Phần I : VẬT LÝ SÓNGI-PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ: 1.Các phương trình Maxwell: Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác định bởi vectơ cường độ điện trươ øng E t r
Trang 1Phần I : VẬT LÝ SÓNG
I-PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐIỆN TỪ:
1.Các phương trình Maxwell:
Trường điện từ trong chân không vào thời điểm t nào đó được xác định bởi vectơ cường độ điện trươ øng E( t r , ) và vectơ cảm ứng từ
)
,
( t r
B với r là vectơ vị trí tại điểm đang xét
Lực tác dung lên điện tích thử Q chuyển động với vận tốc v được biểu diễn thông qua E
và B
như sau:
) (v B Q E Q
F
Nguồn của trường điện từ là các điện tích và dòng điện ,để đặc trưng cho các đại lượng đó người ta dùng mật độ điện tích và vectơ mật độ dòng điện j
Các phương trình Maxwell biểu diễn mối liên hệ giữa sự biến thiên của trường điện từ (E ,B )
với các nguồn của nó (điện tích ,dòng điện)
o Pt M-Φ : divB
= 0 bảo toàn từ thông
o Pt M-F :
t
B E rot
cảm ứng điện từ
o Pt M-G : divE
=
0
o Pt M-A :
t
E j
B rot
j
: dòng điện dẫn
t
E
0 : dòng điêïn dịch
ε0 =
36
1 10-9 (F.m-1 ) :hằng số điện
µ0 = 4.10-7 H.m-1
2.Các phương trình lan truyền sóng:
) ( )
( )
t t
B rot E
rot
Mặt khác
Trang 2) (
) (
) (
) (
) ( )
(
) ( )
(
) (
) ( )
(
0 2 2 0 0
2 2 0 0 0
2 2 0 0 0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 2
2 0 0
2 2 0 0 0
b j rot t
B B
t
B j
rot B
B div grad
t
B E
rot t F
M
E rot t j
rot
t
E rot j
rot B
rot rot A M
a t
j grad
t
E E
t
E t
j B
rot t A
M
A A div grad A
rot rot
(a) và (b) là phương trình lan truyền của trường
3.Trường hợp không có nguồn:( 0 , j 0 )
Các pt lan truyền của điện trường E và từ trường B lúc đó có dạng của pt D’Alembert:
0 1
2 2
t
E C
E
; 1 / 2 0
2
t
B C B
(c) Với C2 = 1/00 :vận tốc truyền trong chân không
Toán tử D’Alemert: =
t
C
/ 1
E
=0 ; B
= 0
Đối với moat thành phần của trường (a),có thể biểu diễn dưới
dạng a =0
4.Các thế của trường:
Div(rotA
) = 0
0
div B
=>tồn tại moat trường vectơ A
: B rot ( A )
0 ) (
) ( )
(
t
A
E
rot
t
A rot A
rot t t
B E rot
F
M
=>trường xoáy tồn tại trường vô hướng V :
Trang 3) 0 ) (
gradV rot
gradV t
A E
Tóm lại ,trường điện từ (E
,ø B
) có moat cặp thế ( A,V) liên hệ với chúng
qua biểu thức :
E
=
-t
A
gradV
= rot A Nếu A là vectơ thế của trường điện từ thì:
A
’ = A + gradf cũng là vectơ thế
V là thế của trường thì
V’ = V
-t
f
cũng là thế
Trong số những cặp thế của một trường điện từ xác định tồn tại moat cặp
thế thoả điều kiện chuẩn Lorentz :
0
0
t
V A
div
j t
A A
t
A A
div grad j
A A
div
grad
t
A t
V grad
j
t
E j
t
E j
A
rot
rot
B
rot
t
V V
A div t
V t
A gradV div
E
div
0 2 2 0
0
2 2 0 0 0
2 2 0 0 0
0
0
0 0 0 0
0
0 2
2 0
0
0
) ( )
(
) (
) (
) (
) ( )
(
II- SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG CHẠY ĐIỀU HOÀ LIÊN
TIẾP:(OPPH)
1.Mở đầu:
- Mặt sóng : là tập hợp các vị trí mà độ lớn của trường không đổi vào thời điểm xác định
- Sóng phẳng (OP) là sóng có mặt sóng là một họ các mp vuông góc với phương truyền sóng xác định u (u 1 )
- Sóng phẳng liên tiếp (OPP) là sóng phẳng truyền theo phương và chiều xác định ,hàm sóng có dạng:
a(M,t) = f(u.rct)
Trang 4Nghiệm của phương trình D’Alembert là tộ hợp các sóng phẳng liên tiếp theo một phương u nào đó
- Sóng phẳng điều hoà liên tiếp :là sóng phẳng liên tiếp mà hàm sóng có dạng sin hoặc cos
) cos(
) , (r t A t r
Số sóng k= /C 2/
Vectơ sóng k
= k u
- Sóng điện từ phẳng điều hoà liên tiếp là nghiệm của phương trình Maxwell mà 6 thành phần của trường điện từ có cùng tần số góc và
cùng vectơ sóng k
Có thể biểu diễn trường điện từ dưới dạng phức :
) ( 0
r t j
e E
E
0
r t j
e B
B
Các toán tử đạo hàm tác dụng lên trường phức tương đương với phép nhân :
j
t
; j k
2.Cấu trúc của OPPH trong chân không :
Biểu diễn pt Maxwell bằng cách sử dụng toán tử rabla
0
0
B
E
t E B
T B E
/ / 0 0
=>Dưới dạng phức :
) 2 ( 0
) 1 ( 0
B k
j
E k
j
) 4 (
) 3 (
0
0 j E B
k j
B j E k j
(1)=>
0 0
) Re(
) Re(
0 0
.
E u E
u o E u
E u E
k
Một ách tương tự => uB 0
Sóng điện từ phẳng đều hoà liên tiếp trong chân không là sóng ngang
(3) => B k E k.u E ( 3 ' )
C B u
k
Thế (3’) vào (4’) :
E C E
u
k
u
2 )
(
Ta có: u u E uE u uu E E
( ) ( ) ( ) )
.
=> 2 22
c
k
Trang 5(3’) =>
c
E u E u
k
B
Lấy phần thực :
c
E u c
E u
B
) Re(
=> (u,E ,B )
tạo thành một tam diện thuận
Mặt khác tỷ số giữa trường điện và từ là:
c t M
B
t M
E
) , (
) , (
Điện trường và từ trường của OPPH đồng pha Các tính chất trên cũng đúng với OPP
3.Sự phân cực của OPPH:
Trong OPPH phương của điện trường E
trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng u chưa được xác định Phương của vectơ E
được gọi là phương phân cực của sóng
Xét trong hệ toạ độ Descartes ,giả sử sóng truyền theo phương z
) cos(
0x t kz x
E
E
= E0ycos( tkz y)
0
Một khi biết được điện trường E
ta có thể xác định được từ trường bởi cấu trúc OPPH
Tại một vị trí z = z0 cố định ,ta có thể viết sự biến thiên của điện trường như sau :
Ex = E0xcos( t)
Ey = E0ycos( t)
Với = x - y : độ trễ pha của E y đối với E x
Đầu mút của vectơ điện trường dịch chuyển trong mp (xOy) ,hình chữ nhật có cạnh 2E0x và 2E0y trên đường ellipse có pt:
2 0
0 2
0 2 0
sin cos ) )(
( 2 ) ( )
y y x x y
y x
x
E
E E
E E
E E
E
Để xác định chiều chuyển động dọc theo ellipse ,ta xét vào thời điểm t=0 ,khi đó Ex = E0x và :
sin )
( y t 0 E0y
dt
dE
chiều quay được chỉ ra bởi dấu của sin
Trang 6 Nếu chiều quay thuận chiều kim đồng hồ :sóng phân cực ellipse trái, sin > 0
Nếu = 0 hoặc = ,đầu mút của E dịch chuyển trên đường thẳng xác định ,ta có phân cực thẳng
Nói chung một sóng phân cực ellipse có thể xem là tổng của 2 sóng phân cực thẳng theo hai phương vuông góc với nhau => mọi sóng điện từ trong chân không là sự tổng hợp của các sóng phẳng điều hoà liên tiếp phân cực thẳng.
Nếu = /2 và E0x = E0y ta có phân cực tròn
4.Sự truyền năng lượng của OPPH:
Mật độ năng lượng của trường điện từ:
e =
0
2 2 0
2
E B
Đối với OPPH : B = E/c => e = 2
0E
=
0
2
B
năng lượng được phân bố đều dưới dạng điện và từ
Đối với một sóng OPPH truyền theo phương của trục Ox ,trường điện từ có dạng:
) ( 0
kx t j
e E
E
) (
x
e c
E u
Giá trị trung bình của e:
<e> = < 2
0E
> = Re(
2
1
0
E
E
) =
2
0
2 0
E
*Vectơ Poynting:
Trang 7Công suất của sóng điện từ (W) đi qua một diện tích S bằng dòng của vectơ poymting
0
E B
(vectơ dòng năng lượng Wm đi qua diệm tích đo =
S
S
)
0 0
u E c c
E u E B
Đối với sóng OPPH có tần số, giá trị trung bình <> của công suất truyền qua mặt S vuông góc với phương truyền u
<> = < >.S
= 1/2Re(E B S c E .S
2
1
0
Ta có: <E (t) B (t)
2
1 )) ( ) ( Re(
2
t B t E t
B t
) cos(
2
1 ) Re(
2
1
2 1 )
(1 2
m m j
m
*Vận tốc truyền năng lượng:
Ve : vận tốc truyền năng lượng
t
S.
.
: năng lượng truyền qua diện tích S vuông góc với phương truyền sóng trong khoảng thời gian t
e
t
v
S. e. : năng lượng chứa trong thể tích S.v e. t
e
t
v
S. e. S. t
=>
e
v e
Đối với OPPH : ve = c
z z
y
E
) sin(
)
=> 02 cos2( ) 02 sin( )
0 0
2
kx t E
kx t E
c
u u c
E
z
c
E
E oy z
.
2 0
2 0 2
2
) sin(
) (
cos
2 0 2
0
0
2 0 2
2 0 0 2 0
z y
z y
E E
kx t E
kx t E
E e
Vecto Poynting phức :
0
*
B
E
j t k r
E
E 0 exp
Đối với OPPH :
Trang 8
c
E u
c
E u
B exp
* 0
*
c
E u c
E E c
E u E B
).
( ) (
0
2 0 0
* 0 0 0
* 0 0
0
*
c
2
2 0 0 0
một số khóa học thuộc chương trình học liệu mở của hai trường đại học nổi tiếng thế giới MIT và Yale.
• http://mientayvn.com/OCW/YALE/Ki_thuat_ y_sinh.html