Tuyệt đỉnh luyện đề thi môn toán THPT 2015

Biết hai mặt phẳng SBI và SCI vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Nhận xét: Với yêu cầu “Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d trên mặt phẳng  P ”, chúng ta lựa

Đề số 01 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3   2

y4x  m 3 x mx (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m1

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  0; 

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2

2 3 cos x6sin x cos x 3 3

Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

x 1; x2; y0; yx 2x

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2 2z 10   0 Tính giá trị của biểu thức

A z  z

b) Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong

hộp Tính xác suất của biến cố 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

 d : 4x 3y 1 0

y 4z 3 0



   

vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ,

ABAD2a,CDa , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 600 Gọi I là

trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng SBI và SCI vuông góc với mặt phẳng

ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó đỉnh C 4; 1  ,

đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình lần lượt là:

 d : 2x 3y 121   0 và  d2 : 2x3y0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

11 3x  1 3x 6xx 11 3x

Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x x  y z3yz Chứng minh

GIẢI CHI TIẾT VÀ ÔN TẬP, TỰ LUYỆN

xy  xz 3 xy xz y z 5 y z

hoctoancapba.com

GIẢI CHI TIẾT VÀ ÔN TẬP, TỰ LUYỆN Câu 1.a Với m 1 hàm số trở thành y4x34x2x

- Tập xác định: DR

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:y '12x28x 1 ;

1 x 6

y ' 0

1 x 2

  



  

  



1

; 2

  

1

; 6

 

y ' 0, x ;

;

2

CT

+ Giới hạn:

xlim y ; lim yx

     

+ Bảng biến thiên

2

6

y



0

2 27





- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm  0;0 và 1

;0 2

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;0

hoctoancapba.com

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I 1; 1

3 27

; 6 , 1; 1 , ; 2 , 1;9

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b

Cách1:Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi y '    0, x 0; 

f x 0, x 0;

2

2

m 3

6

m 0 12







 Kết luận m0

hoctoancapba.com

Từ đó, hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi y '    0, x 0; 

f x 0, x 0;

0

0













 



Kết luận:m0

Cách 3: Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi

y '     0, x 0; 12x 2 m 3 x      m 0, x 0;

m 2x 1 12x 6x, x 0;

x 0;



 

Kết luận:m0

Nhận xét: Để xét tính đơn điệu của hàm số yf x , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm y ', rồi tìm các điểm tới hạn

Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần)

Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số (có thể bỏ qua việc này nếu phương trình f ' x 0 vô

nghiệm

Bài tập tương tự:

a Tìm m để hàm số 1 3   2  

3

Đáp số: m3

b Tìm m để hàm số yx33x2mx4 đồng biến trên khoảng ;0

Đáp số:m 3

hoctoancapba.com

c Tìm m để hàm số 1 2  3   2

3

2;

Đáp số: 1 m 1  

Câu 2

Cách 1 : Phương trình tương đương với:

3 1 cos 2x 3sin 2x 3 3 cos 2x 3 sin 2x 3 cos 2x sin 2x







Cách 2 : Xét hai trường hợp

Trường hợp 1:cos x 0 x k , k

2



2



   không là nghiệm của phương trình

Trường hợp 2:cos x 0 x k , k

2



Chia cả hai vế của phương trình cho cos x2 , ta được

2 36 tan x 3 3 1 tan x  3 3 tan x6 tan x 3 30

tan x 1

, k 4







hoctoancapba.com

Phương trình có nghiệm: x k ; x k ; k

4



tan



 

Nhận xét:

a sin x  bsin x cos x ccos x   d (1)

Ta có các cách giải như sau:

Cách 1:

Bước 1: Xét cos x 0 x k , k

2



2



  

2



  

Bước 2: Xét cos x 0 x k , k

2



a tan xb tan x c d 1 tan x Đặt t = tanx, phương trình trở thành   2

ad t    bt c d 0 (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , rồi suy ra x

Cách 2: Sử dụng các công thức:

Ta được: bsin 2x c a cos 2x   d c a (đây là phương trình bậc nhất đối với sin x và

cos x)

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình 2sin x 3sin x cos x cos x2   2  0

Đáp số:x k ; x arctan 1 k ; k

hoctoancapba.com

b Giải phương trình 3sin x sin 2x cos x    3

Đáp số:x k ; x k ; k

c Giải phương trình 4sin x2 3 3 sin 2x2cos x2 4

Đáp số:x k ; x 5 k ; k

Câu 3 Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:

2 2 1



f x x 2x trên đoạn 1; 2, như sau:

 

Nhận xét: Bài toán “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x  (liên tục

trên đoạn  a; b ), trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b và trục Ox”, ta thực hiện các

bước sau:

Bước 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: b  

a

Sf x dx

Bước 2: Xét dấu biểu thức f x  trên  a; b thành các đoạn nhỏ, ví dụ:

    a;b  a;c1 c ;c1 2 c ;bn 

S f x dx f x dx   f x dx

hoctoancapba.com

Chú ý: Đối với bài toán phát biểu dưới dạng “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm

số xf y  (liên tục trên đoạn  a; b ), hai đường thẳng y  a; y  b và trục Oy”, thì công

a

S f y dy

Bài tập tương tự:

a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x2 4x3; x0; x3 và trục Ox

Đáp số:S 8

3

 (đvdt)

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx311x6; y6x ; x2 0 và x2

Đáp số:S 5

2

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx; y0 và y 2x2

Đáp số:S

4



 (đvdt)

     

Suy raz1  1 3i và z2   1 3i

A z  z   1 3   1  3 20

Bài tập tương tự:

a Cho z , z1 2 là các nghiệm của phương trình 2z2  4z 11 0   Tính giá trị của biểu thức

2

A

z z





b Cho z , z1 2 là các nghiệm của phương trình z2 2z 4   0 Tính giá trị của biểu thức

A z  z 3 z z

hoctoancapba.com

c Cho z , z1 2 là các nghiệm của phương trình 1 i 2 z   3 2i z 1 i   0 Không

giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức Az12z22

Câu 4.b Số cách chọn 5 viên bi bất kỳ từ 18 viên bi đã cho là 5

18

C 8568

Gọi A là biến cố “5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng”

Ta có các trường hợp sau:

+ TH1: Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 3 viên bi xanh Có

1 1 3

6 7 5

C C C cách chọn

+ TH2: Trong 5 viên bi được chọn có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh Có

2 2 1

6 7 5

C C C cách chọn

Do đó cách lấy được 5 viên bi có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng là:

A C C C6 7 5 C C C6 7 5 1995

A

1995 95 P

8568 408



Bài tập tương tự:

a Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi

từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu

Đáp số: 645 cách

b Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

Đáp số: 3045 cách

c Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô

trống Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên

bi xanh xếp cạnh nhau

Đáp số: 36 cách

Câu 5 Đường thẳng  d có một vtcp a 3; 4;1  Mặt phẳng  P có một vtpt n 3; 4;1 .Suy ra

   

a / /n  d  P , do đó hình chiếu vuông góc của  d lên  P chính là giao điểm H của

hoctoancapba.com

Nhận xét: Với yêu cầu “Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d trên mặt

phẳng  P ”, chúng ta lựa chọn phương pháp thực hiện tùy thuộc vào vị trí tương đối của  d và

 P như sau:

a Nếu    d  P thì hình chiếu vuông góc của  d lên  P chính là  d

b Nếu    d  P thì hình chiếu vuông góc của  d lên  P chính là giao điểm của  d và

 P

c Nếu    d / / P thì có các cách giải như sau:

Cách 1: ta thực hiện các bước:

Bước 1: Lấy điểm A d , từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của

A lên  P

Bước 2: Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P là đường thẳng  d1 được cho bởi:      A

1

1

qua H

d :

d / / d





Cách 2: Thực hiện các bước:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng  Q chứa  d và vuông góc với  P

Bước 2: Khi đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P chính là giao điểm của  P và  Q

d Nếu  d cắt  P thì có các cách giải sau:

Cách 1: Thực hiện các bước:

Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I của  d và  P

Bước 2: Lấy điểm A d , từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của

A lên  P

Bước 3: Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P là đường thẳng  d1 được cho bởi:  1

A

A

qua

d : vtcp I

H H





Cách 2: Thực hiện như ở phần b)

Bài tập tương tự :

a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  d : x 2z 0

3x 2y z 3 0



mặt phẳng  P : x2y  z 5 0 Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường

hoctoancapba.com

Đáp số:

11 y

:



b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   x 1 y 1 z 2

d :

và mặt phẳng  P : x 3y 2z 5 0 Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P

Đáp số: :x 1 y 2 z 5

c Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  d : 2x y z 5 0

2x z 3 0

   



mặt phẳng  P : x   y z 7 0 Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  d lên mặt phẳng  P

Đáp số: : 6x y 5z 7 0

z y z 7 0



Câu 6

Vì SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD

3

ABCD

1

2

   (2)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên BC , suy ra:

IKBC

SBC ; ABCD SKI60

3a 3a

hoctoancapba.com

Trong tam giác SIK, ta có: 3a 5 0 3a 15

SI IK.tan SKI tan 60

Thay (2), (3) vào (1), ta được

3 S.ABCD

3a 15 V

5

Nhận xét: Đây là bài toán về hình học không gian có yêu cầu nhiều về kiến thức ở lớp 11, cụ

thể:

1

3

+ Góc giữa hai mặt phẳng cụ thể là SBC và ABCD Khi đó, chúng ta cần chỉ ra được một

điểm thuận lợi K trên giao tuyến BC sao cho:  

xKy 60



Điểm K chính là hình chiếu vuông góc của S (hoặc I ) trên BC bởi định lý ba đường vuông

góc Nhiệm vụ còn lại là chúng ta sử dụng các hệ thực trong tam giác để tính SI và SABCD

Bài tập tương tự:

a Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , ABBC2a, hai

mặt phẳng SAC và SBC cùng vuông góc với mặt đáy ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N Biết góc tại bởi

SBC và ABC bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a (ĐH – A – 2011)

S.BCNM

13

b Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm

cạnh AB ; hai mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông

Đáp số:

3 S.ABCD

a V

6

 (đvtt)

c Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, hai đường chéo AC và BD

vuông góc với nhau, AD2 2a, BC 2a Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD; góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng

hoctoancapba.com

60 Tính thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ trung điểm M của AB đến mặt phẳng SCD theo a

S.ABCD

3 15

5

20

Câu 7

 3 4 2.     1 m 0 m 10

Thay m 10 vào (1), ta được BC : 3x2y 10 0

2x 3y 12 0

A 3; 2 2x 3y 0

Gọi M là trung điểm cạnh BC, khi đó điểm Md2 BC Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm

2x 3y 0





3 8 2 7

AB : 9x 11y 5  0;BC : 3x2y 10 0;AC : 3x7y 5 0

Bài tập tương tự:

a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó chân đường cao kẻ từ C tới

AB là điểm H 1; 1, đường phân giác trong góc A có phương trình x  y 2 0

và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x3y 1 0  Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác

Đáp số:C 10 3;

3 4

hoctoancapba.com

b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó đỉnh A 1;0  và hai đường

thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình x2y 1 0  và

3x  y 1 0 Xác định tọa độ đỉnh B và C

Đáp số:B 5; 2 ,C 1;4

c Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó đỉnh A 2;3  và hai đường

thẳng d : x1   y 5 0 và d : x2 2y 7 0 ; biết tam giác ABC có trọng tậm

 

G 2;0 Xác định tọa độ điểm B trên d1 và C trên d2

Đáp số:B 1; 4 ,C 5;1  

Câu 8

Định hướng : Nhận thấy phương trình là mối liên hệ giữa 11 3x và x , đồng thời

11 3x 3x 11, vì vậy ta sử dụng phép đặt a 11 3x

b x







về hệ phương trình hữu tỷ

Lời giải:Điều kiện: x 11

3

a 11 3x ;a 0

11

b x; b

3



 

2

  

a 1 ab  3b 2 11 a b a 3 2a  a 21 0

2

a 3

b 2a 7 0 vn





Phương trình 2

b  2a 7   0 vô nghiệm vì a0

3

3



hoctoancapba.com

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình x315x278x 141 5 2x3 9 (Olympic 30 – 4 lần thứ XVII,

năm 2011)

Hướng dẫn: Đặt

3

a x 5

 





3 2x 3 7x  3 3 2x 7x

Hướng dẫn: Đặt

3 3





c Giải phương trình 4x25x 1 2 x  2  x 1 9x 3

Hướng dẫn: Đặt

2

2

a 4x 5x 1;a 0

3

b 2 x x 1; b

2









S 0; ;

3 65

Câu 9

Định hướng: Trước tiên, chúng ta nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh để khẳng định nó

được xây dựng dựa trên ba hạng tử là: xy, xz và yz

Như vậy, để giảm độ phức tạp của bất đẳng thức cần chứng minh thì chúng ta nghĩ ngay tới việc

đặt ẩn phụ:

a x y

b x z

c y z

 



  



  



và khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Tiếp đến, chúng ta cần chuyển biểu thức điều kiện theo a, b,c bằng việc giải hệ đặt ẩn phụ ở

Khi đó điều kiện x x  y z3xzy trở thành c2  a2 b2 ab (2)

Sử dụng triệt để (2) để chứng minh (1)

hoctoancapba.com

Lời giải : Đặt

1

2

a x y

1

2

c y z

1

2



 

Khi đó, điều kiện x x  y z3yz trở thành c2  a2 b2 ab(1)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

a b 3abc5c  ab a b ab 3abc5c

 

1

a b c 3abc 5c a b c 3ab 5c

ab c2c (4)

Cộng theo vế (4) và (5) ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b c

  



 

Bài tập tương tự:

a Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x  y z 1 Chứng minh rằng

1

x x yz  y y zx z z xy 

Hướng dẫn: sử dụng giả thiết và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz để biến đổi, sau đó đặt

b Cho x y 1, x3, xy6, xy6z Chứng minh rằng x  y z 4

Hướng dẫn: Đặt a   x 1;b   y 1;c   z 1

hoctoancapba.com