Tìm hiểu về phổ năng lượng và ứng dụng

Tìm hiểu về phổ năng lượng và ứng dụng

BÀI TẬP LỚN

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG

Đề tài: Tìm hiểu về phổ năng lượng và ứng dụng

Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Đức Hiệp - 20091077 Nguyễn Nam Thắng - 20092528 Nguyễn Hồng Lam - 20091535 Đào Hà Thanh - 20092378

Vũ Anh Vũ - 20093331 Nguyễn Ngọc Tân - 20092348

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Lời nói đầu

Trong khảo sát trạng thái của tín hiệu và quá trình ngẫu nhiên, bên cạnh việc khảo sát trạng thái của chúng qua miền thời gian, người ta còn khảo sát chúng qua miền tần số Đôi khi, việc quan sát một quá trình ngẫu nhiên trên miền tần số lại dễ dàng hơn là quan sát trên miền thời gian, hoặc quan sát trên miền tần số cho thấy rõ tính chất của quá trình ngẫu nhiên mà ta đang xét hơn là quan sát quá trình đó trên miền thời gian Ngoài ra, trong truyền thông, việc nghiên cứu tín hiệu trên miền tần số rất quan trọng vì từ

đó ta có thể rút ra được năng lượng mà tín hiệu đó mang, phương thức điều chế, tỉ lệ nhiễu v.v

Để khảo sát một quá trình ngẫu nhiên trên miền tần số, một thứ công cụ

có thể nói là gắn chặt với công việc này là biến đổi Fourier Biến đổi Fourier giúp ta nhanh chóng chuyển sự quan sát từ miền thời gian sang miền tần số

và ngược lại Các giá trị được thể hiện trên miền tần số được gọi là phổ Đối với tín hiệu tất định, biến đổi Fourier có thể chuyển hàm tín hiệu sang dạng

đa thức trên miền tần số Đối với quá trình ngẫu nhiên, khái niệm phổ có

2 hướng nghiên cứu: một hướng có liên quan đến sự biến đổi của các giá trị trung bình, các giá trị này có thể đoán được Một hướng khác nghiên cứu sự biểu diễn của quá trình ngẫu nhiên sang miền tần số mà ở đó ta có thể coi nó

có dạng hàm đa thức với các đặc trưng ngẫu nhiên Hướng nghiên cứu thứ nhất xoay quanh phổ công suất, là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên trong 1 khoảng thời gian τ nào đó Còn hướng nghiên cứu thứ hai xoay quanh biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên trên miền tần số, và phổ năng lượng

Trong quá trình thực hiện bài tập lớn đề tài này, chúng em đã nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của giảng viên hướng dẫn - PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan, Bộ môn Truyền thông và mạng máy tính, Viện CNTT&TT Trường ĐHBK Hà Nội Những ý kiến này đã giúp chúng em hoàn thiện hơn nữa các kiến thức có liên quan đến đề tài mà chúng em đang nghiên cứu

Những người thực hiện

Bản báo cáo bài tập lớn này được thực hiện với sự nỗ lực của tất cả các thành viên trong nhóm Trong đó:

• Bạn Nguyễn Nam Thắng soạn nội dung cho phần 1.1 và 1.2

• Bạn Nguyễn Hồng Lam soạn nội dung cho phần 1.3

• Bạn Đào Hà Thanh soạn nội dung cho phần 2.1

• Bạn Nguyễn Ngọc Tân soạn nội dung cho phần 2.2

• Bạn Vũ Anh Vũ soạn nội dung cho phần 2.3

• Bạn Nguyễn Đức Hiệp tổng hợp nội dung, chỉnh sửa lỗi sai, đánh máy và mô phỏng một số tình huống trên Matlab

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn hẹp, chắc chắn bản báo cáo này không tránh khỏi nhiều sai sót Rất mong cô giáo có thể đóng góp ý kiến, xây dựng để giúp cho bản báo cáo này hoàn thiện hơn, truyền tải hết nội dung của đề tài

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên, phổ năng lượng và

1.1 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên, phổ năng lượng 1 1.2 Biến đổi Fourier 2 chiều của hàm tự tương quan, hàm tự tương quan trên miền tần số 2 1.3 Tự hiệp phương sai của phổ năng lượng 3

2.1 Biến đổi Fourier của quá trình ổn định 5 2.2 Quá trình thời gian rời rạc 7 2.3 Hàm cửa sổ 8

3 Một số kịch bản mô phỏng trên Matlab 10 3.1 Các hàm sử dụng 10 3.2 Một số ví dụ 11

Chương 1

Biểu diễn phổ của quá trình

ngẫu nhiên, phổ năng lượng và các đặc trưng liên quan

phổ năng lượng

Ta có: Phổ của một quá trình ngẫu nhiên đơn giản là phép biến đổi Fourier của chính quá trình đó từ miền thời gian sang miền tần số:

X(ω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt (1.1) Phép biến đổi ngược của X(ω) như sau:

x(t) = 1

2π

Z +∞

−∞

X(ω)ejωtdω (1.2)

Phổ năng lượng là bình phương module của phép biến đổi Fourier X(ω) của quá trình ngẫu nhiên x(t) Phổ năng lượng cho biết giá trị năng lượng tức thời của quá trình ngẫu nhiên tại một tần số ω nào đó

Φ(ω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt

2

= X(ω)X ∗ (ω) (1.3)

1.2 Biến đổi Fourier 2 chiều của hàm tự tương

quan, hàm tự tương quan trên miền tần số

Cho quá trình ngẫu nhiên x(t), biến đổi Fourier của nó là X(ω) Ta có thể tính kỳ vọng của X(ω) bằng cách biến đổi Fourier kỳ vọng của x(t)

E{X(ω)} =

Z +∞

−∞

E{x(t)}e−jωtdt (1.4)

Bây giờ ta sẽ xét đến hàm tự tương quan của X(ω) Trước hết, ta có R(t1, t2)

là hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên x(t) Biến đổi Fourier 2 chiều hàm này, ta được

Γ(u, v) =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

R(t1, t2)e−j(ut1 +vt 2 )

dt1dt2 (1.5)

Từ công thức (1.4), ta có hàm tự tương quan của X(ω) như sau:

E{X(u)X ∗ (v)} =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

E{x(t1)x ∗ (t2)}e−j(ut1 −vt2)dt1dt2 Như vậy

E{X(u)X ∗ (v)} = Γ(u, −v) (1.6)

Định lý: Cho quá trình x(t) là quá trình nhiễu trắng không ổn định với công suất trung bình q(t), biến đổi Fourier X(ω) của x(t) là quá trình ổn định với hàm tự tương quan là biến đổi Fourier Q(ω) của q(t)

Chứng minh: Với x(t) là quá trình nhiễu trắng, ta có R(t1, t2) = q(t1)δ(t1−

t2)

Biến đổi Fourier hai chiều R(t1, t2), ta được

Γ(u, v) =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

q(t1)δ(t1− t2)e−j(ut1 +vt 2 )dt1dt2 Nhưng ta có

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

q(t1)δ(t1− t2)e−j(ut1 +vt 2 )dt1dt2 =

Z +∞

−∞

q(t2)e−j(u+v)t2dt2

Γ(u, v) =

Z +∞

−∞

q(t2)e−j(u+v)t2dt2 = Q(u + v)

Từ (1.4) ta có

E{X(ω + α)X ∗ (α)} = Γ(ω + α, −α) = Q(ω + α − α) = Q(ω) (1.7) Công thức (1.7) cho thấy điều phải chứng minh

Xét quá trình ngẫu nhiên thực x(t), biến đổi Fourier của nó là X(ω) Từ công thức (1.4), ta có

E{X(u)X(v)} = Γ(u, v) (1.8)

Ta có thể biểu diễn X(ω) và Γ(u, v) thành 2 thành phần thực và ảo như sau:

X(ω) = A(ω) + jB(ω); Γ(u, v) = Γr(u, v) + jΓi(u, v) (1.9) Kết hợp với công thức (1.8) ta được

2E{A(u)A(v)} = Γr(u, v) + Γr(u, −v) 2E{A(u)B(v)} = Γi(u, v) − Γi(u, −v) 2E{B(u)A(v)} = Γi(u, v) + Γi(u, −v) 2E{B(u)B(v)} = Γr(u, v) − Γr(u, −v)

(1.10)

Định lý: Cho x(t) là quá trình thực thông thường (normal) với kỳ vọng 0

Ta có hàm tự phương sai của phổ năng lượng

Cov{|X(u)|2, |X(v)|2} = Γ2(u, −v) + Γ2(u, v) (1.11) Chứng minh: Trước hết ta có công thức tính hàm tự phương sai của quá trình ngẫu nhiên là

Cov{|X(u)|2, |X(v)|2} = E{|X(u)|2|X(v)|2} − E{|X(u)|2}E{|X(v)|2}

= E{[A2(u) + B2(u)][A2(v) + B2(v)]}

−E{[A2(u) + B2(u)]+}E{[A2(v) + B2(v)]}

= 2E2{A(u)A(v)} + 2E2{B(u)B(v)}

+2E2{A(u)B(v)} + 2E2{B(u)A(v)} (1.12)

Thay nhóm công thức (1.10) vào phần trên, ta thu được (1.9).

Tự hiệp phương sai của phổ năng lượng giúp cho ta biết quan hệ giữa giá trị năng lượng ở các tần số khác nhau của quá trình ngẫu nhiên Để biết giá trị

tự hiệp phương sai này, bình thường chúng ta phải tìm moment bậc 4 của X(ω), đây là một việc làm khó khăn Tuy nhiên với quá trình ngẫu nhiên x(t) thường và là quá trình thực với kỳ vọng 0, thì việc này chỉ cần xác định qua hàm tự tương quan 2 chiều Γ(u, v)

Chương 2

Một số ứng dụng

Ở phần 1.1, chúng ta đã chứng minh được một quá trình không ổn định, nhiễu trắng theo thời gian qua biến đổi Fourier là một quá trình ổn định Bây giờ ta sẽ xét biến đổi Fourier của quá trình ổn định theo thời gian Xét quá trình ngẫu nhiên ổn định x(t) Như chúng ta đã biết, với x(t) là quá trình ổn định thì R(t1, t2) = R(t1− t2) Đặt t1− t2 = τ , ta có phép biến đổi Fourier hai chiều của hàm tự tương quan R(t1, t2) là

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

R(t1−t2)e−j(ut1 +vt 2 )dt1dt2 =

Z +∞

−∞

e−j(u+v)t2dt2

Z +∞

−∞

R(τ )e−juτdτ hay

Γ(u, v) = S(u)

Z +∞

−∞

e−j(u+v)t2dt2

Lại có R e−jωtdt = 2πδ(ω), kết hợp với biến đổi ở trên ta có

Γ(u, v) = 2πS(u)δ(u − v) (2.1)

Như vậy, từ các biến đổi ở trên ta thấy: Biến đổi Fourier của một quá trình

ổn định theo miền thời gian là quá trình nhiễu trắng và không ổn định, công suất trung bình của quá trình là 2πS(u) Có thể chứng minh được điều ngược lại: một quá trình khi biểu diễn trên miền tần số là quá trình nhiễu trắng không ổn định thì khi biến đổi Fourier ngược về miền thời gian, nó trở thành một quá trình ngẫu nhiên ổn định (theo nghĩa rộng)

Định lý: Cho quá trình nhiễu trắng X(ω) với kỳ vọng không và hàm tự hiệp phương sai Q(u)δ(u − v) Chứng minh rằng biến đổi Fourier ngược x(t)

của quá trình X(ω) là quá trình ổn định theo nghĩa rộng (WSS) với phổ công suất là Q(ω)2π

Chứng minh

Từ công thức (1.4) ta có phép biến đổi Fourier ngược

E{x(t)} = 1

2π

Z +∞

−∞

E{X(ω)}e−jωtdt = 0 (2.2)

(vì E{X(ω)} = 0 theo đề bài)

Hàm tự hiệp phương sai của X(ω) có dạng

C(u, v) = E{X(u)X ∗ (v)} − E{X(u)}E{X ∗ (v)} = E{X(u)X ∗ (v)} Dẫn tới E{X(u)X ∗ (v)} = Q(u)δ(u − v)

Ta có hàm tự tương quan của x(t) là

R(t1, t2) = E{x(t2)x ∗ (t1)}

= 1 2π

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

E{X(v)X ∗ (u)}ej(vt1 −ut 2 )dudv

= 1 2π

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

Q(v)δ(v − u)ej(vt1 −ut2)dudv

= 1 2π

Z +∞

−∞

Q(v)ejv(t1 −t 2 )

= q(t1− t2)

2π = R(t1− t2) (2.3)

Từ (2.2) và (2.3) ta có được x(t) là quá trình ổn định Tiếp tục xét hàm tự tương quan R(τ ) = q(τ )2π , ta có phổ công suất của x(t) được xác định là

S(ω) =

Z +∞

−∞

R(τ )e−jωτdτ

=

Z +∞

−∞

q(τ ) 2π e

−jωτ

dτ

= Q(ω)

Vậy ta có điều phải chứng minh Từ đó ta kết luận: một quá trình được gọi

là ổn định theo nghĩa rộng khi và chỉ khi biến đổi Fourier của nó là quá trình nhiễu trắng không ổn định với kỳ vọng 0

2.2 Quá trình thời gian rời rạc

Từ đầu đến giờ, chúng ta đã xét đến quá trình ngẫu nhiên liên tục và biến đổi Fourier của quá trình ngẫu nhiên liên tục sang miền tần số Xét quá trình ngẫu nhiên rời rạc trên miền thời gian x(n) Biến đổi Fourier của nó sang miền tần số là

X(ω) =

+∞

X

n=−∞

Biến đổi Fourier ngược của nó

x(n) = 1

2π

Z +π

−π

X(ω)ejωndω (2.6)

Điều này cho chúng ta thấy, đối với quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, khi biến đổi sang miền tần số thì nó là quá trình có chu kỳ 2π Ý nghĩa của việc này rất lớn, thay vì chúng ta phải khảo sát quá trình ngẫu nhiên trên toàn miền thời gian, thì chúng ta chỉ cần quan sát chính quá trình đó trong

1 khoảng chu kỳ 2π trên miền tần số là có thể biết được toàn bộ tính chất của quá trình

Ở phần 2.1, chúng ta đã biết rằng một quá trình ổn định x(t) khi biến đổi sang miền tần số X(ω) là quá trình nhiễu trắng không ổn định Bây giờ ta

sẽ kiểm chứng điều đó với quá trình rời rạc trên miền thời gian x(n)

Định lý: Cho quá trình ổn định với thời gian rời rạc x(n) Biến đổi Fourier của x(n) là X(ω) là quá trình nhiễu trắng không ổn định với hàm tự hiệp phương sai

E{X(u)X ∗ (v)} = 2πS(u)δ(u − v); −π < u, v < π (2.7) Chứng minh

Ta có

E{X(u)X ∗ (v)} =

+∞

X

n=−∞

+∞

X

m=−∞

E{X(n + m)X ∗ (m)}e−j[u(n+m)−nv]

=

+∞

X

m=−∞

R(m)e−jum

+∞

X

n=−∞

e−j(u−v)n (2.8)

Lại có

+∞

X

n=−∞

e−jωn= 2πδ(ω); |ω| < π (2.9)

Thay (2.9) vào (2.8) ta được (2.7) Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Về lý thuyết, phép biến đổi Fourier của một tín hiệu không tuần hoàn rời rạc luôn luôn tạo ra phổ liên tục Tuy nhiên, do tính phức tạp của việc định trị một hàm liên tục trên một máy tính, phổ của phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT-Discrete Fourier Transform) được giả thiết là lấy từ chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu, và giả thiết rằng tín hiệu không tuần hoàn gốc thực chất là một chu kỳ của một tín hiệu tuần hoàn, có chu kỳ vô cùng lớn

Định nghĩa của DFT giả thiết dữ liệu lấy mẫu là một chuỗi tuần hoàn Nếu

dữ liệu lấy mẫu không thực sự tuần hoàn, thông tin phổ tần số sẽ bị trải ra toàn bộ phạm vi tần số Không may là điều này thường xảy ra với các tín hiệu liên tục theo thời gian được lấy mẫu không đủ chu kỳ Tuy nhiên, chúng

ta có các phương pháp khắc phục vấn đề này, trong số đó có kỹ thuật cửa sổ (windowing)

Kỹ thuật cửa sổ là một phương pháp điều chỉnh dữ liệu có chiều dài hữu hạn

để dữ liệu trở nên thích hợp hơn nhiều cho xử lý số tín hiệu Một cửa sổ mô

tả một số hệ số nhân được áp đặt vào các phần tử rời rạc của một chuỗi dữ liệu

Trong xử lí tín hiệu, hàm cửa sổ là một hàm toán học, trong đó có một khoảng giá trị khác 0, phần còn lại bằng 0 Ví dụ, một hàm có giá trị là hằng

số trong một khoảng, các giá trị còn lại bằng 0, được gọi là cửa sổ chữ nhật

- dạng cửa sổ đơn giản nhất

Khi một tín hiệu hoặc một hàm khác được nhân với hàm cửa sổ, tại những khoảng bằng 0 của hàm cửa sổ sổ ta cũng sẽ thu được kết quả bằng 0, ta sẽ thu được phần còn lại không bị che bởi hàm cửa sổ, việc này giống như ta đang “nhìn qua cửa sổ”

Với những tính chất như vậy, hàm cửa sỗ được ứng dụng trong phân tích phổ Xét với trường hợp phổ năng lượng, nếu ta có một quá trình ổn định rộng (WSS) x(t) và hàm cửa sổ w(t) với biến đổi Fourier là W (ω) Mục đích của chúng ta là tìm phổ của tín hiệu sau khi được “nhìn” qua hàm cửa sổ

Ta đặt quá trình y(t) = w(t)x(t) Quá trình này sẽ không ổn định với hàm

tự tương quan:

Ryy(t1, t2) = w(t1)w ∗ (t2)R(t1− t2)

Ta có phép biến đổi Fourier của Ryy(t1, t2) là

Γyy(u, v) =

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

w(t1)w(t2)R(t1− t2)e−j(ut1 +vt 2 )dt1dt2 (2.10)

Như đã chứng minh ở phần trước, nếu x(t) là một quá trình ổn định thì X(ω)

là quá trình nhiễu trắng không ổn định với hàm tự tương quan Γ(u, v) = 2πS(u)δ(u − v) Từ đó ta thu được

Γyy(u, v) = 1

2π

Z +∞

−∞

W (u − β)W ∗ (−v − β)S(β)dβ

Cùng với công thức hàm tự tương quan của phép biến đổi Fourier quá trình ngẫu nhiên, ta có

E{Y (u)Y ∗ (v)} = Γyy(u, −v) = 1

2π

Z +∞

−∞

W (u − β)W ∗ (v − β)S(β)dβ Điều này dẫn đến

E{|Y (ω)|2} = 1

2π

Z +∞

−∞

|W (ω − β)|2S(β)dβ (2.11) Công thức (2.11) cho biết năng lượng trung bình của quá trình x(t) được nhân với hàm cửa sổ

Chương 3

Một số kịch bản mô phỏng trên Matlab

• fft: Biến đổi Fourier rời rạc Ta dùng hàm này để tìm ra phổ của quá trình ngẫu nhiên

• fft2: Biến đổi Fourier 2 chiều rời rạc

• fftshift: Dịch phổ về tần số trung tâm

• ifft: Biến đổi Fourier ngược rời rạc

• ifft2: Biến đổi Fourier 2 chiều ngược rời rạc

• abs: Trả lại giá trị tuyệt đối nếu là số thực, trả lại module của số phức nếu là số phức Trong phân tích phổ, sử dụng hàm này sẽ cho ta biết biên độ phổ của tín hiệu Nếu lấy bình phương của hàm, ta nhận được phổ năng lượng của tín hiệu

• wgn(m,n,p): Phát sinh ma trận nhiễu trắng kích thước mxn, với p là công suất trung bình

• awgn: Bổ sung thêm tín hiệu nhiễu trắng vào tín hiệu sẵn có

• corr2: Hàm tự tương quan 2 chiều

• plot: Vẽ đồ thị

3.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tín hiệu hình sin với tần số 10 Hz, trong 3.4 giây (từ 0 đến 1)

lấy 10000 mẫu tín hiệu này Sau đó biểu diễn phổ năng lượng

Dưới đây là đoạn chương trình Matlab thể hiện ví dụ này:

N = 10000; %% số lượng mẫu lấy

T = 3.4; %% định thời gian

t = [0:N-1]/N; %% lượng tử hóa thời gian

t = t*T; %% nhân thời gian được lượng tử hóa với lượng thời gian lấy mẫu

f = sin(2*pi*10*t); %% biểu diễn hàm sin tần số 10 Hz

plot(f); % vẽ đồ thị của f trên miền thời gian

p = abs(fft(f)); %% biến đổi Fourier của tín hiệu và lấy mô đun phổ

p = p(1:N/2).^2 %% lấy 1 nửa số mẫu tín hiệu, bình phương mô đun lên

%% đây chính là phổ năng lượng freq = [0:N/2-1]/T; %% xác định lại miền tần số

semilogy(freq,p); %% vẽ đồ thị với tín hiệu và khoảng tần số tương ứng

axis([0 20 0 1]); %% phóng to trục tần số từ 0 đến 20 Hz, biên độ từ 0 đến 1

Hình minh họa của tín hiệu trên miền thời gian:

• wgn(m,n,p): Phát sinh ma trận... class="page_container" data-page="8">

Thay nhóm cơng thức (1.10) vào phần trên, ta thu (1.9).

Tự hiệp phương sai phổ lượng giúp cho ta biết quan hệ giá trị lượng tần số khác trình ngẫu nhiên Để biết giá