Tiết 3 định thức của ma trận vuông

Chương I: Ma trận và định thứcma trận vuông Mục tiêu Hiểu định nghĩa ma trận con của ma trận vuông, định nghĩa định thức của ma trận vuông và một số tính chất của định thức.. Khi đó, đị

Tiết 3 Định thức của ma trận vuông

1

2

Chương I: Ma trận và định thức

ma trận vuông

Mục tiêu

Hiểu định nghĩa ma trận con của ma trận vuông, định nghĩa định thức của ma trận vuông

và một số tính chất của định thức

Biết tìm ma trận con của ma trận vuông, biết tính định thức của ma trận vuông.

1

2

Chương I: Ma trận và định thức

ma trận vuông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

4

Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 1 (Đại số tuyến tính), NXB GD Việt Nam, 2009

1

2

3

5

Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp ,tập 1 (Đại số và hình học giải tích ), NXB GD , 2005 Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 NXB GD, 2004

Nguyễn Huy Hoàng Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 1 – NXB Thống Kê 2007

Đoàn Quỳnh ,Giáo trình ĐSTT &HHGT , NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ,2005

Đoàn Quỳnh ,Giáo trình toán đại cương , Phần 1(đstt &hhgt), NXB ĐHQG Hà Nội 1998

6

7 Hoàng Xuân Sính, Bài tập Đại số tuyến tính , NXB GD Việt Nam, 2000

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1 2

A



Kí hiệu Mij là ma trận con của A ứng với phần tử aij

là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j. ij

M

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



3

A



Ví dụ.

11

2

5 1

M   

23 ?

M

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



Định nghĩa

A

Giả sử A là ma trận vuông cấp n.

Khi đó, định thức cấp n của ma trận A kí hiệu là: det(A) hay

là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau:

A

A

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



a) Định thức cấp 1 A   a11 

11

det( ) A a

b) Định thức cấp 2 11 12

21 22

a a

a a

A    

 

11 12

21 22

a a det (A)

a a

hoặc

11 12

21 22

a a det (A)

a a

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



b) Định thức cấp 3

hoặc

11 12 13

21 22 23

31 32 33



11 12 13

21 22 23

31 32 33

det( )

a a a

A a a a

a a a

     1 a deti1 i1  Mi1   + 1 a det  i2 i2  Mi2     1 a deti3 i3  Mi3

  1 1  1    2 2  2    3 3  3 

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



11

a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

a

Quy tắc Sarus

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1 3 0

4 1 5



1 2 4

3 1

 1

Ví dụ:

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



  aij n x n

d) Định thức cấp n

  1 1  1   2 2  2     

det A   1 a deti i Mi + 1  i a deti Mi    1 i n a detin Min

Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1) Khi đó định thức

cấp n của ma trận được xác định như sau: A   aij n x n

  1 1  1    2 2  2     

hoặc

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức 1.2.1 Định nghĩa & ví dụ

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



  aij n x n

A







Ví dụ:

2 0 0 3

1 1 2 2

2 3 5 1

3 4 2 4

A



   





det(A)= ?

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì

cũng đúng cho cột và ngược lại.

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho

nhau thì định thức đổi dấu.

- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng

một số k thì định thức được nhân lên k lần.

Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số

chung thì có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.

- Giả sử A vuông , khi đó det A  det( A T )

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13

1 5 156

2 8 286

4 1 416

D 

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

- Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT)

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau

thì định thức đổi dấu.

- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng

một số k thì định thức được nhân lên k lần.

- Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng

của hai định thức

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

21 21 22 22 23 23

Ví dụ



11 12 13 ' ' '

21 22 23

31 32 33



Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

- Định thức của ma trận sẽ bằng không nếu thoả mãn một

trong các điều kiện sau:

+ Có một hàng (một cột) gồm toàn là số không.

+ Có hai hàng (hai cột) tỉ lệ với nhau

+ Có một hàng (một cột) là tổ hợp tuyến tính

của các hàng khác (cột khác).

Ví dụ

0 b

2 a

b a

b 2 a

b a

b 2 a

b a

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1









Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



1.2.2 Tính chất của định thức

- Định thức của ma trận sẽ không thay đổi nếu nhân k vào một

hàng (một cột) rồi đem cộng vào một hàng khác(cột khác)

- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo

- Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A) det(B)

Chương I: Ma trận và định thức  a ij m n 1.2 Định thức của ma trận vuông

A





ma trận vuông

1.2.1 Định nghĩa & ví dụ 1.2.2 Tính chất của định thức

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn n

a a a a

A



Củng cố và dặn dò

1

2

Cần hiểu về ma trận con của một ma trận vuông,định thức cấp n của ma trận vuông và các tính chất của định thức

Biết cách tìm ma trận con của ma trân vuông Biết tính định thức của một ma trận vuông

3 Làm bài tập từ 3.2 – 3.8 ( trang 80, 81 ,82- học liệu [6] tập 1) Chuẩn bị kiến thức về các phương pháp tính định thức.