Bất phương trình mũ - phần 2 - ViettelStudy

Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT TÓM TẮT GIÁO KHOA I... KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1... CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1.

Chuyên đề 5:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

n thua so

a  a.a a (n Z ,n 1,a R)   

a

  (n Z ,n 1,a R / 0 )     



m

n m n

a  a ( a 0;m,n N  )



m n

m n m n

a

a a



2 Các tính chất :

a





 (a.b) n a b n n

b b

3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > 0 , a1 )

 Tập xác định : D R

 Tập giá trị : T R  ( a x 0  x R )

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y a x nghịch biến trên R

 Đồ thị hàm số mũ :

21

Minh họa:

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0

log N M a  dn a M N

Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa khi















 0 1 0

N a

a

2 Các tính chất :

 log 1 0 a 

 log a 1 a 

 log a a M M

 a log N a N

 log (N N ) log N a 1 2  a 1log N a 2

2

N log ( ) log N log N

 log N a  .log N a Đặc biệt : log N a 2 2.log N a

a>1

y=ax

y

x

1

0<a<1

x

1

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x











 2 1

x

1

O O

3 Công thức đổi cơ số :

 log N log b.log N a  a b

a

log N log N

log b



* Hệ quả:

b

1 log b

log a

 và k a

a

1

k



* Công thức đặc biệt: alogb c clogb a

4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > 0 , a  1 )

 Tập xác định : D R 

 Tập giá trị T R

 Tính đơn điệu:

* a > 1 : y log x a đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y log x a nghịch biến trên R

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

Minh họa:

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì :

aM = aN  M = N 2 Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : aM < aN  M > N (nghịch biến)

0<a<1

y=logax

y

O

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

y=log2x

x y

x

y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x

y

x y

2 1

log



1

O

a>1

y=logax

1

y

x O

21

3 Định lý 3: Với a > 1 thì :

aM < aN  M < N (đồng biến )

4 Định lý 4: Với 0 < a 1 và M >

0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N

5 Định lý 5: Với 0 < a <1 thì :

loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6 Định lý 6: Với a > 1 thì :

loga M < loga N  M < N (đồng biến)

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1:Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M = a N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

16 x 10 x 10 0,125.8 x 15 x 5

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3 2x 8 4.3 x 5 27 0

2) 6.9 13.6 x x6.4 x0

3)

( 2 3 ) ( 2 3 ) 4

4) 2x2x 22xx2 3

5)

0 27 2 18 12 4 8

3 x x x  x  6) 2.22x 9.14x 7.72x 0

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x

2) 2x2x4.2x2x 22x 40

3) 12.3x 3.15x 5x1 20 (

4 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng

minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ

đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình

f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm

trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3x2 3)

x

1

( ) 2x 1

3  

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log N a  a

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) log (x x 6)3 2)log (4 2 x 4) x log (2 1 x 1 3)

2



2

1

2 2

1 2

2 x  x  x )

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) 3 3

4 log x log x

3

  2) log23 x log23 x 1  5  0

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

log x 2 log x 2 log x log x 2  7   2 7

nghiệm duy nhất

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình

f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho

f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm

trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

22

2

log (x    x 6) x log (x 2) 4 

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) 3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1

3

 

 

2) 2 x 1

x 2x

2



 

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)2 2x3.(2 ) 32 0 x 2   4) 8  21x  4x  21x  5

2)2 x2 3 x 9 5) 1 1

2 1 2 1 2

15 x   x   x 3)( ) 1 2 x 3.( ) 1 1 1 x 12



  6) 2.14x3.49x4x 0

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : log M log Na  a

(  , , )

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

x

log (5x 8x 3) 2  2) 2 3  

3

log log x 3 1 3)log 3x x 2 (3 x) 1  4) x

log (log (3 9)) 1

5) log5(4x 144)4log521log5(2x2 1)

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

log (3 2) 2.log  2 3 0  2)log 64 log 16 3 2x  x 2 