HÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

HÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓCHÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bài giảng số 7: ÔN TẬP TỔNG HỢP

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý: Nếu đường thẳng  d vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng  P thì nó

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong  P

 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình

chiếu trên mặt phẳng  P là đường thẳng a Khi ấy, một

đường thẳng b nằm trong  P vuông góc với a khi và chỉ

khi nó vuông góc với a

Tức là: ab P ab

 Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a , b là góc giữa hai đường thẳng a , b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b

Chú ý:

a Để xác định góc a b ta có thể lấy điểm ,  O nằm ngay trên

một trong hai đường thẳng đó.

b Nếu u

, v

theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a , b và  u v , 

thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  hoặc 1800 tùy theo  900 hoặc  900

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P là góc

giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên  P , kí hiệu là a P,   hay   P ,a.

b a' a



b c

d

O a

a'

Đặc biệt:

o Khi a thuộc  P hoặc a song song với  P thì

 

o Khi a vuông góc với  P thì     0

Như vậy, ta luôn có 0     0

 Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng

lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Đặc biệt: Khi  P và  Q trùng nhau hoặc song song với nhau thì

a b 

Nhận xét: Với hai mặt phẳng  P và  Q cắt nhau theo giao

tuyến  d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng

 R vuông góc với  d lần lượt cắt  P và  Q theo các giao

tuyến a và b Lúc đó góc giữa  P và  Q bằng góc giữa hai

đường thẳng a và b

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và

b , và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường thẳng d được gọi là đường vuông góc chung của a

và b

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SAABC, các tam giác ABC và SBC không vuông Gọi H và

K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng:

a) AH , SK , BC đồng quy.

b) SC BHK.

c) HK SBC.

Giải:

a) Gọi  E AH BC, ta có:









 BCSAEBCSE

SE

 là đường cao của SBCKSE

C

B A

S

H

E K

a'

a

O P

b a

P Q

Vậy ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy tại E

b) Ta có: BH AC









 BH SAC BH SC

Mặt khác, ta có: BK SC

Do đó SC BHK

c) Do SC BHK nên HK SC

Mà HK BC

Do đó HK SBC

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC , SD

a) Chứng minh rằng BCSAB, CDSAD.

b) Chứng minh rằng SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD

c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra ba thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng.

d) Chứng minh rằng SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK Từ đó suy ra HK AI

e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SAABa

Giải:

a) Từ giả thiết SABC

Mặt khác, ta có: ABBC vì ABCD là hình vuông

Suy ra BCSAB

Chứng minh tương tự ta được CDSAD

b) Từ giả thiết SAABCDSABD

Mặt khác, ta có: ACBD vì ABCD là hình vuông

Do đó BDSAC tại trung điểm O của BD

Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD

c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được:









 AH SBC AH SC

Chứng minh tương tự ta được AK SC

Như vậy, vì AH, AI, AK cùng vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

d) Giả sử HK cắt AI tại E

Nhận xét rằng: SABSAD c g c SH SK

Trong SBD, ta có: SH SK

SB  SD HKBD và E là trung điểm của HK Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra HK SAC tại trung điểm E của HK

B

C

A

D

S

O

K

H I

E

Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK

Từ kết quả HK SAC suy ra HK AI

e) Ta có: 1

2

AHIK

S  AI HK

Trong SAC vuông tại A, ta được: 12 12 1 2 12 12

2

AI  SA  AC  a  a

6 3

a AI

Trong SBD, ta được: 1

2

SB  SD  HK là đường trung bình

2 2

a HK

Vậy

2

AHIK

Ví dụ 3: Cho ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC ADBCBDa

và CD2x Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD

b) Tính AB và IJ theo a và x

c) Xác định x sao cho ABC  ABD.

Giải:

a) Xét ACD và BCD, ta có:

CD chung







AJ BJ

JAB

 cân tại J IJ AB

Xét CAB và DAB, ta có:

AB chung







DI CI

  ICD cân tại I IJ CD b) Trong AJC vuông tại J, ta có:

AJ  AC CJ a x AJ  a2x2











Trong AJB vuông cân tại J, ta có:  2 2

2

AB IJ



c) Nhận xét rằng: ABC ABD AB









Do đó, để ABC  ABD điều kiện là: DI ABCDICI ICD vuông tại đỉnh I

D

A

I J

2

.2

x



Vậy với ax 3 thì hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có  0

60

A  , cạnh

6

2

a

SC  và SC vuông góc với mặt phẳng ABCD.

a) Chứng minh SBD  SAC.

b) Trong SCA kẻ IKSA tại K Hãy tính độ dài IK

90

BKD  và từ đó suy ra

SAB  SAD.

Giải:

a) Ta có: BD AC BD SAC









 SBD  SAC

b) Trong ABD có  0

60

A  nên nó là tam giác đều, do đó

BDa,

3

2

a

AI  ACa 3

Trong SAC vuông tại C, ta có:

2

2 2

3

SA SC AC    a 

3 2 2

a SA

Vì hai tam giác AKI và ACS đồng dạng nên IK AI

SC  SA

2

SC AI a IK

SA

c) Trong KBD trung tuyến KI thỏa mãn: 1

2

KI  BD KBD vuông tại K  0

90

BKD

Ta có: SA BD

SA IK









 SAKBD SA KB





 





Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC có SA SBSC AB AC  và a BCa 2 Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB

Giải:

Cách 1: Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , AC

Khi đó, ta nhận thấy: MP SC









 SC AB,   MP MN, 

A

D

B

C S

I K

B

C A

S

P

Trong MNP, ta có: cos 2 2 2

2

NMP

MN MP

Ta lần lượt có:

1

a

MN  AB (vì MN là đường trung bình),

1

a

MP SC  (vì MP là đường trung bình)

Trong SBP, theo định lý đường trung tuyến ta có:

2

2

2

SB

Nhận xét rằng:

- Vì ABC vuông tại A  2 2 2

ó

c AB AC BC nên:

- Vì SAC đểu c SAó SCAC a nên 3

2

a

2

a

cos

2

NMP

120

NMP

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 0 0 0

Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC

và AB

, ta có:

SA AC AB

SC AB

SC AB

  

 

Trong đó:

- Vì SAB đều c SAó SBABa nên:  0  0 2

.cos 180 cos120

2

a

 

- Vì ABC vuông tại A  2 2 2

ó

c AB AC BC nên  AC AB  0

Từ đó ta được:  

2

2

0 1 2

2

a

SC AB

a

 

SC AB

   

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 18001200 600

Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ SC



và AB

, ta có:

SC SB SA

SC AB

SC AB

  

 

Trong đó:

- Vì SBC vuông tại S  2 2 2

ó

c SB SC BC nên SC SB   0

- Vì SAC đểu c SAó SCAC a nên  0 2

.cos cos 60

2

a

 

Từ đó ta được:  

2

2

0

1 2

2

a

SC AB

a



 

SC AB

   

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 18001200 600

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A , BCa , 3

2

a

SASBSC .

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABC 

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 

Giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC



Ngoài ra, theo giả thiết ta có SASBSC nên SO là trục đường tròn

của ABC, suy ra SOABC và SOd S ,ABC 

Trong SAO vuông tại O , ta có: 1

a

OA BC  (trung tuyến thuộc cạnh huyền)

2

SO SA OA     

   

2 2

a SO

b) Vì SOABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên

ABC , do đó  SA ABC,  SAO

Trong SAO vuông tại O , ta có:  2 3

cos

3 3 2

a OA SAO

Vậy ta được cos ,   3

3

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2

AB a , SAa 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD 

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC 

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và  SCD 

Giải:

a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau:

ADBCE SAD  SBCSE

B

A C

S

O

B

E A

S

O

Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SABD

Suy ra BDSADBDSE Hạ DF SEF, suy ra BDFSE

Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC là  BFD

Vì ABE đều nên AEAB2a và vì CDE đều nên DECDa

Trong SAE vuông tại A, ta có: 2 2 2  2  2 2

SE SA AE  a  a  a SEa 7

Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc E nên chúng đồng dạng, suy ra:

SA  SE

7 7

DF

Trong ABD vuông tại A, ta có:  0

Trong BDF vuông tại D, ta có:  3

21 7

BFD

   BFD nhọn

Vậy ta được tan SAD , SBC  7

Cách 2: Nhận xét rằng: ADBD vì ABCD là nửa lục giác đều,

SABD

Suy ra BDSAD

Trong SAC , hạ  AJ SC tại J , ta có: BCAC vì ABCD là nửa

lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSAC BC AJ  AJ SBC

Trong SAC hạ  OK SC tại K, suy ra OK AJ

Do đó  SAD , SBC BD AJ,   BD OK, KOB

Trong nửa lục giác đều ABCD , ta có: 2 3 3

Trong SAC vuông tại A, ta có: 2 2 2 2  2 2  2  2 2 2

SC SA AC SA  AB BC  a  a a  a

6

SC a

Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra:

SA  SC

3 3

6 6

a a

OK

Trong KOB vuông tại K, ta có: 

6 2 6

cos

4

2 3 3

a OK KOB

B A

S

K O J

Vậy ta được cos   ,   2

4

b) Trong SAC , hạ  AJ SC tại J , ta có: BCAC vì ABCD là

nửa lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSAC BC AJ  AJ SBC









 CDSAHSCD  SAH và

SCD  SAHSH

Hạ AI SH tại I , suy ra AI SCD

Do đó  SCD , SBC IAJ

Trong SAH vuông tại A, ta có: 3

2

a

3 3 3

2

AI  SA  AH  a a   a

15 5

a AI

Trong SAC vuông tại A, ta có: AC SAa 3 1 2 6

Trong AIJ vuông tại I , ta có: 

15

10 5

cos

5 6 2

a AI IAJ

Vậy ta được cos   ,   10

5

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc  A 600 và có đường cao SOa

a) Tính khoảng cách từ O đến SBC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Giải:

a) Hạ OI BC và kéo dài OI cắt AD tại J

B A

S

O J

H I

B

C

A

D

S

O J

I H

Ta có: BC OI









 BCSOISBC  SOI và SBC  SOISI

Hạ OH SI OH SBC Vậy OH là khoảng cách từ O đến

SBC

Với hình thoi ABCD, ta có: BDa vì ABD đều

2

a OB

3

2

a

Trong OBC vuông tại O, ta có:

3 3 2

OI OB OC a  a  a

 

 

39 13

a OI

Trong SAE vuông tại A, ta có: 1 2 12 12 12 1 2 162

3 39 13

OH  SO OI  a a   a

3 4

a OH

Vậy khoảng cách từ O đến SBC bằng 3

4

a

b) Nhận xét rằng: AD BC  ADSBCd AD SB , d AD SBC ,  d J SBC ,  

Mặt khác, ta lại có JOSBCI nên:

,

2 ,

OI

2

a

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng 3

2

a

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SASBSCABACa BC; a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABAC và ABBD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và IJ vuông góc nhau

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB ACAD và   0

60

BACBAD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và CD Chứng minh rằng

C D

O

I

J

a) ABCD b) MN AB MN; CD.

Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và có SASBSC SD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông b) ACSBD BD; SAC

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là trung điểm của cạnh BC; AH là đường cao của tam giác ADI Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho tam giác MAB vuông tại M Trên đường thẳng vuông góc với (MAB) tại A ta lấy hai điểm C,

D ở hai phía điểm A Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’

a Chứng minh rằng CC ' (MBD)

b Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm tam giác BCD

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA; a 2 và SA vuông góc với đáy Gọi M,

N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB và SD Tính góc giữa:

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa AD; a 3;SAABCD SA; a Tính góc giữa:

45

b) SB và (SAB)

60

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BCa. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

(ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 Tính độ dài đoạn 0

2



Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa; ADa 3; SAABCD ; SA a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) Đs: 300

Bài 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo thành bởi cạnh bên và

mặt đáy bằng 60o, và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy Đs: d 3a

2



Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = h

b) Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC’ Đs: arctan 3

c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy Đs: arctan(2 3)

Bài 12: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P) Gọi , lần lượt là góc 

hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P) Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P) Chứng minh rằng

sin  sin  sin

Bài 13: Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và

0

120

BAC  , BB' a Gọi I là trung điểm của CC '

a) Chứng minh rằng tam giác AB' I vuông ở A.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và AB' I  Đs: 30

10

 

cos

Bài 14: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau Chứng minh rằng các mặt

phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc nhau

Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC

Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc

Bài 16: Cho hình vuông ABCD Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD

a) Chỉ ra các mặt phẳng lần lượt chứa SB, SC, SD và vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh rằng (SAC)(SBD)

Bài 17: Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm,

BC=5 cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs:

17

34 6

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

6

6 a ) b

; 2

2 a

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

SA = a Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE

Đs: 3a 5 SH

5

