Phát triển các phương pháp số nhằm phân tích và tối ưu hóa các kết cấu tấm vỏ được gia cường gân

Trong thời gian gần đây, các nhà nghiên cứu đã tập trung sử dụng các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn, để giải các bài toán trên... Mục tiêu nghiên cứu của luận án

BÙI XUÂN THẮNG

PHÁT TRIỂN CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ NHẰM PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA CÁC KẾT CẤU TẤM VỎ ĐƯỢC GIA CƯỜNG GÂN

Ngành: Cơ học vật thể rắn

Mã số ngành: 62 44 21 01

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Trung Kiên

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Quốc Hưng

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Quốc Hưng

Phản biện độc lập 2: PGS.TS Nguyễn Trọng Phước

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TS Nguyễn Thời Trung

2 GS.TS Ngô Thành Phong

TP Hồ Chí Minh – Năm 2019

I

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án,

Bùi Xuân Thắng

II

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thời Trung và GS.TS Ngô Thành Phong đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để tôi hoàn thành luận án Hai giáo sư đã dành cho tôi những lời khuyên bảo, động viên quý báu trong suốt thời gian thực hiện luận án

Tôi xin cám ơn Trường đại học Khoa học tự nhiên ĐHQG-HCM đã khuyến khích, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi làm luận án Tôi xin cám ơn Đại học Quốc gia

TP Hồ Chí Minh đã hỗ trợ tài chính dưới tên đề tài B-2013-18-03 trong quá trình tôi làm luận án

Tôi xin cám ơn các Đồng nghiệp của tôi ở Khoa Toán – Tin học Trường đại học Khoa học tự nhiên đã thông cảm, chia sẻ công việc trong Khoa để tôi có đủ thời gian hoàn thành luận án Tôi cũng xin gửi lời cám ơn các Đồng nghiệp ở Viện Khoa học tính toán, Trường đại học Tôn Đức Thắng đã có những trao đổi và đóng góp phê bình chân thành

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến bố, mẹ và vợ tôi đã chia sẽ những khó khăn và động viên tôi hoàn thành luận án

III

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT VI DANH MỤC CÁC BẢNG XI DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ XIII

MỞ ĐẦU 1

TỔNG QUAN 5

0.1 Tổng quan các phương pháp giải bài toán tấm gia cường gân 5

0.1.1 Các phương pháp giải tích và bán giải tích 5

0.1.2 Các phương pháp số 6

0.2 Tổng quan các phương pháp giải bài toán vỏ gia cường gân 12

0.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu về tối ưu hóa tấm/vỏ gia cường gân 15

0.4 Một số nghiên cứu của các tác giả trong nước 17

0.5 Tổng quan nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn cho bài toán tấm và vỏ 19

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ GIA CƯỜNG 22

1.1 Một số phương pháp nghiên cứu kết cấu tấm và vỏ gia cường 22

1.1.1 Xấp xỉ tấm trực hướng 22

1.1.2 Xấp xỉ hệ khung 22

1.1.3 Lý tưởng hóa tấm và dầm 23

1.2 Các phương trình ứng xử cho tấm và vỏ gia cường 24

1.2.1 Phương trình ứng xử của tấm Mindlin-Reissner 25

1.2.2 Phương trình ứng xử của dầm gia cường 29

1.2.3 Phương trình ứng xử của vỏ thoải 35

1.2.4 Công thức dạng yếu cho bài toán tấm/vỏ gia cường 38

1.3 Công thức dạng yếu và xấp xỉ phần tử hữu hạn cho tấm chịu uốn và tấm gấp sử dụng vật liệu composite nhiều lớp 39

IV

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN HÓA CS-DSG3 45

2.1 Công thức phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin-Reissner 45

2.1.1 Công thức phần tử tấm tam giác tuyến tính ba nút 45

2.1.2 Công thức phần tử dầm tuyến tính một chiều 51

2.1.3 Phần tử tấm DSG3 52

2.2 Công thức phần tử hữu hạn làm trơn trên ô 54

2.2.1 Kỹ thuật trơn hóa trường biến dạng trên ô 54

2.2.2 Phần tử CS-DSG3 56

2.3 Phần tử ứng suất phẳng Allman 60

CHƯƠNG 3 GIẢI THUẬT TỐI ƯU TIẾN HÓA DE HIỆU CHỈNH 65

3.1 Tóm tắt giải thuật tối ưu tiến hóa DE 66

3.1.1 Pha ban đầu 66

3.1.2 Pha đột biến 67

3.1.3 Pha lai tạo 68

3.1.4 Pha lựa chọn 69

3.2 Giải thuật DE được hiệu chỉnh 69

3.2.1 Chiến lược đột biến mới current-to-rand/best/1 70

3.2.2 Kỹ thuật xử lý biến thiết kế là số nguyên 71

3.2.3 Lưu đồ giải bài toán tối ưu hóa 74

CHƯƠNG 4 CÁC KẾT QUẢ SỐ 76

4.1 Phân tích ứng xử của kết cấu tấm và vỏ gia cường gân 76

4.1.1 Phân tích tĩnh học, tần số dao động tự do và ổn định tải trọng dọc cạnh của tấm gia cường 76

4.1.2 Phân tích tĩnh học và dao động tự do của vỏ gia cường 90

4.2 Phân tích ứng xử của kết cấu tấm gấp gia cường gân 97

Các ví dụ số trong mục 4.2 là các kết quả đã được công bố trong công trình [6] trong Danh mục công trình công bố của tác giả 97

V

4.2.1 Phân tích tĩnh học tấm gấp hai khối gia cường 97

4.2.2 Phân tích dao động tự do của tấm gấp hai khối gia cường 100

4.2.3 Phân tích tĩnh học và dao động tự do của tấm gấp ba khối hình vuông gia cường 101

4.3 Phân tích ứng xử của tấm gấp composite nhiều lớp bằng phần tử CS-DSG3 104

4.3.1 Phân tích tĩnh học 105

4.3.2 Phân tích dao động tự do 107

4.4 Tối ưu hóa tấm gấp composite nhiều lớp 113

4.4.1 Bài toán tối ưu cực tiểu hóa năng lượng biến dạng 114

4.4.2 Bài toán cực đại tần số dao động tự do 119

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 124

5.1 Kết luận 124

5.2 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 126

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 128

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 129

u u u : các chuyển vị theo các hướng r, s và z trong hệ tọa độ địa phương O’rsz

gắn với dầm gia cường

( ), ( )

r r s r

β β : các góc xoay quanh trục r và s trong hệ tọa độ địa phương O’rsz gắn

với dầm gia cường

A: diện tích tiết diện dầm

l: chiều dài của dầm

e: là độ lệch tâm hay khoảng cách giữa trục sinh của dầm với mặt trung bình của

tấm/vỏ

ε : trường biến dạng hình học của dầm

U : năng lượng biến dạng của kết cấu gia cường

T : động năng của kết cấu gia cường

d : chuyển vị nút thứ i của phần tử dầm thứ e trong hệ tọa độ toàn cục OXYZ

A: Ma trận chứa các thành phần cosin chỉ phương để biến đổi tọa độ của dầm

X

Danh mục các chữ viết tắt

FEM: Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method)

S-FEM: Phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn (Smoothed Finite Element Method) CS-FEM: Phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn trên ô (Cell-based Smoothed Finite Element Method)

DSG: Phương pháp rời rạc hóa khoảng lệch trượt (Discrete Shear Gaps)

DSG3: Phần tử tam giác tuyến tính rời rạc hóa khoảng lệch trượt

CS-DSG3: Phần tử rời rạc hóa khoảng lệch trượt trên phần tử tam giác tuyến tính làm trơn (Cell-based Smoothed Discrete Shear Gaps)

DE: Giải thuật tối ưu tiến hóa (Differential Evolution)

aDE: Giải thuật tối ưu tiến hóa hiệu chỉnh (adjusted Differential Evolution)

GA: Giải thuật di truyền (Gene Algorithm)

PSO: Giải thuật tối ưu bầy đàn (Particle Swarm Optimization)

FSDT: Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-order Shear Deformation Theory) DKT: Phần tử tam giác Kirchhoff rời rạc (Discrete Kirchhoff Triangle)

DKMT: phần tử tam giác rời rạc Kirchhoff-Mindlin (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle)

XI

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 4.1 Độ võng tại tâm chuẩn hóa w 1004D w C

pL

=

ɶ 79

Bảng 4.2 So sánh nghiệm tần số dao động tự nhiên của tấm gia cường một gân bị ngàm ở bốn cạnh bằng các phương pháp khác nhau 81

Bảng 4.3 Các tần số của tấm gia cường hai gân 83

Bảng 4.4 Chuyển vị theo hướng bán kính (cm) tại điểm đặt lực 94

Bảng 4.5 Chuyển vị tiếp tuyến (cm) tại điểm đặt lực 94

Bảng 4.6 Tám tần số đầu tiên (Hz) của vỏ gia cường với các biên tự do 96

Bảng 4.7 Tám tần số đầu tiên của vỏ trụ gia cường với một biên bị ngàm 97

Bảng 4.8 So sánh chuyển vị tại tâm của khối A tính bởi CS-DSG3 và DGS3 99

Bảng 4.9 So sánh năm tần số dao động tự do (Hz) của tấm gấp gia cường tính bởi các phần tử CS-DSG3 và DSG3 theo các lưới khác nhau 100

Bảng 4.10 So sánh năm tần số dao động tự do (Hz) đầu tiên của tấm gấp gia cường tính bằng các phương pháp khác nhau 104

Bảng 4.11 Độ võng tại tâm của khối trên của tấm gấp 106

Bảng 4.12 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp hai khối (mỗi khối là ba lớp [ /θ −θ θ/ ]) có góc lệch β =150O và bị ngàm một bên 108

Bảng 4.13 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp hai khối (mỗi khối hai lớp [30O/-30O]) có góc lệch thay đổi và bị ngàm một bên 109

Bảng 4.14 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp ba khối (mỗi khối là ba lớp [ /θ −θ θ/ ]) có góc lệch β =150O và bị ngàm một bên 111

Bảng 4.15 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp ba khối (mỗi khối gồm bốn lớp [30O/-30O/-30O/30O]) có góc lệch thay đổi và bị ngàm một bên 111

XII

Bảng 4.16 Kết quả tối ưu hóa hướng sợi của tấm gấp hai khối bốn lớp đối xứng với góc lệch β =150O qua năm lần chạy với điều kiện biên C-F-C-F 115 Bảng 4.17 Kết quả tối ưu hóa hướng sợi của tấm gấp hai khối tám lớp đối xứng với góc lệch β =150O qua năm lần chạy với điều kiện biên C-F-C-F 116 Bảng 4.18 Kết quả tối ưu hóa hướng sợi của tấm gấp hai khối bốn lớp đối xứng với góc lệch β =90O qua năm lần chạy với các điều kiện biên khác nhau 117 Bảng 4.19 Kết quả tối ưu hóa hướng sợi của tấm gấp hai khối tám lớp đối xứng với góc lệch β =90O qua năm lần chạy với các điều kiện biên khác nhau 118 Bảng 4.20 Kết quả góc hướng sợi tối ưu và giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp composite ba lớp đối xứng với góc lệch β =150O 120 Bảng 4.21 Kết quả góc hướng sợi tối ưu và các giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm gấp composite ba lớp đối xứng với điều kiện biên F-F-F-C và góc lệch thay đổi 122 Bảng 4.22 So sánh góc hướng sợi tối ưu và giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm composite tám lớp đối xứng với góc lệch β =150O 122 Bảng 4.23 Kết quả góc hướng sợi tối ưu và các giá trị tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm composite tám lớp đối xứng điều kiện biên F-F-F-C và với các góc lệch khác nhau 123

XIII

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Tấm gia cường một gân 24

Hình 1.2 Dầm gia cường: a) quy ước chiều dương của các góc xoay; b) hệ tọa độ địa phương đặt trên dầm gia cường O’rsz và hệ tọa độ địa phương của tấm Oxyz 30

Hình 1.3 Một phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương O’xyz và hệ tọa độ toàn cục OXYZ. 36

Hình 1.4 Hệ tọa độ địa phương trên một phần tử dầm gia cường i-j 37

Hình 1.5 Mô tả hướng sợi trong tấm gấp composite nhiều lớp 40

Hình 1.6 Tấm gấp một khối vuông góc 40

Hình 1.7 Một phần tử vỏ trong hệ tọa độ địa phương O’xyz và hệ tọa độ toàn cục OXYZ 44

Hình 2.1 Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ địa phương 46

Hình 2.2 Phần tử dầm Timoshenko 2 nút với mỗi nút có 5 bậc tự do 52

Hình 2.3 Phần tử tam giác ba nút và hệ tọa độ địa phương trong phần tử DSG3 53

Hình 2.4 Các tam giác con (∆1,∆2 và ∆3) trong phần tử CS-DSG3 tạo ra từ phần tử tam giác ban đầu bằng cách kết nối O tâm vòng tròn nội tiếp của tam giác với ba nút 1,2 và 3 56

Hình 2.5 Một phần tử ứng suất phẳng Allman 61

Hình 3.1 Sơ đồ tóm tắt 4 pha của giải thuật tối ưu DE 66

Hình 3.2 Cơ chế đột biến của giải thuật DE với toán tử đột biến rand/1 67

Hình 3.3 Cơ chế lai tạo ra véc-tơ thử u 68

Hình 3.4 Sơ đồ tóm tắt giải thuật DE 69

Hình 3.5 Lược đồ của chiến lược ‘‘current-to-rand/best/1’’ 71

Hình 3.6 Lưu đồ tối ưu hóa bằng giải thuật aDE và phần tử CS-DSG3 75

lệch tâm của hai phần tử DSG3 và CS-DSG3 theo sai số tương đối 78 Hình 4.3 Sự hội tụ của độ võng tại tâm chuẩn hóa w 1004D w C

pL

=

đồng tâm của hai phần tử DSG3 và CS-DSG3 theo sai số tương đối 78 Hình 4.4 Hình học và kích thước của tấm gia cường một gân bị ngàm ở bốn cạnh 80 Hình 4.5 So sánh các tần số đầu tiên của tấm gia cường của phần tử CS-DSG3 với các phần tử khác 80 Hình 4.6 Sai số tương đối của 10 tần số đầu tiên của CS-DSG3 và các phần tử khác 81 Hình 4.7 Hình học và kích thước của tấm gia cường hai gân bị ngàm ở bốn cạnh 82 Hình 4.8 So sánh tần số dao động tự do được tính bằng CS-DSG3, các phần tử khác và bằng kết quả thực nghiệm 83 Hình 4.9 Tấm tựa đơn được gia cường một gân đồng tâm chịu tải 0

x

σ theo hướng x 84

Hình 4.10 Hệ số ổn định (Buckling parameters) của tấm gia cường một gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.05,γ = 5) 85 Hình 4.11 Hệ số ổn định của tấm gia cường một gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.05,

10

γ = ) 86 Hình 4.12 Hệ số ổn định của tấm gia cường một gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.05,

15

γ = ) 86 Hình 4.13 Hệ số ổn định của tấm gia cường một gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.05,

20

γ = ) 87

XV

Hình 4.14 Hệ số ổn định của tấm gia cường hai gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.1,

10 / 3

γ = ) 87

Hình 4.15 Hệ số ổn định của tấm gia cường hai gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.1, 5 γ = ) 88

Hình 4.16 Hệ số ổn định của tấm gia cường hai gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.1, 20 / 3 γ = ) 88

Hình 4.17 Hệ số ổn định của tấm gia cường hai gân sử dụng CS-DSG3 (δ =0.1, 10 γ = ) 89

Hình 4.18 Sai số tương đối (%) của hệ số ổn định của tấm gia cường một gân giữa CS-DSG3 (δ =0.05) và lời giải của Timoshenko 90

Hình 4.19 Sai số tương đối của hệ số ổn định của tấm gia cường hai gân giữa CS-DSG3 (δ =0.1) và lời giải của Timoshenko 90

Hình 4.20 Vỏ trụ công-xôn gia cường bằng các dầm lệch tâm và đồng tâm chịu tải tập trung 91

Hình 4.21 Sự hội tụ của độ võng theo hướng bán kính (cm) tại điểm đặt lực của CS-DSG3 và CS-DSG3 92

Hình 4.22 Sự hội tụ của độ võng theo phương tiếp tuyến (cm) tại điểm đặt lực của CS-DSG3 và CS-DSG3 92

Hình 4.23 Chuyển vị theo hướng bán kính (cm) dọc theo hai cạnh cong 93

Hình 4.24 Chuyển vị theo hướng bán kính (cm) dọc theo cạnh thẳng 93

Hình 4.25 Vỏ trụ gia cường các dầm trực giao lệch tâm 95

Hình 4.26 Sáu tần số đầu tiên của vỏ trụ gia cường với điều kiện biên tự do 96

Hình 4.27 Sáu dạng dao động đầu tiên của vỏ gia cường có một biên ngàm 97

Hình 4.28 Tấm gấp hai khối gia cường hai dầm lệch tâm 98

XVI

Hình 4.29 So sánh sự hội tụ của chuyển vị tại tâm của khối A của hai phần tử DSG3 và DSG3 99 Hình 4.30 So sánh năm tần số dao động tự do (Hz) của tấm gấp gia cường tính bởi các phần tử CS-DSG3 và DSG3 với lưới thô (7×7 nút mỗi tấm) và hai nghiệm tham khảo của Peng và cộng sự trong [18] 101 Hình 4.31 Tấm gấp ba khối được gia cường một dầm trên khối A và bị ngàm một phía 102

CS-Hình 4.32 So sánh độ võng dọc cạnh x = 1 của khối A (gia cường và không gia cường)

tính bằng các phương pháp khác nhau 103

Hình 4.33 So sánh độ võng dọc cạnh y = 1 của khối A (gia cường và không gia cường)

tính bằng các phương pháp khác nhau 103

Hình 4.34 Tấm gấp hai khối ngàm bị ngàm tại hai cạnh a và b 106

Hình 4.35 Sự hội tụ của độ võng tại tâm một khối của tấm gấp hai khối theo lưới của phương pháp CS-DSG3 và phương pháp không lưới 107 Hình 4.36 Tấm gấp hai khối ngàm một bên (điều kiện biên F-F-F-C) 108 Hình 4.37 Hình dạng dao động ứng với ba tần số dao động tự do đầu tiên của tấm gấp composite hai khối (β =150O, [30O/-30O]) tính bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử Lagrange chín nút của Guha và cộng sự [10] 109 Hình 4.38 Tấm gấp ba khối ngàm một bên (điều kiện biên F-F-F-C) 110 Hình 4.39 Hình dạng dao động ứng với ba tần số dao động tự do đầu tiên của tấm gấp composite ba khối (β = 120 O, [30O/-30O]) tính bằng phần tử CS-DSG3 và phần tử Lagrange chín nút của Guha và cộng sự [10] 112

Hình 4.40 (a) Tấm gấp hai khối bị ngàm ở hai cạnh a và b; (b) mô hình chia lưới phần tử hữu hạn (13x13 nút) 115 Hình 4.41 Tấm gấp hai khối công-xôn với điều kiện biên F-F-F-C 119

XVII

Hình 4.42 (a) Tấm gấp công-xôn ba khối với điều kiện biên F-F-F-C; (b) mô hình chia lưới phần tử hữu hạn (7x13 nút) 121

Trên thế giới, tấm và vỏ được gia cường (như gia cường sợi, gia cường dầm, gân, vv…) đã được nghiên cứu từ đầu những năm 1950-1960 Trong khoảng thời gian từ năm 1950 đến năm 2000, các nghiên cứu đa phần đều dựa trên lý thuyết tấm/vỏ mỏng Điều này tỏ ra hợp lý vì tấm và vỏ được gia cường chủ yếu là kết cấu có bề dày bé Trong giai đoạn đầu, các phương pháp giải tích và bán giải tích được sử dụng để giải các bài toán trên, mặc dù vậy, việc áp dụng các phương pháp này cho đa số bài toán là điều không thể Trong thời gian gần đây, các nhà nghiên cứu đã tập trung sử dụng các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn, để giải các bài toán trên

ưu hóa kết cấu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Luận án được thực hiện nhằm 2 mục tiêu chính sau: (1) phát triển một phương pháp phần tử hữu hạn trơn cải tiến (CS-DSG3) sử dụng các phần tử tam giác 3 nút để tính toán ứng xử của tấm/vỏ được gia cường; (2) phát triển một giải thuật tối ưu tiến hóa được hiệu chỉnh mới (aDE) và kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 ở mục tiêu 1 để tính toán tối ưu kết cấu tấm/vỏ gia cường dựa trên các điều kiện phân tích tĩnh học và dao động tự do

Đối tượng, phương pháp nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: bao gồm các phương pháp số nhằm phân tích ứng xử và tối ưu hóa kết cấu tấm/vỏ được gia cường bởi các dầm

3

Phương pháp nghiên cứu: gồm (1) mô hình hóa toán học các phương trình ứng xử, dạng yếu, dạng rời rạc phần tử hữu hạn và các thuật giải tối ưu; và (2) lập trình mô phỏng trên máy tính bằng các phương pháp số cải tiến, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn trơn cải tiến CS-DSG3 và thuật giải tối ưu tiến hóa hiệu chỉnh aDE Các kết quả sẽ được so sánh với các kết quả đã được công bố trước đó trên các tạp chí uy tín thế giới hoặc so sánh với các phương pháp đối chứng khác

Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài sẽ đi sâu nghiên cứu phát triển phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác 3 nút cho phân tích ứng xử của tấm/vỏ được gia cường gân Các

lý thuyết tấm/vỏ được sử dụng bao gồm lý thuyết tấm/vỏ Mindlin- Reissner, vỏ phẳng (flat shell) và lý thuyết biến dạng cắt bậc một (FSDT) Tấm/vỏ có ứng xử đàn hồi tuyến tính, biến dạng nhỏ và sẽ được phát triển từ vật liệu đẳng hướng đến các loại vật liệu đa chức năng như vật liệu composite Từ các kết quả tính toán này, tác giả sẽ thiết lập các bài toán tối ưu hóa để tính toán tối ưu kết cấu gia cường mà cụ thể là tối ưu hóa kết cấu tấm composite Các thuật giải tối ưu được sử dụng chính bao gồm giải thuật tiến hóa được hiệu chỉnh aDE (được đề xuất bởi tác giả), giải thuật di truyền GA và giải thuật bầy đàn PSO

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Ý nghĩa khoa học: Việc nghiên cứu thành công đề tài này sẽ giúp đóng góp 2 kết quả khoa học mới gồm: (1) một phần tử hữu hạn trơn tấm/vỏ hiệu quả CS-DSG3 sử dụng các phần tử tam giác 3 nút cho phân tích kết cấu tấm/vỏ gia cường gân; (2) một giải thuật tối ưu tiến hóa hiệu chỉnh hiệu quả aDE để giải bài toán tối ưu hóa kết cấu tấm/vỏ gia cường gân

Ý nghĩa thực tiễn: Kết quả của đề tài nghiên cứu có thể được sử dụng trực tiếp trong tính toán thiết kế và tối ưu hóa kết cấu tấm/vỏ gia cường gân trong thực tiễn Kết quả nghiên cứu cũng có thể được tích hợp vào các phần mềm phân tích và tối ưu hóa kết

4

cấu, đặc biệt là phần kết cấu tấm/vỏ gia cường gân Ngoài ra, kết quả nghiên cứu đạt được sẽ được sử dụng trong đào tạo sau đại học và là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các nghiên cứu viên ngành Cơ học tính toán

5

TỔNG QUAN

0.1 Tổng quan các phương pháp giải bài toán tấm gia cường gân

0.1.1 Các phương pháp giải tích và bán giải tích

Trong giai đoạn đầu khi nghiên cứu về các bài toán tấm gia cường, đa số các nhà nghiên cứu đều dựa trên các phương pháp giải tích và bán giải tích để giải và phân tích ứng xử của tấm gia cường Có thể kể đến một số tác giả và các công trình tiêu biểu sau Chan và các đồng nghiệp [40] đã tìm ra lời giải giải tích cho bài toán phân tích tĩnh học của tấm hình chữ nhật được gia cường gân đồng tâm có các biên tựa đơn Hàm độ võng của tấm chịu tải trọng tùy ý được nhóm tác giả này tìm ra bằng phương pháp U-biến đổi (U-transformation)

Mukhopadhyay [66] đã phát triển một phương pháp bán giải tích nhằm phân tích tĩnh học của tấm gia cường Tác giả đã thay thế phương trình tấm bằng các hàm cơ sở thỏa các điều kiện biên của các cạnh đối diện theo một hướng của tấm và sử dụng phép biến đổi thích hợp để đưa phương trình dao động của tấm về phương trình vi phân thường và sau đó giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp trên sau đó được Mukhopadhyay [67], [68], [69], tiếp tục áp dụng để phân tích tĩnh học, dao động

tự do và tải trọng ổn định tới hạn của tấm hình chữ nhật được gia cường Phương trình uốn tấm đẳng hướng được kết hợp với hai phương trình mô tả chuyển vị dọc trục và chuyển vị uốn trong mặt phẳng giữa của tấm Trong các bài báo này, tác giả phân tích cho cả hai trường hợp tấm gia cường đồng tâm cũng như lệch tâm Các điều kiện biên, tải trọng, khối lượng khác nhau cũng như số lượng gân gia cường cũng được xem xét trong bài báo

6

Mizusawa và các đồng nghiệp [64] đề xuất một phương pháp tổng quát để phân tích dao động tự do của tấm nghiêng gia cường bằng phương pháp Rayleigh – Ritz trong đó các hàm B-spline là các hàm tọa độ Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff được sử dụng khi thiết lập phiếm hàm năng lượng biến dạng của tấm Các tấm nghiêng gia cường được

mô hình thành tấm nghiêng kết hợp với nhiều dầm Các tác giả chỉ ra rằng ảnh hưởng

độ cứng uốn của dầm đến tần số tự nhiên là lớn hơn ảnh hưởng của độ cứng xoắn Cheng và các đồng nghiệp [86] đã mở rộng phương pháp Rayleigh – Ritz với hàm B-spline để phân tích tĩnh học, dao động tự do và ổn định khi có tải trọng dọc cạnh của tấm (buckling) của tấm gia cường

Liew và các đồng nghiệp [59] lần đầu tiên nghiên cứu đặc tính dao động tự do của tấm Mindlin-Reissner được gia cường nhiều dầm bằng phương pháp Rayleigh – Ritz Các ảnh hường do biến dạng cắt, quán tính xoay và độ cứng xoắn của dầm lên tấm đều được xem xét đến

0.1.2 Các phương pháp số

Việc máy tính cá nhân ngày càng phát triển đã dẫn đến việc phát triển mạnh mẽ của các phương pháp số trong các ngành khoa học đòi hỏi việc mô phỏng tính toán trên máy tính Cùng với đó là việc áp dụng các phương pháp số này cho bài toán tấm gia cường Những phương pháp số phổ biến được áp dụng cho bài toán này cùng với các tác giả tiêu biểu được trình bày tóm tắt trong phần tiếp theo như sau

0.1.2.1 Phương pháp sai phân

Asku và Ali [28] sử dụng phương pháp biến phân để cực tiểu hóa phiếm hàm năng lượng của tấm gia cường Phiếm hàm năng lượng có được từ phép tính biến phân được thay bằng các phương trình sai phân hữu hạn Mô hình sử dụng trong bài báo có kể đến biến dạng màng của tấm và của gân gia cường; đồng thời ảnh hưởng của mô men quán tính trong mặt phẳng lên tần số tự nhiên và hình dạng dao động cũng được xét đến

7

Mukhopadhyay [67] sử dụng phương pháp sai phân như một phương pháp bán giải tích để phân tích tĩnh học và động học của tấm gia cường gân như đã đề cập ở phần các phương pháp giải tích và bán giải tích

Wen và các đồng nghiệp [109] sử dụng phương pháp phần tử biên cho phân tích tấm gia cường chịu biến dạng cắt Phương pháp đề xuất được kết hợp bởi công thức phần tử biên của tấm chịu biến dạng cắt và phần tử đàn hồi ứng suất phẳng hai chiều Các trường hợp tấm đồng tâm và lệnh tâm đều được xét đến Tác giả quy các lực tương tác giữa dầm và tấm thành các lực phân bố theo đường thẳng hoặc theo diện tích của lực khối đặt dọc theo cạnh giao giữa chúng

Sapountzakis và Mokos [23] sử dụng phương pháp phần tử biên tìm ra lời giải tổng quát cho bài toán phân tích tấm gia cường có biến dạng cắt và chịu tải trọng bất kỳ Theo mô hình đề xuất, các dầm gia cường song song nhau có tiết diện bất kỳ và đối xứng được đặt tùy ý và được tách rời bên dưới mặt phẳng của tấm Tiết diện tiếp xúc giữa dầm và tấm chịu các lực kéo theo tất cả các hướng, từ đó phát sinh tải trọng lên dầm và tải trọng thêm vào của tấm Ngoài ra, dầm còn chịu đồng thời các lực cắt ngang phân bố không đều và các lực xoắn không đều Mô hình trong bài báo cho phép đánh giá các lực cắt xuất hiện bên trong mặt phẳng ngang và lực dọc trục tại tiết diện tiếp xúc giữa dầm và tấm Bài báo đầu tiên nghiên cứu các ảnh hưởng của lực và biến dạng dọc trục cũng như biến dạng trong mặt phẳng của tấm gia cường, là các điểm mà các bài báo trước đó đã không xét đến Trong một số trường hợp, ảnh hưởng của biến dạng

8

cắt lên độ võng, lực tại hai đầu dầm và các ứng suất tổng cộng là đáng kể và vì vậy ảnh hưởng này không nên bỏ qua Mặc dù vậy, bài báo chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu tĩnh học

0.1.2.3 Phương pháp không lưới

Peng và các đồng nghiệp [83] sử dụng phương pháp phần tử tự do Galerkin để phân tích tĩnh học của tấm gia cường đồng tâm và lệnh tâm dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Bằng phương pháp này, các gân có thể nằm tự do mà không cần phải nằm dọc theo lưới của tấm như phương pháp phần tử hữu hạn Các gân có thể đặt ở vị trí bất

kỳ mà không cần phải chia lại lưới của tấm Nhiều ví dụ số trong bài báo chỉ ra rằng, với kích thước miền giá đỡ lớn hơn và bậc của hàm cơ sở cao hơn thì kết quả hội tụ tốt hơn

Nhóm của Peng [85] sau đó đã mở rộng phương pháp không lưới Galerkin để phân

tích tần số dao động tự do và ổn định của tấm gia cường đồng tâm chịu tải trọng ngang trong mặt phẳng tấm Trong bài báo, các tác giả sử dụng hàm dạng cơ sở tuyến tính, và

các kết quả được so sánh với kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống

0.1.2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn

Nhóm các phương pháp phần tử hữu hạn có thể được chia làm hai hướng nghiên cứu bao gồm: tấm Kirchhoff – dầm Euler và tấm Reissner-Mindlin – dầm Timoshenko a) Nhóm các phương pháp dựa trên lý thuyết tấm Kirchhoff và dầm Euler

Olson và Hazell [77] sử dụng phần tử tam giác tương thích có độ chính xác cao trên cơ

sở hàm dạng được nội suy bằng đa thức bậc năm chặt cụt kết hợp với phần tử ứng suất phẳng bậc hai, để phân tích phần tử tấm Kirchhoff Để đảm bảo tính tương thích giữa dầm và tấm; phần tử dầm cũng được nội suy bởi đa thức có bậc tương tự như tấm Kết quả số được so sánh với các kết quả từ thực nghiệm của chính các tác giả

9

Barik và Mukhopadhyay [33] kết hợp phần tử uốn tấm hình chữ nhật ACM với phần tử ứng suất phẳng tứ giác bốn nút để phân tích tĩnh học, động học và ổn định tải ngang của tấm thuần túy và tấm gia cường Hàm dạng của phần tử tấm được nội suy bởi đa thức bậc cao gồm 12 nút Hơn nữa, phần tử dầm cũng được nội suy bằng các hàm dạng của tấm

Samanta và Mukhopadhyay [96] kết hợp phần tử rời rạc Kirchhoff (DKT) [7] và phần tử ứng suất phẳng Allman [29] để phân tích động học của tấm/vỏ phẳng gia cường Các ví dụ số trong bài báo cho thấy sự kết hợp giữa phần tử DKT và phần Allman cho kết quả hội tụ tốt tuy nhiên lại rất phức tạp trong lập trình, và khi so sánh với các phương pháp trước đó sự hội tụ cũng chưa thực sự nổi bật

Các phần tử tấm gia cường dựa trên lý thuyết tấm Kirchhoff và dầm Bernoulli cho kết quả gần nghiệm chính xác với độ hội tụ cao Tuy nhiên thực tế cho thấy, phần tử dầm Euler-Bernoulli thường trở nên cứng khi chiều cao dầm tăng vì không kể đến biến dạng trượt Vì vậy, các lý thuyết dựa trên giả thuyết tấm Kirchhoff

Euler-và dầm Euler-Bernoulli thường cứng hơn phần tử tấm gia cường được kết hợp từ tấm Mindlin-Reissner và dầm Timoshenko, và điều này đã được Sapountzakis [23] chỉ ra b) Nhóm các phương pháp dựa trên lý thuyết tấm Mindlin-Reissner và dầm Timoshenko

Hướng tiếp cận này sử dụng lý thuyết tấm Mindlin-Reissner [63], [94] (hay còn gọi là

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, First-order Shear Deformation Theory - FSDT) để mô hình tấm nền và lý thuyết dầm Timoshenko để mô hình dầm gia cường

Nhiều phần tử hữu hạn đẳng tham số được sử dụng để phân tích tĩnh học của tấm gia cường như trong các tài liệu [45], [70], [103] Loại phần tử này được xây dựng dựa trên giả thiết tấm dày Mindlin-Reissner Tuy nhiên, theo các nghiên cứu trước đó, Zienkiewicz và Taylor [5] đã chỉ ra rằng, phần tử đẳng tham số gặp phải hiện tượng

“khóa cắt” (shear locking) khi bề dày tấm tiến về không và loại phần tử này cũng

10

không cho kết quả tốt khi tấm chịu các điều kiện biên khác nhau hoặc các cấu hình lưới phần tử hữu hạn phức tạp như trình bày trong tài liệu [2] Để cải thiện độ chính xác của nghiệm đối với tấm có chiều dày mỏng, phương pháp tích phân giảm thường được sử dụng

Cùng một hướng tiếp cận tương tự, Mukherjee và Mukhopadhyay [65] đã sử dụng phần tử đẳng tham số tám nút để phân tích dao động tự do của tấm gia cường Mặc dù vậy, trong phân tích tĩnh học, sự chính xác của phần tử đẳng tham số thường rất thấp đối với tấm có bề dày mỏng và tiến về không Để cải thiện sự hội tụ của phương pháp, các tác giả đã sử dụng phương pháp tích phân giảm, nhưng kỹ thuật này lại làm xuất hiện các dạng dao động năng lượng zero giả (spurious zeros energy modes) khi phân tích tần số dao động tự do như mô tả trong tài liệu [2]

Palani và các đồng nghiệp [79] đã phát triển phần tử đẳng tham số chín nút để phân tích tĩnh và động học của tấm gia cường đồng tâm và lệch tâm Các kết quả số cho thấy

sự hiệu quả của loại phần tử này khi được so sánh với phần tử tám nút của Deb [45], đặc biệt khi phân tích dao động tự do của tấm Mặc dù vậy, hiện tượng các dạng dao động năng lượng zero giả hay hiện tượng khóa cắt (thường gặp trong các phần tử đẳng tham số khi phân tích ứng xử của tấm) không được xem xét trong bài báo này

Holopainen [50] đã sử dụng phần tử tứ giác chín nút sử dụng phương pháp nội suy hỗn hợp (MITC9) để phân tích dao động tự do của tấm gia cường lệch tâm và đồng tâm Giả thiết được sử dụng trong bài báo là tấm Mindlin – Reissner Phần tử MITC9 không gặp phải hiện tượng khóa cắt cũng như không làm xuất hiện các dạng dao động năng lượng zero giả Trong [50], tác giả phân tích tần số tự nhiên cho cả trường hợp phần tử dầm nằm trong hoặc trên biên của phần tử tấm Tuy nhiên, phần tử MITC9 lại quá phức tạp trong lập trình và kết quả phân tích tần số dao động tự do cũng không thực sự vượt trội khi so sánh với các kết quả trước đó

11

Kumar và Mukhopadhyay [97] đã đề xuất việc kết hợp phần tử tam giác uốn tấm rời rạc Kirchhoff – Mindlin (DKMT) với phần tử ứng suất phẳng Allman để phân tích tĩnh học và động học của tấm gia cường nhiều lớp Tấm được giả thiết là tấm dày Mindlin-Reissner

Ngoài hai hướng tiếp cận trên, một hướng tiếp cận mở rộng của mô hình sử dụng lý thuyết tấm Mindlin-Reissner là lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-order Shear Deformation Theory - HSDT) cũng đang được chú ý phát triển Tuy nhiên, vì bề dày của tấm nền trong kết cấu gia cường thường rất bé nên lý thuyết này ít được áp dụng cho kết cấu tấm và vỏ gia cường, mà chỉ được áp dụng cho tấm vật liệu composite nhiều lớp như trong tài liệu tham khảo [8] Trong [8], Barh và các đồng nghiệp cho thấy không có sự khác biệt giữa FSTD và HSDT bằng phương pháp phần tử hữu hạn Q8 và Q9 khi phân tích độ võng và tần số dao động tự do của tấm gia cường sử dụng vật liệu đẳng hướng Sự khác biệt chỉ xuất hiện khi kết cấu được thay bằng vật liệu composite nhiều lớp cùng với chiều dày của tấm và tiết diện ngang của dầm tăng lên đáng kể

Như vậy, đối với tấm gia cường với vật liệu đẳng hướng thì lý thuyết của Mindlin là phù hợp và không cần thiết phải áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao vì

Reissner-sẽ không cải thiện kết quả tính toán đáng kể trong khi lại làm tăng thêm những chi phí tính toán không cần thiết

12

chọn trong bài báo phải thỏa mãn điều kiện tương thích vì vậy bậc đa thức nội suy của

độ võng lớn hơn một bậc so với của chuyển vị màng

Kakol [51] đã áp dụng phương pháp dây hữu hạn để giải bài toán ổn định tải ngang

có tương tác cho tấm gia cường Kakol [52] tiếp tục sử dụng phương pháp dây hữu hạn nhưng với đa thức xấp xỉ bậc cao để phân tích ổn định và hậu ổn định của tấm gia cường chịu tải trọng ngang Để phân tích bài toán, tác giả sử dụng lý thuyết tấm mỏng von Karman trong đó có kể đến thành phần phi tuyến của trường biến dạng

0.2 Tổng quan các phương pháp giải bài toán vỏ gia cường gân

Cũng giống như tấm gia cường, vỏ gia cường cũng đã được nghiên cứu từ sớm, bắt đầu

từ những năm 1950 So với tấm gia cường, vỏ gia cường có độ phức tạp cao hơn, vì thế các phương pháp giải tích được nghiên cứu rất ít Ngược lại, các phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng rất nhiều để phân tích vỏ gia cường Dưới đây, tác giả giới thiệu các phương pháp thông dụng được sử dụng để phân tích ứng xử của vỏ gia cường Trong số các công bố từ năm 1970 cho đến nay về vỏ được gia cường, phương pháp phần tử hữu hạn chiếm đa số trong các phương pháp Phần tử hữu hạn đối xứng trục được Al-Najafi và Warburton [30] sử dụng để tìm các tần số riêng và dạng dao động của vỏ trụ mỏng hình tròn với các vòng gia cường Mỗi vòng gia cường được xem như một phần tử cụ thể Sự lệch tâm giữa dầm và vỏ cũng được xét đến

Venkatesh và Rao [107] đã phân tích vỏ nhiều lớp được gia cường bởi các gân nhiều lớp bằng phương pháp phần tử hữu hạn Trong mô hình này, phần tử vỏ nông mỏng bất đẳng hướng nhiều lớp hình chữ nhật gồm 48 bậc tự do được sử dụng kết hợp với phần tử dầm cong bất đẳng hướng nhiều lớp có 16 bậc tự do Các tác giả giả thiết không có chuyển vị giữa vỏ và dầm trên đường kết nối giữa chúng Sự lệch tâm giữa

vỏ và gân cũng như lý thuyết vỏ mỏng được sử dụng trong bài báo này Hệ tọa độ được xét trong bài báo là hệ tọa độ cong trực giao

13

Mustafa và Ali [71] nghiên cứu các đặc tính dao động tự do của vỏ hình trụ gia cường và bản cong hình trụ gia cường các gân trực giao nhau bằng siêu phần tử vỏ gia cường tám nút Phần tử này là sự kết hợp giữa phần tử vỏ của Cantin và Clough [39] và các phần tử dầm cong của Davis và các đồng nghiệp Trong siêu phần tử, các hàm lượng giác được đưa vào trong hàm chuyển vị để mô tả chuyển vị của phần tử cong Liao và Reddy [58] kết hợp phần tử vỏ suy biến (degenerate) và phần tử dầm cong suy biến để phân tích phi tuyến hình học của vỏ gia cường bất đẳng hướng nhiều lớp Các điều kiện tương thích và đầy đủ được sử dụng trong mô hình các cấu trúc dạng vỏ tổng quát để đảm bảo sự hội tụ của nghiệm Các ảnh hưởng của điều kiện biên, mô hình lớp và phi tuyến hình học của độ võng được nghiên cứu trong bài báo này Để phân tích vỏ gia cường tổng quát này, các tác giả đã sử dụng các phần tử 3 chiều

Sinha và các đồng nghiệp [99] đề xuất phần tử tương thích có hình dạng tam giác bất kỳ với 36 bậc tự do để phân tích cấu trúc vỏ nông gia cường Trong hướng tiếp cận này, các tác giả xây dựng phần tử sao cho gân có thể được đặt ở vị trí bất kỳ trong phần

tử vỏ và định hướng bất kỳ Cho dù phần tử được đề xuất trong bài báo có nhiều ưu điểm nhưng lại rất phức tạp vì các tác giả phải sử dụng phần tử bậc cao khi xấp xỉ các trường chuyển vị để đảm bảo sự tương thích và độ chính xác

Omurtag và Akõz [78] giới thiệu phiếm hàm năng lượng mới cho vỏ trụ mỏng và thanh không gian chịu các điều kiện biên hình học và động học, bằng cách sử dụng đạo hàm Gâteuax Những phiếm hàm này là một công cụ hữu dụng để thiết lập công thức của phần tử hữu hạn hỗn hợp Phần tử vỏ gồm bốn nút và mỗi nút có 3 chuyển vị theo

3 hướng của hệ trục tọa độ tổng thể và 3 lực màng cùng với 3 mô men uốn xác định 9 bậc tự do tại mỗi nút Phần tử thanh có 2 nút với 12 bậc tự do tại mỗi nút gồm: 3 chuyển vị, 3 góc xoay, 2 lực dọc trục, một lực cắt ngang, 1 mô men xoắn và 2 mô men uốn Độ lệch tâm của thanh được xét đến trong các ma trận phần tử hữu hạn

14

Prusty và Satsangi [92] sử dụng phần tử đẳng tham số tám nút cho vỏ và phần tử dầm cong ba nút cho gân gia cường để phân tích tĩnh học của vỏ gia cường theo lý thuyết vỏ tổng quát Việc tính toán ma trận độ cứng của phần tử dầm cong không phụ thuộc vào vị trí và hướng của nó trong phần tử vỏ Các vỏ gia cường đồng tâm và lệch tâm đều được xét đến trong các ví dụ số của bài báo Tuy nhiên trong bài báo, bậc tự do

góc xoay quanh trục z không được đề cập đến Ngoài ra, do ma trận độ cứng của dầm

đều được chuyển sang cho ma trận độ cứng của vỏ dẫn đến độ võng của vỏ gia cường cứng hơn so với thực tế

Samanta và Mukhopadhyay [96] kết hợp phần tử uốn tấm DKT của Stricklin và các cộng sự [49] và phần tử ứng suất phẳng Allman [29] để tạo ra phần tử vỏ gia cường nhằm phân tích tần số dao động tự do và hình dạng dao động của tấm/vỏ gia cường Trong phần tử này, gân được xem như một thành phần cụ thể và do đó, gân cũng có thể được đặt ở vị trí bất kỳ trong phần tử vỏ Phần tử này có thể được dùng để phân tích cấu trúc vỏ gia cường nông cũng như sâu với giả thiết vỏ phẳng Lợi điểm của phần tử này là vẫn sử dụng phần tử tam giác 3 nút với 6 bậc tự do tại mỗi nút và có tốc độ hội

tụ nhanh; mặc dù vậy, phần tử này lại rất phức tạp trong việc thiết lập công thức

Patel và các đồng nghiệp [82] phát triển phần tử đẳng tham số tám nút cho phần tử

vỏ và phần tử dầm cong ba nút tương thích như Prusty và Satsangi [92] để phân tích sự bất ổn định tĩnh học và động học của vỏ gia cường chịu tải trọng phân bố đều trong mặt phẳng vỏ Các tác giả sử dụng lý thuyết vỏ và dầm cong tổng quát kết hợp với phương pháp định thức vô hạn của Hill để phân tích các vùng bất ổn định động học

Nhận xét: Từ đầu những năm 1950 cho đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu

về tấm và vỏ gia cường gân Với sự phát triển của máy tính, các phương pháp số dần thay thế các phương pháp giải tích và bán giải tích vốn có độ phức tạp cao và khả năng

áp dụng rộng rãi không lớn, đặc biệt đối với những bài toán có miền hình học và điều kiện biên phức tạp Trong các phương pháp số đã được nghiên cứu, phương pháp phần

15

tử hữu hạn được sử dụng nhiều nhất vì sự linh hoạt, đơn giản và có độ chính xác cao Hai mô hình được các nhà nghiên cứu chọn nhiều nhất là mô hình kết hợp tấm mỏng Kirchhoff và dầm Euler-Bernoulii và mô hình kết hợp tấm dầy Mindlin-Reissner và dầm Timshenko Trong giai đoạn đầu, các nghiên cứu hướng về mô hình đầu tiên vì thực tế tấm vỏ gia cường là loại vật liệu có độ dày nhỏ Tuy nhiên, thời gian sau đó, các nhà nghiên cứu lại chọn mô hình thứ hai nhiều hơn vì sự đơn giản trong việc chọn đa thức xấp xỉ đồng thời mô tả được ứng xử của tấm khi bề dày của tấm/vỏ cũng như độ cao của dầm lớn Mặc dù vậy, các phần tử được chọn ứng với mô hình thứ hai vẫn tồn tại một số khuyết điểm như đã trình bày trong phần tổng quan về tấm/vỏ gia cường ở trên và cần được cải tiến Đặc biệt, đa số các phần tử được chọn là các phần tử tương đối phức tạp như (DKMT) hay các phần tử có nhiều bậc tự do như: phần tử tứ giác tám nút (Q8), phần tử tứ giác chín nút (Q9), (MITC9) Các khuyết điểm này càng thể hiện

rõ trong các bài toán tối ưu hay phân tích các ứng xử phức tạp của vật liệu như phân tích phi tuyến, biến dạng lớn… và làm tăng mạnh chi phí tính toán Trong luận án này, tác giả sẽ nghiên cứu cải tiến một số phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn trơn để cho ra một loại phần tử đơn giản, linh hoạt và có chi phí tính toán thấp đồng thời cho tốc độ hội tụ cao phù hợp với việc phân tích và tối ưu các kết cấu tấm/vỏ gia cường gân

0.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu về tối ưu hóa tấm/vỏ gia cường gân

Các nghiên cứu về tối ưu hóa tấm/vỏ gia cường đã được nghiên cứu từ những năm

1970 của thế kỉ trước Trong những năm từ 1970 đến 1990, chi phí dành cho tính toán tối ưu thường rất lớn nên trong giai đoạn này các phương pháp giải tích thường được

sử dụng trong phân tích ứng xử kết cấu tấm/vỏ và được kết hợp với các giải thuật tối

ưu Càng về sau khi máy tính ngày càng phát triển, các nhà nghiên cứu đã chuyển sang

sử dụng phương pháp số để phân tích kết cấu và tính toán tối ưu cho những bài toán có

độ phức tạp cao hơn và tổng quát hơn Nhiều giải thuật tối ưu mới cũng ra đời, để kết

Rao và Reddy [93] đã thiết kế tối ưu vỏ trụ gia cường tựa đơn chịu lực dọc trục để cực tiểu hóa khối lượng Các biến thiết kế được chọn là độ dày của vỏ, độ dày và độ sâu của gân vòng và gân dọc trục, số gân hoặc khoảng cách vòng và gân dọc trục Các ràng buộc bao gồm tần số tự nhiên, độ bền chịu tải trọng ngang địa phương và toàn cục Phương pháp tối ưu ràng buộc phi tuyến chuẩn (phương pháp Davidon-Fletcher-Powell kết hợp với công thức hàm phạt điểm trong) được sử dụng; đồng thời một vài lời giải tối ưu cũng được kiểm tra để thỏa mãn điều kiện Kuln-Tucker

Patel và đồng nghiệp [81] thiết kế tối ưu trọng lượng của thân máy bay có dạng vỏ trụ được gia cường dưới tác dụng của tải trọng uốn thuần túy Bài toán tối ưu này được xem như một bài toán tối ưu hóa cực tiểu chịu ràng buộc phi tuyến Các biến thiết kế được chọn là bề dày của vỏ, khoảng cách và các kích thước của các dầm gia cường Ràng buộc của bài toán bao gồm các thành phần ứng suất của vỏ gia cường được biểu diễn bằng các công thức giải tích; tuy nhiên, các công thức giải tích này lại rất đơn giản Bushnell [38] tính toán bài toán tối ưu tương tự nhưng chịu tải trọng mất ổn định

số dao động, trọng lượng kết cấu, tải bất ổn định dọc trục (axial buckling load) và tải bất ổn định hướng tâm (radial buckling load); sáu biến thiết kế được chọn là: bề dày

vỏ, số gân, chiều rộng và chiều cao của gân, sự phân bố gân lệch tâm và khoảng cách giữa các gân Phương pháp được dùng để phân tích vỏ trụ gia cường là phương pháp Ritz

0.4 Một số nghiên cứu của các tác giả trong nước

Mặc dù nghiên cứu ứng xử của các cấu trúc gia cường là một đề tài nhận được nhiều quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới, nhưng ở Việt Nam, vấn đề này chưa được quan tâm nhiều Vì lý do đó, số công trình do các tác giả là người Việt công bố ở cả trong nước và ngoài nước vẫn còn khiêm tốn Tác giả liệt kê dưới đây là một số công trình đã được công bố ở các tạp chí trong và ngoài nước của các nhà khoa học người Việt về bài toán này

Phạm Tiến Đạt và các cộng sự [87], [88] đã nghiên cứu dao động tự do của tấm gia cường và mở rộng bài toán ra tấm composite gia cường bằng phương pháp giải tích Sau đó, Khúc Văn Phú và Phạm Tiến Đạt [53] đã tính toán tấm composite lớp có gân gia cường bằng phương pháp Bubnov-Galerkin dựa trên kỹ thuật dàn dầm và có kể đến biến dạng phi tuyến Các tác giả đã so sánh tấm gia cường và không gia cường để thấy được ảnh hưởng của gân gia cường lên kết cấu Ngô Như Khoa và Đỗ Tiến Dũng [1]

đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tam giác bậc hai sáu nút dựa trên lý thuyết tấm Mindlin để phân tích ứng xử của kết cấu tấm composite lớp có gân gia cường

18

Trần Ích Thịnh và cộng sự [106], [25], [102], [105], đã nghiên cứu về các ứng xử tĩnh học và động học của các kết cấu tấm composite được gia cường Sau đó nhóm các tác giả đã mở rộng ra nghiên cứu kết cấu tấm gấp được gia cường [104] Các tác giả đã

sử dụng phần tử đẳng tham số chín nút với 5 bậc tự do tại mỗi nút Mặc dù kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho một số kết cấu tấm composite gia cường và tấm gấp gia cường phổ biến nhưng do tác giả sử dụng phần tử bậc cao nên phần tử sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán các kết cấu có kích thước lớn và hình dạng hình học phức tạp

Đối với vỏ gia cường, có một số các nghiên cứu dựa trên các phương pháp giải tích

áp dụng cho các kết cấu có hình dạng đặc biệt Ngoài ra, ứng xử phi tuyến của vật liệu cũng đã được kể đến trong một số nghiên cứu Tuy nhiên, gần như không có nghiên cứu nào dựa trên phương pháp số cho kết cấu này được thực hiện bởi người Việt công

bố trên các tạp chí trong nước

Đào Huy Bích và cộng sự [34] dựa vào lý thuyết vỏ cổ điển với phi tuyến hình học von Karman-Donnel và kỹ thuật dàn gân gia cường (đồng nhất dầm với vỏ như một sự phân bố độ cứng của dầm lên trên vỏ) để thiết lập phương trình chuyển động của vỏ hình trụ có cơ tính thay đổi được gia cường lệch tâm Các tác giả nghiên cứu đặc tính dao động tự do, ứng xử phi tuyến và bất ổn định phi tuyến động học khi chịu tải dọc trục Tiêu chuẩn Budiansky-Roth được sử dụng để nghiên cứu các ứng xử phi tuyến Đào Văn Dũng và cộng sự [48] phân tích ứng xử bất ổn định và hậu bất ổn định của

vỏ trụ có cơ tính biến đổi được gia cường chịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích Galerkin Vỏ được gia cường lệch tâm bằng các gân vòng và gân dọc trục Các giả thiết được sử dụng tương tự như trong tài liệu [34]

Đào Huy Bích và cộng sự [35] áp dụng phương pháp bán giải tích nghiên cứu phi tuyến động học của vỏ nông, có cơ tính biến đổi và được gia cường, chịu áp lực bên ngoài và bên trong Phương pháp Galerkin được áp dụng để thiết lập phương trình

19

chuyển động trước khi sử dụng phương pháp Runge-Kutta để giải các phương trình này Tiêu chuẩn Budiansky-Roth được sử dụng để phân tích ứng xử động học phi tuyến

Nguyễn Đình Đức [47] mở rộng phương pháp Runge-Kutta và Bubnov-Galerkin để phân tích ứng xử phi tuyến động học của các vỏ nông cong hai phía, có cơ tính biến đổi được gia cường gân lệch tâm, đặt trên nền đàn hồi Các phương trình được xây dựng dựa trên lý thuyết tấm cổ điển có kể đến những giả thiết như phi tuyến hình học, sự khiếm khuyết hình học ban đầu và kỹ thuật dàn gân Lekhnitsky; đồng thời có kể đến ảnh hưởng của các đặc tính vật liệu, đặc tính hình học của vỏ và ảnh hưởng của nền đàn hồi Pasternak

Các phương pháp được nghiên cứu trong nước cho bài toán tấm/vỏ gia cường chủ yếu được thực hiện bằng các phương pháp giải tích và bán giải tích Các phương pháp

số cho bài toán này vẫn chưa nhận được nhiều sự quan tâm Ngoài ra, bài toán tối ưu hóa cho kết cấu được gia cường vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu và công bố trên các tạp chí trong nước, cho dù ý nghĩa của việc tối ưu hóa là rất quan trọng trong thực tiễn sản xuất

0.5 Tổng quan nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn cho bài toán tấm và vỏ

Cùng với nhiều phương pháp số được dùng để giải bài toán tấm và vỏ, Liu và Nguyen –Thoi [12] đã tích hợp kỹ thuật làm trơn vào phương pháp phần tử hữu hạn để cho ra các phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn Những phương pháp này bao gồm phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn trên ô (CS-FEM) [11], phần tử hữu hạn làm trơn trên cạnh (ES-FEM) [60], phần tử hữu hạn làm trơn trên nút (NS-FEM) [61] và phần tử hữu hạn làm trơn trên mặt (FS-FEM) [15] Các phương pháp này ban đầu được áp dụng để giải các bài toán đàn hồi hai chiều và ba chiều, sau đó đã được mở rộng cho lớp các bài toán tấm và vỏ cùng với các vấn đề liên quan bằng cách kết hợp các kỹ thuật làm trơn

20

này với các phần tử khác như phần tử DSG3 [36], MITC4 [6], MIN3 [101] để cho ra loạt các phần tử tấm trơn hóa như phần tử rời rạc độ lệch trượt làm trơn trên cạnh (ES-DSG3) [76], phần tử rời rạc độ lệch trượt làm trơn trên nút (NS-DSG3) [18], phần tử trơn hóa ổn định MITC4 (MISCk) [17], phần tử tấm Mindlin ba nút làm trơn trên cạnh (ES-MIN3) [14] và phần tử rời rạc độ lệch trượt làm trơn trên ô (CS-DSG3) [16] Tổng quan về các nghiên cứu của phương pháp làm trơn đã được Zeng và các cộng sự thực hiện trong [27] Trong số các phần tử trơn hóa nêu trên, CS-FEM là phần tử đơn giản nhất và không làm phát sinh thêm nhiều chi phí tính toán như NS-FEM hay ES-FEM Mặc dù vậy, tốc độ hội tụ của phần tử CS-FEM so với NS-FEM hay ES-FEM cũng không có quá nhiều khác biệt Ngoài ra, kỹ thuật này nếu được tích hợp lên các phần tử dùng trong phân tích vỏ thoải sẽ rất phù hợp vì chỉ cần áp dụng bên trong phần tử Ngược lại, NS-FEM và ES-FEM đòi hỏi những kỹ thuật xử lý phức tạp khi áp dụng cho phân tích vỏ thoải do phải tính thông qua nhiều phần tử liền kề có chung nút hoặc chung cạnh và có độ cong khác nhau

Trong số các phần tử tấm kết hợp với kỹ thuật làm trơn thì phần tử CS-DSG3 do Nguyen-Thoi và các cộng sự đề suất bằng cách kết hợp giữa kỹ thuật làm trơn trên ô với phần tử tấm DSG3 để phân tích các ứng xử của tấm đẳng hướng Mindlin-Reissner

và công bố lần đầu tiên trong [16] Phần tử CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút nên có thể dễ dàng chia lưới tự động cho các bài toán có miền hình học phức tạp Ngoài ra, do kế thừa các ưu điểm của phần tử DSG3 và kỹ thuật làm trơn trường biến dạng nên phần tử CS-DSG3 không gặp hiện tượng khóa thể tích và có độ chính xác cao Từ đó, phần tử này được mở rộng để phân tích các bài toán khác như bài toán phân tích ứng xử vỏ thoải [74], vết nứt trong tấm Mindlin [75], ứng xử của tấm đa chức năng FGM [91], ứng xử của tấm composite đơn thuần [89] và tấm composite trên nền đàn hồi [90], và ứng xử của tấm vật liệu áp điện [20] Tổng quan về các phát triển gần đây của phần tử này đã được Nguyen-Thoi và các đồng nghiệp công bố trong [73]

21

Tuy nhiên, mở rộng của phần tử CS-DSG3 chưa được thực hiện cho kết cấu tấm, vỏ gia cường gân, là một trong những kết cấu được ứng dụng rất phổ biến trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật Hơn nữa, với những ưu điểm của phần tử CS-DSG3 đã phân tích ở trên

có thể thấy phần tử này rất thích hợp cho bài toán phân tích kết hợp tối ưu hóa kết cấu tấm vỏ gia cường gân Đó là lý do tác giả đã chọn đề tài luận án để phát triển phần tử CS-DSG3 cho bài toán phân tích ứng xử và tính toán tối ưu hóa kết cấu tấm, vỏ gia cường gân nhằm giải quyết khe hẹp nghiên cứu này

Chi tiết về phần tử CS-DSG3 cho bài toán tấm và vỏ gia cường cũng như sự kết hợp của phần tử này với giải thuật tối ưu hóa sẽ được trình bày chi tiết trong luận án Những đóng góp mới của luận án được minh chứng bằng các công bố trong và ngoài nước sẽ được liệt kê trong phần cuối của luận án

22

Chương 1 LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ GIA CƯỜNG

1.1 Một số phương pháp nghiên cứu kết cấu tấm và vỏ gia cường

Trong quá trình nghiên cứu tấm vỏ gia cường, nhiều giả thiết đã được sử dụng để mô hình toán học cấu trúc này Trong đó có thể chia thành hai hướng tiếp cận chính là: 1) đồng nhất hóa; và 2) phân tích độc lập tấm và gân gia cường

1.1.1 Xấp xỉ tấm trực hướng

Có tất cả ba phương pháp đồng nhất dùng để mô hình tấm có gân Ý tưởng chính của các phương pháp này là thay cấu trúc tấm có gân bằng một cấu trúc có tính chất tương đương với nó

Phương pháp thứ nhất, tấm gia cường gân được mô hình thành tấm trực hướng Các gân gia cường được giả thiết là dàn đều trên tấm và cấu trúc này được thay bằng một tấm tương đương có các đặc tính khác nhau theo các hướng vuông góc Các tính chất tương đương được xác định qua các tính chất của tấm và gân gia cường

1.1.2 Xấp xỉ hệ khung

Phương pháp thứ hai, hướng tiếp cận này xem tấm gia cường như một hệ khung Tấm gia cường được thay bởi một cấu trúc phẳng gồm nhiều dầm đan xen với nhau Tính chất tương đương của các dầm được xác định từ các tính chất của gân gia cường và bằng cách xét đến bề ngang hiệu dụng của tấm

Phương pháp thứ ba, các gân gia cường nằm trong một phần tử tấm được chuyển sang các đường nút của phần tử tấm Nói cách khác, lưới phần tử hữu hạn xác định vị trí của các gân