Hãy tính An.. Hãy tính An... Hãy tính An.. Hãy tính An.
Trang 1Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông
Đỗ Viết Lân Ngày 26 tháng 3 năm 2014
Đỗ Viết Lân Lớp: Toán 3A - Trường Đại học Sư Phạm Huế
Trang 2Ví dụ 1: Cho ma trận sau:
A =
−6 1 2
10 1 −2
−20 0 5
Hãy tính An
Giải:
Để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A ta dùng lệnh
A.charpoly(’t’)
Đa thức đặc trưng của A là: PA(t) = t3− t
Do đó ta có A3 = A
Khi đó ta có công thức tính An như sau:
Nếu n = 2k thì:
An= A2 =
6 −5 −4
−10 11 8
20 −20 −15
Nếu n = 2k + 1 thì:
An= A =
−6 1 2
10 1 −2
−20 0 5
Ví dụ 2: Cho ma trận sau:
A =
−1 4 −2
−3 4 0
−3 1 3
Hãy tính An
Giải:
Ở đây ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: PA(t) = t3− 6t2 + 11t − 6
Tuy nhiên đa thức nãy không đặc biệt như trong ví dụ 1
Trong ví dụ này ta phải tính ma trận J là dạng chuẩn Jordan của A và tìm ma trận khả nghịch P sao cho
J = P AP−1
Để tìm J và P ta dùng lệnh sau:
J, P = A.eigenmatrix_left()
Như vậy ta có dạng chuẩn Jordan của A là:
J =
3 0 0
0 2 0
0 0 1
và ma trận khả nghịch P là:
Trang 3P =
0 1 −1
1 −3 2
1 −53 1
Lúc này ta có A = P−1J P Suy ra An= P−1JnP
Ta tính được An là:
An=
−2 2n+ 3 −3n+ 6 2n− 5 3n− 4 2n+ 3
−3 2n+ 3 −3 3n+ 9 2n− 5 3 3n− 6 2n+ 3
−3 2n+ 3 −4 3n+ 9 2n− 5 4 3n− 6 2n+ 3
Ví dụ 3: Cho ma trận sau:
A =
1 4 1 3
4 1 3 1
1 3 1 4
3 1 4 1
Hãy tính An
Giải:
Dạng chuẩn Jordan của A là:
J =
9 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −5
và ma trận khả nghịch P là:
P =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 −1 1
1 −1 1 −1
Ta có An= P−1JnP
Ta tính được An là:
1
49n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n−1
4 (−1)n− 1
4 (−5)n+14 149n−1
4 (−1)n+ 14 (−5)n−1
4
1
49n+14 (−1)n− 1
4 (−5)n−1
4 1
49n−1
4 (−1)n− 1
4 (−5)n+14 149n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n+14 (−1)n− 1
4 (−5)n−1
4
1
49n−1
4 (−1)n+ 14 (−5)n−1
4 1
49n−1
4 (−1)n+ 14 (−5)n−1
4
1
49n+14 (−1)n− 1
4 (−5)n−1
4
1
49n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14 149n−1
4 (−1)n− 1
4 (−5)n+14
1
49n+14 (−1)n− 1
4 (−5)n−1
4
1
49n−1
4 (−1)n+ 14 (−5)n−1
4
1
49n−1
4 (−1)n− 1
4 (−5)n+14 149n+ 14 (−1)n+14 (−5)n+14
Ví dụ 4: Cho ma trận sau:
A =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
Hãy tính An
Giải:
Trang 4Ta có A = I + J Trong đó
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
; J =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
Lúc này An = (I + J )n = In+ Cn1In−1J + Cn2In−2J2 = I + Cn1J + Cn2J2
Vì ta có
J3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Do do ta co
An =
1 n 12(n + 1)n