Luận văn thạc sĩ toán học Ma trận vuông thực

ành thùc, ph÷ìng ph¡p t½nh ành thùc v ùng döng cõa nâ.. Ph÷ìngph¡p ch²o hâa ma trªn vuæng, ùng döng cõa nâ çng thíi ÷a ra c¡c v½ dö minh håa.. èi t÷ñng, ph¤m vi nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶

Líi c£m ìnTr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin b y täláng c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ khoa To¡n, Tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m H  Nëi

2, c¡c th¦y cæ trong tê bë mæn H¼nh håc công nh÷ c¡c th¦y cæ tham giagi£ng d¤y ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng tri thùc quþ b¡u v  t¤o i·u ki»nthuªn lñi º em ho n th nh tèt nhi»m vö khâa håc v  khâa luªn

°c bi»t, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦ygi¡o Nguy¹n N«ng T¥m, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£ogióp ï º em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b£n khâaluªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n gâp þ quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 20 th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶n

L÷ìng Thà Hi·n Thu

Líi cam oan

Em xin cam oan r¬ng khâa luªn tèt nghi»p n y ÷ñc ho n th nh l k¸t qu£ nghi¶n cùu, t¼m tái cõa b£n th¥n v  tr½ch d¨n trung thüc tø c¡c

t i li»u tham kh£o, còng vîi sü h÷îng d¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nh cõa th¦yNguy¹n N«ng T¥m

Khâa luªn vîi · t i:"Ma trªn vuæng thüc" n y khæng tròng vîi k¸tqu£ cõa b§t k¼ cæng tr¼nh nghi¶n cùu n o kh¡c N¸u sai em xin ho n to nchàu tr¡ch nhi»m

H  Nëi,ng y 20 th¡ng 4 n«m 2017

Sinh vi¶n

L÷ìng Thà Hi·n Thu

Möc löc

1 Ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cì b£n tr¶n ma trªn 3

1.1 C¡c ành ngh¾a 3

1.2 C¡c ph²p to¡n 4

1.2.1 Ph²p cëng hai ma trªn 4

1.2.2 Ph²p nh¥n mët sè vîi mët ma trªn 5

1.2.3 Ph²p nh¥n hai ma trªn 5

1.2.4 Ph²p chuyºn và 6

1.3 Mët sè ma trªn vuæng °c bi»t 7

1.3.1 Ma trªn ch²o 7

1.3.2 Ma trªn tam gi¡c 7

1.3.3 Ma trªn ìn và 8

1.3.4 Ma trªn èi xùng 9

1.3.5 Ma trªn èi xùng l»ch 9

1.3.6 Ma trªn kh£ nghàch v  nghàch £o cõa nâ 9

1.3.7 Ma trªn trüc giao 10

2 ành thùc 11 2.1 Ph²p th¸ 11

2.2 ành thùc 12

2.2.1 ành ngh¾a 12

2.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa ành thùc 12

2.2.3 ành lþ Laplace 15

2.2.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t½nh ành thùc 18

2.2.5 Ùng döng cõa ành thùc 22

1

MÖC LÖC 2

3.1 Ch²o ho¡ ma trªn cõa tü çng c§u 34

3.2 Ch²o hâa trüc giao 35

3.3 Ph÷ìng ph¡p ch²o hâa ma trªn 35

3.3.1 B i to¡n 1 36

3.3.2 B i to¡n 2 38

3.4 ÷a d¤ng to n ph÷ìng v· d¤ng ch½nh t­c 40

3.4.1 D¤ng ch½nh t­c cõa d¤ng to n ph÷ìng 40

3.4.2 ÷a d¤ng to n ph÷ìng v· d¤ng ch½nh t­c tr¶n khæng gian vectì Ìclid 41

3.4.3 B i tªp vªn döng 43

2 Möc ½ch, nhi»m vö nghi¶n cùu

÷a ra ki¸n thùc li¶n quan ¸n ma trªn vuæng, ành thùc v  ch²o hâa

ma trªn vuæng

Nghi¶n cùu v· ành ngh¾a,c¡c ph²p to¡n, c¡c d¤ng cõa ma trªn vuæng

ành thùc, ph÷ìng ph¡p t½nh ành thùc v  ùng döng cõa nâ Ph÷ìngph¡p ch²o hâa ma trªn vuæng, ùng döng cõa nâ çng thíi ÷a ra c¡c v½

dö minh håa

3 èi t÷ñng, ph¤m vi nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu: Ma trªn vuæng thüc

Ph¤m vi nghi¶n cùu: ành ngh¾a ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cìb£n tr¶n ma trªn, c¡c ma trªn vuæng °c bi»t, ành thùc, ch²o hâa matrªn vuæng v  ùng döng

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

åc s¡ch v  nghi¶n cùu c¡c t i li»u tham kh£o

Têng hñp ki¸n thùc vªn döng cho möc ½ch nghi¶n cùu

5 C§u tróc khâa luªn

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, khâa luªn gçm 3

1

MÖC LÖC 2

ch֓ng:

Ch÷ìng 1: Ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cì b£n tr¶n ma trªn.Chh÷ìng 2: ành thùc

Ch÷ìng 3: Ch²o hâa ma trªn vuæng v  ùng döng

Ch֓ng 1

Ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cì b£n tr¶n ma trªn

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ành nhgi¢ ma trªn vuæng, c¡c ph²p to¡n tr¶n

ma trªn v  mët sè ma trªn vuæng °c bi»t º x¥y düng h» thèng ki¸nthùc n y em tham kh£o chõ y¸u trong cuèn s¡ch Gi¡o tr¼nh ¤i sè tuy¸nt½nh v  h¼nh håc gi£i t½ch cõa t¡c gi£ o n Quýnh (1996), NXB ¤i håcQuèc gia H  Nëi

Tªp hñp t§t c£ c¡c ma trªn vuæng c§p n vîi c¡c ph¦n tû thuëc tr÷íng R

ành ngh¾a 1.2.2 Cho A = (aij)m×n l  ma trªn thuëc M at(m × n,K)

v  λ ∈ K Ta gåi t½ch cõa ma trªn A vîi væ h÷îng λ l  mët ma trªn

ành ngh¾a 1.3.3 T÷ìng tü, n¸u måi ph¦n tû cõa ma trªn A ð b¶n tr¶n

÷íng ch²o ch½nh b¬ng 0 th¼ A ÷ñc gåi l  ma trªn tam gi¡c d÷îi

ành ngh¾a 1.3.4 Ma trªn ìn và In câ sè chi·u n l  mët ma trªn c§p

n × n trong â måi ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u b¬ng 1 v  t§t c£nhúng ph¦n tû kh¡c ·u b¬ng 0

Ch÷ìng 1 Ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cì b£n tr¶n ma trªn 9

1.3.4 Ma trªn èi xùng

ành ngh¾a 1.3.5 N¸u ma trªn vuæng A b¬ng ma trªn chuyºn và cõa

nâ, tùc l  A = AT th¼ ma trªn A ÷ñc gåi l  ma trªn èi xùng

Nhªn x²t 1.3.1 Måi ma trªn ch²o ·u èi xùng

ành ngh¾a 1.3.6 N¸u ma trªn vuæng A b¬ng ph¦n trø ma trªn chuyºn

và cõa nâ, tùc l  A = −AT th¼ ma trªn A ÷ñc gåi l  ma trªn èi xùngl»ch

Ta th§y A = −AT n¶n A l  ma trªn èi xùng l»ch

1.3.6 Ma trªn kh£ nghàch v  nghàch £o cõa nâ

ành ngh¾a 1.3.7 Ma trªn vuæng A ÷ñc gåi l  kh£ nghàch hay khængsuy bi¸n n¸u tçn t¤i duy nh§t ma trªn B sao cho

AB = BA = In (1)

ành ngh¾a 1.3.8 N¸u ma trªnB trong (1)tçn t¤i th¼ ma trªn B l  duynh§t v  ÷ñc gåi l  ma trªn nghàch £o cõa ma trªn A v  k½ hi»u l  A−1

Ch÷ìng 1 Ma trªn vuæng v  c¡c ph²p to¡n cì b£n tr¶n ma trªn 10

T½nh ch§t 1.3.1 T½nh ch§t cõa ma trªn nghàch £o

(A−1)−1 = A(AB)−1 = B−1.A−1(AT)−1 = (A−1)T1.3.7 Ma trªn trüc giao

ành ngh¾a 1.3.9 Ma trªn thüc A vuæng c§pn ÷ñc gåi l  ma trªn trücgiao n¸u AT.A = In, trong â AT l  ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A.V½ dö 1.3.7 X²t ma trªn

A =

cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ

, ϕ ∈ RKhi â

AT =

cosϕ sinϕ

−sinϕ cosϕ



AT.A =

cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ



cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ

v  tham kh£o chõ y¸u trong cuèn s¡ch ¤i sè tuy¸n t½nh cõa th¦y PhanHçng Tr÷íng (2001), Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2.

2.1 Ph²p th¸

ành ngh¾a 2.1.1 Ta gåi méi song ¡nh tø tªp {1, 2, , n} l¶n ch½nh nâ

l  mët ph²p th¸ bªc n

Tªp hñp t§t c£ c¡c ph²p th¸ bªc nvîi ph²p l§y t½ch ¡nh x¤ lªp th nh mëtnhâm, k½ hi»u l  Sn Ta gåi nhâm n y l  nhâm èi xùng bªc n v  nâ câ n!ph¦n tû

Vîi méi σ ∈ Sn ta th÷íng vi¸t

i − j < 0

Ta b£o ph²p th¸ σ l  mët ph²p th¸ ch®n hay l´ tòy theo sè nghàch th¸ cu£

nâ l  ch®n hay l´

11

Nhªn x²t 2.1.1 Vîi σ ∈ Sn v  n > 1 th¼ sgn(σ) = Q

i6=j

σ(i) − σ(j)

i − j T½ch n y ch¤y tr¶n måi c°p sè (khæng câ thù tü) {i, j} ⊂ {1, 2, , n}

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

2.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa ành thùc

T½nh ch§t 2.2.1 N¸u

D =

a11 a12 a01j a1n

a21 a22 a02j a2n

an1 an2 a0nj ann

D” =

... chĐt cừa nh thực

Tẵnh chĐt 2.2.1 Náu

D =

a11 a12 a01j + a”1j a1n

a21... a02j a2n

an1 an2 a0nj ann

D” =

... class="text_page_counter">Trang 18

Chữỡng nh thực 13

thẳ ta câ D = D0 + D” â

D0 =