Tuyệt đỉnh luyện đề thi THPT môn Toán

Tuyệt đỉnh luyện đề thi THPT môn Toán==================================Tuyệt đỉnh luyện đề thi THPT môn Toán==================================Tuyệt đỉnh luyện đề thi THPT môn Toán==================================Tuyệt đỉnh luyện đề thi THPT môn Toán==================================

Trang 1

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 1

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 4 2x2 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y m cắt đồ thị  C tại 4 điểm phân biệt , , E F M N, Tính tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C tại các điểm , , E F M N ,

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 cos 1 cos 2 1 cot

b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau Tính số phần tử của S từ tập hợp S chọn

ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Tam giác SAC cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng SBC và đáy bằng  60 Biết 0

2 ;

SA a BC a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và

BC

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và B Đường

chéo AC nằm trên đường thẳng : 4 d x 7y 28 0  Đỉnh B thuộc đường thẳng : x y  5 0, đỉnh A

có tọa độ nguyên Tìm tọa độ , ,A B C biết D 2; 5 và BC 2AD

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a

y     x , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và  0;1

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CD  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1,y CT   1

+ Giới hạn: lim ; lim

Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y m cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi 1  m 0

Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình x4  2x2  m x4  2x2  m 0 (*)

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình t2   2t m 0có 2 nghiệm dương phân biệt

Trang 3

Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng  d với một hàm số  C cho

trước Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp:

+ d cắt  C tại n n  1 điểm phân biệt

+ d và  C không có điểm chung

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+Kiến thức cần nhớ: Điểm Q x y Q, Q là tọa độ tiếp điểm của hàm số y f x  Phương trình tiếp tuyến tại Q là y f x' Q x x Qy Q , hệ số góc tiếp tuyến là k f x' Q

+ Tìm m để đường thẳng y m cắt  C tại 4 điểm , ,E F M N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng ,

ym song song với trục Ox nên sẽ cắt  C tại 4 điểm phân biệt khi 1  m 0

+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến tx2ta có  d cắt  C tại 4 điểm phân biệt nên phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt Tham số các nghiệm theo t tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành

độ giao điểm ( đối xứng qua trục Oy ) , từ đó tính được tổng hệ số góc

Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm

a Cho hàm số y x 3 m 1x2  3x m  1 Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị tại

điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Đáp số: m  1,m 3

b Cho hàm số y x 3 3x 2 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt

đồ thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn x Mx N  6(Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An)

Đáp số: M  2; 4 ,M  2;0

Câu 2 Điều kiện x k k   ;

Phương trình tương đương   2

Trang 4

Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một

hiệu và phân tích nhân tử Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình

để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai

-Công thức cosin của một tổng , hiệu :  

-Công thức hạ bậc: 1 cos2  c 2cos2c, 1 cos2  c 2sin 2c

-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:

sin sin cos

Trang 5

b Tính tích phân

1

1 ln

-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau

- Từ số phức z : Thay z a bi  vào phương trình z  3 2i  3 Tìm được mối quan hệ giữa phần thực

Câu 4.b Gọi A là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2

số lẻ Ta tìm số phần tử của A như sau: Gọi y mnpqr A  , ta có:

+ Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0:

Trang 6

Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện

trong giả thiết

-Công thức tính xác suất của một biến cố A : P A   A



 ( trong đó  A là số trường hợp thuận lợi

cho A ,  là tổng số kết quả có thể xảy ra )

- Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra

- Gọi A là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ

- Tính số phần tử của A bằng cách gọi y mnpqr A  Ta chia các trường hợp sau:

+Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0

+Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0

- Áp dụng công thức tính xác suất ta được P A  

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

a Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có

mặt chữ số 2 Đáp số: 204

b Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất

có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5

6.(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D

- Tìm tọa độ giao điểm A d   : Tham số hóa A d , thay vào mặt phẳng   ta tính được A

- Viết phương trình đường thẳng  : Tham số hóa ua b c; ; là một vector chỉ phương của  Do

  u n.   0

     (Với n  là một vector pháp tuyến của   ) Ta tìn được mối quan hệ giữa , ,a b c Chọn vector chỉ phương viết được 

Trang 7

- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng       '

Trang 8

-Dựng góc giữa hai mặt phẳng SBC , ABC : Goi H là trung điểm của AC Do mặt phẳng 

SAC  ABC nên SHABC.SBC ABC, SIH 60 0

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp 1 . . 1 1 .

V B hV  AB BC SH

- Tính khoảng cách d SA BC : Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng  , 

này tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại

Kẻ Ax/ /BC , kẻ IMSKAK SIK IMSAK Suy ra d SA BC , IM SH

Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách

a Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bân và đáy bằng 60 Gọi 0

M là trung điểm của SC Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử

dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh , ,A B C

Trang 9

-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm

Áp dụng cho bài toán:

- Tham số hóa tọa độ điểm B Do  

a Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , trực tâm H 3; 2 Gọi D E, lần lượt là

chân đường cao kẻ từ B C, Biết điểm A thuộc đường thẳng  d x:  3y  3 0 , điểm

 2; 3

F  thuộc đường thẳng DE và HD 2 Tìm tọa độ đỉnh A

Đáp số: A 3;0

b Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  1; 3 ,  B 5;1 Điểm M thuộc đường thẳng

BC sao cho MC 2BB Tìm tọa độ đỉnh C biết MA AC 5 và đường thẳng BC có hệ số góc

Xét f t  3t t; ta có f t'  3 ln 3 1 0;t    t , suy ra f t đồng biến trên  

Nhận thấy f u    f v  u v là nghiệm duy nhất cua phương trình

Trang 10

Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định

-Hàm số f x đồng biến(nghịch biến) trên   D f u    f v  u v

-Hàm số f x đồng biến(nghịch biến) trên   D f x  0có nhiều nhất 1 nghiệm

-Hàm số f x đồng biến trên D ,   g x nghịch biến trên   D f x   g x có nghiệm duy nhất

Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ giữa ,x y

- Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng 3x2 2y 3 ,x2  2y 3với 3 2y,2 ycó cùng dạng 3 ,m m 

- Phương trình thứ hai của hệ biến đổi thành: 3u u 3vv trong đó

2 2 3 2

 thu được phương trình đẳng cấp bậc 2

Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của hệ

Lưu ý: Từ phương trình 2x2   x 1 3x  1 7 x 1 x2  x 1, ta có thể chia 2 vế cho x2  x 1giải phương trình ẩn 2 1

1

x z

x x





  Bài toán kết thúc

Trang 11

- Ta thấy ,a b đối xứng qua biểu thức

MinP

b Cho , , :a b c ab bc ca   1 Chứng minh rằng

3 2

Trang 12

1

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3  3x2 m 2x 3m (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi m 2

b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số  C đã cho vuông góc với

1 3

b) Cho tập hợp A tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0 Hỏi có thể lấy được

bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1: 4 3 1

d là giao tuyến của hai mặt phẳng   :x y z    2 0 và   :x 3y 12 0  Mặt phẳng  Oyz cắt

hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm ,A B Tính diện tích tam giác MAB , biết M1; 2; 3

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BD a Trên

cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 2AM Biết rằng hai mặt phẳng SAC và  SDM cùng vuông 

góc với mặt phẳng ABCD và mặt bên  SAB tạo với mặt đáy một góc  60 0 Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA

tròn  2 2

S x y  x y  ngoại tiếp tam giác ABC có A 4;7 Tìm tọa độ các đỉnh B và C

biết H 4; 5 là trực tâm của tam giác

Trang 13

2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a Với m 2 , hàm số trở thành yx3  3x2  6

y   x , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0;y CD 6 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2;y CT  2

+ Giới hạn: lim ; lim

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I 1; 4 làm tâm đối xứng

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm  1; 2 , 3;6  

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1

Suy ra kmin  m 5 tại điểm M1; 4 – 4m 

Tiếp tuyến   d (m 5).1     1 m 4

Kết luận: m 4

Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước Ta tìm

hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc

Trang 14

3

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A x y A, A thuộc đồ thị hàm số y f x  là k f x' A Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là k k vuông góc với nhau khi và chỉ khi 1, 2 k k1. 2   1

-Biểu thức P a 2 b b Dấu bằng xảy ra  a 0

Áp dụng cho bài toán :

- Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 2  2

Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ sin xvới cos x

, tanxvới cot x, phân tích nhân tử.

-Sử dụng các công thức biến đổ i sin2x  1 cos2x,1 cos2  x 2cos2x thu được phương trình:

sin cos

x x

x tanx

x    có phương trình theo ẩn tanx

- Giải phương trình theo tan x thu được x , kiểm tra điều kiện ta có đáp án

Bài tập tương tự:

a Giải phương trình : 4cos 2x1 sin  x 2 3 cos cos 2x x  1 2sinx

Trang 15

dụng kĩ thuật phân tích đa thức cơ sở

- Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có: x3 1  x x3 27 27   1 xchuyển

Trang 16

i i i

Vậy phương trình có nghiệm: z   1 i

Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương

lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây:

Trường hợp 1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán

vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà

a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 3.5! 60

3!  số tự nhiên

Trường hợp 2 Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà

b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả3. 5! 90

2!2!  số tự nhiên Vậy có 150 số

Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau Để giải

dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án

-Tìm số cách chọn 3 chữ số phân biệt , ,a b c từ 9 chữ số khác 0 Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó

- Trường hợp 1: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số , ,a b c có 3 cách , mỗi hoán vị của 5 chữ

Trang 17

Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều Oxyz ta lập tọa độ 2 vector hai

cạnh kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích Với bài toán ta tìm các đỉnh M A B, , với giải phương trình cơ bản

- Diện tích tam giác MNP trong hệ trục tọa độ Oxyz cho bởi công thức : 1 .

a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 5;0 , B 3; 3;6 và đường thẳng

1 1 :

Trang 18

Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán

-Hai mặt phẳng      ; cùng vuông góc với mặt phẳng            d  

- Gọi HAC DMSHABCD

-Dựng góc tạo bởi SAB , ABCD :Kẻ  HKABSKH 60 0

- Tính thể tích khối chóp:Tính SH ,áp dụng công thức tính thể tích khối chóp . 1 .

2 12

Trang 19

8

b Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt

phẳng ABC SC a,  Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng SCB và  ABC trong trường hợp thể 

tích khối chóp

3

Gọi M là giao điểm của BC với A H’ M 2;1

Suy ra đường thẳng qua M vuông góc với AH0; 2   là đường thẳng BC có

phương trình – 2 0y 

Giao điểm của đường thẳng y 2 với đường tròn  S là hai điểm , B C có tọa độ là

-Đường tròn  S ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I là giao của 3 đường trung trực nên IA IB IC  -Phương trình tổng quát đường thẳng  d qua M a b nhận  ; n       ;  2 2 0 làm một vector pháp tuyến:      x a y b 0

-Tính chất song song với các trục Ox Oy,

- Gọi A là điểm đối xứng của A qua tâm ' IA' Ta có A C' / /BH A B, ' / /CHA BHC' là hình bình hành Gọi M BC A H' M Vector AH vuông góc với vector chỉ phương của BC hay BC nhận

AH làm một vector pháp tuyến, suy ra phương trình BC

-Tọa độ các điểm ,B C là nghiệm của hệ phương trình ,,  

Trang 20

9

a Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A   1;0 ,B 0; 2

và giao điểm của hai đường chéo là I thuộc đường thẳng y x Tìm tọa độ đỉnh ,C D

b Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác từ A , trung tuyến từ B ,

đường cao kẻ từ C phương trình lần lượt là x y   3 0;x y   1 0; 2x y   1 0 Tìm tọa độ

   , suy ra f t là đồng biến trên ℝ  

Nhận thấy f x    f  2y   x 2y là nghiệm duy nhất của phương trình

Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa , x y giải hệ phương trình

-Hàm số f x đồng biến(nghịch biến ) trên   D f u    f v  u v

- Sử dụng nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ Nhận thấy cùng dạng t t2 4 Xét hàm số

f t  t t   t R Ta có hàm f t đồng biến trên R nên   f x    f  2y   x 2y

- Thay vào phương trình thứ hai suy ra phương trình 3x2  5x  2 23 x3 1 Tới đây thêm bớt ra hàm đặc trưng với hàm g s  s3 2s đồng biến trên R

Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ

Trang 21

y y x

Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phép so sánh của tập số thực R

- Biến đổi bất đẳng thức đã cho, phân tích ta được  1  1  1 0

Trang 22

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 5

3

x

y   x  (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b) Giả sử M C có hoành độ a Tìm a để tiếp tuyến của  C tại M cắt  C tại 2 điểm phân biệt khác

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S A B C. có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A ai mặt phẳng S A B và

S A C c ng vuông góc với mặt phẳng đáy A B C, cho B C  a 2 , mặt bên S B C tạo với đáy A B C một góc 0

- Tập xác đinh: D R

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4

Trang 24

- Phương trình tiếp tuyến của hàm số y f x tại điểm A x A;y Ay là y f' x A xx A y A

Suy ra tiếp tuyến tại M

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

- Do M  C nên phương trình hoành độ giao điểm sẽ có chắc chắn x a

- Để tiếp tuyến cắt hàm số tại 2 điểm phân biệt khác nữa 2 2

y  x  x  Viết phương trình tiếp của hàm số biết tiếp tuyến tiếp xúc với hàm số tại

2 điểm phân biệt Đáp số: y   2

2 4

Nhận xét: Giải phương trình lượng giác bằng cách thay các công thức tổng của một cosin , công thức góc

nhân đôi Lưu ý kiểm tra điều kiện để loại nghiệm (nếu cần)

Trang 25

- Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình

0

s in c o s c o s s in 2

-Xét biểu thức dưới dấu tích phân, sử dụng các công thức

e

d x I

Trang 26

- Đặt z x y i x y , R Thay vào đẳng thức 1 2

1

i z

4 6

5

0 , 3 0 6 6

- Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là a b c d e Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận c ng của nó là 0 hoặc 5

 với  A là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A,

là tất cả các trường hợp xảy ra

Suy ra mặt phẳng  P có một vecto pháp tuyến là n P A B C; ; 

Trên đường thẳng d1 lấy 2 điểm M1; 0 ; 1 ,   N 1; 1; 0

s in 3 0 2

Trang 27

-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến

  với u d là vector chỉ phương

của  d , n P là vector pháp tuyến của  P

- Giả sử mặt phẳng  P cần tìm có phương trình :A x B y C z D  0 Suy ra n P A B; ; C là một vector pháp tuyến của  P Thay tọa độ M N, vào phương trình mặt phẳng tìm được mối quan hệ giữa A B C, ,

- Do đường thẳng    d2 , P hợp với nhau một góc bằng 2

Trang 28

Nhận xét: Để tính khoảng cách t một điểm tới một mặt phẳng ta tìm hình chiếu điểm đó trên mặt phẳng

Tuy nhiên trong bài toán hình không gian tổng hợp ta có thể tính khoảng cách thông qua thể tích

- Do hai mặt phẳng S A C , S B C c ng vuông góc với A B C  S A C  S A BS A A B C

-Dựng góc: Gọi M là trung điểm B C  S B C A B C, S M A

3 0 Gọi G là trọng tâm tam giác S A B Tính khoảng cách t G đến mặt phẳng S C D Đáp số:  , 

S A vuông góc với đáy, S A  a 2 Gọi H là hình chiếu của A trên S B Chứng minh rằng tam giác

S C D vuông và tính khoảng cách t H tới mặt phẳng S C D Đáp số:  , 

Trang 29

Vậy B C, có tọa độ là   1; 1 , 4 ; 1 

Nhận xét: Ta tìm tọa độ các đỉnh tam giác A B C bằng cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp  C

tam giác, lấy giao của họ những đường thẳng chứa các điểm A B C, , với  C

-Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực 3 cạnh, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao của 3 đường phân giác 3 góc trong

-Công thức tính độ dài hai điểm      2  2

; , ;

- T điểm A K, ta lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C là  C

-Viết phương trình đường phân giác góc A là A I Suy ra D là nghiệm của hệ

IC D  IB C  B C D    IC A IA C C ID  IC D cân tại D  D C D I Lại có

D C D B nên B C, là nghiệm của hệ

a Trong hệ trục tọa độ O x y, cho tam giác A B C vuông tại A Đường thẳng B C: 3xy 3  0 Biết hai điểm A B, nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2 Tính tọa độ các đỉnh tam giác A B C

 Vớiy x 1, thế vào phương trình thứ nhất, ta được   3 0 (vô lý)

 Với y  2x, thế vào phương trình thứ nhất, ta được 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

Nhận xét: Ta tìm mối quan hệ giữa các ẩn thay vào một trong hai phương trình của hệ để giải nghiệm Coi

một trong hai x y, là ẩn , số còn lại làm tham số

Trang 30

Phương pháp phân tích đa thức tìm mối quan hệ giữa x y,

- ệ đã cho được viết lại

Khi đó xảy ra các trường hợp:

 Hai trong ba số x y z y; zx z; x y là số dương, số còn lại âm khi đó bất đẳng thức (*) mang dấu

âm, nên bất đẳng thức luôn đúng

 Một trong ba số là số dương, hai số còn lại âm; giả sử x y z 0 ;y z x 0 Khi đó

xy x y z  x y  z   z (vô lý)

 Ba số x y z y;  zx z;  x y là số âm, khi đó bất đẳng thức (*) âm, không thỏa mãn nên loại

Vậy ba số x y z y; zx z; x y đều là số dương

Ta chứng minh x y1 z x y z y z x (1)

(1)  x y 1  2zz  x y x  y z x y z  x y z 0 đúng, đẳng thức xảy ra khi x y Tương tự ta cũng có, y z1 x yz x zx y (2);

và x z1 y xy z zx y (3)

Nhân t ng vế của (1), (2), (3) ta được  2 2 2      

x x yy zz  xy z yz x zx y , đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi x y z (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa trên cơ sở xét các trường hợp xảy ra với các biến số Dự

đoán điểm rơi xảy ra với các biến đối xứng x y z

Thứ tự thực hiện chứng minh bất đẳng thức

-Ta xét các trường hợp nhỏ theo các biến: xy z y;  zx z; x y

+Nếu vế phải có một sô âm thì bất đẳng thức được chứng minh

+Nếu hai trong 3 số dương  z 1 ( Vô lí)

Trang 31

-Chứng minh x y1 z x y z y z x bằng phép biến đổi tương đương oàn toàn tương tự nhân các

Trang 32

Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số

2 Dựa vào đồ thị  C của hàm số, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Trang 33

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b  1 2 ;b c  8 Chứng minh rằng:

x  và hàm số đạt cực đại tại x  0 Hàm số nghịch biến

x   3

4

 0 3

4  

Trang 34

2

8 c o s x  9 c o s xm  0 với x0;   1 Đặt t  cosx, phương trình trở thành: 4 2

Số nghiệm của phương trình  2 là số giao điểm của  C' với đường thẳng y   1 m

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra:

Với m  0: phương trình vô nghiệm

Với m  0: phương trình có 1 nghiệm

Với 0  m  1: phương trình có 2 nghiệm

m  : phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Khi biện luận các phương trình mà cần thông qua phép đổi biến, ta phải xem xét đến sự

tương ứng về nghiệm giữa biến đã cho và biến số mới để tránh kết luận sai số nghiệm

Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:

Trang 35

1 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn 0 ;2

Nhận xét: Dạng toán này sẽ giúp chúng ta giải quyết những phương trình lượng giác rất phức tạp

Tuy nhiên, cần phải để ý xét các trường hợp cẩn thận trước khi nhân hay chia một biểu thức nào đó,

để tránh dẫn tới kết luận thừa nghiệm

Trang 36

4

1

2 0

Nhận xét: Bài toán trên là dạng thường xuất hiện trong đề thi đại học, khi chúng ta thường tách

thành nhiều biểu thức tích phân nhỏ và giải quyết từng biểu thức một

Trang 37

1 Chứng minh rằng với mọi 0  k  2 0 1 4 ta có: 1 1 0 0 7 1 0 0 8

Vì M  P nên ta có: 3  2t     2 t 1 t 2  0  t   1, suy ra tọa độ M là M 1;  3; 0

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d   2 ;1;  1 

a b

1 Trong không gian với hệ tọa độ O x y z, cho mặt phẳng  P :x y   z 1 0 và hai đường thẳng

cắt d2 đồng thời  và d1 chéo nhau và khoảng cách giữa chúng là 6

2

Trang 38

Đáp số:

0 :

với việc tính toán ở phần sau

1 Cho hình lăng trụ A B C A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh 2 a, điểm A1 cách đều ba điểm A B C, , Cạnh bên A A1 tạo với mặt phẳng đáy một góc  Tìm số đo góc  , biết thể tích khối lăng trụ

Trang 39

Tọa độ của đỉnh B là nghiệm của hệ: 2 5 0 4

Hay tọa độ của đỉnh B là B 4; 3

Lấy A' đối xứng với A qua đường thẳng B N , suy ra A'  B C

Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với B N là: d :x  2y  5  0

Gọi I là giao điểm của d và B N

Hay tọa độ của I là I 1; 3 Từ đó suy ra tọa độ A' là A'  3; 4

Đường thẳng B C đi qua B 4; 3 và A'  3; 4 có phương trình: 7x y  2 5  0

Tọa độ của đỉnh C là nghiệm của hệ:

Nhận xét: Đối với tất cả các bài toán có xuất hiện đường phân giác, thì ta luôn sử dụng phép lấy đối

xứng một điểm qua đường phân giác đó

Các bước tìm ảnh B của phép đối xứng điểm A qua đường một đường thẳng d

 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A và vuông góc với d

 Tìm tọa độ giao điểm I của d và d '

 Tìm tọa độ B sao cho I là trung điểm A B

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độO x y , cho tam giác A B C với A1; 3  , phương trình đường phân giác trong B D là x y  2  0 và phương trình đường trung tuyến C E là x 8y  7  0 Tìm tọa độ các đỉnh B C,

Đáp số: B  3; 5 ,  C 7 ; 0 

2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y, cho tam giác A B C có phân giác trong A D và đường cao

C H có phương trình lần lượt là d1:x y  2  0 và d2:x 2y  5  0 Điểm M 3; 0 thuộc đoạn A C

thỏa mãn A B  2A M Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A B C

Đáp số: A 1;1 ,B3;  3 , C 1; 2

Câu 8:

Trang 40

trình là đa thức bậc hai h x y ;  Ta nghĩ đến việc sẽ sử dụng tính chất nghiệm của tam thức bậc hai

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

có thể tìm ra cực trị của các ẩn Từ đó đánh giá và giải quyết những bài toán mà các phương pháp thông thương cũng bó tay Loại hệ sử dụng phương pháp này thường cho dưới hai dạng chính

 Thứ nhất: cho một phương trình là tam thức, một phương trình là tổng hoặc tích của hai hàm

 

f x và g y

 Thứ hai: cho cả 2 phương trình đều là phương trình bậc hai của 1 ẩn nào đó

Dưới đây là một số bài toán tương tự

Định dạng
Số trang	102
Dung lượng	6,28 MB