một số cấu trúc đại số được chứa trong vành ma trận vuông cấp hai

M Ở ĐẦU Theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [3], mọi nhóm G hữu hạn hay vô hạn đều đẳng cấu với một nhóm các phép thế nào đó trên các phần tử của G ; tức là, tồn tại một đơn cấu nhúng ϕ:G→ G nh

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Huyên; người

thầy dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn

cùng những lời động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:

1 Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm

khoa và các giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí minh; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học

Đại số và Lý thuyết số khóa 20 đã tạo mọi điều kiện học tập thuận lợi cho

tôi trong suốt khóa học

2 Thầy Bùi Quang Thịnh (trường Đại học Tiền Giang) đã nhiệt tình giúp đỡ

tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng

3 Các bạn lớp Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 20 đã luôn cùng tôi

chia sẽ những khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Cha, Mẹ và những người

thân yêu trong gia đình vì những lời động viên, hỗ trợ, giúp đỡ về mọi mặt để tôi

hoàn thành tốt khóa học

NGÔ TH Ị MỸ PHƯỢNG

M ỤC LỤC

Trang ph ụ bìa i

L ời cảm ơn ii

M ục lục iii

M ở đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Nhóm nhị diện 2

1.2 Nhóm Quaternion 3

1.3 Mô tả cấu trúc của nhóm hữu hạn có cấp ≤ 8 4

Chương 2 MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH C ẤP HAI CỦA NHÓM ( *( ), ) 2  ⋅ M 7

2.1 Các phần tử cấp hai của nhóm ( *( ) ) 2  ,⋅ M 7

2.2 Một số dạng nhóm con hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai của nhóm ( ) ( * , ) 2  ⋅ M 11

2.3 Vấn đề nhúng n vào nhóm ( *( ) ) 2  ,⋅ M 16

2.4 Vấn đề nhúng nhóm Quarternion Q8 vào nhóm ( *( ) ) 2  ,⋅ M 22

Chương 3 VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG  z VÀ TRƯỜNG  VÀO ( ) VÀNH M2( ) 27

3.1 Đồng cấu nhúng trường số hữu tỉ  vào vành M2( ) 27

3.2 Đồng cấu nhúng trường  z vào vành ( ) M2( ) 30

3.3 Đồng cấu nhúng trường  vào vành M2( ) 43

K ết luận và kiến nghị 50

Tài li ệu tham khảo 52

M Ở ĐẦU

Theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [3], mọi nhóm G hữu hạn hay vô hạn đều đẳng

cấu với một nhóm các phép thế nào đó trên các phần tử của G ; tức là, tồn tại một

đơn cấu nhúng ϕ:G→( )G nhúng G vào nhóm đối xứng trên tập hợp G Nói

một cách khác, nhóm đối xứng trên tập hợp G chứa được nhóm G Ngoài ra, mọi vành V đều nhúng được vào vành ma trận vuông cấp hai trên V thông qua đơn cấu

a với mọi ∈a V

Nội dung luận văn sẽ tập trung nghiên cứu ``Một số cấu trúc đại số được chứa trong vành ma trận vuông cấp hai trên trường số thực'' với nội dung gồm 3 chương:

1 Chương 1 – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các kiến thức

cần thiết về nhóm nhị diện n, nhóm quaternion Q8 và việc mô tả cấu trúc các nhóm có cấp 8≤

2 Chương 2 – MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH

≥

n và nhóm quaternion Q8 thì không

3 Chương 3 – VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG  z VÀ TRƯỜNG  VÀO ( )

VÀNH M2( ) Nội dung chương này luận văn trình bày cụ thể các dạng đơn cấu nhúng các trường  , ,  và  z vào vành ( ) M2( ) , trong đó

∈

z và z∉

Chương 1

Nội dung chương này chủ yếu đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu

ở những chương sau Nhiều định lý trong chương chỉ được nêu ra và lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết có thể tham khảo Mỵ Vinh Quang [6]

và Nguyễn Hữu Việt Hưng [3]

1.1 Nhóm nh ị diện

Định nghĩa 1.1 Với n>1, xét đa giác đều n cạnh P n trên một mặt phẳng Gọi a là

phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của P n một góc 2π

n ; b là phép đối xứng qua đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của P n Khi đó, tất cả các phép đối xứng của

n

P (tức là, các phép biến đổi đẳng cự trên mặt phẳng biến P n thành chính nó) được

liệt kê như sau: e, a , 2

a , …, a n−1, b , ab , a b , …, 2 a n−1b, trong đó phép toán chính

là phép hợp thành Các phép đối xứng đó lập thành một nhóm, được ký hiệu là n

và được gọi là nhóm nhị diện cấp 2n

Có thể thấy rằng n biểu diễn được dưới dạng

( )2 2

Ví d ụ 1.2 Nhóm 3 các phép đối xứng của tam giác đều P3 có thể đồng nhất với nhóm đối xứng 3 trên 3 đỉnh của P3 Tức là, chúng ta có  3 ≅ 3 thông qua đẳng

Định nghĩa 1.2 Nhóm Quaternion là nhóm đuợc cho bởi hai phần tử sinh và ba

quan hệ xác định như sau: 4 2 2

Rõ ràng, A4 =I2, A2 =B , 2 ABA=B Vì vậy, ánh xạ ϕ:Q8 → A B, tương ứng

biến a , b lần lượt thành A, B là một toàn cấu nhóm Ngoài ra, vì

Một cách khác, chúng ta có thể nói nhóm Quaternion có 8 phần tử 1± , ±i , ± j ,

Dễ dàng chứng minh được Q8 cũng là một nhóm không giao hoán

1.3 Mô t ả cấu trúc của nhóm hữu hạn có cấp 8 ≤

trực tiếp của hai nhóm cyclic cấp 2 Z2×Z2 Cụ thể:

− × b b =e = = b I = b J = − b K = − b

Ví d ụ 1.3 Nhóm cấp 4 - Klein X ={I J K, , ,1}; trong đó I là phép quay

một góc π xung quanh trục Ox , J là phép quay một góc π xung quanh

trục Oy và = K IJ là phép quay một góc π xung quanh trục Oz

 n=5 Chúng ta chỉ có duy nhất một nhóm cấp 5 là nhóm cyclic Z5 Vì thế,

• Nhóm 2 2 2× × là nhóm tích trực tiếp của nhóm cấp 4 - Klein với nhóm Z2

Cụ thể như sau: (1, , ,I J K) (× − = ± ± ± ±1, 1) ( 1, I, J, K ; ) trong đó 1≡( )1,1 ,

1 1, 1

− ≡ − , ± ≡I (I, 1± ), ± ≡J (J, 1± ), ± ≡K (K, 1± ) Đây là một nhóm giao hoán

• Nhóm 4 2× là nhóm tích trực tiếp của nhóm cyclic Z4 và nhóm cyclic Z2

Như vậy, chúng ta có

Mệnh đề 1.1 Có đúng hai nhóm không Abel cấp 8 không đẳng cấu nhau là nhóm

nh ị diện 4 và nhóm Quaternion Q8

Chương 2

đều được phân tích thành tích của các chuyển trí có cấp là 2 Do đó, để tìm mối liên

hệ giữa nhóm n, nhóm Q8 hay nhóm n với nhóm ( *( ) )

( )

2 2

2

2 2

2

110010

ta sẽ dựa vào 4 dạng phần tử cấp 2 của nhóm ( *( ) )

2  ,⋅

M ở Mệnh đề 2.1

Ví d ụ 2.1 Xét

010

b

,

11

b

, ( )2

011

100

AB

b

c b

0 10

Từ đây chúng ta đi đến kết quả sau:

Mệnh đề 2.2 Cấp của tích hai phần tử cấp hai của nhóm ( *( ) )

với các phần tử sinh cấp hai sẽ dễ dàng hơn

2.2 M ột số dạng nhóm con hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai

Giả sử AB =n , trong đó n là một số nguyên dương hữu hạn Chúng ta sẽ xét

từng trường hợp cụ thể của n để hình thành nên dạng tổng quát cho nhóm , A B

1 Trường hợp thứ nhất Nếu n=1 thì A= B Suy ra, A B là nhóm cyclic ,

( ) ( ) ( ) ( )

Chúng ta thấy A B, chính là nhóm không giao hoán cấp 6 Bên cạnh đó,

một nhóm hữu hạn cấp 6 luôn đẳng cấu với một trong hai nhóm: Z6 - nhóm cyclic cấp 6 và 3 - nhóm các phép thế cấp 3 Suy ra A B, ≅3

A B không đẳng cấu với Q8 Từ kết quả trên, chúng ta đưa ra dự đoán sau:

Dự đoán 2.1 Nhóm Quaternion không chứa được trong nhóm ( *( ) )

2  ,⋅

5 Trường hợp năm (Trường hợp tổng quát) Với n là số nguyên dương hữu

tử sinh cấp 2 Khi muốn xem xét nhóm A B C, , (với A, B , C là các phần tử cấp

2 đôi một khác nhau và khác đơn vị), chúng ta cần xét đến cấp của từng tích AB ,

AC và BC Đây là một bài toán khá phức tạp, chúng ta vẫn chưa tìm ra được dạng

của nhóm , ,A B C mà chỉ có thể đưa ra một số chú ý liên quan đến cấp của từng tích trên

Ví d ụ 2.7 Xét A= −I2 và B , C là hai phần tử cấp 2 bất kì của nhóm ( *( ) )

2  ,⋅

Khi đó, cấp của AB bằng 2, cấp của AC bằng 2 Giả sử cấp của BC là n≥3, trong

đó với n là số nguyên dương hữu hạn (nếu n=1 hoặc n=2 thì ta có nhóm , ,

A B C tương tự như trong trường hợp 1 và trường hợp 2 đã xét) Vậy nhóm , ,

Ngoài trường hợp trên, chúng ta nhận thấy nếu cấp của hai trong ba tích AB ,

AC , BC b ằng 2 thì theo Mệnh đề 2.4 nếu A, B là hai phần tử cấp 2 khác ±I2 của

Khẳng định trên có còn đúng đối với nhóm các phép thế n với n≥4 hay không?

Nội dung mục này sẽ giải quyết vấn đề nêu trên

Mệnh đề 2.4 Giả sử A, B là hai phần tử cấp 2 bất kỳ đôi một khác nhau và khác

3 Trường hợp thứ ba Với 1 1

c a , trong đó 12

1 1

1−

c b

,

2 2 2

a c a c a a b c , ( )2  

M N AB

(a a1 2 +b c1 2)(−a a1 2−b c2 1) (+ a b1 2 −a b2 1)(a c2 1−a c1 2)=1 Phương trình tương đương với

Do đó, 2a a1 2+b c1 2+b c2 1≠0 Theo phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư

của hệ phương trình (2.1), suy ra

4 Trường hợp thứ tư Nếu

1

1 01

( ) ( ) ( )

2 2

Vậy với hai phần tử cấp 2 A, B khác nhau và khác ±I2, chúng ta đã chứng

minh được rằng nếu AB là phần tử cấp 2 thì AB chỉ có duy nhất một dạng là

f r f s (mâu thuẫn vì f là đơn cấu)

Vậy không tồn tại phép nhúng từ nhóm 4 vào nhóm ( *( ) )

2  ,⋅

M Do đó, cũng không tồn tại phép nhúng từ nhóm n vào nhóm ( *( ) )

Ch ứng minh Như đã biết, nhóm Quaternion là nhóm gồm có 8 phần tử và được

sinh ra bởi hai phần tử cấp 4 thỏa mãn 4 2 2

đó, chúng ta sẽ chứng minh hai phần tử bất kỳ trong các phần tử cấp 4 này không

thỏa các điều kiện của nhóm Q8

2 2

P Q ,

trong đó

(loại trường hợp này vì A là phần tử cấp 2)

(loại trường hợp này vì A là phần tử cấp 2) hoặc

với

, ∈ 

2 Bước 2 Với hai phần tử cấp bốn khác nhau bất kì A1, A2 của nhóm

c a ,

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2a a b b −b −b a −b −a b = ⇔0 b +b + b a −a b =0(vô lý! Vì b b1, 2 ≠0)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được hai phần tử cấp 4 khác nhau bất kì của nhóm ( *( ) )

 vào trong vành M2( )

3.1 Đồng cấu nhúng trường số hữu tỉ  vào vành M2( ) 

Chúng ta sẽ xây dựng đồng cấu nhúng trường  vào vành M2( ) như sau:

Như vậy, chúng ta đã xây dựng được đồng cấu ϕ1:→M2( ) xác định bởi

Bên cạnh đó, để làm rõ và cụ thể hơn đồng cấu nhúng ϕ1 chúng ta sẽ đi tìm dạng

của ma trận lũy đẳng A khác không

ac cd d bc

Vậy ma trận lũy đẳng 0≠ ∈A M2( ) có 4 dạng:

c ,

1 00

v ới , , ∈  a b c , b≠0

Lưu ý Với dạng đồng cấu ϕ1 như trên thì trường số thực  cũng nhúng được vào trong vành M2( ) Tuy nhiên, trong trường hợp này chúng ta chưa thể khẳng định được ϕ1 xác định duy nhất Việc chứng minh khá phức tạp và vận dụng nhiều

kiến thức liên quan đến Giải tích Vậy tồn tại một đơn cấu ϕ1:→M2( ) được xác định bởi ϕ1( )x = xA với mọi ∈ x , trong đó A∈M2( ) là một trong 4 dạng

c ,

1 00

với , , ∈ a b c , b≠0

3.2 Đồng cấu nhúng trường  z vào vành ( ) M2( ) 

Thay vì xét trường ( )2 , ( )3 , ( )5 , …, một cách tổng quát chúng ta xét trường  z , trong đó ( ) z∈ và z∉

Rõ ràng, ( ) {z = x+y z x y: , ∈} là một trường con của trường , nên

hiển nhiên trường  z nhúng được vào trong vành ( ) M2( ) như là một sự thu

hẹp của phép nhúng từ  vào M2( ) Vấn đề ở đây là ngoài các phép nhúng ở

Mệnh đề 3.1 trên, có phép nhúng nào khác nữa không? Bây giờ chúng ta sẽ đi xây

ϕ z = ∈B M  Với cách xác định như trên, đồng cấu ϕ2 xác định duy nhất

Ngoài ra, với đồng cấu ϕ2 chúng ta tìm ra được điều kiện cần của ma trận A, B

để có ϕ2( )1 = A và ϕ2( )z =B thông qua các nhận xét sau:

Khi đó, ϕ2 trở thành một đơn cấu nhúng Thật vậy,

Mệnh đề 3.2 Trường  z với ( ) z∈+ và z∉ được nhúng vào vành

Điều này mâu thuẩn với ∈k , do đó y=0 và x=0 Vậy Kerϕ2= 0{ } 

Nhận xét Với 3 điều kiện ràng buộc của ma trận A, B ; chúng ta sẽ tìm ra được

cụ thể dạng của từng cặp ma trận A, B tương ứng phù hợp cho đồng cấu nhúng ϕ2

(ở đây các ma trận đang xét đều khác ma trận không) thông qua 3 bước Nhận xét

rằng,

1 Bước 1 Tìm dạng của ma trận lũy đẳng A

Theo Mệnh đề 3.1, ma trận lũy đẳng A là một trong 4 dạng 1 0

a c bc acd cd d bcd abc

Khi đó,

3 3 3

22

Tổng hợp tất cả các dạng ma trận B tìm được ở trên, chúng ta có 11 dạng của ma

3 Bước 3 Với từng dạng có được của ma trận lũy đẳng A, chúng ta sẽ lần lượt

đối chiếu với từng dạng của ma trận B ở Bổ đề 3.1 sao cho B2 =zA Từ đó, tìm

được cặp ma trận A, B tương ứng phù hợp với đồng cấu nhúng ϕ2 Đó chính là

nội dung của mệnh đề:

xác định bởi ϕ2(x+y z)=xA+ yB v ới mọi , ∈ x y , trong đó A B, ∈M2( )

, trong đó , ∈ a b , b≠0;

,1

ma trận B= z A Điều này chứng tỏ 4 phép nhúng đó đều nằm trong dạng thu hẹp

của phép nhúng từ  vào M2( ) Thật vậy, dễ dàng thấy

Theo Mệnh đề 3.3, φ1 là đơn cấu nhúng với 1 0

Do đó, từ hai ví dụ trên chúng ta suy ra M ≅N

3.3 Đồng cấu nhúng trường  vào vành M2( ) 

Từ đây, chúng ta đi đến một kết luận:

Mệnh đề 3.4 Trường số phức  được nhúng vào vành ma trận vuông cấp 2 M2( )

thông qua đơn cấu nhúng ϕ3:→M2( ) xác định bởi ϕ3(x+yi)=xA+yB v ới mọi

2 ϕ3 là đơn ánh Để chứng minh ϕ3 là đơn ánh, trước tiên chúng ta cần đi tìm

dạng của ma trận B Sau đó kết hợp với dạng của ma trận lũy đẳng A để tìm ta được cặp ma trận A, B tương ứng phù hợp cho đồng cấu ϕ3 thông qua 3 bước:

c ,

1 00

với , , ∈ a b c , b≠0

b Bước 2 Tìm dạng của ma trận B thỏa B3 = −B Chúng ta có bổ đề:

Bổ đề 3.2 Nếu B là phần tử khác không của vành M2( ) thỏa B3 = −B thì

a c bc acd cd d bcd abc

Khi đó,

3 3 3

22

1 !0

b

với b≠0

với , ∈ a b , b≠0

Vậy chúng ta chỉ tìm được một dạng ma trận B thỏa Bổ đề 3.2 

c Bước 3 Với từng dạng có được của ma trận lũy đẳng A, chúng ta sẽ lần lượt

đối chiếu với dạng của ma trận B ở Bổ đề 3.2 sao cho B2 = −A để tìm được

cặp ma trận A, B tương ứng phù hợp với đồng cấu nhúng ϕ3 ở trên Với

( ) ( )

Mệnh đề 3.5 Trường số phức  được nhúng vào vành ma trận vuông cấp 2 M2( )

thông qua đơn cấu nhúng ϕ3:→M2( ) xác định bởi ϕ3(x+yi)=xA+yB v ới mọi

K ẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Những vấn đề liên quan đến nhóm tuyến tính là đề tài hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu toán học và đã có những thành tựu nhất định Luận văn này chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu một số cấu trúc đại số được chứa trong vành M2( ) và đạt được một số kết quả sau:

1 Luận văn đã mô tả cụ thể dạng nhóm con của nhóm ( *( ) )

2  ,⋅

M với hai phần tử sinh cấp 2 Qua đó, luận văn đi đến khẳng định A B, ≅ , trong đó n

Ngoài ra, luận văn cũng chứng minh được nhóm Quaternion Q8 và nhóm phép

thế n với n≥4 không chứa được trong nhóm ( *( ) )

Hay với chương 3, khi xét đơn cấu nhúng ϕ1:→M2( )R xác định bởi ϕ1( )r =rA

với mọi ∈ r , trong đó A là ma trận lũy đẳng; chúng ta có thể chứng minh được dạng

đơn cấu nhúng trên là duy nhất Vì quá trình chứng minh sự duy nhất của đơn cấu ϕ1

khá phức tạp, cần phải vận dụng những mảng kiến thức liên quan đến lĩnh vực Giải tích nên chúng tôi đã không trình bày trong luận văn Từ đây, một vấn đề được đặt ra

một cách tự nhiên: ``Có thể chứng minh tính duy nhất của đơn cấu ϕ1 bằng công cụ Đại số hay không?'' - Đây cũng là một vấn đề đáng quan tâm

Trong quá trình soạn thảo, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được

sự góp ý của quý độc giả Những ý kiến đóng góp cho bản luận văn này của quý độc

giả là những ý kiến chân thành; chúng tôi xin trân trọng cảm ơn và ghi nhận

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011

NGÔ TH Ị MỸ PHƯỢNG

TÀI LI ỆU THAM KHẢO

[1] Bùi Xuân Hải (chủ biên) - Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số hiện đại, Nhà xuất

bản Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

[2] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[4] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản Giáo dục

[5] Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[6] Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[7] Hoàng Xuân Sính (1997), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[8] M F Atyah, I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra,

Adition - Wesley Series in Mathematics

[9] S Lang (1965), Algebra, Adition - Wesley Series in Mathematics

[10] I Reiner (1957), A new type of automorphism of the general linear group over the

ring, Ann of Math 66, pp 461-466

[11] A Sychowicz (1985), On the embedding of finite rings into matrices, Acta Math

Hung 46 (Numbers 3-4), pp 269-273