tích phân lượng giác

số lượng giác Tích phân dạng hàm 1 Để giúp học sinh có thêm những kiến thức mang tính hệ thống, tôi xin giới thiệu một số lớp tích phân dạng hàm số lượng giác thường gặp trong các kì t

số lượng giác Tích phân dạng hàm

1

Để giúp học sinh có thêm những kiến thức mang tính hệ thống, tôi xin

giới thiệu một số lớp tích phân dạng hàm số lượng giác thường gặp trong các kì thi

tốt nghiệp cũng như thi đại học Hi vọng qua bài viết này, các em có thể rút ra

nhiều điều bổ ích cho bản thân

I Dạng∫ f(sinx,cosx)dx

1 Nếu f(sinx, cosx) là hàm hữu tỉ thì đặt

t = tg

2

x

2 Một số hiện tượng cá biệt

- Nếu f(-sinx, cosx) = - f(sinx, cosx) thì

đặt x = cost

- Nếu f(sinx, - cosx) = - f(sinx, cosx) thì

đặt x = sint

- Nếu f(-sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì

đặt x = tgt

Qua các cách đổi biến như trên, ta có

thể tính các tích phân một cách đơn giản

và nhanh chóng Sau đây là một số ví dụ

cụ thể

1 Ví dụ 1 Tính I = ∫sindx x

Lời giải

Đặt t = tg

2

2

2 cos 2

dx dt

x

2

1

2 sin

t

t x

+

2

∫

4.Ví dụ 4

cos cos

sin 2

Chú ý: ở đây mọi nguyên hàm được hiểu

là trên mỗi khoảng của tập xác định

II Dạng ∫sinm xcosn xdx

- Nếu m hoặc n là số nguyên dương lẻ thì tương ứng ta đặt t = cosx hoặc t = sinx

- Nếu m và n đều là số nguyên dương chẵn thì chúng ta dễ dàng sử dụng công thức hạ bậc và góc nhân đôi để giải quyết bài toán

- Nếu (m+n) là số nguyên chẵn thì đặt

t = tgx hoặc t = cotgx

Tùy theo từng điều kiện của bài toán

mà ta có thể chọn lựa cách đặt cho phù hợp Sau đây là một số ví dụ:

2.Ví dụ 2 Tính I = ∫3 3 2

cos

sin

x

xdx

Lời giải Đặt t = cosx ⇒dt =ưsinxdx

Ta có

I = -∫13ư22

t

t

dt =

4 2

3 3

t tư dt

ư

7 1

3 3

3 cos 3 cos

7t ư t + =c 7 xư x+c

Các bạn hHy tự giải hai ví dụ sau:

x x

x x

5 3

sin sin

cos cos

sin xcos xdx

Lời giải Đặt t = sinx, ta có dt = cosxdx

cos sin =

= ∫t4( )ưt2 2dt =∫ (t4 ư t6 =t8)dt

2 1

= t5 ư t7 + t9 +c

9

1 7

2 5 1

sin 9

1 sin 7

2 sin 5

1

cos cos

sin

x x

xdx

Lời giải

cos cos

sin

x x

xdx

=

4

sin xcosư xdx

3

ư ), ta có

dt = - sinxdx Vậy

4

sin xcosư xdx

2 3

1ưt t dtư

∫

=

2 4

3 3

t tư dt

ư

∫

=

5 1

3 3

3

3

5t t c

ư

=

3

cos 3cos

ư

cos sin

Lời giải Ta sử dụng công thức hạ bậc:

1 sinxcosx= sin 2

2 x ,

2 1 cos 2 cos

2

x

x= +

và dế dàng giải quyết bài toán

4.Ví dụ 4 Tính I = ∫3 11

cos sin x x

dx

Lời giải Dễ thấy m =

3

11

3

1

m + n = - 4 nên ta đặt t = tgx, ta có

ngaydt = (1+tg2x)dx Vậy:

cos x x

tg

dx

cos x tg x dx

2

2 3 11

2 3

1

1

1

t

t t

ư

ư

+

+

=

11 5

3 3

t t dt

+

∫

=

3 3

8t 2t c

=

8tg x 2tg x c

Để kết thúc bài viết, tôi xin đưa ra một số bài tập để các em luyện tập thêm

về phương pháp trên

III Bài tập

Tính các tích phân sau:

x x

x x

cos sin

cos sin2

x x

xdx

sin sin

cos

2

3

1 sin cos

2 sin

2 3

x x

xdx

d) I4 =∫3 3 2

cos

sin

x xdx

e) I5 =∫

x

xdx

2 4

sin

cos

./