Phương trình - Hệ phương trình

277 6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình.. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích và h

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chủ biên: Nguyễn Anh Huy

26 - 7 - 2012

Lời nói đầu 6

Các thành viên tham gia chuyên đề 8

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10 Phương trình bậc ba 10

Phương trình bậc bốn 16

Phương trình dạng phân thức 23

Xây dựng phương trình hữu tỉ 27

Một số phương trình bậc cao 29

2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 32 Phương pháp sử dụng đạo hàm 32

Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle 42

Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ 46

Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng 55

Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn 76

Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic 81

3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đặt ẩn phụ 93

Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản 93

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 94

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 101

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 103

Phương pháp sử dụng hệ số bất định 108

Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 109

Phương pháp lượng giác hóa 117

Phương pháp biến đổi đẳng thức 121

Phương pháp dùng lượng liên hợp 124

Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 138

Phương pháp dùng bất đẳng thức 146

Một số bài toán chọn lọc 154

3

4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158

Lý thuyết 158

Phương pháp đặt ẩn phụ 158

Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 166

Phương pháp biến đổi đẳng thức 170

Bài tập tổng hợp 173

5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ cơ bản 177

Hệ phương trình hoán vị 184

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình 206

Phương pháp biến đổi đẳng thức 213

Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 222

Phương pháp hệ số bất định 231

Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu 240

Phương pháp dùng bất đẳng thức 246

Tổng hợp các bài hệ phương trình 258

Hệ phương trình hữu tỉ 258

Hệ phương trình vô tỉ 277

6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình 297

Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 307

Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic 310

Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức 312

Xây dựng phương trình từ các đẳng thức 318

Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II 321

Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số 324

Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác 328

Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình 331

Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 338

Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình 345

Sáng tác hệ phương trình 349

Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình 353

7 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển của phương trình 366

Có mấy cách giải phương trình bậc hai? 366

Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học 368

Những vinh quang sau khi đã qua đời 372

Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng 376

Một cuộc đời trên bia mộ 376

Chỉ vì lề sách quá hẹp! 376

Hai gương mặt trẻ 377

Sống hay chết 378

Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứngdụng rất lớn trong các ngành khoa học Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tínhtoán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toánhọc, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ,phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trìnhsai phân, phương trình đạo hàm riêng, )

Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và đượcyêu thích bởi nhiều bạn học sinh Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích

và hình học, những bài toán phương trình - hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trởthành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thiĐại học

Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập mộtcách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình Nhận thấy nhu cầu cómột tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đànMathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình màchúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh

Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau:

> Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phươngtrình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựngphương trình hữu tỉ

> Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương phápgiải và biện luận bài toán có tham số ,cũng như một số bài toán thường gặp trong các kì thiHọc sinh giỏi

> Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phươngpháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, với nhiều bài toán

mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình

Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đềLượng giác của Diễn đàn

> Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàm

số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơnđiệu,

> Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề Nội dung của chương

bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình haytrong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế.

> Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bàihay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hyperbolic,hàm đơn điệu,

Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phươngtrình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình

Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựngchuyên đề Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn,anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp những

ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra cácbài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh

Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điều

bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênhmọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn Mọi góp ý xin vui lòngchuyển đến anhhuy0706@gmail.com

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012

Thay mặt nhóm biên soạnNguyễn Anh Huy

Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên củadiễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:

• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)

• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)

• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –

TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)

• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A– Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu(THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên TrầnĐại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong ThếPhương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)

• Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầyNguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPTNguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn ThếHoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai)

• Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn ThếHòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai)

-• Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng

khiếu-TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - khiếu-TPHCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình(11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi),

• Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong

- TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long(10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội)

• Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TPHCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)

• Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)

• Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình),Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)

• Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - HàNội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)

• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)

• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê HồngPhong TP HCM)

• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong

TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), TrầnMinh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPTNguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)

• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai),thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CTTHPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)

• Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng

khiếu-TP HCM)

• Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng

khiếu-TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai)

HỮU TỈ

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

Một số phương pháp giải phương trình bậc ba

F Phương pháp phân tích nhân tử:

Nếu phương trình bậc ba ax3+ bx2+ cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đó

2

3, q = c +

2a3− 9ab27

Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản

Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:

(u + v)3+ p(u + v) + q = 0 ⇔ u3+ v3+ (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)

Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4)

Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

X2+ qX − p

3

27 = 0(5)Đặt ∆ = q

2

4 +

p327

10

y1 = u0+ v0

y2 = −1

2(u0+ v0) + i

√3

2 (u0− v0)

y3 = −1

2(u0+ v0) − i

√3

2 (u0− v0)

F Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic:

Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quanđến số phức Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễnkhác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos

Cụ thể, từ phương trình t3 + pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) vềdạng

4 cos3α − 3 cos α − cos 3α = 0

r −3pVậy 3 nghiệm thực là

r −3p



− 2iπ3

với i = 0, 1, 2

Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nên côngthức trên không có số phức

Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p 6= 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằng côngthức hàm arcosh và arsinh:



nếu p < 0 và 4p3+ 27q2 > 0

r 3p



nếu p > 0Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát Nhưng mục đíchcủa chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất Hãy cùng xem quamột số ví dụ:

Bài tập ví dụ

Bài 1: Giải phương trình x3+ x2 + x = −1

3GiảiPhương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử Trước khi nghĩ tớicông thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình:

3x3+ 3x2+ 3x + 1 = 0Đại lượng 3x2+3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen thuộc x3+3x2+3x+1 = (x+1)3

Do đó phương trình tương đương:

(x + 1)3 = −2x3hay

Bài 2: Giải phuơng trình x3− 3x2+ 4x + 11 = 0

GiảiĐặt x = y + 1 Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình:

y3+ 1.y + 13 = 0Tính ∆ = 132+ 4

t−13 −q4567

272

Bài 3: Giải phương trình x3+ 3x2+ 2x − 1 = 0

GiảiĐầu tiên đặt x = y − 1 ta đưa về phương trình y3− y − 1 = 0 (1) Đến đây ta dùng lượng giácnhư sau:

Nếu |y| < √2

3 suy ra

√3

2 y

... (∗) để đưa phương trình trùng phương theo t

> Nếu phương trình có nghiệm thực, chứng minh phương trình vơ nghiệm |y| >

r −p3bằng phép đặt (∗) (đưa phương trình trùng phương vơ... class="page_container" data-page="27">

XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ

Bên cạnh việc xây dựng phương trình từ hệ phương trình, việc xây dựng phương trình từ nhữngđẳng thức đại số có điều kiện phương. .. Khi gặp hệ phương trình phương trình hệ khơng chứa tham sốthì ta giải phương trình trước Từ phương trình ta tìm tập nghiệm(đối với hệ ẩn) rút ẩn qua ẩn Khi nghiệm hệ phụ thuộc vàonghiệm phương trình