Các phương trình Maxwell: Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác định bởi vectơ cường độ điện trường E t r , và vectơ cảm ứng từ B t r , với r là vectơ vị
Trang 1Chương I :
VẬT LÝ SÓNG
I PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ:
1 Các phương trình Maxwell:
Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác định bởi vectơ
cường độ điện trường E( t r , ) và vectơ cảm ứng từ B( t r , )với r là vectơ vị trí tại điểm đang xét
Lực tác dung lên điện tích thử Q chuyển động với vận tốc v được biểu diễn thông qua E
và B
như sau:
) (v B Q E Q
Nguồn của trường điện từ là các điện tích và dòng điện , để đặc trưng cho các đại
lượng đó người ta dùng mật độ điện tích và vectơ mật độ dòng điện j
Các phương trình Maxwell biểu diễn mối liên hệ giữa sự biến thiên của trường điện từ (E ,B )
với các nguồn của nó (điện tích, dòng điện) :
o Phương trình Maxwell-Flux (M-) : div B
= 0 (bảo toàn từ thông)
o Phương trình Maxwell-Faraday (M-F) :
t
B E
rot
(cảm ứng điện từ)
o Phương trình Maxwell-Gauss (M-G) : div E
=
0
(định lý Gauss)
o Phương trình Maxwell-Ampère :
t
E j
B rot
0 0 0 (định lý Ampère)
j
: dòng điện dẫn
t
E
0 : dòng điêïn dịch
ε 0 =
36
1 10-9 (F/m) : hằng số điện
µ 0 = 4.10-7 H/m : hằng số từ
2 Các phương trình lan truyền sóng:
Thực hiện phép toán rotor đối với phương trình M-F :
) ( )
( )
t t
B rot E rot
Mặt khác :
Trang 2A A div grad A
rot
) (
Từ phương trình M-A, lấy đạo hàm hai vế theo thời gian :
2 2 0 0 0
) (
t
E t
j B
rot
t
j grad
t
E E
0 2
2 0
Một cách tương tự, tác dụng toán tử rotor vào hai vế phương trình M-A ta lại có:
) ( )
( )
(
0 0 0
0 0
t j
rot t
E rot j
rot B
rot
Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình M-F :
2 2 0 0 0
0 ( )
t
B E
rot
2 2 0 0 0
) (
t
B j
rot B
B div grad
j rot t
B
2 0
(a) và (b) là các phương trình lan truyền của trường
3 Trường hợp không có nguồn : ( 0 , j 0 )
Các phương trình lan truyền của điện trường E
và từ trường B
lúc đó có dạng của phương trình D’Alembert:
0 1
2 2
2
t
E c
E
2
2
t
B c B
(c)
Với c2 = 1/00 :vận tốc truyền trong chân không
Toán tử D’Alemert: =
t
c
E
=0 ; B
= 0
Đối với mỗi thành phần của trường acó thể biểu diễn dưới dạng a 0
4 Các thế của trường :
Ta có : div(rot A
) = 0
Từ phương trình M- : div B 0
=> tồn tại một trường vectơ A
sao cho : B rot ( A )
Mặt khác, rot(gradV) 0
Từ phương trình M-F :
Trang 30 ) (
) ( )
(
t
A E rot
t
A rot A
rot t t
B E
rot
=> trường vectơ
t
A E
là trường xoáy, vậy tồn tại một trường vô hướng V sao
cho :
gradV t
A
Tóm lại ,trường điện từ (E ,B )
có một cặp thế (A ,V)
liên hệ với chúng qua biểu thức :
gradV t
A
; B rot A
Nhận xét rằng, nếu A là vectơ thế của trường điện từ thì:
A
’ = A + gradf cũng là vectơ thế (f là một hàm số bất kỳ)
Và nếu V là thế vô hướng của trường thì
V’ = V
-t
f
cũng là thế vô hướng
Trong số những cặp thế của một trường điện từ xác định, tồn tại một cặp thế thoả
điều kiện chuẩn Lorentz :
0
0
0
t
V A
div
Khi đó :
) ( )
(
0
A div t
V t
A gradV div E
0 2
2 0
t
V
Và
2 2 0 0 0
0 0 0
0 0 0
) (
t
A t
V grad j
t
E j
t
E j
A rot rot B
rot
2 2 0 0
) (
t
A A
div grad j
A A div
grad
j t
A
0 2 2 0
0
(c) và (d) là các phương trình lan truyền của các thế.
II SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG CHẠY ĐIỀU HOÀ LIÊN TIẾP (OPPH – Ondes Planes Progressives Harmoniques) :
1 Mở đầu:
Trang 4- Mặt sóng : là tập hợp các vị trí mà độ lớn của trường không đổi vào thời điểm xác
định
- Sóng phẳng (OP) là sóng có mặt sóng là một họ các m ặt phẳng vuông góc với
phương truyền sóng xác định u (u 1 )
- Sóng phẳng liên tiếp (OPP) là sóng phẳng truyền theo phương và chiều xác định,
hàm sóng có dạng:
) (
)
,
(M t f u r ct
Nghiệm của phương trình D’Alembert là tổ hợp các sóng phẳng liên tiếp theo một phương u nào đó
- Sóng phẳng điều hoà liên tiếp : là sóng phẳng liên tiếp mà hàm sóng có dạng sin hoặc cos.
) cos(
)
,
(r t A t r
- Số sóng
2
= k
- Vectơ sóng kk u
Sóng điện từ phẳng điều hoà liên tiếp là nghiệm của phương trình Maxwell mà 6 thành phần của trường điện từ có cùng tần số góc và cùng vectơ sóng k
Có thể biểu diễn trường điện từ dưới dạng phức :
) ( 0
r t j e E
0
r t j e B
( j2 1) Các toán tử đạo hàm tác dụng lên trường phức tương đương với phép nhân :
j
t
2 Cấu trúc của OPPH trong chân không :
Biểu diễn pt Maxwell bằng cách sử dụng toán tử nabla
0
0
B
E
t E B
T B E
/
/
0 0
Viết dưới dạng phức :
0
j kE
(1) j k E j B
0
j kB
0 0
Từ phương trình (1) ta có k E 0 u.E 0
0 ) Re(
0 )
0
uE
Một cách tương tự ta cũng có u.B 0
Sóng điện từ phẳng đều hoà liên tiếp trong chân không là sóng ngang
)
3
( B k E k u E
Trang 5)
4
C B u
2
ˆ
Thế (3’) vào (4’) :
E C E
u k
u
2
) (
Mà ta có : u u E uE u uu E E
.
=> 2 22
c
k
(3’) =>
c
E u E u k B
Lấy phần thực :
c
E u c
E u
B
) Re(
=> (u,E ,B )
tạo thành một tam diện thuận
Mặt khác tỷ số giữa trường điện và từ là:
c t M B
t M
) , (
) , (
Điện trường và từ trường của OPPH đồng pha Các tính chất trên cũng đúng với OPP.
3 Sự phân cực của OPPH :
Trong OPPH phương của điện trường E
trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng u chưa được xác định Phương của vectơ E
được gọi là phương phân cực của sóng
Xét trong hệ toạ độ Descartes, giả sử sóng truyền theo phương z :
) cos(
0x t kz x
E
= E0ycos( tkz y)
0
Một khi biết được điện trường E
ta có thể xác định được từ trường nhờ cấu trúc của OPPH
Tại một vị trí z = z 0 cố định, ta có thể viết sự biến thiên của điện trường như sau :
) cos(
0 t E
E x x
) cos(
0
E y y
Với x y : độ trễ pha của E y đối với E x
Đầu mút của vectơ điện trường dịch chuyển trong mặt phẳng (xOy), trên đường
ellipse có phương trình :
2 2
sin cos ) )(
( 2 ) ( )
E
E E
E E
E E
E
Trang 6nội tiếp trong hình chữ nhật có cạnh 2E0x và 2E0y
Để xác định chiều chuyển động dọc theo ellipse, ta xét vào thời điểm t = 0, khi đó
x
E 0 và :
sin )
( y t 0 E0y
dt
dE
chiều quay được chỉ ra bởi dấu của sin
Nếu chiều quay thuận chiều kim đồng hồ: sóng phân cực ellipse trái, sin > 0
Nếu chiều quay ngược chiều kim đồng hồ: sóng phân cực ellipse phải, sin < 0
Nếu = 0 hoặc = ,đầu mút của E
dịch chuyển trên đường thẳng xác định, ta có phân cực thẳng
Nói chung một sóng phân cực ellipse có thể xem là tổng của 2 sóng phân cực thẳng theo hai phương vuông góc với nhau => mọi sóng điện từ trong chân không là sự tổng hợp của các sóng phẳng điều hoà liên tiếp phân cực thẳng.
Nếu = /2 và E0x = E0y ta có phân cực tròn
4 Sự truyền năng lượng của OPPH:
a) Mật độ năng lượng của trường điện từ :
0
2 2 0
2
Đối với OPPH :
c
E
B =>
0
2 2
0
năng lượng được phân bố đều dưới dạng điện và từ
Đối với một sóng OPPH truyền theo phương của trục Ox ,trường điện từ có dạng:
Trang 7) ( 0
kx t j e E
) (
x
e c
E u
Giá trị trung bình của e:
0 0
* 0
2 0
2
Re 2
1
E E
E E
e
b) Vectơ Poynting:
Công suất của sóng điện từ đi qua một đơn vị diện tích bằng dòng của vectơ Poynting:
0
B
E
(dòng năng lượng đi qua diệm tích S :
S
S
0 0
0
u E c c
E u E B
Đối với sóng OPPH có tần số, giá trị trung bình <> của công suất truyền qua mặt S :
<> = < >.S
= 1/2Re(E B S c E .S
2
1
0
*
Ghi chú: < E (t) B (t)
2
1 )) ( ) ( Re(
2
t B t E t
B t
) cos(
2
1 ) Re(
2
1
2 1 )
(1 2
m m j
m
c) Vận tốc truyền năng lượng:
Gọi v e là vận tốc truyền năng lượng
t
S.
.
: năng lượng truyền qua diện tích S vuông góc với phương truyền sóng trong khoảng thời gian t
e t
v
S. e. : năng lượng chứa trong thể tích S.v e. t
t S e
t
v
S. e.
=>
e
v e
Xét trường hợp của OPPH : v e c
z z
y
E
) sin(
)
c
E E kx
t E
kx t E
c
u u c
z y
2
) sin(
) (
cos
0
2 0 2 2
0 2
2 0 0 0
2
2 )
sin(
) (
cos
2 0 2 0 0 2
0 2
2 0 0 2 0
z y z
y
E E kx
t E
kx t E
E
Trang 8- Vectơ Poynting phức :
0
*
B
E
j t k r
E
E 0 exp
Đối với OPPH :
c
E
u
c
E
u
* 0
*
c
E u c
E E c
E u E B
).
( ) (
0
2 0 0
* 0 0 0
* 0 0
0
*
=> d S
c
2
2 0 0 0
2
một số khĩa học thuộc chương trình học liệu mở của hai trường đại học nổi tiếng thế giới MIT và Yale.
• http://mientayvn.com/OCW/YALE/Ki_thuat_ y_sinh.html