Cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và cấp 3

Bài viết Cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và cấp 3 giới thiệu một cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và 3 bằng cách sử dụng vết và định thức của ma trận vuông kết hợp cùng máy tính điện tử cầm tay. Mời các bạn cùng tham khảo!

CÁCH TÍNH NHANH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN VUÔNG

CẤP 2 VÀ CẤP 3

Nguyễn Thị Khánh Hòa 1

1 Khoa Sư Phạm Email: hoantk@tdmu.edu.vn

TÓM TẮT

Bài viết trình bày cách sử dụng vết và định thức của một ma trận vuông cấp 2 và 3 để tính nhanh giá trị riêng của ma trận đó Cụ thể:

- Giá trị riêng của các ma trận 𝐴 cấp 2 là nghiệm của phương trình:

𝜆2− 𝑡𝑟(𝐴)𝜆 + 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 0

- Giá trị riêng của các ma trận 𝐵 cấp 3 là nghiệm của phương trình:

𝜆3− 𝑡𝑟(𝐵)𝜆2+ 𝑇 𝜆 − 𝑑𝑒𝑡(𝐵) = 0

Trong đó 𝑡𝑟(𝐴) và 𝑡𝑟(𝐵) là vết của ma trận 𝐴 và 𝐵; 𝑑𝑒𝑡(𝐴) và 𝑑𝑒𝑡(𝐵) là định thức của

𝐴 và 𝐵; 𝑇 là tổng của một số định thức con cấp 2 của 𝐵

Từ khóa: định thức của ma trận; giá trị riêng của ma trận; tính nhanh giá trị riêng;

vết của ma trận

1 GIỚI THIỆU

Giá trị riêng của ma trận vuông đóng vai trò quan trọng trong đại số tuyến tính Giá trị riêng

và vectơ riêng tương ứng có rất nhiều ứng dụng trong phạm vi học phần cũng như trong đời sống Chẳng hạn trong phạm vi học phần, tìm giá trị riêng là bước đầu tiên của bài toán chéo hoá ma trận, từ đó ta có thể tính được luỹ thừa của ma trận với số mũ (tự nhiên) lớn tuỳ ý hay đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Trong đời sống, ban đầu giá trị riêng và vectơ riêng được sử dụng

để nghiên cứu các trục chính của sự quay của các vật rắn, sau đó giá trị riêng và vectơ riêng ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như phân tích ổn định, phân tích rung động, lý thuyết orbital nguyên tử, nghiên cứu băng hà trong địa chất, hệ số lây nhiễm cơ bản, và công nghệ nhận diện khuôn mặt Chính vì vậy việc trang bị cho sinh viên ngành Toán các kiến thức về giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận vuông là rất cần thiết và có ý nghĩa

Trong phạm vi học phần Đại số tuyến tính, các bài toán liên quan đến giá trị riêng thông thường chỉ xét với ma trận cấp 2 hoặc 3 để đảm bảo việc giải bài toán không quá dài, quá phức tạp nhưng vẫn đủ sự tổng quát Mặc dù vậy việc tìm giá trị riêng vẫn mất nhiều thời gian vì để tìm được giá trị riêng ta cần tính định thức của một ma trận chứa tham số

Trong bài viết này tôi xin phép được giới thiệu một cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và 3 bằng cách sử dụng vết và định thức của ma trận vuông kết hợp cùng máy tính điện tử cầm tay Tôi hi vọng cách tính nhanh này có thể giúp sinh viên giảm bớt khối lượng tính toán cũng như cho sinh viên thấy được mối liên hệ giữa các khái niệm (vết, định thức, giá trị riêng) tưởng chừng là độc lập với nhau

2 NỘI DUNG

2.1 Kiến thức chuẩn bị ([1])

2.1.1 Vết của ma trận vuông

Định nghĩa: Vết của ma trận vuông 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] cấp n trên trường K, ký hiệu 𝑡𝑟(𝐴), là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của A:

𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11+ 𝑎22+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑛

2.1.2 Định thức của ma trận vuông

a Định nghĩa: Định thức của ma trận vuông 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] cấp n trên trường 𝐾, ký hiệu

𝑑𝑒𝑡(𝐴), hoặc |𝐴| là một phần tử của trường 𝐾 được xác định bởi công thức:

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎)𝑎1𝜎(1)𝑎2𝜎(2)… 𝑎𝑛𝜎(𝑛)

𝜎∈𝑆 𝑛 Trong đó 𝑆𝑛 là tập hợp tất cả các hoán vị bậc n

b Nhận xét: Vì mỗi hoán vị 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 là một song ánh từ {1,2, … , 𝑛} vào {1,2, … , 𝑛} nên mỗi số hạng của 𝑑𝑒𝑡(𝐴) là tích của n phần tử nằm ở các dòng và các cột khác nhau Vì vậy ta

có thể viết công thức tính định thức cho các ma trận cấp 2 và 3 cụ thể như sau:

|𝑎𝑎11 𝑎12

21 𝑎22| = 𝑎11 𝑎22− 𝑎12 𝑎21

|

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

| = 𝑎11 𝑎22 𝑎33+ 𝑎12 𝑎23 𝑎31+ 𝑎13 𝑎32 𝑎21

−𝑎13 𝑎22 𝑎31− 𝑎11 𝑎23 𝑎32− 𝑎12 𝑎21 𝑎33 Lưu ý: Ta có thể sử dụng máy tính điện tử cầm tay để tính các định thức cấp 2 và 3 của các ma trận không chứa tham số

2.1.3 Giá trị riêng của ma trận vuông

a Định nghĩa: Cho 𝐴 là một ma trận vuông cấp n trên trường 𝐾 Một vô hướng 𝜆 ∈ 𝐾

được gọi là một giá trị riêng của ma trận 𝐴 nếu tồn tại một vectơ cột khác không 𝑣 ∈ 𝐾𝑛 sao cho 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣

b Định lý:

i) 𝜆 ∈ 𝐾 là một giá trị riêng của ma trận 𝐴 khi và chỉ khi 𝜆 là nghiệm của đa thức đặc

trưng det(𝐴 − 𝜆𝐼𝑛) = 0

ii) Mọi ma trận vuông cấp n trên trường số phức ℂ đều có n giá trị riêng (kể cả bội của nó)

2.2 Cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông

2.2.1 Đối với ma trận vuông cấp 2

a Phương pháp tìm giá trị riêng ([1])

Cho 𝑨 = [𝒂𝒊𝒋] là một ma trận vuông cấp 2 trên trường trường số phức ℂ Các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình

𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰𝟐) = 𝟎 ⟺ |𝒂𝟏𝟏− 𝝀 𝒂𝟏𝟐

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐− 𝝀| = 𝟎 ⟺ (𝒂𝟏𝟏− 𝝀)(𝒂𝟐𝟐− 𝝀) − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 = 𝟎

⟺ 𝝀𝟐− (𝒂𝟏𝟏+ 𝒂𝟐𝟐)𝝀 + 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐− 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 = 𝟎

Giải phương trình bậc hai này ta sẽ tìm được các giá trị riêng của ma trận 𝑨:

𝝀𝟏,𝟐 =𝒕𝒓(𝑨)±√(𝒕𝒓(𝑨))𝟐−𝟒𝐝𝐞𝐭 (𝑨)

𝟐 =𝒕𝒓(𝑨)

𝟐 ± √(𝒕𝒓(𝑨)

𝟐 )𝟐− 𝐝𝐞𝐭 (𝑨) (2) Như vậy theo cách tìm giá trị riêng như trên, ta sẽ có hai cách tính nhanh giá trị riêng như sau:

b Cách tính nhanh

Cách 1: Tính 𝒕𝒓(𝑨) và 𝒅𝒆𝒕(𝑨) Sau đó viết được phương trình (1) Sử dụng máy tính

điện tử ta sẽ tìm được các giá trị riêng của ma trận A

Cách 2: Tính 𝒕𝒓(𝑨) và 𝒅𝒆𝒕(𝑨) Sau đó thay vào công thức (2) ta sẽ tìm được các giá trị

riêng của ma trận A

c Ví dụ: Tìm giá trị riêng của ma trận 𝑨 = [𝟓 𝟒

𝟖 𝟗]

Giải: Ta tính được 𝒕𝒓(𝑨) = 𝟓 + 𝟗 = 𝟏𝟒 và 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟓 𝟗 − 𝟒 𝟖 = 𝟏𝟑

Cách 1: Khi đó giá trị riêng của ma trận 𝑨 là nghiệm của phương trình: 𝝀𝟐− 𝟏𝟒𝝀 + 𝟏𝟑 = 𝟎

Sử dụng máy tính điện tử cầm tay hoặc nhẩm nghiệm ta tìm được 𝝀𝟏 = 𝟏; 𝝀𝟐= 𝟏𝟑 Cách 2: Giá trị riêng của ma trận 𝑨 là 𝝀𝟏,𝟐= 𝒕𝒓(𝑨)

𝟐 ± √(𝒕𝒓(𝑨)

𝟐 )𝟐− 𝐝𝐞𝐭 (𝑨) = 𝟏𝟒

𝟐 ±

√(𝟏𝟒

𝟐)𝟐− 𝟏𝟑

Suy ra 𝝀𝟏 = 𝟏; 𝝀𝟐= 𝟏𝟑

2.2.2 Đối với ma trận vuông cấp 3

a Phương pháp tìm giá trị riêng ([1])

Cho 𝑨 = [𝒂𝒊𝒋] là một ma trận vuông cấp 3 trên trường trường số phức ℂ Các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình

𝐝𝐞𝐭(𝑨 − 𝝀𝑰𝟑) = 𝟎 ⟺ |

𝒂𝟏𝟏− 𝝀 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐− 𝝀 𝒂𝟐𝟑

𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑− 𝝀

| = 𝟎

⟺ (𝒂𝟏𝟏− 𝝀)(𝒂𝟐𝟐− 𝝀)(𝒂𝟑𝟑− 𝝀) + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏+ 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟐𝟏− 𝒂𝟏𝟑 (𝒂𝟐𝟐− 𝝀) 𝒂𝟑𝟏

− (𝒂𝟏𝟏− 𝝀) 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐− 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 (𝒂𝟑𝟑− 𝝀) = 𝟎 ⟺ 𝝀𝟑− (𝒂𝟏𝟏+ 𝒂𝟐𝟐+ 𝒂𝟑𝟑)𝝀𝟐+ (𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐+ 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑+ 𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟏− 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏−

𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟏− 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐)𝝀 − 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑− 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏− 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟐𝟏+ 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟏+

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐+ 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟑 = 𝟎

⟺ 𝝀𝟑− 𝒕𝒓(𝑨)𝝀𝟐+ 𝑻𝝀 − 𝐝𝐞𝐭 (𝑨) = 𝟎 (3)

Với 𝑻 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐+ 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑+ 𝒂𝟑𝟑 𝒂𝟏𝟏− 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏− 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟑𝟏− 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐

= |𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐

𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐| + |

𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑

𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑| + |

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟑|

Giải phương trình bậc ba này ta sẽ tìm được các giá trị riêng của ma trận 𝑨

Theo cách tìm giá trị riêng như trên, ta mất rất nhiều thời gian để có thể tính định thức và đưa về dạng phương trình bậc 3 Để tiết kiệm thời gian tính toán, tôi sẽ đưa ra cách tính nhanh giá trị riêng như sau:

b Cách tính nhanh

Tính 𝒕𝒓(𝑨), 𝒅𝒆𝒕(𝑨), 𝑻 Thay vào phương trình (3) Sử dụng máy tính điện tử ta sẽ tìm được các giá trị riêng của ma trận A

c Ví dụ: Tìm giá trị riêng của ma trận 𝑨 = [

]

Giải: Ta tính được 𝒕𝒓(𝑨) = −𝟕 + 𝟔 + 𝟑 = 𝟐; 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟎

và 𝑻 = |−𝟕 −𝟒

𝟏𝟎 𝟔 | + |

𝟑 𝟑| + |

−𝟕 −𝟑

𝟔 𝟑 | = 𝟏

Khi đó giá trị riêng của ma trận 𝑨 là nghiệm của phương trình: 𝝀𝟑− 𝟐𝝀𝟐+ 𝝀 = 𝟎

Sử dụng máy tính điện tử cầm tay hoặc nhẩm nghiệm ta tìm được

𝝀𝟏 = 𝟎; 𝝀𝟐= 𝝀𝟑 = 𝟏

3 KẾT LUẬN

Trên đây tôi đã trình bày chi tiết cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và

3 bằng cách sử dụng vết và định thức của ma trận vuông kết hợp cùng máy tính điện tử cầm tay kèm ví dụ minh hoạ cụ thể Tôi hi vọng cách tính nhanh này có thể giúp sinh viên giảm bớt khối lượng tính toán cũng như cho sinh viên thấy được mối liên hệ giữa các khái niệm (vết, định thức, giá trị riêng) tưởng chừng là độc lập với nhau Tôi cũng hi vọng bài viết này có thể

là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giảng viên Toán trong quá trình tìm tòi đổi mới phương pháp giảng dạy để tạo sự nhẹ nhàng và thú vị hơn trong giờ học

Tuy đã có nhiều cố gắng song không tránh khỏi bài viết sẽ còn thiếu sót Rất mong sự thông cảm của quý đồng nghiệp và mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp để bài viết được hoàn thiện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bùi Xuân Hải (chủ biên) (2001), Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐH Quốc Gia Tp.HCM