Xuất phát từ các tính chất của các cấp số này, chúng ta lần lượt giải các bài toán tìm số hạng của cấp số nhân cộng, của phương trình sai phân dạng xn+1 = qxn + c.n và cuối cùng là của
Trang 1MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CẤP SỐ VÀ DÃY SỐ Bài 2 (17/5/2009)
Tuần trước chúng ta đã làm quen với khái niệm dãy số và hai cấp số cơ bản nhất là cấp số cộng và cấp số nhân Xuất phát từ các tính chất của các cấp số này, chúng ta lần lượt giải các bài toán tìm số hạng của cấp số nhân cộng, của phương trình sai phân dạng xn+1 = qxn + c.n và cuối cùng là của phương trình sai phân tuyến tính bậc hai hệ số hằng
Trong bài này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương pháp giải phương trình sai phân bậc hai trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép và trong trường hợp phương trình đặc trưng không có nghiệm thực Cuối cùng, chúng ta làm quen với sai phân của dãy số, những tính chất cơ bản của sai phân hữu hạn và ứng dụng của
nó
Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai, trường hợp nghiệm kép
Ta bắt đầu bằng câu hỏi thứ nhất đặt ra trong bài trước: Với dãy số dạng x0 = x0, xn+1 = qxn + c.n khi q = ta
xử lý thế nào?
Dưới đây ta đưa ra một cách giải khác cho bài toán trên
Ta có xn = qxn-1 + c.n-1
xn-1 = qxn-2 + c.n-2
…
x1 = qx0 + c
Nhân dòng thứ hai với q, dòng thứ 3 với q2 và dòng thứ n với qn-1 rồi cộng vế theo vế, ta được (chú ý rằng các số hạng qxn-1, q2xn-2 …, qn-1x1 triệt tiêu nhau ở hai vế)
xn = qnx0 + c(n-1 + qn-2 + … + qn-1)
Từ đây, nếu q thì ta có
q
q c
x q x
n n n
n
( 0
chính là công thức ta đã thu được trong bài trước Trong trường hợp q = thì ta có ngay
xn = qnx0 + cnqn-1 = qn(x0+cn/q)
Từ kết quả này, ta dễ dàng chứng minh được định lý sau
Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp nghiệm kép) Xét dãy số xn xác định bởi x1 = x1, x2 = x2 (tức là các số hạng này được cho trước) và
xn+1 = axn + bxn-1 (1)
Giả sử phương trình x2 – ax – b = 0 (2) có nghiệm kép = Khi đó công thức tổng quát của dãy số xn sẽ có dạng xn = c1n + c2nn trong đó c1, c2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là từ hệ phương trình
2 2
1 2
Trang 2Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp không có nghiệm thực
Ta bắt đầu từ lời giải bài tập 7 của bài trước
Bài toán 1 Dãy số xn xác định bởi x0 = 2, x1 = 1 và xn+1 = xn – xn-1
a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn;
b) Tìm công thức tổng quát cho xn
Lời giải
a) Ta tính các số hạng đầu tiên của dãy số thì được dãy
2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, …
Từ đó ta nhận thấy xn+6 = xn với mọi n Ta có thể chứng minh chặt chẽ điều này bằng quy nạp toán học
b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta đến các dãy số cos(n) và sin(n) Nếu = 2/k thì các dãy này tuần hoàn với chu kỳ k Để ý rằng phương trình xn+1 = xn – xn-1 có thể viết lại dưới dạng
xn+1 + xn-1 = 2cos(/3)xn (1)
Áp dụng các công thức
2
sin 2 cos 2 sin sin , 2
cos 2 cos 2 cos cosx y xy x y x y xy xy
ta thấy các dãy số cos(n/3), sin(n/3) đều thoả mãn phương trình (1), từ đó dãy số xn = c1cos(n/3) + c2sin(n/3) với c1, c2 là hằng số cũng thoả mãn (1) Bây giờ, ta chỉ cần chọn c1, c2 thích hợp để x0 = 2, x1 = 1 là xong Giải hệ
c1cos(0) + c2sin(0) = 2 c1cos(/3) + c2sin(/3) = 1
ta được c1 = 2, c2 = 0 Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là xn = 2cos(n/3)
Chú ý rằng kết quả phần a) của bài toán này có thể dùng để giải bài tập 3 của bài trước
Bài toán 2 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số n n
) 3 4 7 ( ) 3 4 7 ( là một số nguyên không chia hết cho 13
Lời giải tóm tắt 74 3,74 3 là hai nghiệm của phương trình x2 – 14x + 1 = 0, từ đó
n n
n
x (74 3) (74 3) thoả mãn hệ thức xn+1 = 14xn – xn-1 Do x0 = 2, x1 = 14 nên xn nguyên với mọi n nguyên dương Mặt khác nếu gọi rn là số dư trong phép chia xn cho 13 thì ta có rn+1 = rn – rn-1 (mod 13) Áp dụng bài toán trên, ta thấy dãy số dư là 2, 1, -1 (tức là 12), -2, 1, 2, … tuần hoàn và không có số dư nào bằng 0
Bây giờ ta sẽ sử dụng phương pháp giải của bài toán 1 để giải phương trình sai phân xn+1 = axn + bxn-1 trong trường hợp = a2 + 4b < 0 Đặt xn = cnyn, thay vào phương trình, ta được
cn+1yn+1 = acnyn + bcn-1yn-1
<=> yn+1 + (-b/c2)yn-1 = (a/c)yn (1)
Bây giờ ta sẽ chọn c sao cho (-b/c2) = 1, tức là chọn c b (điều này thực hiện được do b < 0) Khi đó (1) được viết lại thành
) 2 ( 1
b
a y
y
Trang 3Do a2 + 4b < 0 nên ta có 2.
b
a
Đặt 2cos
b
a
thì (2) trở thành yn+1 + yn-1 = 2cos.yn (3)
Tương tự như ở trên, ta tìm được yn có dạng c1cos(n) + c2sin(n), trong đó c1, c2 là các hằng số được tính từ các điều kiện ban đầu
Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau:
Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp không có nghiệm thực) Xét dãy số xn xác định bởi x1 = x1, x2 = x2 (tức là các số hạng này được cho trước) và
xn+1 = axn + bxn-1 (1)
Giả sử phương trình x2 – ax – b = 0 (2) không có nghiệm thực, tức là a2 +4b Khi đó công thức tổng quát của dãy
số xn sẽ có dạng
) sin(
) cos(
( ) ( b c1 n c1 n
trong đó
b
a
2 cos ; c1, c2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu
Sai phân hữu hạn Tính chất và ứng dụng
Khi giải các bài toán tìm quy luật tổng quát của các dãy số, chẳng hạn
1, 4, 7, 10, 13, …
1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 3, 6, 10, 15, …
Ta thường xét dãy các hiệu liên tiếp của chúng
3, 3, 3, …
1, 2, 3, 5, 8, …
2, 3, 4, 5, …
phát hiện được quy luật cho dãy các hiệu rồi từ đó tìm ra quy luật của dãy số ban đầu Dãy các hiệu như vậy được
gọi là dãy sai phân của dãy ban đầu
Định nghĩa Cho dãy số {xn}n=1 Sai phân bậc nhất của {xn} là dãy số {xn} n=1 được xác định như sau
xn = xn+1 – xn với mọi n=1, 2, …
Dãy số 2xn = (xn) được gọi là sai phân bậc hai của dãy xn Tương tự, ta định nghĩa bằng quy nạp kxn =
(k-1xn), được gọi là sai phân bậc k
Ghi chú Đôi khi người ta định nghĩa sai phân lùi, xn = xn – xn-1 Để cho tiện lợi, trong bài này, chúng ta sử dụng định nghĩa nói ở trên
Một số tính chất của sai phân
1) (xn+yn) = xn + yn
2) (cxn) = cxn
3)
n
n
Trang 44) {xn} là cấp số cộng khi và chỉ khi {xn} là hằng số; {xn} là cấp số nhân khi và chỉ khi {xn} là cấp số nhân
5) Nếu {xn} là một đa thức bậc k theo n thì {xn} là một đa thức bậc k-1 theo n Hơn nữa nếu xn = Pk(x) với
hệ số cao nhất là P* thì xn-1 = Qk-1(x) có Q* = kP*
Phương trình sai phân là phương trình mà ẩn phải tìm là dãy {xn} thoả mãn mối liên hệ ràng buộc giữa bản thân dãy xn và các sai phân của nó Chẳng hạn cấp số cộng được đặc trưng bởi phương trình
xn = d hoặc là 2xn = 0
Phương trình của dãy Fibonacci xn+2 – xn+1 – xn có thể viết dưới dạng
xn+2 – 2xn+1 + xn + xn+1 – xn – xn = 0
hay
2xn + xn - xn = 0
Với tính chất 3), sai phân bậc nhất có một ứng dụng quan trọng là tìm tổng n số hạng đầu của một dãy số Khi cần tìm tổng x1 + x2 + … + xn, ta tìm một dãy {yn} sao cho yn = xn, khi đó x1 + x2 + … + xn = yn+1 – y1
Chẳng hạn với các tổng
!
! 2
2
!
1
1
) 1 )(
2 (
4 3 2 3
2
1
) 1 (
1
3 2
1 2
1
1
n n
n n n
n n
ta có thể tìm được các dãy yn tương ứng là {1/n}, {(n-1)n(n+1)(n+2)/4}, {(n+1)!} và từ đó các tổng tương ứng bằng 1/n – 1, (n-2)(n-1)n(n+1)/4 và (n+1) ! – 1
Bài toán 3 Hãy lập công thức tính tổng
14 + 24 + … + n4
Lời giải Ta tìm hàm số f sao cho f(n+1) – f(n) = n4 với mọi n Theo tính chất 5) ta sẽ tìm f dưới dạng một đa thức bậc 5 Giả sử f(n) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f thì hệ thức f(n+1) – f(n) = n4 tương đương với
a((n+1)5-n5) + b((n+1)4 – n4) + c((n+1)3 – n3) + d((n+1)2 – n2) + e(n+1-n) = n4
Đồng nhất hệ số hai vế, ta được hệ
5a = 1
10a + 4b = 0
10a + 6b + 3c = 0
5a + 4b + 3c + 2d = 0
a + b + c + d + e = 0
Từ đây giải ra được
a = 1/5, b = -1/2, c = 1/3, d = 0, e = -1/30
f có thể nhận giá trị bất kỳ và ta chọn f = 0
Từ đây
30
) 1 3 3 )(
1 2 )(
1 (
30
) 1 10 15 6 ( ) 1 ( ) 1 ( 10 ) 1 ( 15 ) 1 ( 6
2
1
2
3 4
5 4
4
4
n n n
n
n
n n
n n
n
Bài tập
Trang 51 Các dãy số {xn} và {yn} được xác định bởi
x1 = 3, y1 = 2 và xn+1 = 3xn + 4yn, yn+1 = 2xn + 3yn với mọi n=1, 2,
a) Tìm công thức tổng quát tính xn, yn;
b) Chứng minh rằng với mọi n ta có xn2 – 2yn2 = 1
2 Cho dãy số {xn} xác định bởi các số hạng ban đầu x1, x2 và công thức truy hồi xn+1 = axn + bxn-1 với mọi n=2,
3, Chứng minh rằng nếu dãy {xn} chứa toàn các số hạng dương thì phương trình x2 – ax – b = 0 có tất cả các nghiệm đều thực
3 Tìm công thức tổng quát cho dãy số {xn} xác định như sau
x1 = 1, xn+1 = 1/(2+xn) với mọi n = 1, 2,
4 Chứng minh công thức
k
j
j k n j k j n
k
x C x
0 ) 1 (
5 Nhận xét rằng
(x+1) – x = 1
(x+2)2 – 2(x+1)2 + x2 = 2
(x+3)3 – 3(x+2)3 + 3(x+1)3 – x3 = 6
(x+4)4 – 4(x+3)4 + 6(x+2)4 – 4(x+1)4 + x4 = 24
Hãy dự đoán và chứng minh tính chất tổng quát của quy luật trên
6 (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a1 = 1/2,
1 2
2 1
n n
n n
a a
a
Chứng minh rằng a1 + a2 + … + an < 1 với mọi số nguyên dương n
7 Dãy số {xn} với n = 1, 2, 3, được xác định bởi 2, 1,2,3,
2
1 ,
1 x x x n
Hãy rút gọn tổng
n
n
x
S
1 1