Tuyển chọn đề THI OXYZ 2002 2011

Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng P.. b Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc

Trang 1

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

ĐỀ THI ĐẠI HỌC:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1) A- 2011 Cho hai điểm A(2;0;1 , ) (B 0; 2;3- ) và mặt phẳng ( )P : 2x- - + =y z 4 0 Tìm tọa độ

điểm M thuộc (P) cho MA=MB=3

I

x y z

Trang 2

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2x+ -y 2z+ =2 0

Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra D là đường thẳng đi qua các điểm A, B

ï

ï = +î

Bài giải:

Gọi I là tâm của mặt cầu Do IÎ D ÞI(1 2 ;3 4 ;+ t + t t)

Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( ( ) ) 2 1 2( ) (3 4 ) 2 2

Trang 3

Chuyờn đề HèNH GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

v

Gọi (S) là mặt cầu tõm A, cắt D tại B và C sao cho BC =8 Suy ra bỏn kớnh của (S) là:R=5

9) B- 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), trong đó A B b C c

, 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0 Xác định và , biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với

1mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng

P

Trang 4

Chuyờn đề HèNH GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM.D

Bài giải:

Đường thẳng D đi qua điểm A(0;1;0) và cú vectơ chỉ phương v=(2;1;2)

Do M thuộc trục hoành, nờn M cú tọa độ (t;0;0), suy ra: AM =(t; 1;0- )

11) D- 2010 Trong không gian Oxyz, cho hai mp(P): x+ + - =y z 3 0 và (Q): x- + - =y z 1 0

Viết phương trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2

3

12) D- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : và :

Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến bằng 1

= +ỡ

ù

ù =ợ

S :x +y + -z 2x-4y-6z-11=0 Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo

một đường trũn Xỏc định tọa độ tõm và tớnh bỏn kớnh của đường trũn đú

Bài giải:

(S) cú tõm I(1;2;3), bỏn kớnh R=5

Trang 5

= +ì

ï = ï

í = ï

ê =ë

t t

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD

Vec tơ pháp tuyến của (P): = ëé , ùû

Trang 6

Phương trình (P): 4x+2y+7z-15=0

Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD

Ta có: I(1;1;1)ÞAI =(0; 1;0- ); vectơ pháp tuyến của (P): =é , ù =(2;0;3)

15) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x-2y+2z- =5 0 và hai

điểm A(-3;0;1 , ) (B 1; 1;3- ) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết

phương trình đường thẳng mà khoản g cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

16) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0 , ) (B 1;2;2 , ) (C 1;1;0) và

mặt phẳng ( )P :x+ + -y z 20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường

thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

-ï = +í

ï =î

phẳng( )P : x+2y 3z- + =4 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và

vuông góc với đường thẳng D

-ï + - + =î

I

x y z

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n =(1;2; 3- ), vectơ chỉ phương của D:u=(1;1; 1- )

B

A Q

Trang 7

Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v=[ ]n u , =(1; 2; 1- - )

ï = í

ï = î

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mp(a) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất

19) B-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2 , ) (B 2; 2;1 , - ) (C -2;0;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+ - =z 3 0 sao cho MA MB MC= =

20) D-2008 Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trang 8

Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình:

í + + = ï

ï + + + = î

Giải hệ trên ta được H(2;2;2)

21) Dự bị A 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x y z d

x y z

a) Chứng minh rằng d và 1 d2cắt nhau

b) Gọi I là giao điểm của d và 1 d Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc 2 d , 1 d sao cho 2

tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41

Trang 9

b) d1 đi qua điểm M1(3;3;3) có vectơ chỉ phương u1 =(2;2;1);

2

d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là n1 =(5; 6; 6)- - ; n2 =(1; 6;6)- nên

có vectơ chỉ phương là [n n 1; 2]= -( 72; 36; 24- - ) Chọn vectơ chỉ phương là u2 =(6;3;2)

Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d và 1 d 2

= +ì

ï = +ï

í = +ï

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một

Trang 10

í + + + + =ï

ï- - + + =î

a) Đường thẳng d1 qua điểm M(3;0;5) và nhận u1=(2;9;1) làm vectơ chỉ phương

Đường thẳng d2 đi qua điểm A(5;4;3) và nhận u2 =AB=(1;3; 1)- làm vectơ chỉ phương nên có

Vậy hai đường thẳng d và 1 d chéo nhau 2

b) Ta có: C thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ (3 2 ;9 ; 5C + t t - +t và ) AC=(2t-2;9t-4;t-8)

í + + =î

x y

x y z

a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Bài giải:

Trang 11

Từ phương trình đường thẳng d: 1 0

4

- + =ì

í + + =î

ï = +í

ï = î

 

Phương trình đường thẳng cần tìm

8564913524931349

ì = +ï

ï

-íï-

a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (a) Tính sin của góc giữa d và (a)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) và (Oxy)

Trang 12

Gọi j là góc giữa d và (a) sin . 4

ï = +í

ï =î

z

a) Chứng minh rằng d và 1 d chéo nhau 2

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+ -y 4z=0 và cắt

hai đường thẳng d và 1 d 2

Bài giải:

a) + d đi qua 1 M(0;1; 2- ), có vectơ chỉ phương u1 =(2; 1;1 ,- )

+ d đi qua 2 N(-1;1;3), có vectơ chỉ phương u2 =(2;1;0 )

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính

Trang 13

Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có bán kính R=3 nên (Q) chứa I

Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi M(- - -1; 1; 3)

28) D- 2007 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2 ,) (B -1;2;4) và đường

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA +MB nhỏ nhất

Bài giải:

a) Ta có AB= -( 2;4; 16)- cùng phương với a = -( 1;2; 8- )

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n =(2; 1;1- ) Ta có [ ]n a , =(6;15;3) cùng phương với (2;5;1)

Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là:

2 x+ +1 5 y- +3 1 z+2 = Û0 2x+5y+ -z 11=0

Trang 14

b) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P) Gọi A' là

điểm đối xứng với A qua (P) Phương trình AA' : 1 3 2

a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng //D d và cắt các đường thẳng AB, OC

Bài giải:

a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là ( 2;4;0)- haya= -( 1;2;0), vectơ chỉ phương

của đường thẳng OC là (2;4;6) hayb=(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (b) qua O có vectơ pháp tuyến là n=(3; 3;1- ): ( )b : 3x-3y+ =z 0

Vậy phương trình đường thẳng D song song với d cắt AB, BC là: 6 3 2 12 0

ì

í - + =î

x y z

Trang 15

31) Dự bị 1–B-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(-3;5; 5 , - ) (B 5; 3;7- )

và mặt phẳng ( )P : x+ + =y z 0

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2 2

ï = í

-ï = - +î

Điểm I(- +3 2 ;5 2 ; 5 3t - t - + t)ÎABÇ( )P khi (- +3 2t) (+ -5 2t) (+ - +5 3t) = Û =0 t 1

Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(-1;3; 2- )

b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB

Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:

32) Dự bị 1- B- 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0 , ) M(0; 3;6- )

a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( )P : x+2y- =9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính

MO Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương

ứng B, C sao cho V OABC =3 (đ.v.t.t )

Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO

Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:

Trang 16

Vậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là t(3;3;6)

b) Gọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C

ï = î

b) Viết phương trình D Ì( )P sao cho D ^d và d(M,D =) 42

Bài giải:

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phương trình số của d:

3 221

= +ì

ï = - +í

ï = î

= +ì

ï = - +í

ï = î

d d'

Trang 17

-ë

t t

-a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P)

b) Tìm các điểm MÎd1 , NÎd2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

Bài giải:

a) d1 đi qua A(1;3;0)và có vectơ chỉ phương a=(2; 3;2- ) Mặt phẳng (P) có PVT nP =(1; 2;2- )

Mặt phẳng (Q) chứa d1 và ^ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến n Q =éa n, Pù = - - -( 2; 2; 1)

= +ì

ï = í

-ï =î

ï =í

ï = î

Trang 18

* Với t= Þ = Þ0 t' 0 M1(1;3;0 , ) N1(5;0; 5 - )

35) A- 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với

(0;0;0 , ) (1;0;0 , ) (0;1;0 , ' 0;0;1 ) ( )

A B D A Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc a biết cos 1

Û = - = +

í + + =î

c d

c d a b

Do đó, phương trình của (Q) có dạng: ax+by+(a+b z) (- a+b) =0

Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến n=(a b a; ; +b), mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến k=(0;0;1)

Vì góc giữa (Q) và (Oxy) là a mà cos 1

26

-ï = +î

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với d và 1 d 2

b) Tìm toạ độ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

Bài giải:

a) Vectơ chỉ phương của d và 1 d2 lần lượt là: u1 =(2;1; 1- ) và u2 =(1; 2;1- )

Trang 19

Þ Vectơ pháp tuyến của (P) là: Vectơ n=[u u 1, 2]= - - -( 1; 3; 5 )

-a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2

Vì A’ đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA’Þ A'(- -1; 4;1 )

b) Vì D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d , nên 2 D đi qua giao điểm B của d và 2 ( )a

Tọa độ giao điểm B của d và 2 ( )a là nghiệm của hệ:

a) Chứng minh A'C vuông góc với BC' Viết phương trình mặt phẳng (ABC')

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC')

39) Dự bị 2- A- 2006 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )a : 3 x +2y- + =z 4 0 và hai

điểm A(4;0;0 , ) (B 0;4;0).Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( )a

Trang 20

b) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( )a , đồng thời K cách đều gốc

-ï =î

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường d2

b) Xác định điểm A trên d1 và điểm B trên d2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

41) Dự bị 2 - B- 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mp( )P : 2x- +y 2z+ =5 0 và

các điểmA(0;0;4 , ) (B 2;0;0 )

a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

42) Dự bị 1- D-2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P): 4x-3y+11z-26=0và

-a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng D Ì( )P , đồng thời cắt cả d1 và d2

43) A-2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng : 1 3 3

a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2

b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham

số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d

Bài giải:

a) Phương trình tham số của d:

1

3 23

x t

= ì

-ï = - +í

ï = +î

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u= -( 1;2;1 )

Vì D Ì( )P và D ^d nên D có vectơ chỉ phương uD =[ ]n u , =(5;0;5)

Trang 21

Phương trình tham số của : 1

4

x t y

=ìï

D í =

-ï = +î

44) B-2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với

(0; 3;0 , ) (4;0;0 , ) (0;3;0 , ) 1(4;0;4 )

a) Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt

phẳng (BCC1B1)

b) Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, M và

song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N Tính độ dài MN

Ta thấy B(4;0;0) ( )Ï P Do đó (P) đi qua A, M và song song với BC 1

Ta có: A C1 1 =(0;6;0) Phương trình tham số của đường thẳng A C là: 1 1

034

x

z

=ì

ï = - +í

ï =î

í + - =î

x y z d

x y

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả

hai đường thẳng d1 và d2

b) Mặt phẳng toạ dộ Oxy cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B Tính diện

tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

Trang 22

46) Dự bị A 1-2005 Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;0 , ) (B 0;2;0 , ) (C 0;0;2 )

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao

điểm của AC với mặt phẳng (P)

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ

= ì

ï = í

-ï =î

Þ  AB AC = - = Û1 1 0  AB^ ACÞ DABC vuông tại A

Ta dễ thấy DBOC cũng vuông tại O Do đó A, O nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông Do đó A, O

nằm trên mặt cầu đường kính BC, có tâm I là trung điểm của BC Ta dễ dàng tìm được I(0;1;1)

47) Dự bị A 2-2005 Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2;0;0 , ) (C 0;4;0 , ) (S 0;0;4)

a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết

phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S

Trang 23

b) Tìm tọa độ điểmA1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC

Bài giải:

a) Tứ giác OABC là hình chữ nhật Þ OC = AB Þ B(2;4;0)

* Đoạn OB có trung điểm là H(1;2;0) Điểm H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

vuông OBC Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I(1;2;2) là tâm mặt

cầu và bán kính R = 1 1 4 16 16 3

2SB= 2 + + = , Vậy phương trình mặt cầu là ( ) (2 )2 2

=ì

ï =í

ï = î

-x

y t

Mp(P) qua A(2;0;0) và vuông góc với SC có phương trình là: 0(x- + - = Û - =2) y z 0 y z 0

Thế phương trình tham số của SC và phương trình (P)Þ =t 2 và suy ra M(0;2;2)

Gọi A x y z1( ; ; ) là điểm đối xứng với A qua SC

Có M là trung điểm của AA nên 1

1

= ì

-ï =í

ï = +î

d y t

z t

a) Xét vị trí tương đối của d và 1 d 2

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	4,96 MB