature du solide de sommet I et de base (C)?
Trang 8b Calcule le volume de ce solide dans chacun des cas suivants:
r = 10 cm et h = 6 cm.
r = 10 cm et aire de (C) = 5 cm2
Pour réfléchir et approfondir
18) Un cône de révolution, un cylindre et une sphère ont chacun un volume égal à 1 dm3 Le cône et le cylindre ont une hauteur égale au diamètre de leur base
a À l’aide de ta calculatrice, donne une valeur approchée
à 1 mm près par défaut des dimensions de chacun de ces solides
b Compare les aires de ces trois solides
19) Complète à la règle et au compas ce patron inachevé d’un tétraèdre
20) La base d’une pyramide régulière de 1 dm3 de volume est inscrite
dans un cercle de rayon 5 cm Quelle est la hauteur de cette pyramide
dans chacun des cas suivants:
a La base est un triangle équilatéral?
b La base est un carré?
c La base est un hexagone régulier?
21) Un prisme droit de volume 1 dm3 a une hauteur de 10 cm
Calcule la longueur des côtés de la base dans chacun des cas suivants:
d La base est un triangle équilatéral S
e La base est un carré
f La base est un hexagone régulier
Pour préparer le brevet
22) SABCD est une pyramide régulière à base carrée, de
sommet S et de hauteur [SO]; AB = 4 cm et SO = 5 cm
On demande de représenter ci-dessous, en grandeur
réelle, les figures suivantes vues en perspective: D C
a La base ABCD de la pyramide et son centre O
b Le triangle rectangle SAO O
c La base SAB de la pyramide
(Aix-Marseille, Juin 1992.) A B
23) Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont H G
indiquées sur le dessin en perspective ci-dessous:
(AB = 7,5 cm; BC = 6 cm; AE = 8 cm.) E F
a Montre que la longueur de HA est 10 cm
b Montre que (AB) est perpendiculaire à (AH)
c Calcule la longueur de HB, à un degré près,
de AHB et de ABH
d Calcule le volume de la pyramide de sommet
H et de base le triangle DAB D C
Compare ce volume à celui du parallélépipède
(Amiens, juin 1992.) A B
24)
Trang 9Dans lequel des trois cas suivants,
H est-il milieu du segment [IA]?
Précise la position de H sur [IA]
dans les autres cas
a Aire (C') = 3/4 aire (C)
b Aire (C') = 5/9 aire (C)
c Aire (C') = 1/2 aire (C)
A
H (C')
I (C)
VIII) TRANSLATION – VECTEURS – ROTATIONS
1) Soit deux cercles (C) et (C') de même rayon, de centres respectifs O et O’, sécants en A et B Par A on trace la droite ( ) parallèle à (OO’), qui recoupe (C) en C et (C') en C' Quelles sont les images de A et
C dans la translation de vecteur OO'
2) Soit un triangle ABC
a Construis les points A’, B’ et C' tels que:AA' ABAC ; BB' BABC ;
' CA CB
b Démontre que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes
À quel vecteur est égal AB AB'? ◙ A
3) Les quadrilatères ABCD et ABEF sont des parallélogrammes
Montre que CDFE est un parallélogramme I
4) Deux villes A et B sont séparées par une rivière
Où faut-il placer le pont IJ pour que le trajet AIJB
soit le plus court possible?
Translations et vecteurs J
5) ABC est un triangle
a Construis D image de B dans la translation de vecteur AC B ◙
b Quelle égalité vectorielle que peux-tu écrire?
c Démontre que BA DC
6) ABC est un triangle
a Construis A’B’C’ image de ABC par translation de vecteur AB.
Construis A’’B’’C’’ image de ABC par translation de vecteur AC
b Cite tous les vecteurs de la figure égaux au vecteurs AB, tous les vecteurs égaux à AC et tous les vecteurs égaux à BC
c Explique pourquoi B’’ = C‘
7) Soit un cercle (C) de centre O et deux points distincts A et M de (C)
a Construis N image de M dans la translation de vecteur OA
b On appelle (C‘) l’image de (C) dans la translation de vecteur OA
Quel est le centre de (C‘)? Par quel point passe (C‘)? Trace (C‘)
8) Soit deux points A et B
a Où est situé le point M tel que: AM = AB?
b Construis N qui vérifie NA = AB.
Explique par une phrase la position de N
c Construis P tel que PB = BA
Précise par une phrase la position de P
Démontrer en utilisant les vecteurs
rivière
Trang 109) Soit un carré ABCD
a Construis E image de B par la translation de vecteurAB
b Construis F image de C par la translation de vecteur AC
c Démontre que les droites (BC) et (EF) sont parallèles
10) Soit un parallélogramme ABCD
a Construis I, J, K images respectives de B, C et D dans la translation de vecteur AB.
b Démontre que les segments [AJ], [ID] et [BK] ont le même milieu
11) Soit un quadrilatère convexe ABCD
a Construis E image de B dans la translation de vecteur DA, puis F image de D dans la
translation de vecteur BC
b Démontre que AE FC
12) ABCD est un parallélogramme et M un point quelconque à l’extérieur de ABCD
a Construis E image de D dans la translation de vecteur MA, puis F image de C dans la
translation de vecteur DM
b Démontre que le centre I de ABCD est le milieu du segment [EF]
Somme de vecteurs
13) Soit un triangle ABC Construis:
a le point D tel que AD ABAC
b le point E tel que BEBAAC
c le point F tel que BF BABC
d le point G tel que CGBABC
14) Soit un parallélogramme ABCD
a Construis: le point E tel que AEABAD
le point F tel que AF ABAC
le point G tel que CGABAC
b Démontre que BF FG; que peux-tu conclure pour le point F?
15) Soit un triangle MNP de centre de gravité G Construis le point Q défini par: MQMNMP
Démontre que les points M, G et Q sont alignés et que G est au tiers de [MQ] à partir de M
16) Soit un triangle ABC Place un point M sur le côté [AB] et le point N sur le côté [AC] tels que les droites (MN) et (BC) soient parallèles
a Soit K le point de la droite (BC) tel que la droite (NK) soit parallèle à (AB) Recopie et
complète:
BM
b Quelle est l’image de B par la translation de vecteur MN KM ? Justifie
(Brevet, Nancy-Metz, 1992.)
En utilisant une translation
17) On veut construire un trapèze isocèle ABCD de base [AB] et [CD] tel que: AB = 5 cm; AD = DC = CB
= 3 cm Dessine une esquisse de la figure terminée et construis B’ image de B dans la translation de vecteur CD À partir de B’ tu peux construire le trapèze A B
18) Sur le dessin ci-contre les points A et B et la droite (d)
sont fixes Le point M se déplace sur la droite (d) Sur (d)
quelle ligne se déplace le point N quatrième sommet M
du parallélogramme AMNB
19) Soit deux cercles (C) et (C‘) de centre O et O’ et de même rayon sécants en A et B
a Construis les points C et D tels que O’OAC et OO’AD soient des parallélogrammes
b Montre que C est sur le cercle (C') et D sur le cercle (C) et que A est milieu de [CD]
Parallélogramme des forces
20) Thierry nage perpendicalairement aux rives à la vitesse de
50 m/min, le courant a une vitesse de 75 m/min, ces vitesses