Các phương pháp số trong phân tích kết

Cơ học kết cấu là 1 trong những bộ môn quan trọng của ngành kỹ thuật. Với người học kỹ thuật (đại học Xây Dựng) Cơ Học Kết Cấu khá quan trọng, đây là bài giảng về môn Cơ Kết Cấu 3, các bạn sinh viên có thể tham khảo để rõ hơn về phương pháp số trong phân tích kết cấu.

- Tính toán và bố trí các cấu kiện sao cho công trình

có thể làm việc an toàn trong toàn bộ thời gian dự

kiến làm việc

- Tính toán sự phân bố của nội lực và biến dạng của

công trình dưới tác động của các nguyên nhân bên

ngoài ( tải trọng, nhiệt độ, con người, phương tiện,

…).

- Phản ứng của các dạng kết cấu khác nhau: kết cấu

khung, tấm, vỏ, hay khối được mô tả bởi các phương

trình vi phân.

F u

L

EA



'

- Các phương pháp số: Sai phân hữu hạn, Biến phân, và

Phần tử hữu hạn được sử dụng để giải các phương

trình vi phân phức tạp.

- Ý tưởng cơ bản của các phương pháp số biến các

phương trình vi phân thành các phương trình đại số và

sử dụng máy tính để trợ giúp việc giải các phương trình

đại số này.

- Ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn: chia một

miền bài toán liên tục thành các phần tử ( số lượng hữu

Trong thực hành, phương pháp số trong phân tích kết

cấu gồm các bước sau:

1 Thiết lập quan hệ cơ học cơ bản: ứng suất-biến

dạng, điều kiện tương thích, và điều kiện cân bằng.

2 Sử dụng phương pháp số tìm lời giải gần đúng

của các phương trình vi phân

3 Thiết lập các phương trình đại số của hệ

4 Giải hệ các phương trình

5 Sử lý số liệu đầu ra.

1.1 Các chương trình máy tính phân tích kết cấu

- Các phần mềm thương mại đa năng phục vụ phân tích kết cấu

được sử dụng phổ biến: SAP 2000, ETABS, SAFE, STAAD PRO, TEKLA,

1.2 Cấu trúc của các phần mềm phân tích kết cấu

-Cácphương pháp số được lập trình cho máy tính để giải các bài toán

trongcơ học kết cấu

- Cấu trúc chung của các phần mềm phân tích kết cấu:

(1) Số liệu đầu vào:

Định nghĩa các thông số hình học của hệ và các phần tử, tính chất vật

liệu, điều kiện tải trọng và điều kiện biên của hệ

(2) Thư viện các chương trình cơ sở:

Tạo các mô hình toán học cho các phần tử kết cấu và điều kiện tải

trọng

(3) Giải hệ phương trình:

Xây dựng và giải hệ phương trình của mô hình toán học của hệ kết

cấu

(4) Xử lý số liệu đầu ra:

Biểu diễn, hiển thị số liệu đầu ra: nội lực, biến dạng của hệ kết cấu

2.1 Bậc Tự Do

- Số các thành phần chuyển vị hoặc tọa độ độc lập

cần thiết để xác định vị trí trong không gian của hệ tại

một thời điểm xác định.

- Trong mặt phẳng, một điểm có hai bậc tự do, một

vật có ba bậc tự do Trong không gian, một điểm có

ba bậc tự do, và một vật có sáu bậc tự do.

2.2 Hệ tọa độ và các tọa độ phân tích

-Các thành phần của vector lực tại một điểm:

- Chiều dương của các thành phần vector lực và chuyển vị tương ứng theo

chiều dương của các trục tọa độ

- Giới hạn các hệ làm việc trong miền đàn hồi tuyến tính Các biến dạng là

nhỏ, tính chất vật liệu không đổi trong quá trình chịu tải

- Cácphương trình được thiết lập tương ứng với trạng thái không biến

dạng của hệ

- Phản ứng của hệ tuân theo nguyên lý cộng tác dụng

- Tên gọi “Lực” bao hàm cả lực và mômen.

- Chiều dương của góc xoay và mômen được xác định

theo quy tắc “bàn tay phải”.

- Ứng xử của kết cấu được xác định qua các thành phần

nội lực và chuyển vị tại các nút của hệ.

- Nút được định nghĩa là điểm giao của các phần tử của

hệ.

   T

z y x z y

x F F M M M F

z y xw v

u1 1 1 1 2 2





-Các lực và chuyển vị tại các nút của một phần tử được

biểu diễn dưới dạng vector cột:

- Số hạng thứ i trong vector chuyển vị nút là bậc tự

- Hệ tọa độ tổng thể (của hệ) và hệ tọa độ địa phương (phần tử).

- Hệ tọa độ địa phương có các trục tọa gắn với phần tử Trục tọa độ

x’ hướng dọc theo trục của phần tử, trục tọa độ y’ vuông góc với

trục tọa độ x’ tại gốc của hệ tọa độ địa phương.

- Hệ tọa độ địa phương được dùng để thiết lập các phương trình

2.3 Sơ đồ tính của kết cấu

-Bước quan trọng nhất trong phân tích kết cấu bằng phương pháp ma trận

là thiết lập mô hình toán học rời rạc tương đương với mô hình thực liên tục

- Quá trình thiết lập mô hình rời rạc (mô hình lý tưởng) được thực hiện

bằng cách cân bằng năng lượng giữa các hệ liên tục thực và hệ rời rạc

-Để có thể được phân tích, các hệ kết cấu thực phải được mô hình hóa

như những hệ lý tưởng

- Mức độ chính xác của quá trình mô hình hóa phụ thuộc vào mức độ phức

tạp của kết cấu và vào yêu cầu chính xác của kết quả phân tích

-Đường truyền tải trọng:

+ Tải trọng tác dụng lên kết cấu sẽ được truyền đến các phần tử kếtcấu rồi truyền xuống đất qua hệ thống móng của công trình

+ Sàn, dầm phụ được đỡ bởi dầm chính, cột, tường, các phần tử kếtcấu này đến lượt lại được đỡ bởi móng của công trình

+ Tải trọng giữa các phần tử kết cấu được truyền qua các điểm nốigiữa chúng Có các kiểu nút khác nhau: nút khớp lý tưởng, nút cứng, nút bán cứng

+ Kiểu của liên kết tại các nút ảnh hưởng đến bậc tự do và phươngpháp phân tích kết cấu

-Tải trọng:

+ Có các kiểu tải trọng khác nhau tác dụng lên công trình: tải trọng

bản thân, tải trọng do con người, thiết bị, tải trọng gió, tải trọng sóng,

tải trọng động đất, v.v…

+ Tải trọng tập trung nên được xem xét sao cho tải trọng gây ra trạng

thái nguy hiểm nhất: lực cắt, mômen, chuyển vị lớn nhất,

2.4 Phần tử kéo nén: Các quan hệ Lực-Chuyển vị

- {F} = {kij} i = 1,2

{F} = [F1F2]T

{k i1}= [k11k21]T

2.5 Phần tử kéo nén – Các phương trình độ cứng trong hệ

L

EA L

L

EA

2 2 2

1

2 cos cos u

L

EA F

F

2 2

1

L

EA F

1

L

EA F

2 2

2 2

2 2

sin sin

cos sin

cos sin cos

cos sin cos

sin cos

sin sin

cos sin

cos sin cos

cos sin cos

v u v u

+ Khi các phần tử của kết cấu có các hướng khác nhau, nó cần thiết

chuyển các quan hệ độ cứng phần tử từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa

độ tổng thể áp dụng cho toàn kết cấu

+ Các quan hệ độ cứng phần tử được biểu diễn trong hệ tọa độ tổng

thể được kết hợp để biểu diễn các quan hệ độ cứng cho toàn bộ hệ

- Chuy ển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương:

Ma trận chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương:

-Tương tự ta có quan hệ chuyển hệ tọa độ cho vector chuyển vị nút:

- Chuy ển hệ tọa độ từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể:

Các quan hệ độ của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể:

Ta có quan hệ độ giữa vector lực nút và vector chuyển vị nút phần tử trong

hệ tọa độ tổng thể:

- Quan hệ độ cứng cho hệ kết cấu:

Sau khiđã thiết lập được quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng

thể Quan hệ độ cứng cho toàn hệ biểu diễn tải trọng bên ngoài P tác dụng

tại nút như các hàm của chuyển vị nút u của hệ

Phương trình cân bằng:

Phương trình tương thích:

Các quan hệ độ cứng phần tử:

Phần tử 1:

Phần tử 2:

Phần tử 3:

3 Phương pháp độ cứng trực tiếp

3.1 Phương pháp độ cứng trực tiếp – Các phương trình cơ bản

- Trên cơ sở phương pháp chuyển vị ta có hệ phương trình đại

số thể hiện quan hệ giữa lực và các thành phần chuyển vị nút

của một hệ kết cấu như sau:

n nn j nj n

n n

n in j

ij i

i i

n j

j

k k

k k

F

k k

k k

F

n k k

k k

2 2 1 1

1 1

2 12 1 11 1

(3.1)

-Hệ phương trình được thiết lập trong hệ tọa độ tổng thể Các phương

trình có thể được viết trực tiếp trong hệ tọa độ tổng thể hoặc được viết

trong hệ tọa độ địa phương sau đó áp dụng các công thức toán học cho

chuyển hệ tọa

- Số 1, i, n chỉ bậc tự do tại các nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

Hệ thống đánh số nút trong hệ tọa độ tổng thể độc lập với cách đánh số nút

trong hệ tọa độ địa phương

- Không có quyđịnh cụ thể về cách đánh số nút trong hệ, nhưng cách số

nút trong hệ ảnh hưởng đến quá trình giải hệ phương trình đại số

- Hệ phương trình biểu diễn quan hệ lực-chuyển vị tại nút của hệ khi chưa

ápđặt điều kiện biên chính là phương trình bao gồm các dạng chuyển động

của vật thể

-Để minh họa quá trình thiết lập các phương quan hệ lực-chuyển vị, chúng

ta xem xét hệ dàn dưới đây:

A A i A A i A A i A i A ii A

F    22 33 44

D i

C i

B i

A i

B B i B B i B B i B i B ii B

C C i C C i C C i C i C ii C

F    22 77  88

D D i D D i D D i D i D ii D

9 9 2

2 2 2 2 1

3 2 2 1

- Các số hạng Kii, Ki1, Ki2, , Ki9là các hệ số độ cứng tổng thể.

3.2 Phương pháp độ cứng trực tiếp – Phương pháp tổng quát

- Mỗi hệ số độ cứng phần tử được gán hai chỉ số kii Chỉ số thứ nhất chỉ vị

trí của nút, chỉ số thứ hai chỉ bậc tự do liên quan ( bậc tự do gây ra lực tại

nútđang xem xét)

- Ma trận độ cứng hệ có bậc bằng số bậc tự do hệ Mỗi hệ số có hai chỉ số

liên quan Chỉ số thứ nhất (hàng) liên quan đến phương trình lực Chỉ số

thứ hai (cột) liên quan đến bậc tự do

- Giá trị hệ số độ cứng tại một nút được xác định bằng tổng độ cứng thành

phần của các phần tử thanh quy tụ tại nút đó

K1i= k1i

- Ápđặt điều kiện biên được thực hiện bằng cách loại bỏ các hàng, cột của

ma trận độ cứng liên quan với các bậc tự do có chuyển vị bằng không

-Giải hệ phương trình sau khi loại bỏ các hàng và cột liên quan đến các thành

chuyển vị bằng không ta có được các thành chuyển vị của các bậc tự càn tìm Nội

lực của các thanh có được bằng cách thay ngược các chuyển vị tìm được vào các

phương trình quan hệ lực-chuyển vị của phần tử.

- Trình tự thực hiện phương pháp độ cứng trực tiếp:

f

K K K K P P

Xây Dựng Ma Trận Độ Cứng Hệ Bằng Phương Pháp Đánh Số Phần Tử

- Hệ số độ cứng kết cấu tại một nút theo một hướng cụ thể bằng tổng đại

số của các hệ số độ cứng phần tử, cùng hướng đó, của tất cả các phần tử

quy tụ tại nút đó

- Ma trận độ cứng hệ có thể được xây dựng trực tiếp bằng cách cộng các

hệ số của các ma trận phần tử được sắp xếp hợp lý trong ma trận độ cứng

hệ

- Dầm dưới tác động của ngoại lực chỉ phát sinh moment và lực cắt (không có thành phần lực dọc).

4.1.1 Mô hình của phần tử dầm

- Để phân tích hệ dầm bằng phương pháp ma trận, một hệ dầm liên

tục được mô hình như một chuỗi liên tiếp của các phần tử thẳng,

tiết diện đều, liên kết với nhau tại các nút hai đầu đoạn, để sao cho

các phản lực bên ngoài chỉ tác động tại các nút.

4.1.2 Hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương

- Hệ tọa độ tổng thể được sử dụng để phân tích hệ dầm là hệ tọa độ vuông

góc XYZ, với trục X hướng nằm ngang (dương hướng sang phải), và trùng

với trục hệ dầm ở trạng thái chưa biến dạng Trục Y hướng thẳng đứng

(dương hướng lên), với tất cả ngoại lực và phản lực nằm trong mặt phẳng

XY

- Gốc của hệ tọa độ địa phương xyz for một phần tử dầm được đặt tại đầu

bên trái của phần tử ở trạng thái chưa biến dạng, với trục x hướng dọc theo

trục thanh ở trạng thái chưa biến dạng, và trục y hướng thẳng đứng

4.1.3 B ậc tự do của phần tử dầm

- Bậc tự do của phần tử dầm (tọa độ tự do) là số thành phần chuyển

vị chưa biết của các nút Vì bỏ qua biến dạng dọc trục nên 1 nút của

phần tử dầm có 2 bậc tự do (1 chuyển vị thẳng, 1 chuyển vị xoay).

4.1.4 Vector t ải trọng và vector phản lực

(a) Vector tải trọng

+ Lực nút

+ Lực phần tử

4.1.5 Quan hệ độ cứng phần tử

- Các phương trình biểu diễn các lực (moment) tại các đầu thanh

như hàm của các chuyển vị nút, dưới dạng các ngoại lực tác dụng

tại lên phần tử, được xem như các phương trình quan hệ độ cứng

phần tử dầm.

- Hệ số độ cứng kij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng Qiđược

yêu cầu, cùng với các lực nút khác, gây ra một chuyển vị đơn vị uj,

trong khi tất cả các thành phần chuyển vị nút khác bằng không, và

phần tử không chịu tác dụng lực trên phần tử.

Tính toán hệ số độ cứng kij

-Sử dựng phương pháp tích phân trực tiếp để tính hệ số độ cứngkij

- Ápđặt điều kiện biên tính các hằng số tích phân:

Finite Element Formulation Using Virtual Work

- In the finite element method, a displacement function is usually assumed

in the form of a complete polynomial of such a degree that all of its coefficients can be evaluated from the available boundary conditions of the member

Hàm dạng

Quan hệ ứng suất-biến dạng

Ma trận độ cứng phần tử, k

Vector lực nút tại hai đầu phần tử

Quan hệ độ cứng của kết cấu

Sử dựng các phương trình cân bằng lực tại các nút, ta có:

Vector lực nút kết cấu-Vector tải trọng nút tương đương

- Quan hệ lực-chuyển vị của một hệ kết cấu có thể biểu diễn:

- Pf lực nút kết cấu biểu diễn các phản lực phát sinh tại các vị trí

và theo hướng các bậc tự do kết cấu do các ngoại lực gây ra khi

tất cả các nút của kết cấu bị ngản tất cả bậc tự do (chuyển vị

thẳng và chuyển vị xoay).

Vector tải trọng nút tương đương

- Vector t ải trọng nút tương đương được xem như ngược của vector

lực nút kết cấu Điều này có được vì các lực nút cố định kết cấu khi

được áp đặt lên kết cấu với chiều ngược lại sẽ gây ra cùng chuyển vị

nút như tải trọng thực tác dụng trên phần tử.

Ví dụ:

Xácđịnh chuyển vị nút, lực nút phần tử, và các phản lực liên kết

của hệ dầm cho trên hình vẽ

4.2 Mô hình phần tử khung phẳng

-Khung phẳng là hệ bao gồm các phần tử thẳng nối với nhau bằng các liênkết cứng hoặc các liên kết khớp, chịu tải trọng và các phản lực trong cùngmặt phẳng của hệ

-Dưới tác động của ngoại lực, phần tử khung có thể chịu kéo, nén giốngnhư phần tử hai đầu khớp và chịu uốn, cắt giống như phần tử dầm Do đó, quan hệ độ cứng phần tử khung có thể có được một cách thuận lợi bằngcách kết hợp quan hệ độ cứng của các phần tử dàn và phần tử dầm

4.2.1 Mô hình phần tử

- Một khung phẳng được rời rạc và liên kết với nhau để sao cho (i) cácphần tử là thẳng và có độ cứng không đổi, (ii) tất cả các phản lực tác dụngtại nút

Hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương

4.2.2 Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương

Vector lực nút hai đầu ngàm trong hệ tọa độ địa phương

Vector lực nút hai đầu ngàm trong hệ tọa độ địa phương chịu tải trọng dọc trục

Chuyển hệ tọa độ

Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

- H ệ số độ cứng phần tử k ij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng F i được yêu

cầu, cùng với các lực nút khác, để gây ra chuyển vị đơn vị vj, trong khi tất

cả các thành phần chuyển vị khác bằng 0, và phần tử không chịu tác động

của tải trọng bên ngoài dọc theo chiều dài phần tử.

- Ý nghĩa vật lý của hệ số độ cứng phần tử được diễn giải qua quá trình

tính toánnhư sau:

Vector lực nút hai đầu ngàm của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

Quan hệ độ cứng của hệ kết cấu

Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể

Quan hệ độ cứng phần tử 1 sau khi áp điều kiện biên

Quan hệ độ cứng cho phần tử 2 sau khi áp điều kiện biên

Áp điều kiện tương thích cho phần tử 1

Áp điều kiện tương thích cho phần tử 2

Sử dụng các phương trình được thiết lập ở trên

(Ma trận độ cứng hệ kết cấu)

(Vector lực nút cố định kết cấu)

- S ij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng P i được yêu cầu, cùng với các lực

nút khác, gây ra một chuyển vị đơn vị dj, trong khi tất cả các chuyển vị nút

khác bị giữ bằng 0, và khung không chịu tác dụng của tải trọng bên ngoài.

Vector lực nút cố định và Vector tải trọng nút tương đương

(a) Vector l ực nút cố định hệ kết cấu

Vector tải trọng nút tương đương

Ví dụ:

Phần tử 1:

Phần tử 2:

Phần tử 1:

Phần tử 2:

Ví dụ:

Xácđịnh chuyển nút, lực nút phần tử trong hệ tọa độ địa phương, và các

phản lực gối tựa cho hệ khung 2 tầng chịu tải trọng như hình vẽ

Ma trận độ cứng phần tử 1, 2, và 3 trong hệ tọa độ tổng thể

Ma trận độ cứng của phần tử 4

Ma trận độ cứng của phần tử 5

Vector tải trọng nút hệ kết cấu

Ma trận độ cứng hệ kết cấu

Giải hệ phương trình

Vector chuyển vị và lực nút hai đầu phần tử

Phần tử 1:

Phần tử 2

Phần tử 3

Phần tử 4

Phần tử 5

Các phản lực của hệ kết cấu

Các phần tử nối khớp trong hệ khung, dầm

Quan hệ độ cứng của phần tử khung, dầm có liên kết khớp

Phần tử khung khớp-ngàm

Thayu3vào cácphương trình ở trên

Phần tử khung ngàm-khớp

Thayu6vào cácphương trình củaQi

Phần tử khung khớp-khớp

Phần tử dầm khớp-ngàm

Phần tử dầm ngàm-khớp

Phần tử dầm khớp-khớp

Ma trận độ cứng phần tử là ma trận 0 Điều này có nghĩa rằng phần tử

dầm hai đầu khớp không có độ cứng ngăn cản chuyển vị nhỏ theo

phương vuông góc với trục thanh của phần tử.