KHÔNG GIAN METRIC TREN R

Tuynhiên, do hạn chế về thời lượng chương trình nên các giáo trình của mônhọc này không trình bày chi tiết và đầy đủ về mêtric của một tập cụ thểnào đó mà chỉ cung cấp một số vấn đề về m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn:

ThS NGUYỄN VĂN DŨNG

ĐỒNG THÁP, NĂM 2009

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, cáckết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận là trung thực

Tác giả khóa luận

Hồ Đình Trưởng

Mục lục

1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nội dung nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Thời gian nghiên cứu 5

6 Cấu trúc khóa luận 5

II Nội dung 6 1 Kiến thức cơ sở 7 1 Tập hợp 7

1.1 Các phép toán trên tập hợp 7

1.2 Hợp, giao của một họ tập 8

2 Quan hệ và ánh xạ 8

1

2.1 Quan hệ 8

2.2 Quan hệ thứ tự 8

2.3 Ánh xạ 9

3 Số thực 11

3.1 Nguyên lí supremum và nguyên lí Cantor của một tập M ⊂ R 11

3.2 Tính trù mật của tập số hữu tỉ Q trong R 12

4 Mêtric và không gian mêtric 12

2 Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R 16 1 Tập mở và tập đóng 16

2 Vị trí tương đối gữa điểm và tập con trong không gian mêtric 21

3 Ánh xạ liên tục 23

4 Không gian mêtric đầy đủ 25

5 Không gian mêtric compắc 31

6 Không gian mêtric khả li, không gian mêtric liên thông 35

Phần I

Mở đầu

3

1 Lí do chọn đề tài

Mêtric là sự mở rộng của khái niệm khoảng cách trong thực tế Mộttập cùng với một mêtric trên nó được gọi là một không gian mêtric Tuynhiên, do hạn chế về thời lượng chương trình nên các giáo trình của mônhọc này không trình bày chi tiết và đầy đủ về mêtric của một tập cụ thểnào đó mà chỉ cung cấp một số vấn đề về mêtric trên tập bất kì Điềunày đã ảnh hưởng đến kết quả học tập, nghiên cứu và giảng dạy tiếptheo của các cử nhân sau này Do đó việc cụ thể một số vấn đề về mêtricvào một tập cụ thể nào đó đóng vai trò rất quan trọng Vì vậy chúng tôiquyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về mêtric trong R” làm đềtài nghiên cứu khóa luận

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại một số kiến thức về không gian mêtric

- Cụ thể hóa một số vấn đề về mêtric vào không gian mêtric R vớimêtric thông thường và mêtric rời rạc

- Xây dựng ví dụ minh họa về một số vấn đề của mêtric với mêtricthông thường và mêtric rời rạc

3 Nội dung nghiên cứu

Không gian mêtric R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của khóa luận là phương pháp nghiên cứutài liệu Cụ thể, đọc hiểu giáo trình trao đổi với giáo viên hướng dẫn vàcác thành viên trong nhóm nghiên cứu

5 Thời gian nghiên cứu

Từ tháng 06/2009 đến 10/2009

6 Cấu trúc khóa luận

Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 2 chương Ngoài

ra có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày về Kiến thức cơ sở, bao gồm 4 mục Mục 1 trìnhbày về tập hợp, Mục 2 trình bày về quan hệ và ánh xạ, Mục 3 trình bày

về số thực và Mục 4 trình bày về mêtric và không gian mêtric

Chương 2 trình bày về Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R,bao gồm 6 mục Mục 1 trình bày về tập mở và tập đóng, Mục 2 trìnhbày về vị trí tương đối giữa điểm và tập con, Mục 3 trình bày về ánh xạliên tục, Mục 4 trình bày về không gian mêtric đầy đủ, Mục 5 trình bày

về không gian mêtric compắc và Mục 6 trình bày về không gian mêtrickhả li và không gian mêtric liên thông

Nội dung

6

A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A.

Giả sử X là một tập hợp Kí hiệu P (X) được dùng để chỉ tập hợptất cả những tập con của X

Các phép toán hợp, giao, hiệu của hai tập hợp được định nghĩa lầnlượt như sau:

Hợp của A và B: A ∪ B = {x : x ∈ A hay x ∈ B},

Giao của A và B: A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B},

Hiệu của A và B: A\B = {x : x ∈ A và x /∈ B},

Phần bù của một tập: Giả sử X là một tập và A ⊂ X Tập X\A

7

được gọi là phần bù của tập A trong X và được kí hiệu là Ac.

Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là rời nhau hay không giao nhauhay có giao nhau bằng rỗng

Ai = {x : x ∈ Ai, với mọi i ∈ I}

Họ (Ai)i∈I được gọi là rời nhau từng đôi một nếu Ai∩ Aj = ∅ khi i 6= j

Ta gọi một tập con S của X × Y là một quan hệ trên X và Y ; mộttập con S của X2 là một quan hệ trên X

2.2 Quan hệ thứ tự

Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chấtsau:

1 Tính phản xạ: xSx, với mọi x ∈ X,

2 Tính phản xứng: Nếu mọi x, y ∈ X, xSy và ySx thì x = y,

3 Tính bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz

Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ viết x ≤ y

và viết x < y nếu x ≤ y và x 6= y

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X được gọi là một tập được sắp.Nếu mọi x, y ∈ X đều có x ≤ y hoặc y ≤ x thì X được gọi là được sắptuyến tính hay được sắp toàn phần Trong trường hợp khác thì X đượcgọi là được sắp bộ phận

Phần tử x ∈ X được gọi là phần tử tối đại nếu mọi y ∈ X, x ≤ y thì

E và x ∈ E thì x được gọi là phần tử lớn nhất (tương ứng, phần tử nhỏnhất ) của E

Một tập được sắp được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗngcủa nó đều có phần tử nhỏ nhất

2.3 Ánh xạ

Một quan hệ f trên X và Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếumọi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y để (x, y) ∈ f Nếu f là ánh xạ thìthay cho cách viết (x, y) ∈ f ta viết là

y = f (x), x ∈ X

Với mọi tập Y, ∅ là tập con duy nhất của ∅ × Y Vậy ∅ là ánh xạduy nhất từ ∅ vào Y

Ánh xạ IX : X −→ X, IX(x) = x, x ∈ X được gọi là ánh xạ đồngnhất trên tập X.

Nếu f : X −→ Y là song ánh thì tồn tại duy nhất ánh xạ f−1 : Y −→

X thỏa mãn

f−1 ◦ f = IX, f◦f−1 = IY được gọi là ánh xạ ngược của f

Cho ánh xạ f : X −→ Y và tập con D ⊂ X Đặt

f |D : D −→ Y, f |D(x) = f (x)

Ánh xạ f |D được gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên D

Một ánh xạ f : N −→ X được gọi là một dãy trong X

3 Số thực

Các khái niệm trong mục này được trình bày theo [4]

3.1 Nguyên lí supremum và nguyên lí Cantor của một tập

M ⊂ R

Ta có tập số thực R là tập được sắp với quan hệ ≤

Tập M được gọi là bị chặn trên (tương ứng, chặn dưới ) nếu M tồntại ít nhất một cận trên (tương ứng, cận dưới)

3.1 Định lí (Nguyên lí supremum) Mọi tập con M khác rỗng của

R bị chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới) thì tồn tại cận trên bé nhất(tương ứng, cận dưới lớn nhất)

Cận trên bé nhất của một tập bị chặn trên được gọi là supremum của

M và kí hiệu là supM Cận dưới lớn nhất của một tập bị chặn dưới đượcgọi là infimum của M và kí hiệu là infM

3.2 Tính trù mật của tập số hữu tỉ Q trong R

Với mỗi cặp số thực (a, b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ

r sao cho a < r < b

4 Mêtric và không gian mêtric

4.1 Định nghĩa ([1], Tr.25) Cho M là một tập khác rỗng Ta gọi hàm

số d : M × M −→ R là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu hàm số

đó thỏa mãn ba tiên đề sau:

1 Tính không âm: d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ M ;

d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2 Tính đối xứng: d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ M ;

3 Bất đẳng thức tam giác: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈

k

X

i=1

|xi − yi|2.Khi đó d là một mêtric trên Rk

Giải Với mọi x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk), z = (z1, z2, , zk) ∈

Rk, ta có:

Cụ thể khi k = 2 ta có: Rk = R2.

Với mọi x, y ∈ R2, ta đặt:

d(x, y) = p|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2.Khi đó d là một mêtric trên R2, mêtric này được gọi là mêtric Ơclit vàkhông gian (R2, d) là một không gian mêtric Ơclit

Cụ thể khi k = 3 ta có: Rk = R3

Với mọi x, y ∈ R3, ta đặt:

d(x, y) = p|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + |x3 − y3|2.Khi đó d là một mêtric trên R3, mêtric này được gọi là mêtric Ơclit vàkhông gian (R3, d) là một không gian mêtric Ơclit

với mọi x, y ∈ M Khi đó δ là một mêtric trên M , mêtric này được gọi

là mêtric rời rạc hay mêtric tầm thường trên M và không gian (M, δ)được gọi là không gian mêtric rời rạc hay không gian mêtric tầm thường.Giải 1 δ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ M ;

δ(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2 δ(x, y) = δ(y, x) với mọi x, y ∈ M ;

3 δ(x, z) ≤ δ(x, y) + δ(y, z) với mọi x, y, z ∈ M

Thật vậy, Nếu x 6= z thì y 6= z hoặc y 6= z do đó ta có δ(x, z) = 1

Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R

Trong chương này ta sẽ hệ thống một số vấn đề liên quan đến mêtric

và cụ thể hóa trên R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc

Khi viết (R, d) trong chương này ta sẽ hiểu d là mêtric Ơclit

Khi viết (R, δ) trong chương này ta sẽ hiểu δ là mêtric rời rạc

Trường hợp ε ≤ 1 thì δ(x, a) = 0 ⇔ x = a suy ra B(a, ε) = {x}.Trường hợp ε > 1 thì δ(x, a) = 0 hoặc δ(x, a) = 1 ⇔ x ∈ R suy raB(a, ε) = R

1.2 Mệnh đề 1 Khoảng mở (a, b) ⊂ (R, d) là một hình cầu mở

2 Khoảng mở (a, b) ⊂ (R, δ) không là một hình cầu mở

Chứng minh 1 Với mọi x ∈ (a, b) ta có:

2 .

2 Theo cụ thể hình cầu mở trong (R, δ) thì hình cầu mở là các tập

có một phần tử và R Vậy khoảng mở (a, b) ⊂ (R, d) không là hình cầumở

1.3 Định nghĩa ([1], Tr.30) Tập con A của M được gọi là tập mở nếumọi a ∈ A tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ∈ A

Cụ thể trong (R, d) ta có: Tập con A của (R, d) được gọi là tập mởnếu mọi a ∈ A tồn tại ε > 0 sao cho (a − ε, a + ε) ⊂ A

Cụ thể trong (R, δ) ta có: Mọi tập con A của (R, δ) là tập mở Thậtvậy với mọi a ∈ A, B(a,12) = {a} ⊂ A

1.4 Định lí ([4], Tr.41) Mỗi tập mở trong (R, d) bằng hợp của một sốhữu hạn hay đếm được các khoảng mở không giao nhau

Chứng minh Giả sử G là một tập mở trong (R, d)

Với mọi x ∈ G, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) = (x − r, x + r) ⊂ G

Kí hiệu 4x là tập hợp tất cả các khoảng mở chứa trong G và có chứa x

Ta chứng minh 4x cũng là một khoảng mở Thật vậy:

Đặt p = inf 4x, q =sup4x ( p, q có thể bằng −∞, +∞)

Với mọi y ∈ 4x thì p < y < q vì trước hết rõ ràng ta có p ≤ y ≤ q

Nếu y = p thì có một khoảng mở chứa trong x và chứ p nên mâu thuẩnvới p = inf 4x

Nếu z ∈ 4x thì 4x ⊂ 4z (vì 4z là khoảng mở lớn nhất chứa x) vậy thì

x ∈ 4z nên 4z < 4x Tức là 4x = 4z Cho nên với hai khoảng mở 4x

và 4y thì hoặc 4x∩ 4y = ∅ hoặc 4x = 4y (vì nếu có z ∈ 4x∩ 4y thì

Chứng minh Giả sử (Ai)i∈I là một họ các khoảng mở Đặt A = S

i∈I

Ai.Nếu x ∈ A thì tồn tại i0 ∈ I để x ∈ Ai0 Vì Ai0 mở nên có số dương r saocho B(x, r) ∈ Ai0 Khi đó B(x, r) ⊂ S

1.10 Nhận xét 1 Trong (R, d) khoảng là tập mở và đoạn là tập đóng

2 Trong (R, δ) mọi tập vừa là tập mở vừa là tập đóng

Chọn x = 0 ∈ Z, với mọi r < 0, B(x, r) ∩ (R\Z) 6= ∅ Suy ra 0 không

là điểm trong của Z Vậy Z không là tập mở

Chọn x = 0 ∈ Q, với mọi r < 0, B(x, r) ∩ (R\Q) 6= ∅ Suy ra 0 không

là điểm trong của Q Vậy Q không là tập mở

2 Ta có N = R\∪[(n, n+1)], n ∈ N Theo định lí 1.4 ta có ∪[(n, n+1)]

là tập mở Vậy N là tập đóng

Ta có Z = R\ ∪ [(n, n + 1)], n ∈ Z Theo định lí 1.4 ta có ∪[(n, n + 1)]

là tập mở Vậy Z là tập đóng

3 Vì Q = R 6= Q nên Q không là tập đóng trong (R, d)

1.12 Định nghĩa ([1], Tr.32) Cho A là một tập con của không gianmêtric X Khi đó ta gọi:

1 Hợp của tất cả các tập con mở của X được chứa trong A được gọi

là phần trong của A Kí hiệu là A0

2 Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa trong A được gọi làbao đóng của A Kí hiệu là A

1.13 Ví dụ Cho a, b ∈ (R, d) và a ≤ b Đặt A = (a, b] Khi đó:

A0 = (a, b), A = [a, b]

2.3 Định nghĩa ([4], tr.37)

1 Điểm x ∈ M được gọi là điểm tụ của A nếu bất kì lân cận nào của

x đều chứa một điểm của A khác x

2 Điểm x được gọi là điểm dính của A ∈ X nếu bất kì lân cận nàocủa x đều chứa một điểm của A

Cụ thể trong (R, d) thì ta có vị trí tương đối giữa điểm và tập controng (R, d) như sau:

Cho không gian mêtric (R, d) và A là tập con của R

1 Điểm x ∈ R được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho(x − ε, x + ε) ⊂ A

2 Điểm x ∈ R được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 saocho (x − ε, x + ε) ⊂ R\A

3 Điểm x ∈ R được gọi là điểm biên của A nếu mọi ε > 0 đều có:

A ∩ (x − ε, x + ε) 6= ∅và

(R\A) ∩ (x − ε, x + ε) 6= ∅

Cụ thể trong (R, δ) thì ta có vị trí tương đối giữa điểm và tập controng (R, δ) như sau:

Cho không gian mêtric (R, δ) và A là tập con của R

1 Điểm x ∈ R được gọi là điểm trong của A khi và chỉ khi x ∈ A

2 Điểm x ∈ R được gọi là điểm ngoài của A khi và chỉ khi x /∈ A

3 Điểm x được gọi là điểm dính của A ∈ R khi và chỉ khi x là điểmtrong của A

2.4 Ví dụ Cho tập A = [0, 3]

+ 1 là điểm trong của A

+ 5 là điểm ngoài của A

+ 0, 3 là điểm biên và điểm dính của A

n, } Khi ấy A có điểm

tụ duy nhất là điểm 0 Mọi điểm thuộc A đều là điểm dính của A nhưngkhông phải là điểm tụ của A

2.6 Ví dụ Mọi điểm của tập B = (0, 1] đều là điểm tụ của B

2.7 Ví dụ Khoảng mở (a, b) có các điểm tụ là mọi điểm x ∈ [a, b] Tập{1

n : n ∈ N } chỉ có một điểm tụ là 0.

2.8 Hệ quả Mỗi tập đóng trên (R, d) là phần còn lại sau khi rút khỏi

R một số hữu hạn hay đếm được các khoảng mở rời nhau

Các khoảng mở này gọi là các khoảng kề của tập đóng đó

3 Ánh xạ liên tục

3.1 Định nghĩa ([1], Tr.36) Cho hai không gian mêtric (X, d) và (Y, p).Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là liên tục tại x0 ⊂ X nếu với mọi ε > 0tồn tại δ > 0 sao cho d(x, x0) < δ kéo theo p(f (x), f (x0)) < ε

Vậy f liên tục tại x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho:

f (B(x0, δ)) ⊂ B(f (x0, ε)),hay một cách tương đương

f−1(B(f (x0, ε) ⊃ B(x0, δ))

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên X nếu mọi ε > 0 tồn tại δ > 0sao cho với mọi x1, x2 ∈ X, d(x1, x2) < δ thì :

p(f (x1), f (x2)) < ε

Cụ thể hóa ánh xạ liên tục trong R với mêtric thông thường:

3.2 Định nghĩa ([1], Tr.36) Cho X, Y ⊂ (R, d)

Xét hai không gian mêtric (X, d) và (Y, d) Ánh xạ f : X −→ Y gọi

là liên tục tại x0 ⊂ R nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x, x0) < δthì d(f (x), f (x0)) < ε

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi x ∈ R.Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên R nếu mọi ε > 0 sao cho vớimọi x1, x2 ∈ R, d(x1, x2) < δ thì:

d(f (x), f (x0)) < ε3.3 Định nghĩa ([5], Tr.157)

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b) Ta nóirằng hàm số f liên tục tại điểm x0 nếu

lim

x→x0f (x) = f (x0)

Hàm số f không liên tục tại điểm x0 được gọi gián đoạn tại điểm này.3.4 Nhận xét Hàm số f liên tục tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃δ > 0sao cho |x − x0| < δ kéo theo |f (x) − f (x0)| < ε

Khi cụ thể hóa ánh xạ liên tục vào (R, d) thì khái niệm ánh xạ liêntục trong (R, d) và khái niệm hàm số một biến liên tục là trùng nhau

Vậy tính liên tục, liên tục đều trong giải tích cổ điển chính là liên tục,liên tục đều của hàm số xác định trên tập con của (R, d) Ta đã biết liêntục đều thì liên tục còn đều ngược lại nói chung không đúng

δ ≥ ε = 1

3.6 Ví dụ 1 Hàm số f (x) = c, x ∈ R, trong đó c là số thực, liêntục tại mỗi điểm x0 ∈ R vì

4 Không gian mêtric đầy đủ.

4.1 Định nghĩa ([1], Tr.38) Cho (X, d) là một không gian mêtric.Dãy {xn} trong X được gọi là hội tụ đến a ∈ X nếu: lim d(xn, a) =

0, kí hiệu lim

n−→∞xn = a, lim xn = a hoặc xn −→ a

Nếu lim xn = a thì a gọi là giới hạn của dãy {xn}

Nếu dãy {xn} không hội tụ đến a thì ta kí hiệu xn 9 a.

4.2 Định nghĩa ([4], Tr.52) Dãy {xn}n trong không gian mêtric Xđược gọi là dãy cơ bản hay dãy cauchy nếu lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0 Nóicách khác {xn}n là dãy cơ bản khi và chỉ khi:

n + 1 là dãy Cauchy trong (R, d)

2 Dãy {0, 1, 2, 3, , n, n, } là dãy Cauchy trong (R, δ)

4.4 Bổ đề 1 Nếu {xn}n là một dãy hội tụ trong X thì nó là mộtdãy cơ bản trong X

2 Nếu dãy cơ bản {xn}n có một dãy con {xkn}n ⊂ {xn}n sao cho{xkn}n hội tụ đến x0 thì chính dãy {xn}n cũng hội tụ về x0

4.5 Định nghĩa ([1], Tr.39) Không gian mêtric X gọi là không gianmêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X

4.6 Bổ đề Giả sử {xn}∞n=1 là một dãy Cauchy trong không gian mêtric(X, d), x0 ∈ X thỏa mãn mọi lân cận bất kì của x0 đều chứa vô số điểmcủa dãy {xn}∞n=1 Khi đó dãy {xn}∞n=1 hội tụ đến x0

lim

n−→∞xn = x0