Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN A.. Khi đó nếu cố định điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên C đều gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến M0M là tiếp tuyến M0T tại điểm M0.. C

BÀI 8 TIẾP TUYẾN

§8.1 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN

A TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG

Cho đồ thị (C): y = f (x) Gọi M0, M là 2 điểm phân

biệt và cùng thuộc đồ thị (C) Khi đó nếu cố định

điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều

gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến

(M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0

B CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN

I BÀI TOÁN 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị

1 Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm M ( ,0 x y0 0)∈(C) Viết PTTT của (C) tại điểm M (0 x0,y0)

2 Phương pháp:

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra

phương trình tiếp tuyến tại M (0 x0,y0) của (C) là:

y−y = f′ x x−x ⇔ y= f′ x x−x + f x

II BÀI TOÁN 2: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước

1 Bài toán: Cho (C): y = f (x) và số k ∈
Viết PTTT của (C) có hệ số góc k

2 Phương pháp:

2.1 Phương pháp tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến có hệ

số góc k tiếp xúc với

(C): y = f (x) tại điểm có hoành độ x i

⇒ f′( )x i = ⇒ k x i là nghiệm của f′( )x =k

Giải phương trình f′( )x =k ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… x i ,… x n}

PTTT tại x = x i là: y=k x( −x i)+ f x( )i

0 M

M 1 M

M2

T

T

0

M

0

f(x )

0

x

y (C): y=f(x)

x

x0

1

2.2 Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi)

Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình kx+m= f x( ) có nghiệm bội (nghiệm kép)

⇔ … ⇔ nói chung: ux2 +v m x( ) +w m( )= có nghiệm kép 0

⇔ ∆ =g m( )=v2( )m −4 u w m( )= 0

Giải phương trình g m( )= ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT 0

c) Chú ý: Vì điều kiện ( )C1 :y= f x( ) và (C2):y=g x( ) tiếp xúc nhau là hệ điều

kiện ( ) ( )

f x g x

f x g x





 có nghiệm chứ không phải là điều kiện ( )f x =g x( ) có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số

f (x) mà phương trình tương giao kx+m= f x( ) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2

3 Các dạng biểu diễn của hệ số góc k

a) Dạng trực tiếp: 1, 2, 1, 1, 2, 3,

b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tgα với

{15 , 30 , 45 , 60 , 75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165 }

c) Tiếp tuyến  với đường thẳng ( ) : y∆ =ax + ⇒ k = a b

d) Tiếp tuyến ⊥với đường thẳng ( ) : y∆ =ax+ ⇒ b k 1

a

−

= với a ≠ 0

e ) Tiếp tuyến tạo với ( ) : y∆ =ax+ góc α ⇒ b tg

1

k a ka

III BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước

1 Bài toán:

Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm A(a, b) cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, b) đến đồ thị ( )C :y= f x( )

2 Phương pháp:

2.1 Phương pháp tìm tiếp điểm:

• Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a, b)

tiếp xúc (C): y = f (x) tại tiếp điểm có

hoành độ x i suy ra PTTT có dạng:

( )t :y= f′( )(x i x−x i)+ f x( )i

Do A a b( , )∈( )t nên b= f′( )(x i a−x i)+ f x( )i ⇒ x=x i là nghiệm của

phương trình b= f′( ) (x a−x)+ f x( )⇔ f′( ) (x x−a)+ −b f x( )= (*) 0

Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… x i ,… x n}

Phương trình tiếp tuyến tại x = x i là: y=k x( −x i)+ f x( )i

• Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có PT y=k x( −a)+ b

tiếp xúc với đồ thị (C): y = f (x)

( )





⇒ f x( )= f′( ) (x x−a)+ b

⇔ f′( ) (x x−a)+ −b f x( )= (*) 0

Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… x i ,… x n}

Phương trình tiếp tuyến tại x = x i là: y= f′( )(x i x−x i)+ f x( )i

2.2 Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi)

• Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có phương trình

y=k x−a + tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình b k x( −a)+ =b f x( ) có nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: u k x( ) 2 +v k x( ) +w k( )= có 0 nghiệm kép ⇔ u k( )≠0 và ∆ =g k( )=v2( )k −4u k w k( ) ( )= 0

0

u k





= α + β + γ =

Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k

Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a, b)

A(a,b)

(C): y=f(x)

(C): y=f(x) A(a,b)

§8.2 CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN

I DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

Bài 1 Cho hàm số (C m) :y= f x( )=x3+ −1 m x( +1) Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm ) với Oy Tìm m để tiếp

tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8

Giải: y x′( )=3x2 −m Gọi (C m)∩Oy≡A ⇒ x A = ;0 y A = −1 m y; ′( )0 = − m Tiếp tuyến của (Cm) tại A là: ( )t :y=y′( ) (0 x−0)+y( )0 = −mx+ −1 m

Xét tương giao: ( )t Oy A(0,1 m);( )t Ox B(1 m, 0)

m

−

2



m

C y= f x =x + x +mx+

a Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b Tìm m để các tiếp tuyến với (C m) tại D và E vuông góc với nhau

Giải: Đạo hàm: y x′( )=3x2 +6x+m

( )

2

x

 = ⇒



§iÓm

Yêu cầu bài toán ⇔ xD, xE là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x) = 0

⇔

( )

9

9 0

4

4

m

(*) ⇒ xD +xE =m x x; D E = − 3

4

m

≠ < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau

=3g x( ) (D − 3xD+2m)  3g x( ) (E − 3xE +2m)=(3xD+2m)(3xE+2m)

8

Bài 3 Cho hàm số ( ) :C y= f x( )=x3 −3x2 + 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua (23 , 2)

9

b) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau

Giải: Đạo hàm: y′ =3x2 −6x=3x x( −2)

Đường thẳng đi qua (23 , 2)

9

A − với hệ số góc k có phương trình ( 23) 2

9

y=k x− −

tiếp xúc với ( )C :y= f x( ) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

9

f x k x









có nghiệm

f x = f′ x x− − ⇔x − x + = x x− x− −

⇔ ( 2)( 2 2) 3 ( 2)( 23) 2( 2 3)( 2 10 3) 0

x− x − −x = x x− x− ⇔ x− x − x+ =

⇔

23

9 23

9





′





−



TiÕp tuyÕn TiÕp tuyÕn TiÕp tuyÕn

b) Lấy bất kì M(m, −2) ∈ đường thẳng y = −2

Đường thẳng đi qua M(m, −2) với hệ số góc k có phương trình y=k x m( − )− 2

tiếp xúc với ( )C :y= f x( ) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

2

f x k x m





⇒ f x( )= f′( ) (x x−m)− ⇔2 x3 −3x2 + =2 3x x( −2) (x−m)− 2

⇔ (x−2)(x2 − −x 2)=3x x( −2) (x−m)⇔(x−2 2)[ x2 −(3m−1)x+2]= 0

1 2

′





TiÕp tuyÕn

Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y= −2 // Ox nên để từ M( , 2)m − kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông

3

Khi đó: 1 2 3 1; 1 2 1 ( ) ( )1 2 3 1( 1 2 3) 2( 2 2) 1

2

m

⇔ 9x x1 2x x1 2 −2(x1+x2)+4= − ⇔1 9 1[ −(3m−1)+4]= − ⇔1 54−27m= −1

55

27

m

⇔ = (thoả mãn (*) ) Vậy M(55, 2) ( 2)

27 − ∈ y= − thoả mãn yêu cầu

Bài 4 Cho hàm số ( ) :C y= f x( )=x3 −12x+12

Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải: Đạo hàm: y′ =3x2 −12

Lấy bất kì M(m, −4) trên đường thẳng y = −4 Đường thẳng đi qua M(m, −4) với hệ số góc k có phương trình y=k x( −m)− tiếp xúc với 4 ( )C :y= f x( )

( )

4

f x k x m





 có nghiệm ⇒ f x( )= f′( ) (x x−m)− 4

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

(x 2)(x2 2x 8) (x 2 3)[ x2 (6 3m x) 6m]

(x 2 2)[ x2 (3m 4)x 2 3( m 4)] 0

g x = x − m− x− m− = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

2





4

3

m

m m

< −



⇔



< ≠



Bài 5 Tìm trên đồ thị ( ) :C y= f x( )=ax3 +bx2 +cx+d a( ≠0) các điểm kẻ

được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Giải: Đạo hàm: y′= f′( )x =3ax2 +2bx+ c

Lấy bất kì M(m, f (m)) ∈ (C): y = f (x) Đường thẳng đi qua M(m, f (m) với hệ

số góc k có phương trình: y=k x( −m)+ f m( ) tiếp xúc với( )C :y= f x( )

( )





 có nghiệm ⇒ f x( )= f′( ) (x x−m)+ f m( )

( 3 3) ( 2 2) ( ) (3 2 2 )( )

( )[ 2 ( ) ( )] ( ) (2 )

⇔

2

am b

a

+

= ∨ = − Từ điểm M(m, f (m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến

b f b

  ∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

3

b

a

−

Bài 6 Cho đồ thị (C): y f x( ) x2 2mx m

x m

1) Chứng minh rằng: Nếu (Cm) cắt Ox tại x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm

đó có hệ số góc là 0 0

0

2x 2m k

−

= +

2) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm

đó vuông góc với nhau

Giải:

2 2

2

Tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm ) với Ox có hệ số góc là:

2

0 0

do (*)

′

+ +

(đpcm)

2) Giả sử (Cm ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇒ g x( )=x2 −2mx+m= có 2 0

nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x1 +x2 =2m ;x x1 2 =m ; x x1, 2 ≠ −m Tiếp

tuyến tại x1, x2 vuông góc nhau ⇔ 1 2

1 2

1

k k

5x x −3m x +x +5m = 0

Với m = 0 thì ( ) 2

g x =x = ⇔ x =x = (loại)

Với m = 5 thì ( ) 2

1,2

g x =x − x+ = ⇔x = ± ≠ −m (thoả mãn) Vậy để (Cm ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C m) tại 2 điểm đó

vuông góc với nhau thì m = 5

Bài 7 Cho đồ thị (C m) :y mx2 (2 m2)x 2m 1

x m

=

trị Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được

2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

x m

1

x m

′ = +

− Hàm số có cực trị ⇔ y′= có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0 0

Với m < 0, chọn

2

m

k= Xét PT: y x′( )=k ⇔

1

2

m m

x m

−

2 2

2

x m

−

Xét PT: y x( ) 1

k

−

m

m

x m

−

( 2 )

2

2

m

x m

−

m

x m

m

−

+

Vậy với m < 0 và

2

m

k= thì các PT y x′( )= có nghiệm x k 1 và y x( ) 1

k

−

nghiệm x2 nên y x′( ) ( )1 y x′ 2 = − , tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà 1 tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

1

C y

x

=

− Tìm A∈(C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C)

x

y x

=





= +

Đạo hàm:

4 1

1

y

x

′ = −

−

⇒ ( )

4 1

1

y a

a

−

1

A a a

a

+ +

− ∈(C)

⇒ Đường thẳng (AI) có hệ số góc là:

4 1

1

k

−

Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên y a k′( ). = − 1

⇔

4

4

16

a





Bài 9 Tiếp tuyến của ( ) :C y x 1

x

= + cắt Ox, Oy tại A(α, 0) và B(0, β)

Viết phương trình tiếp tuyến khi αβ = 8

Giải:  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 là:

1

−

′

2 0

2

1

x

x

−

0

2

x

∩

0

x

x

1

Vậy PTTT là: y= − ±x 2 2

C y

x

=

− và điểm M bất kì ∈ (C) Gọi I là giao của 2 tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

a) Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB

b) Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi c) Chứng minh rằng: S∆IAB =const

d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất

Giải

y

x

( )

y x

x

( )

y m

m

−

m

m

m

− +

− ∈(C) Tiếp tuyến tại M là (t):

m

m m

′

( ) (TCÐ: 1) (1, 2 1);( ) (TCX : 1) (2 1, 3)

x

m

−

M

xB

2

B

A

x

y

O

yA

I

−1

H α

ϕ

1

a) Do M

2

m x

+

= = và A, M, B thẳng hàng ⇒ M là trung điểm của AB

m

−

m

−

d) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là α, góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương Ox là

ϕ ⇒ α + ϕ =

2

2

x

y= − có hệ số góc là 1

2 nên

1 tg 2

ϕ =

2 2

2

1 4

ϕ

+

Ta có chu vi ∆IAB là: P=IA+IB+AB=IA+IB+ IA2 +IB2 −2IA IB cosα

2 IA IB 2IA IB 2IA IB sin 2IA IB 2 1 sin

sin

IA BH

cos

ϕ

4

⇒ MinP= ⋅2 420 +2 5− Dấu bằng xảy ra ⇔ 1

420

IA IB

IA IB

IA IB

=





α =

−

2

C y

x

− +

=

− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tạo với đường thẳng ( )∆ :y= − + góc 60x 1 °

Giải

 Do tiếp tuyến của (C) tạo với ( )∆ :y= − + góc 60x 1 ° nên hệ số góc k của tiếp

tuyến thoả mãn ( )

1

k

− −

− +

5 1

2

y x

x

−

- Xét k = +2 3 , khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

5

2

x

2

- Xét k= −2 3 ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

5

2

x

2

2

1,2

2

2

Bài 12 Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, −1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc

1

y f x

x

+

• Cách 1: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình

y=k x− − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

f x k x

f x k





⇒ f x( )= f′( ) (x . x−1)− ⇔ … ⇔ 1 g x( )=x2 +3x+ = 1 0 1,2 3 5

2

( ) ( )

1

f x f x

Cách 2: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình

y=k x− − tiếp xúc với (C) ⇔ ( 1) 1 2 1

1

k x

x

+ có nghiệm kép ⇔

[k x−1 −1](x+1)=(x2 +x+1) hay (k −1)x2 −2x−(k+2)= có nghiệm kép 0

⇔ ≠ ∆ = = + − = Ta có: ∆ = + = > nên g 1 4 5 0 g k( )= có 2 0

nghiệm phân biệt k1, k2 thoả mãn k k1 2= − Từ đó suy ra từ A(1, −1) luôn kẻ 1 được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C)

2

y f x

x

−

Giải: Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình

y=k x− + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

f x k x

f x k





2

2

⇔ … ⇔ x2 −3x= ⇔ x = 0 ∨ x = 3 Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến 0

t y= f′ x− + = x− + ⇔y= x− và

( )t2 :y= f′( ) (3 x−6)+ = ⋅4 0 (x−6)+ ⇔4 y= 4

1

x

+ và điểm A(0, 1) Tìm m để: 1) Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm)

2) Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm)

3) Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (Cm)

4) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (Cm)

5) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ với nhau đến (Cm)

6) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)

7) Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm)

Giải: • Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình y=kx+ 1

tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )

( )

1

f x kx





⇒ f x( )= f′( )x x. + ⇔ 1 ( )

2 2

2

+

( 2 )( ) 2( ) ( )2

⇔ h x( ) (= m−3)x2 +2(m−1)x+(m−1)= 0

Với m = 3 thì h x( )=4x + ⇒ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm 2 1

2

x=−

1) Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 vô nghiệm

⇔ m≠3 và ∆ =′h 2(m−1)< ⇔ m < 1 0

2) Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có nghiệm

⇔

3

1

m

m

=





′



3) Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm ⇔

1

m

⇔



4) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (Cm)

⇔ h x( )= có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 0 m≠3 và ∆ =′ 2(m−1)> ⇔ <0 1 m≠ 3

5) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ đến đồ thị (Cm)

⇔ h x( )= có 2 nghiệm phân biệt x0 1, x2 thoả mãn f′( )x1 f′( )x2 = − 1

4x x x +2 x +2 = − x +1 x +1

⇔ 1<m≠ và 3 4x x1 2x x1 2 +2(x1 +x2)+4+x x1 2 +(x1+x2)+12 =0

2 2

3

m

=

m= ±

2

f′ x = − ⇔ ( )

2 2

1

x x

x

+

+ Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)

⇔ h x( )= có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của: 0 ( ) 1

2

f′ x =−

h− −  h − + =

(2m−11−4 5)(2m−11+4 5)= ⇔ 0 11 4 5

2

=

7) Do h x( )= là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt 0 Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) ∀m

Bài 15 Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị

1

y f x

x

− +

−

2

2

Lấy bất kì điểm A(0, a)∈Oy Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có

PT y=kx+ tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ a

( ) ( )

f x kx a

f x k





⇒ f x( )= f′( )x x + ⇔ a

−

⇔

1

1

x

−

⇔ ax2 −2(a+1)x+a+ = (1) 1 0

Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm

a





′



Bài 16 Tìm trên Ox các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến ( ) : 2 3

2

C y

x

= +

+ −

1 1

2

y

x

′ = +

+

Lấy bất kì điểm A(a, 0)∈Ox Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có

phương trình y=k x( −a) tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ

( )

f x k x a

f x k





⇒ f x( )= f′( ) (x x−a) ⇔

⇔

2

x

8

+

Xét a ≠ −2, khi đó (1) ⇔ g x( ) (= 1−a x) 2 +2 3( −2a x) +(6−5a)= (2) 0

Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm

⇔

( 2 )





′



1

2

a a

=





⇔ =− ±



Vậy từ 4 điểm 1( 2, 0 ;) 2(1, 0 ;) 3 1 13, 0 ; 4 1 13, 0

được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Bài 17 Cho đồ thị ( ) : 2 2 1

1

C y

x

− +

=

− Chứng minh rằng: Trên đường thẳng (∆): y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45°