PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va 2 điểm Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản a Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ;.. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC...
Trang 1THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN TOÁN
Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y =x3 −3x2 +2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình 2 −2 −2= x−1
m x
x theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình 3 4− sin22x=2cos x2 1 2( + sin x)
b) Giải phương trình 2 16 3 4
2
Câu III ( 2 điểm)
a) Tính tích phân
3 2 3
x sin x
cos x
π
π
−
= ∫
2 sin )
(
2
− +
−
x
f x Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng 0
)
(x =
f có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3
2 1
2
1
−
+
=
=
x
và mặt phẳng 0
1 2
:
)
(P x+ y+z− =
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P Viết phương trình của ) đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P )
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm ) (1,0,0) tới (Q bằng ) 3
2
B PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A ; Các đường phân giác và trung tuyến xuất ( )0 5
phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d : x y1 − + =1 0,d : x2 −2y=0. Viết phương trình
ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển ( )60
3
2+ 3 .
Trang 2Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình 2 9 1
4
1 4 6 9 3
1 4
3 x+ x+ = x − x+ b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều Qua
A dựng mặt phẳng (P vuông góc với ) SC.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P )
và hình chóp
ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= −3 3x2+2.
• Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.=
• Sự biến thiên: y' =3x2−6x. Ta có 0 0
2
x y'
x
=
= ⇔ =
0,25
• Bảng biến thiên:
y' + 0 − 0 +
y
2 +∞
−∞ 2−
0,25
b)
Biện luận số nghiệm của phương trình 2 −2 −2= x−1
m x
x theo tham số m.
• Ta có 2 2 2 ( 2 2 2) 1 1
1
m
x
của phương trình bằng số giao điểm của y=(x2−2x−2) x−1, C'( ) và đường
thẳng y m,x= ≠1.
0,25
1
f x khi x
f x khi x
>
nên ( )C' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x=1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x=1 qua Ox.
0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+ m< −2: Phương trình vô nghiệm;
0,25
Trang 3+ m= −2: Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2− < <m 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m≥0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,25 Câu II 2 điểm
a) Giải phương trình 3 4− sin22x=2cos x2 1 2( + sin x)
• Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2( sin x+ −1) (2sin x+ =1) 0 0,75
• Do đó nghiệm của phương trình là
x= − +π k π; x= π +k π; x= π + π ; x= π + π
0,25
b)
Giải phương trình 2 16 3 4
2
• Điều kiện: 0 2 1 1
4 16
x> ; x≠ ; x≠ ; x≠ .
• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
• Với x≠1 Đặt t log= x2 và biến đổi phương trình về dạng
0
1 t−4 1 2t + t 1=
0,5
• Giải ra ta được 1 2 4 1
t= ;t= − ⇒ =x ; x= . Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1 4
2
0,25
Câu III
a)
Tính tích phân
3 2 3
x sin x
cos x
π
π
−
= ∫
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3
3
π
π
−
3
3
dx J
cosx
π
π
−
= ∫
0,25
• Để tính J ta đặt t sin x.= Khi đó
2
3 3
2
π
0,5
+
0,25
b)
2 sin )
(x =e − x+ x2 −
f x Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng
Trang 4minh rằng f(x)=0 có đúng hai nghiệm.
• Ta có f ( x ) e′ = + −x x cos x. Do đó f ' x( ) = ⇔0 e x = − +x cos x. 0,25
• Hàm số y e= x là hàm đồng biến; hàm số y= − +x cosx là hàm nghịch biến
vì y'= − +1 sin x≤ ∀0, x Mặt khác x=0 là nghiệm của phương trình
x
e = − +x cos x nên nó là nghiệm duy nhất
0,25
• Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) (học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình f(x)=0 có đúng hai nghiệm.
• Từ bảng biến thiên ta có min f x( ) = − ⇔ =2 x 0.
0,5
Câu IV
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P Viết phương )
trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P )
• Tìm giao điểm của d và (P) ta được 2 1 7
2 2
0,25
• Ta có u d =(2 1 3; ;− ),n P =(2 1 1; ; )⇒u∆ =u ;n d p=(1 2 0;− ; )
• Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 2 1 2 7
b)
Viết (Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm ) (1,0,0) tới (Q bằng )
3
2
• Chuyển d về dạng tổng quát 2 1 0
d :
y z
+ + =
0,25
• Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
0,25
2
3
Câu VIa
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có A ; Các đường phân giác và trung ( )0 5
tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là
d : x y− + = ,d : x− y= Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
• Ta có B d= ∩ ⇒1 d2 B(− − ⇒2 1; ) AB : x y3 − + =5 0. 0,25
• Gọi A' đối xứng với A qua d1⇒H( ) ( )2 3; , A' ; 4 1 0,25
• Ta có A' BC∈ ⇒BC : x−3y− =1 0. 0,25
• Tìm được C(28 9; ) ⇒AC : x−7y+35 0= . 0,25 b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển ( )60
3
2+ 3 .
Trang 5• Ta có ( )60 60 60
60 0
k k k k
−
=
• Để là số hữu tỷ thì (60 ) 2 2
6 3
k k
M
M Mặt khác 0≤ ≤k 60 nên có 11
số như vậy
0,5
Câu Vb
a)
Giải phương trình 2 9 1
4
1 4 6 9 3
1 4
3 x + x+ = x − x+
• Biến đổi phương trình đã cho về dạng 3 22 27 32 6 22 9 32
4
• Từ đó ta thu được 3
2
x
x log
÷
0,5
b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam
giác đều Qua A dựng mặt phẳng (P vuông góc với ) SC.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng (P và hình chóp.)
• Để dựng thiết diện, ta kẻ AC'⊥SC Gọi I = AC' SO.∩ 0,25
• Kẻ B' D' // BD. Ta có
2
AD' C' B'
Nguồn: Hocmai.vn