a Hãy tính diện tích và chu vi hình tròn theo a b Kẻ phân giác trong BI.
Trang 1Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán
trờng năng khiếu Quảng Bình
năm học 2006-2007 (
Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 2,5 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc trong hệ đếm thập phân sao cho
abc = n2 – 1
cba = (n - 2)2
với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2 : (2,5 điểm)
Giải phơng trình sau :
x2 + y2 – 2xy + 3x – 2y –1 + 4 = 2x - x2- 3x + 2
Bài 3 :( 1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết :
A =
5 2
356 80
56 16
2
2 3 4
+ +
+ + +
+
x x
x x
x x
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có ∠B= 20 0,AC = a M là trung điểm của BC Qua ba điểm
A,C,M dựng một đờng tròn cắt AB tại K
a) Hãy tính diện tích và chu vi hình tròn theo a
b) Kẻ phân giác trong BI Vẽ góc ∠ACH = 30 0 về phía trong tam giác ABC đó Chứng minh tứ giác CIHK là hình thang Tính diện tích hình thang đó theo a
Đáp án Câu 1:
Ta có: abc = 100.a + 10.b +c = n 2 - 1 (1)
cba = 100.c + 10.b + a = n2- 4n + 4 (2) (0,5đ)
Lấy (1) trừ (2) ta đợc:
99.(a – c) = 4n – 5
Suy ra 4n - 5 99 (0,5đ)
Vì 100 ≤ abc≤ 999 nên:
100 ≤n2 − 1 ≤999 ⇒ 101 ≤n2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤n≤ 31 ⇒ 39 ≤ 4n− 5 ≤ 119 (0,75đ)
Vì 4n - 5 99 nên 4n - 5 = 99 ⇒n = 26 ⇒ abc = 675 (0,5đ)
Thử lại thấy đúng Vậy có một số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là 675 (0,25đ)
Câu 2:
x2 + y2 - 2xy + 3x - 2y -1 + 4 = 2x - x2- 3x + 2
⇔ x2 + y 2 - 2xy + 3x - 2y -1 + x 2- 3x + 2 = 2(x - 2) (1)
Vế trái không âm nên ta suy ra ngay x≥2 (2) (0,5đ)
Ta có :
(1) ⇔ (x - y)2 + 2( x - y) + 1 + x - 2 + (x - 2)2 + x - 2 = 2(x - 2)
Trang 2⇔ (x - y + 1)2 + x - 2 + (x - 2).(x - 1) = 2(x - 2) (3) Vì x≥2 nên
(3) ⇔ (x - y +1)2 + x - 2 + (x - 2)(x - 1) = 2 (x - 2) (1,0đ)
⇔ (x-y+1)2 - ( x-2 ) + ( x-2) (x-1) = 0
⇔(x - y +1)2 + (x - 2)2 = 0
x - y +1 =0
⇔
x - 2 = 0 (0,75đ)
từ đó ta có x = 2 và y = 3 Thay x = 2, y =3 thấy phơng trình có nghiệm đúng Vậy nghiệm
của phơng trình là x = 2; y = 3 (0,25đ)
Câu 3:
Xét A =
5 2
336 80 56
16 4
2
2 3
4
+ +
+ + +
+
x x
x x x
Thực hiện phép chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu là:
x2 + 2x+ 5 ≥ 4 ; ∀x Ta có:
A = 4 ( 2 2 5 ) 2 2562 5
+ + + + +
x x x
x (0,5đ)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng:
5 2
256
5 2 ( 4
+ + + +
≥
x x x
x (*); ∀x
Dấu đẳng thức trong (*) xảy ra khi và chỉ khi:
4(x2 + 2x + 5) = ⇔
+
256
2 x
x (x2 + 2x + 5)2 = 64 (0,5đ)
x =1
x2 + 2x + 5 = 8 ⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔
⇔ x = -3
x2 + 2x + 5 = - 8 (vô lý vì vế trái không nhỏ hơn 4)
Vậy : GTNN (A) = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 (0,5đ)
Bài 4 :
a) Tứ giác ACMK nội tiếp nên ∠CAK + ∠CMK = 2v nhng ∠CAK = 1v ⇒ ∠CMK = 1v
Mặt khác M là trung điểm BC nên tam giác CKB cân tại K ⇒ ∠BCK = ∠KBC= 20 0
0 40
=
∠
⇒ CKA (góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
Trong tam giác vuông ACK ta có CK =CA/ sin CKA =a / sin400
Do A và M cùng nhìn CK với một góc vuông nên CK là đờng kính
Diện tích hình tròn là S =π 2 = π
0 ) 40 sin 2
40 sin 4
a
Chu vi hình tròn là 2p = 0
40 sin
a
π (0,5đ) b) Tam giác ACH có ∠ACH = 30 0 và ∠ACB= 70 0 ⇒ ∠HCB= 40 0mà ∠KCB= 20 0do đó CK là tia phân gíac ∠HCB
Bởi vậy:
BK
HK
CB
CH
BK
CB HK
CH = (0,75đ)
mà AH=
2
1
CH ⇒
BK
CB HK
CH HK
AH
2
1
2
BK
BM
Ta lại có ∆BMK∞ ∆ABC (g.g) nên BM BK = BC BA ⇒ HK AH = BC BA (1)
Mặt khác do BI là tia phân giác ∠CBA nên
BC
BA IC AI
= (2) (1,0đ)
Trang 3Từ (1) và (2) ta có
IC
AI HK
AH = ⇒ IH//CK ( hệ quả định lý Ta Lét)
Do đó tứ giác CIHK là hình thang (0,5 đ)
SACK = (AC AK)/ 2
SAIH = (AI AH)/2 Trong đó :
AC = a ; AH = AC tgACH = a tg 300= a
3 3
AI = AH tg AHI = a
3
3 tg400 ;AK = AC cotg CKA =a.cotg400
SCIHK =SACK-SAIH=
2
1
(a2 cotg400-
3
1
a2tg400) =
6 1
a2(3cotg400- tg400) (0,75đ)
