Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trongvật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trườnglực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ PHƯƠNG LIÊN

TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG

CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ PHƯƠNG LIÊN

TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG

CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS NguyễnHuy Thảo người đã giúp đỡ định hướng nghiên cứu, cung cấp cho tôi nhữngtài liệu quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện tốt nhất trong quátrình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp

Tiếp theo, tôi xin cảm ơn tất cả các thầy, các cô thuộc Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy, các cô trong khoa Vật Lý nói riêng

đã giảng dạy , dìu dắt và cung cấp cho tôi những nền tảng khoa học từ kiếnthức cơ bản đến kiến thức chuyên sâu, cũng như kĩ năng thực hành, thựcnghiệm trong suốt bốn năm học qua

Cuối cùng, tôi xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình

và bạn bè đã luôn bên cạnh, kịp thời giúp đỡ và động viên tôi vượt qua nhữngkhó khăn, hoàn thành khoá luận một cách tốt đẹp

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khoá luận của tôichắc hẳn sẽ còn nhiều hạn chế, vì vậy tôi rất mong nhận được những đónggóp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Ngô Thị Phương Liên

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củathầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bảnkhóa luận tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã ghi trongphần tài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn làtrung thực và chưa từng được công bố bởi bất kì nơi nào khác, mọi nguồn tàiliệu tham khảo đều được trích dẫn một cách rõ ràng

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Ngô Thị Phương Liên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

Chương 1 Phổ năng lượng của một số phân tử 3

1.1 Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân tử CO-phân tử HCl 3

1.2 Rotator 16

1.2.1 Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử 16

1.2.2 Dạng đại số của momen xung lượng 21

1.3 Phổ năng lượng của Rotator của phân tử hai nguyên tử 30

Chương 2 Một số bài toán về phổ năng lượng 40

KẾT LUẬN CHUNG 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BẢNG

Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa 7

Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa 8

Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO 9

Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ 10

Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3] 11

Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi điều hòa 12

Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO 13

Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7] 13

Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8] 14

Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử 16

Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn không khả quy của SU(2) 26

Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2) 27

Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn không khả quy của SU(2) 28

Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy SO(3, l) hoặc E(3) 31

Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3] 33

Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại 36

Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator không bền vững[3] 37

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác Để giải thích một số hiện tượng

và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học

cổ điển không thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 nhưMax Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giảthuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn củanăng lượng của một số loại hệ vi mô Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sởcủa thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổđiển sang vật lý học lượng tử

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trongvật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trườnglực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị giánđoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổliên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng cácgiá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượngphân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng củahạt vi mô không thể có Vậy nên phổ năng lượng là một vấn đề tôi rất muốntìm hiểu và mở rộng kiến thức cho bản thân.Với lý do đó tôi chọn đề tài “TÌMHIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ ” làm đề tài khóaluận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phổ năng lượng của một số phân tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về phổ năng lượng của phân tử

Tổng hợp một số lý thuyết cơ bản và bài tập về phổ năng lượng củaphân tử.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử

Phạm vi nghiên cứu: Phổ năng lượng của phân tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc và tra cứu tài liệu

Phương pháp phân tích nội dung chương trình

Phương pháp thực hành giải bài tập

6 Cấu trúc của khóa luận

Đề tài “ Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử ” có kết cấugồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận

Phần nội dung được chia làm 2 chương:

Chương 1: Phổ năng lượng của một số phân tử

Chương 2: Một số bài toán về phổ năng lượng

NỘI DUNG Chương 1 Phổ năng lượng của một số phân tử 1.1 Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân

tử CO-phân tử HCl.

Trong cơ học lượng tử, một cơ hệ lượng tử ở một trạng thái cố định bất

kỳ sẽ vẫn ở trạng thái đó nếu nó không bị tác động bởi ngoại lực Trên thực tếthì mọi hệ cơ học lượng tử đều chịu tác động bởi ngoại lực yếu, chúng có thểlàm cho trạng thái của hệ thay đổi (ví dụ như trường điện từ ngoài hay trườngđiện từ trong sinh ra từ chuyển động của các trạng thái bên trong hệ ) Nếu hệ

là một tập hợp các trạng thái gián đoạn (ví dụ: các năng lượng riêng của hệdao động), thì với nhiễu loạn bên ngoài nhỏ sẽ không làm thay đổi các trạngthái này hay nói một cách chính xác là nó làm thay đổi mức năng lượng mộtlượng không đáng kể nhưng hệ vẫn có thể nhảy từ trạng thái này sang trạngthái khác Lý thuyết về sự chuyển các mức năng lượng có thể được phát triểnnhư là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng tử Ở đây chúng ta sẽ chỉ đưa

ra một số luận cứ bán cổ điển và nêu ra kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng để thuđược tần số chuyển tiếp các mức năng lượng và các quy tắc lọc lựa.[1]

Vậy nên dưới ảnh hưởng của toàn bộ các nhiễu loạn bên ngoài, hệ

E m

2

(1.1)

năng lượng cao hơn là E m Mặt khác, nếu một hệ lượng tử đang trong trạng

không thể xảy ra dưới ảnh hưởng của bức xạ điện từ nếu phần tử ma trận củatoán tử điện dịch

Dˆ

của hệ biến mất giữa hai trạng thái Ngoài ra, còn liên

quan đến xác suất chuyển các mức năng lượng, vì vậy cường độ của bức xạđiện từ phát ra (hoặc hấp thụ), tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần

tử ma trận này

Xét phân tử lưỡng nguyên tử, nếu phân tử gồm các nguyên tử khácnhau (ví dụ: CO) thì sẽ xuất hiện moment lưỡng cực điện, vì tâm của các điệntích dương và âm là không trùng khớp Do đó moment lưỡng cực là vectorhướng từ tâm của các điện tích âm đến tâm của các điện tích dương và đượctính bởi công thức

D  qd,

trong đó q là điện tích và d là khoảng cách giữa tâm của các điện tích.

Và nếu khoảng cách giữa các điểm tương tác hoặc hạt nhân thay đổi, momentlưỡng cực sẽ thay đổi Do đó với một phép tính gần đúng ta có thể giả địnhrằng moment lưỡng cực là một hàm tuyến tính:

Vì vậy, moment lưỡng cực sẽ thay đổi với tần số dao động cơ học.Điện tích dao động sẽ phát xạ trong trường điện từ và trên cơ sở điện động lựchọc cổ điển, ánh sáng phát ra phải có tần số bằng tần số của dao động, hay

c2 nm

D

2

,

lưỡng cực sẽ là không, vì tâm của các điện tích dương và âm là trùng khớp vàdao động của phân tử về vị trí cân bằng của nó không làm tâm của các điệntích dao động Do đó mà điện tích dao động sẽ không phát xạ hoặc hấp thụbức xạ điện từ

Theo lý thuyết lượng tử, sự phát xạ của bức xạ diễn ra là kết quả của sựchuyển dao động từ trạng thái năng lượng cao hơn sang trạng thái năng lượngthấp hơn, và sự hấp thụ sẽ diễn ra theo quá trình ngược lại Khi đó tần số củaánh sáng phát ra được cho bởi công thức

v nm  E n  E m

h

(1.1)

Cường độ phát xạ tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian (trong

một khoảng thời gian) của bình phương của moment lưỡng cực D mà trong lý

thuyết lượng tử cường độ phát xạ tỷ lệ với bình phương modun của các phần

tử ma trận của toán tử điện dịch

 n m

là phép chiếu trên không gian năng lượng riêng

Xét trong trường hợp đặc biệt của dao động một chiều khi thay thế các

vector lưỡng cực và vector vị trí bằng một lượng D và Q và (1.7) qua

2

m D n .

Đối với nhiều hệ cơ lượng tử, đa số các phần tử ma trận của toán tử D

biến mất, nên có một giới hạn về khả năng chuyển các mức năng lượng Cácquy tắc biểu thị giới hạn này được gọi là các quy tắc lọc lựa Để xác định sựchuyển mức năng lượng cụ thể nào có thể xảy ra trong dao động điều hòa,chúng ta tính toán các phần tử ma trận

m D n  q m Q n (1.8)Các phần tử ma trận của toán tử vị trí giữa các năng lượng riêng đượctính xác định bởi công thức:

m Q n 

Từ đó thấy rằng xác suất chuyển các mức năng lượng và cường độ phát

xạ và hấp thụ của ánh sáng sẽ là 0 trừ khi số lượng tử n và m được phân biệt

bởi tính thống nhất Như vậy, quy tắc lọc lựa cho dao động điều hòa sẽ là

 

n

Sự chuyển mức năng lượng trong dao động điều hòa chỉ có thể xảy ra

của dao động và độc lập với mức năng lượng n Áp dụng tương tự cho sự hấp

thụ Như vậy, đối với trường hợp cụ thể của hệ lượng tử trong dao động điềuhòa, tần số ánh sáng phát ra và hấp thụ tương tự như dao động cổ điển

Từ sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa (Hình 1.2), chúng

ta có thể chỉ ra các bước chuyển mức năng lượng bằng các đường thẳng đứng(xem Hình 1.1) Thấy rằng các mức năng lượng là cách đều nhau, do dó tất cảnhững chuyển mức năng lượng này đều làm tăng tần số như nhau

Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa

2

 6

 

Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa

tử moment lưỡng cực (1.5) là toán tử không do đó không có sự chuyển giữacác mức năng lượng khác nhau xảy ra

So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm

Để tìm tần số mong muốn, chúng ta bắt đầu từ phổ năng lượng của cácphân tử CO (Hình 1.3) Sự chênh lệch giữa các mức năng lượng khác nhautrong dao động của phân tử CO là

(1.12c)

Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO

sóng của bức xạ phát ra bởi sự chuyển giữa các mức dao động của CO là:

v  2140cm1 (1.12d)

Do đó, chúng ta mong đợi trong dao động của các phân tử CO phát rahoặc hấp thụ bức xạ điện từ chỉ với tần số cho bởi (1.12) hay nói cách khác làchúng ta mong đợi một đường phổ ở gần vùng hồng ngoại từ phổ năng lượngcủa phân tử CO

Phổ điện từ

Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ.

Nếu so sánh phổ năng lượng trên với phổ hấp thụ hoặc phát xạ, ta thấythực sự chính xác Nếu phổ hấp thụ là sự hấp thụ ở một lớp khí mỏng, thì chỉtìm thấy một đường hấp thụ đơn cực (hay dải) trong vùng gần vùng hồngngoại với bước sóng khoảng  

Đối với các phân tử hai nguyên tử

khác bao gồm các nguyên tử không giống nhau, điều tương tự cũng xảy ra Ví

ba, bốn và năm lần Hình 1.5 cho thấy đầy đủ toàn bộ phổ hồng ngoại củaphân tử HC1 Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiệncường độ của các dải Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưngkhông giảm nhanh như trong giản đồ.

Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3].

Trong dao động điều hòa, lực khôi phục tăng vô hạn với khoảng cách

từ vị trí cân bằng ngày càng tăng Tuy nhiên, trong một phân tử, khi cácnguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng không Do đó, hệlượng tử dao động điều hòa chỉ là mô hình đơn giản hóa của phân tử dao động

và nếu muốn mô tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hòacũng phải được tính đến Các mức năng lượng của dao động phi điều hòakhông cách đều nhau như ở dao động điều hòa mà khoảng cách của chúng

giảm dần khi n tăng.

Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hòa đượcchỉ ra trong Hình 1.6 Quy tắc lọc lựa (1.10),

1,chỉ áp dụng cho dao động phi điều hòa và cho sự chuyển mức năng lượngmạnh nhất

Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động

phi điều hòa.

Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới

Chuyển tiếp ứng với n  m 

2,3, ,

cũng có thể xuất hiện khi cường

độ giảm nhanh Tất cả các kết quả này có thể được tính toán bằng cách sửdụng lý thuyết nhiễu loạn Từ tất cả những điều trên chúng ta có thể chứngminh rằng các mô hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hòa chỉ mô tảcấu trúc chính của một hệ vi mô trong tự nhiên mà không thể mô tả hết tất cảcác chi tiết Đây không phải là sự thiếu hụt của mô hình dao động điều hòa

mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết Các mô hình chỉ là sự lý tưởnghoá và không thể dự đoán chính xác các kết quả thực nghiệm Giải thích vềmột hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường đòi hỏi một

mô hình mới và có thể là một lý thuyết hoàn toàn mới

Ta có thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn cáctần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gìthu được ở một phổ kế có độ phân giải đủ cao Các đường phổ rộng của phân

2140cm1 được phân chia thành một số

đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nói cách khác là xung

2140cm1

không có đường riêng mà chỉ có dải

Từ hình ảnh có thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cáchđều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải Đi ra khỏi chỗ đứt quãng cóhai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sóng dài hơn) và nhánh R(ứng với các bước sóng nhỏ hơn) Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho

vạch n 1ở Hình 1.5 của phân tử HC1.

Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO.

Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7].

Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạđặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của

phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn nhưthể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy có hai mức năng lượng liền kề củaphổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1.

Mô tả của sự phân chia như vậy nằm ngoài khả năng của một mô hình

dao động Nó chỉ có thể có một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n

không phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạngthái có năng lượng khác nhau Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc

trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mô tả bởi một phép chiếu

phải có số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượngbằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một khônggian hoặc một phép chiếu trên một trục của không gian con) Do đó mô hìnhdao động chỉ mô tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử

Để mô tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mô hình dao động với một môhình mô tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hainguyên tử chưa đề cập đến Mô hình mới này là mô hình Rotator

Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng

thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8].

Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên

đứt) là khuyết Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ

khoảng năm lần so với hình vẽ

nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này không chỉ dao động theo trục x mà

còn có thể quay xung quanh tâm của nó trong không gian ba chiều Nếu nónằm trong trạng thái dao động và có năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nó sẽ làmột Rotator bền vững hay nói cách khác nó có thể được coi là hai khối giống

chiều dài x Do đó, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình Rotator bền

vững

1.2.1 Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử

Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng

thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc

Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử.

ijk x j p k  ijk x j p k .

ijk  1

j i

Do đó, thay vì xét sự quay của Rotator bền vững, có thể cân nhắc đến

x   x1, x2 ,

xung lượng được cho bởi:

và mọi hoán vị chẵn của nó,

thì toán tử

moment xung lượng Lˆ được xác định bởi công thức

(Qˆ Pˆ

Qˆ Pˆ

imk lkn m n ikn lmk m k

i imk knl ink klm m n .imk

imk knl  ink klm  inml imnl   ilk kmn.

ˆ

ilk kmn Q m Pˆn

Lˆ ilk k

i l

i

i l

i

i

và thay vào (1.25) thu được:

Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được

với Rotator toán tử ˆ tuân theo hệ thức giao hoán (1.26) là những đại lượngvật lý cơ bản Trên thực tế, các toán tử ˆ được xác định bởi (1.22) hoặc số

lượng có liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong không gian bachiều

Một hệ vật lý trong không gian vật lý ba chiều có sáu bậc tự do: ba bậc



liên hợp với tọa độ

moment xung lượng

x i

l i .

Tổng quát, một hạt trong không gian vật lý ba chiều có các biến số là

xung lượng

Sˆ ijk k

ˆ

ikl J l

P S

i

i

i

biểu diễn bởi toán tử ˆ Do đó dễ dàng xác định được hệ thức giao hoán củatoán tử Spin ˆ là:

diễn bởi một toán tử (đơn vị) U (α, β, γ ) trong không gian của trạng thái vật

lý của hạt này Trên thực tế phép quay là phép biến đổi đối xứng và nhómquay là một nhóm đối xứng của hệ vật lý (Định lý Wigner) Bắt đầu từ dạngđại số của đại lượng được xác định bởi hệ thức giao hoán (1.27)

Tiếp theo khảo sát tính chất đại số của các toán tử được tạo thành từ toán tử

Jˆ khi áp dụng các hệ thức giao hoán

[Jˆ ,

Jˆ ] 

i (i,k,l 1,2,3), (1.28)

i k trong đó toán tử Jˆ

j tương đương với toán tử ˆ trong (1.22) hoặc toán tử Sˆ

Từ đó có được tính chất của tất cả các toán tử Jˆ

là nhiều hơn tập hợp của toán tử ˆ cho bởi (1.22) Dạng đại số

được tạo thành từ toán tử

kí hiệu là: E(SU(2)).

Jˆ j

được gọi là đại số bao của nhóm SU(2) và được

3 3

1.2.2 Dạng đại số của momen xung lượng

Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra tất cả các nghiệm có thể của hệ thức giao

Jˆ

Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ xây

dựng tất cả các không gian tuyến tính trong đó

Jˆ

thỏa mãn (1.28) hoạt động

như các toán tử Hermit tuyến tính Giả sử tồn tại ít nhất một vector riêng của

(1.34b)

là toán tử bất biến của đại số bao E(SU(2)).

Ta sẽ thấy thang biểu diễn của E(SU(2)) hay nói cách khác là tất cả các

nghiệm của hệ thức giao hoán (1.28) bởi các toán tử tuyến tính trong không

gian tuyến tính thu được bằng cách áp dụng toàn bộ đại số bao E(SU(2)) cho một vector riêng của toán tử Hˆ (Giả sử tồn tại một vector riêng).

Hˆ 2

f  cf

(1.36)

Aˆ

Chọn f là một vector riêng của toán tử Hˆ và gọi m là trị riêng Với

Nếu hai toán tử giao hoán thì có thể chọn một vector đồng thời làvector riêng của cả hai toán tử, vì

f  H f

ˆ

m   m

với các giá trị riêng ngày càng tăng Sau một số hữu hạn các bước phải đạt tới

, tác dụng liên tiếp toán tử hủy

l .

m  H f m H f m

Từ đó thu được